2-弧传递基图的一些零散构造
Some Sporadic Constructions of 2-Arc Transitive Base Graphs

作者: 凌 波 :云南民族大学数学与计算机科学学院,云南 昆明;

关键词: 2-弧传递图PA型图自同构群AS型图2-Arc-Transitive Graph Graph of PA Type Automorphism Group Graph of AS Type

摘要:
本文主要给出一些2-弧传递基图的例子构造,包括一些零散的PA型2-弧传递基图和一个AS型2-弧传递基图。

Abstract: This paper gives some examples of 2-arc transitive base graphs, including some sporadic PA type 2-arc transitive base graphs and an AS type 2-arc transitive base graph.

1. 引言

在群与图的研究领域中,2-弧传递图是学者们研究得比较多的组合对象,尤其是当Praeger在1992年做了一项非常重要的工作之后,人们对其的研究变得更为活跃。Praeger [1] 将本原群的O’Nan-Scott定理推广到了拟本原的情形,证明了有限拟本原群为下面8种类型之一:CD,SD,HC,HS,HA,AS,TW,PA。并且证明了每一个拟本原 ( G , 2 ) -弧传递图,G必为其中的4种类型:HA,AS,TW,PA。

进而,对非二部2-弧传递图的分类工作可以通过下面两个步骤来进行:

(1) 构造全部拟本原2-弧传递图;

(2) 对(1)中图构造满足2-弧传递的覆盖图。

我们有时候称(1)中的图为“基本”图,它们一共有4种类型,其中的HA,AS,TW这三种类型在1993年就已经构造出大量的例子来了。例如,HA型由Ivanov和Praeger [2] 在1992年完全分类,AS型的例子由方新贵,Praeger等人在文献 [3] [4] 中大量构造,而TW型由Badderley [5] 在1993年给出了一些刻画的结果和例子的构造。然而,PA型的例子似乎是难以构造的,其存在性问题在2006年才由李才恒和A. Seress在文献 [6] 中解决。

因此,一件十分有必要的工作将是构造或者刻画2-弧传递基图。本文的主要工作将是构造一些AS型或者PA型的2-弧传递基图。

2. 预备知识

在这节给出一些基本定义和若干预备的结果。

设G是作用在 Ω 上的有限传递置换群。我们称G是拟本原的,如果G的每一个非平凡正规子群在 Ω 上的作用是传递的。设X是作用在 Ω 上的拟本原置换群, N = S o c ( X ) 。则 N = T 1 × × T k = T k ,其中 k 1 ,T是单群。由文献 [1],X至多包含两个极小正规子群。

(1) 假设X包含两个极小正规子群,即 N = L × M ,其中 L M T m 是X的两个极小正规子群。

(i) 称X是HS型的:如果 M = L T × T X T : A u t ( T ) I n n ( T ) X 1 A u t ( T )

(ii) 称X是HC型的:如果 M = T m ( m 2 ) M × M X ( M × M ) O u t ( T ) w r S m I n n ( M ) X 1 A u t ( M )

(2) 假设X包含唯一的一个极小正规子群N。则:

(i) 称X是HA型的:如果 N X N : A u t ( N ) Z p d : G L ( d , p ) = A G L ( d , p )

(ii) 称X是AS型的:如果 N = T T X A u t ( T )

(iii) 称X是TW型的:如果N在 Ω 上的作用是正则的。

(iv) 称X是SD型的:如果N包含一个正规子群 L T k 1 作用在 Ω 上是正则的, N v T

(v) 称X是CD型的:如果N包含一个正则正规子群 L T m m k 2 N v T k m

(vi) 称X是PA型的:如果 N v 1 ,N不包含正规子群作用在 Ω 上正则。

如果X是PA型的,则由文献 [6],X具有以下性质:

(1) N = T k < G < H w r S k < S y m ( Δ ) w r S k k > 1 ,T是有限非交换单群,H是作用在 Δ 上的型为AS的拟本原置换群并且其基柱T非正则;

(2) 取元素 v Δ ,设 R = T v 。则 1 < R < T 并且存在 Ω 的一个G-不变划分 Ω 使得对于 w Ω N v = R k 以及 α w N α R v 的次直积。

Praeger在文献 [1] 中,把拟本原置换群分成以上定义的8类,即下面的引理:

引理2.1设X为作用在 Ω 上的拟本原置换群,则X必为如下8种类型之一:HA型,HS型,HC型,AS型,TW型,SD型,CD型以及PA型。■

设X为有限群,H为X的无核子群。对于 g X H 满足 g 2 H ,定义陪集 Γ = C o s ( X , H , g )

为:

V Γ : = [ X : H ] , E Γ : = { ( H x , H d x ) | d H g H } .

