基于泛函修正平均法的第二类积分方程的改进迭代法
An Improved Iterative Method for the Second Kind of Integral Equation Based on Modified Functional Averaging Method

作者: 陈国林 :西华师范大学数学与信息学院,四川 南充; 陈 冲 :西华师范大学公共数学学院,四川 南充;

关键词: 第二类积分方程不动点皮卡尔迭代非线性泛函修正平均法The Second Kind of Integral Equation Fixed Point Picard Iteration Nonlinear Modified Functional Average Method

摘要:
本文将泛函修正平均法推广到第二类线性Volterra积分方程,并进行了误差分析。然后将该方法的第一次迭代进行了调整,即迭代求解u1过程中,对于非线性项中的un(t)采用含修正项的不完全代换u0n-1(t)(u0(t)+a1)形式。后将该方法应用到一类特殊形式的非线性Fredholm积分方程的求解中。最后通过算例验证了文中方法的可行性及有效性。

Abstract: In this paper, the modified functional average method is extended to the second kind of linear Volterra Integral Equation, and the error of the method is analyzed. Then the first iteration of the method is adjusted, that is, in the iterative solution of u1, the modified term which is in the in-complete substitution form of u0n-1(t)(u0(t)+a1) replaces the nonlinear term un(t). Then the method is applied to the solution of a special form of nonlinear Fredholm Integral Equation. Finally, the feasibility and effectiveness of the method are verified by numerical examples in this paper.

1. 引言

随着科技进步,数学、物理等基础学科得到进一步发展,积分方程作为研究物理规律的数学形式引起了越来越多学者的关注与研究。自然科学与工程中的部分实际问题可以转化为积分方程的求解问题,其中第二类积分方程形式比较常见。目前求解这类积分方程比较复杂,部分该类积分方程无法直接求出其解析解,此时寻找原方程的近似解并对之进行误差分析就显得尤其重要了。众多学者已对第二类积分方程做了大量研究并形成了比较成熟的求解方法,包括配置法 [1] [2] [3]、Nystrȍm方法 [4] [5] [6]、小波法 [7] [8] [9]、神经网络法 [10] [11]、皮卡尔迭代法 [12] - [17] 等。

皮卡尔迭代法是求解代数方程、微分方程、超越方程的一种常用方法。到目前为止,有学者对应用皮卡尔迭代法来求解积分方程做了深入探究,Micula等 [12] 提出运用皮卡尔迭代法解决Fredholm-Volterra型积分方程。Leon B等 [13] 提出应用皮卡尔迭代法求解模糊二阶非线性Volterra-Fredholm积分微分方程。Lian C等 [14] 提出应用多级数皮卡尔迭代法求解第二类非线性Volterra积分方程。但部分积分方程在皮卡尔迭代格式下迭代解的收敛速度较慢导致迭代工作量较大。为了减小迭代工作量,文献 [15] [16] 提出应用变分迭代法来优化迭代格式,加速迭代过程,李星 [17] 提出第二类Fredholm型积分方程的一种泛函修正平均法来加速迭代。本文将泛函修正平均法推广应用到第二类Volterra型积分方程,改进并推广到一类特殊非线性积分方程,得到两类特定积分方程的一种改进皮卡尔迭代法,来加速迭代并提高迭代解的精度。

2. 准备知识

2.1. 压缩映射与不动点定理

定理1 [12] 设 ( X , ) 为巴拿赫空间,F为 X X 的一个紧算子。若存在q, 0 q < 1 ,使得 u , v X n N 都有 F u F v q u v ,则F为关于q的压缩映射。

定理2 [18] 设 ( X , ) 为巴拿赫空间,F为X的一个压缩映射,则F必有唯一不动点。

给定第二类积分方程

u ( x ) = λ a x k ( x , t ) ψ ( t , u ( t ) ) d t + f ( x ) , x [ a , b ] , t [ a , b ] , (1)

