一类条件代数不等式的注记
A Note on a Class of Conditional Algebraic Inequalities

作者: 蒋鼎宏 :江苏省淮阴中学,江苏 淮安;淮阴师范学院数学与统计学院,江苏 淮安; 柏传志 :淮阴师范学院数学与统计学院,江苏 淮安;

关键词: 代数不等式指数数学归纳法导数Algebraic Inequality Exponent Mathematical Induction Derivative

摘要:
本文主要讨论了一类条件代数不等式,主要结果是已有结果与方法的补遗和拓展。

Abstract: This paper mainly discusses a class of conditional algebraic inequalities. The main results are the supplements and extensions of the existing results and methods.

1. 引言

近年来一类条件代数不等式引起了许多作者的兴趣。在文献 [1] 中,作者对《数学通报》2009年第8期数学问题1808 [2] 与2010年第1期数学问题1833 [3],从项数与指数出发进行了推广。在文献 [4] 中,作者对上述问题与《数学通报》2015年第4期数学问题2238 [5],从指数出发进行了下列推广:

定理1设 a , b > 0 ,且 a + b = 1 ,对任意的正整数 m , n ( m 2 ),则有

( 1 a m a n ) ( 1 b m b n ) ( 2 m + n 1 2 n ) 2 (1)

等号当且仅当 a = b = 1 2 时成立。

文献 [6] 中,作者从项数对定理1进行了推广,得到了下列关于一类条件代数不等式统一推广的定理。

定理2设 n N * p N * q N * a i > 0 ( i = 1 , , n ; n > 1 ),且 i = 1 n a i = 1 p 2 ,则

i = 1 n ( 1 a i p a i q ) ( n p 1 n q ) n (2)

等号当且仅当 a 1 = a 2 = = a n = 1 n 时成立。

在定理2中,条件 p 2 是必要的。在文献 [7] 中,作者证明了当 p = 1 时,(2)式也成立,即有

定理3设 q N * a i > 0 ( i = 1 , , n ; n > 1 ),且 i = 1 n a i = 1 ,当 q 3 n 3 ,有

i = 1 n ( 1 a i a i q ) ( n 1 n q ) n (3)

等号当且仅当 a 1 = a 2 = = a n = 1 n 时成立。

(3)式可以看成是(2)式的补遗。(3)式中 n = 2 q 3 ,一个自然的问题是如果 n = 2 q = 2 ,(3)式是否成立。另外,文献 [7] 在证明(3)式 n = 2 q 3 的情形时证明技巧较高,也较复杂。本文将给出较直接与自然的证明。我们的结果可以看成是(1)与(3)式的补遗和扩展。我们的主要结论如下:

定理4.已知正数 a , b 满足 a + b = 1 ,则

( 1 a a 2 ) ( 1 b b 2 ) ( 7 4 ) 2 (4)

证明对于 0 < x < 1 ,令

f ( x ) = ( 1 x x 2 ) ( 1 1 x ( 1 x ) 2 ) .

f ( x ) = ( 1 x 3 ) ( 1 ( 1 x ) 3 ) x ( 1 x ) = ( 1 + x + x 2 ) ( 1 + ( 1 x ) + ( 1 x ) 2 ) = x 4 2 x 3 + x 2 + 3

f ( x ) 求导得

f ( x ) = 4 x 3 6 x 2 + 2 x = 2 x ( x 1 ) ( 2 x 1 )

f ( x ) = 0 ,得到 f ( x ) 在区间 ( 0 , 1 ) 上的唯一零点 x = 1 2 ,且

0 < x < 1 2 时, f ( x ) > 0 ;当 1 2 < x < 1 时, f ( x ) < 0

f ( x ) 在区间 ( 0 , 1 ) 上取到最大值

f ( 1 2 ) = ( 2 1 2 2 ) 2 = ( 7 4 ) 2 .