考虑X在右陪集 [ X : H ] 上的右乘作用,则作用忠实且保边。因而, X A u t Γ 。通过定义容易证明: Γ 为X-弧传递图; Γ 连通当且仅当 H , g = X v a l Γ = | H : H H g | 。记顶点H,Hg分别为 α β 。则点稳定子 X α = H X β = H g ,弧稳定子 X α β = X α X β = H H g

为了方便我们写成下面的引理。其由陪集图的定义是容易证明的,在此省略证明过程。

引理2.2令 Γ = C o s ( X , H , g ) 。则 Γ 是G-弧传递图且下列结论成立:

(1) v a l Γ = | H : H H g |

(2) Γ 是无向图当且仅当存在一个2-元素 g G H 使得 g 2 H

(3) Γ 是连通图当且仅当 H , g = G

(4) 如果G包含一个子群R作用在图 C o s ( G , H , g ) 的顶点集上正则,则 C o s ( G , H , g ) C a y ( R , S ) ,其中 S = R H g H

反之,每一个G-弧传递图 Σ 都同构于一个陪集图 C o s ( G , G v , g ) ,其中 g N G ( G v w ) 是一个2-元素使得 g 2 G v v V Σ w Σ ( v ) 。■

对于一个图 Γ ,容易证明 Γ ( G , 2 ) -弧传递的当且仅当 G A u t Γ 在顶点集合上传递且 G α Γ ( α ) Γ ( α ) 上是2-传递的。

对更一般的G-弧传递图,下面的引理( [6],引理2.2)告诉我们怎么通过群G去寻找一些图自同构。

引理2.3设 Γ = C o s ( G , G α , G α g G α ) 是一个G-弧传递图, L = N S y m ( V Γ ) ( G ) ,其中 α V Γ 。则 t L α Γ 的一个图自同构当且仅当 ( G α g G α ) t = G α g G α 。■

3. 例子的构造

在这一节中,构造一些AS型或者PA型的例子。首先,下面的几个例子是X为PA型的。

构造3.1 设 G = A 7 2 S 14 是自然的作用在 Ω = { 1 , 2 , , 14 } 上的置换群。令:

h = ( 3 7 4 5 6 ) ( 10 11 13 14 12 ) ,

g = ( 1 5 ) ( 2 6 ) ( 8 13 ) ( 9 12 ) .

h , g = G = A 7 2 。设 H = h Z 5 ,定义陪集图: Γ = C o s ( G , H , H g H ) 。■

引理3.4 在构造3.1中的图 Γ = C o s ( G , H , H g H ) 是5度 ( X , 2 ) -弧传递, ( G , 1 ) -正则图,其中 G X X = A 7 2 : Z 4 是作用在 V Γ 的PA型拟本原群。

证明:显然 Γ 是5度的。令 τ = ( 1 8 2 9 ) ( 3 11 4 10 ) ( 5 13 6 12 ) ( 7 14 ) 。则有:

τ 2 = ( 1 2 ) ( 3 4 ) ( 5 6 ) ( 8 9 ) ( 10 11 ) ( 12 13 ) ,

g τ = ( 8 13 ) ( 9 12 ) ( 2 6 ) ( 1 5 ) = g ,

h τ = ( 11 14 10 13 12 ) ( 3 4 6 7 5 ) = h 2 .

因此, ( H g H ) τ = H g H ,由引理2.3, τ A u t Γ 。令 X = G , τ 。则 X = G : τ = A 7 2 : Z 4 A u t Γ 。此外,X是作用在 V Γ 的PA型拟本原群,其中 X α = H τ A G L ( 1 , 5 ) 。显然, G X Γ 的弧集合上正则。■

构造3.2 设 G = A 8 2 S 16 是自然作用在 Ω = { 1 , 2 , , 16 } 上的置换群。令:

h = ( 1 6 8 5 2 ) ( 9 13 14 10 16 ) ,

g = ( 1 4 ) ( 2 3 ) ( 5 6 ) ( 7 8 ) ( 9 12 ) ( 10 11 ) ( 13 14 ) ( 15 16 ) .

h , g = G = A 8 2 。设 H = h Z 5 ,定义陪集图: Γ = C o s ( G , H , H g H ) 。■

引理3.5 在构造3.2中的图 Γ = C o s ( G , H , H g H ) 是5度 ( X , 2 ) -弧传递, ( G , 1 ) -正则图,其中 G X X = A 8 2 : Z 4 是作用在 V Γ 的PA型拟本原群。

证明:显然 Γ 是一个连通5度 ( G , 1 ) -弧正则图。令 τ = ( 1 9 2 10 ) ( 3 11 4 12 ) ( 5 13 6 14 ) ( 7 15 ) ( 8 16 ) 则有:

τ 2 = ( 1 , 2 ) ( 3 , 4 ) ( 5 , 6 ) ( 9 , 10 ) ( 11 , 12 ) ( 13 , 14 ) ,

g τ = ( 9 12 ) ( 10 11 ) ( 13 14 ) ( 15 16 ) ( 2 3 ) ( 1 4 ) ( 6 5 ) ( 7 8 ) = g ,

h τ = ( 9 14 16 13 10 ) ( 2 6 5 1 8 ) = h 2 .