于是,(4)式成立。证毕。

定理4说明 n = 2 q = 2 时,(3)式不成立,且(3)式不等式反号。

下面,我们给出 n = 2 q 3 时的(3)式一个直接与自然的证明。

定理5已知 a , b > 0 ,且 a + b = 1 。如果正整数 p 3

( 1 a a p ) ( 1 b b p ) ( 2 1 2 p ) 2 (5)

等号当且仅当 a = b = 1 2 时成立。

证明对于 0 < x < 1 ,令

f p ( x ) = ( 1 x x p ) ( 1 1 x ( 1 x ) p ) , (6)

f p ( x ) = ( 1 x p + 1 ) ( 1 ( 1 x ) p + 1 ) x ( 1 x ) = ( 1 + x + + x p ) ( 1 + ( 1 x ) + + ( 1 x ) p ) .

容易知道 f p ( 1 x ) = f p ( x ) ,即 f p ( x ) 关于 x = 1 2 是对称的。

下面用数学归纳法证明当 p 3

f p ( x ) = ( 1 2 x ) g p ( x ) (7)

其中 g p ( x ) < 0 0 < x < 1 2 。事实上,当 p = 3

f 3 ( x ) = ( 1 + 2 x + 3 x 2 ) ( 1 + ( 1 x ) + ( 1 x ) 2 + ( 1 x ) 3 ) ( 1 + x + x 2 + x 3 ) ( 1 + 2 ( 1 x ) + 3 ( 1 x ) 2 ) = 1 + ( 1 x ) + ( 1 x ) 2 + ( 1 x ) 3 1 x x 2 x 3 + 2 x + 2 x ( 1 x ) + 2 x ( 1 x ) 2 + 2 x ( 1 x ) 3 2 ( 1 x ) 2 x ( 1 x ) 2 x 2 ( 1 x ) 2 x 3 ( 1 x )

+ 3 x 2 + 3 x 2 ( 1 x ) + 3 x 2 ( 1 x ) 2 + 3 x 2 ( 1 x ) 3 3 ( 1 x ) 2 3 x ( 1 x ) 2 3 x 2 ( 1 x ) 2 3 x 3 ( 1 x ) 2 = ( 1 2 x ) [ 3 x 2 ( 1 x ) 2 2 ] = ( 1 2 x ) g 3 ( x )

其中 g 3 ( x ) = 3 x 2 ( 1 x ) 2 2 < 3 4 2 < 0 0 < x < 1 2

假设 p = k 时, f k ( x ) = ( 1 2 x ) g k ( x ) g k ( x ) < 0 0 < x < 1 2 。则当 p = k + 1 时,

f k + 1 ( x ) = [ ( 1 + x + x 2 + + x k + 1 ) ( 1 + ( 1 x ) + ( 1 x ) 2 + + ( 1 x ) k + 1 ) ] = [ f k ( x ) + ( 1 + x + + x k ) ( 1 x ) k + 1 + ( 1 + ( 1 x ) + + ( 1 x ) k ) x k + 1 + x k + 1 ( 1 x ) k + 1 ] = f k ( x ) + H k ( x ) (8)

其中

H k ( x ) = ( 1 + 2 x + + k x k 1 ) ( 1 x ) k + 1 ( 1 + 2 ( 1 x ) + + k ( 1 x ) k 1 ) x k + 1 ( k + 1 ) ( 1 + x + + x k ) ( 1 x ) k + ( k + 1 ) ( 1 + ( 1 x ) + + ( 1 x ) k ) x k + ( k + 1 ) x k ( 1 x ) k ( 1 2 x ) = ( 1 2 x ) [ ( 1 x ) k + ( 1 x ) k 1 x + + x k ] + 2 x ( 1 x ) ( 1 2 x ) [ ( 1 x ) k 1 + ( 1 x ) k 2 x + + x k 1 ]

+ + k x k 1 ( 1 x ) k 1 ( 1 2 x ) ( k + 1 ) ( 1 2 x ) [ ( 1 x ) k 1 + ( 1 x ) k 2 x + + x k 1 ] ( k + 1 ) x ( 1 x ) ( 1 2 x ) [ ( 1 x ) k 2 + ( 1 x ) k 3 x + + x k 2 ] ( k + 1 ) x k 1 ( 1 x ) k 1 ( 1 2 x ) + ( k + 1 ) x k ( 1 x ) k ( 1 2 x ) = ( 1 2 x ) W k ( x )

注意到 0 < x < 1 2

[ ( 1 x ) k + ( 1 x ) k 1 x + + x k ] ( k + 1 ) [ ( 1 x ) k 1 + + x k 1 ] < x k k [ ( 1 x ) k 1 + + x k 1 ] < x k k 2 x k 1 < ( k 2 1 ) x k ,

2 x ( 1 x ) [ ( 1 x ) k 1 + + x k 1 ] ( k + 1 ) x ( 1 x ) [ ( 1 x ) k 2 + + x k 2 ] = x ( 1 x ) [ 2 ( ( 1 x ) k 2 + ( 1 x ) k 3 x 2 + + x k 1 ) ( k + 1 ) ( ( 1 x ) k 2 + ( 1 x ) k 3 x + + x k 2 ) ] < 0 ,

3 x 2 ( 1 x ) 2 [ ( 1 x ) k 2 + + x k 2 ] ( k + 1 ) x 2 ( 1 x ) 2 [ ( 1 x ) k 3 + + x k 3 ] = x 2 ( 1 x ) 2 [ 3 ( ( 1 x ) k 3 + ( 1 x ) k 4 x 2 + + x k 2 ) ( k + 1 ) ( ( 1 x ) k 3 + ( 1 x ) k 4 x + + x k 3 ) ] < 0 ,

,

( k 1 ) x k 2 ( 1 x ) k 2 [ ( 1 x ) 2 + ( 1 x ) x + x 2 ] ( k + 1 ) x k 2 ( 1 x ) k 2 [ ( 1 x ) + x ] = x k 2 ( 1 x ) k 2 [ ( k 1 ) ( ( 1 x ) + x 2 ) ( k + 1 ) ( ( 1 x ) + x ) ] < 0.

W k ( x ) < ( k 2 1 ) x k + ( k + 1 ) x k ( 1 x ) k < ( k + 1 ) ( k 2 ) x k . (9)

于是由(8)、(9)式,得

f k + 1 ( x ) = ( 1 2 x ) [ g k ( x ) + W k ( x ) ] = ( 1 2 x ) g k + 1 ( x ) ,

g k + 1 ( x ) = g k ( x ) + W k ( x ) < W k ( x ) < ( k + 1 ) ( k 2 ) x k < 0 , 0 < x < 1 2 .

故由数学归纳法我们证明了(7)式成立。那么由(7)式, f p ( 1 2 ) = 0 f p ( x ) < 0 0 < x < 1 2 。即 f p ( x ) 在区间 ( 0 , 1 2 ) 上是单调递减的。又函数 f p ( x ) ( 0 , 1 ) 上关于 x = 1 2 是对称的,故 f p ( x ) 在区间 ( 1 2 , 1 ) 上是单调递增的。于是在 ( 0 , 1 ) f p ( x ) x = 1 2 取到最小值。即

f p ( x ) f p ( 1 2 ) = ( 2 1 2 p ) 2 .

证毕。

基金项目

国家自然科学基金项目(No. 11571136)。

NOTES

*通讯作者。

文章引用: 蒋鼎宏 , 柏传志 (2021) 一类条件代数不等式的注记。 理论数学, 11, 1757-1762. doi: 10.12677/PM.2021.1110198

参考文献

[1] 宋志敏, 尹枥. 一道数学征解题的解后再思考[J]. 数学通报, 2010, 49(12): 32-34.

[2] 胡雷. 数学问题1808 [J]. 数学通报, 2009, 48(8): 66.

[3] 杨先义. 数学问题1833 [J]. 数学通报, 2010, 49(1): 65.

[4] 周兴伟, 姚丽, 赵震宇. 基于两道“姊妹题”结论与证明的思考[J]. 数学通报, 2016, 55(5): 61-62.

[5] 李良兵. 问题2238 [J]. 数学通报, 2015, 54(4): 65.

[6] 郭要红, 刘其右. 一类条件代数不等式的统一推广[J]. 数学通报, 2017, 56(9): 58-59.

[7] 李汝雁, 郭要红, 孟庆利. 一类条件代数不等式统一推广的拾遗[J]. 数学通报, 2019, 58(2): 58-61.

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