因此, ( H g H ) τ = H g H 。由引理2.3,得 τ A u t Γ 。令 X = G , τ 。则 X = G : τ = A 8 2 : Z 4 A u t Γ 。此外,X是作用在 V Γ 的PA型拟本原群,其中 X α = H τ A G L ( 1 , 5 ) 。显然, G X Γ 的弧集合上正则。■

构造3.3 设 G = A 6 2 是作用在 Ω = { 1 , 2 , , 12 } 的置换群。令 σ 1 = ( 1 5 2 3 4 ) σ 2 = ( 7 8 10 11 9 ) τ 1 = ( 3 5 ) ( 4 6 ) 以及 τ 2 = ( 9 11 ) ( 10 12 ) 。设 h : = ( σ 1 , σ 2 ) g : = ( τ 1 , τ 2 ) G α = h Z 5 。定义陪集图: Γ = C o s ( G , G α , G α g G α ) 。 ■

引理3.6 在构造3.3中的图 Γ = C o s ( G , G α , G α g G α ) 是5度 ( X , 2 ) -弧传递, ( G , 1 ) -正则图,其中 G X X = A 6 2 : Z 4 是作用在 V Γ 的PA型拟本原群。

证明:因为 σ 1 5 = τ 1 2 = ( σ 1 τ 1 ) 4 = 1 σ 2 5 = τ 2 2 = ( σ 2 τ 2 ) 5 = 1 ,所以不存在 φ A u t T 使得 σ 1 , τ 1 φ = σ 2 , τ 2 。又因为 σ 1 , τ 1 A 6 σ 2 , τ 2 A 6 ,所以 G α , g = h , g A 6 2 = G

d A u t T I n n T 使得 o ( d ) = 2 σ 1 d = σ 1 1 τ 1 d = τ 1 。事实上,d决定的自同构为:

( 1 2 3 4 5 ) ( 1 5 3 4 6 ) , ( 4 5 6 ) ( 1 5 4 ) ( 2 3 6 )

τ = ( d , i d ) ( 1 , 2 ) X = G , τ 。则 h τ = ( σ 2 , ( σ 1 ) 1 ) = ( σ 2 , ( σ 1 ) 4 ) = ( ( 7 8 10 11 9 ) , ( 1 4 3 2 5 ) ) = h 2 。因此, h , τ Z 5 : Z 4 G α = h = Z 5 G α τ = G α 。又因为 g τ = ( τ 2 , τ 1 d ) = ( τ 2 , τ 1 ) = g ,由引理2.3, X A u t Γ 。又 h , g , τ = X ,所以 Γ 是一个5度连通 ( X , 2 ) -弧传递图。此外, X A 6 2 : Z 4 作用在 V Γ 是PA型的拟本原群,其中 X α = h , τ = G α τ A G L ( 1 , 5 ) 。显然, G = A 6 2 X Γ 的弧集合上正则。■

最后构造一个AS型的例子。

构造3.4 设 T = P S U ( 3 , 5 ) 。则 O : = Z 3 : Z 2 D 6 O u t T 。令 X = T O A u t T 。则X是一个几乎单群且 S o c ( X ) = T 。由Magma [7],存在一个2-元素g使得 g 2 O O , g = X | O | / | O O g | = 3 。因此, Γ = C o s ( G , O , O g O ) 是一个连通3度 ( X , 2 ) -弧传递图,其中X包含一个正规弧正则子群 G : = T Z 3 。因为 T = S o c ( X ) V Γ 上正则,所以 Γ C a y ( T , S ) 是T上的Cayley图。■

基金项目

国家自然科学基金项目(12061089,11701503);云南省教育厅科学研究基金项目(2017ZZX086)。

文章引用: 凌 波 (2021) 2-弧传递基图的一些零散构造。 理论数学, 11, 1752-1756. doi: 10.12677/PM.2021.1110197

参考文献

[1] Praeger, C.E. (1992) An O’Nan-Scott Theorem for finite Quasiprimitive Permutation Groups and an Application to 2-Arc-Transitive Graphs. Journal of the London Mathematical Society, s2-47, 227-239.
https://doi.org/10.1112/jlms/s2-47.2.227

[2] Ivanov, A.A. and Praeger, C.E. (1993) On Finite Affine 2-Arc Transitive Graphs. European Journal of Combinatorics, 14, 421-444.
https://doi.org/10.1006/eujc.1993.1047

[3] Fang, X.G. and Praeger, C.E. (1999) Finite Two-Arc Transitive Graphs Admitting a Suzuki Simple Group. Communications in Algebra, 27, 3727-3754.
https://doi.org/10.1080/00927879908826659

[4] Fang, X.G. and Praeger, C.E. (1999) Finite Two-Arc Transitive Graphs Admitting a Ree Simple Group. Communications in Algebra, 27, 3755-3769.
https://doi.org/10.1080/00927879908826660

[5] Baddeley, R. (1993) Two-Arc Transitive Graphs and Twisted Wreath Products. Journal of Algebraic Combinatorics, 2, 215-237.

[6] Li, C.H. and Seress, A. (2006) Constructions of Quasiprimitive Two-Arc Transitive Graphs of Product Action Type. Finite Geometries, Groups and Computation, 115-124.

[7] Bosma, W., Cannon, C. and Playoust, C. (1997) The MAGMA Algebra System I: The User Language. Journal of Symbolic Computation, 24, 235-265.
https://doi.org/10.1006/jsco.1996.0125

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