其中 λ 为常数, k ( x , t ) , ψ ( t , u ( t ) ) , f ( x ) 为充分光滑函数, u ( x ) 为待求函数。本文主要考察方程(1)的特殊情况,形如方程(2)、(3),对该类方程的皮卡尔迭代求解方法进行改进。

u ( x ) = λ a x k ( x , t ) u ( t ) d t + f ( x ) , x [ a , b ] , t [ a , b ] , (2)

u ( x ) = λ a b k ( x , t ) u m ( t ) d t + f ( x ) , x [ a , b ] , t [ a , b ] , m Z + , m 1. (3)

2.2. 解的存在唯一性

因为并不是所有方程都能精确求解,所以在研究特定方程之前,讨论方程解的存在唯一性十分重要,这是后续进行计算的基础。本节在巴拿赫空间下利用不动点定理,给出方程(1)解析解存在的唯一性适定条件。

F : C [ a , b ] C [ a , b ] , u C [ a , b ] , ξ ( t ) C [ a , b ] ,有

F ( u ( x ) ) = λ 0 x k ( x , t ) ψ ( t , u ( t ) ) d t + f ( x ) .

且满足如下条件

1) ψ ( t , u ) C 1 ( [ a , b ] × C [ a , b ] )

2) 0 q = | λ | 0 x | k ( x , t ) | | ψ u ( t , ξ ( t ) ) | d t < 1

定理3 若条件(1)、(2)成立,则方程(1)存在唯一解

证明 u 1 ( x ) , u 2 ( x ) C [ a , b ] ,有

F ( u 1 ( x ) ) F ( u 2 ( x ) ) = λ 0 x k ( x , t ) ( ψ ( t , u 1 ( t ) ) ψ ( t , u 2 ( t ) ) ) d t .

因为

ψ ( t , u 1 ( t ) ) ψ ( t , u 2 ( t ) ) = ψ u ( t , ξ ( t ) ) ( u 1 ( t ) u 2 ( t ) ) ,

则有

F u 1 F u 2 | λ | 0 x | k ( x , t ) | ψ u ( t , ξ ( t ) ) ( u 1 ( t ) u 2 ( t ) ) d t | λ | 0 x | k ( x , t ) ψ ( t , ξ ( t ) ) | d t u 1 u 2 q u 1 u 2 .

又因为 0 q 1 ,故 F : C [ a , b ] C [ a , b ] 是压缩映射,由定理1,定理2可得方程(1)解存在且唯一。

2.3. 皮卡尔迭代法求解积分方程

对于方程(1),皮卡尔迭代法迭代格式如下

u 0 ( x ) = f ( x )

u n + 1 ( x ) = f ( x ) + λ 0 x k ( x , t ) ψ ( t , u n ( t ) ) d t , n = 0 , 1 , 2 , .

u ( x ) = lim n u n ( x ) .

如下定理4给出了皮卡尔迭代法解的收敛性及误差分析。

定理4 设 ( X , ) 为巴拿赫空间,F为关于q的一个压缩映射,且q满足前述条件(2)则

(a) 方程 u = F u 有唯一精确解等价于F有唯一不动点 u X

(b) 对于任意初始值 u 0 X ,迭代逼近序列 u n + 1 = F u n , n N 是收敛于 u 的;

(c) n N ,使得皮卡尔迭代法的解有如下误差估计

u n + 1 u n q n u 1 u 0 , (4)

u n u q n 1 q u 1 u 0 . (5)

证明

(a) 结合定理2及定理3显然(a)成立。

(b) 由条件2

0 q = | λ | 0 x | K ( x , t ) | | ψ u ( t , ξ ( t ) ) | d t < 1 ,

则有

u n u = F u n 1 F u q u n 1 u q n u 0 u ,

故当 n

u n u 0 ,

(c) 由(b)得

u n + 1 u n = F u n F u n 1 q u n u n 1 , n = 1 , 2 , 3 , .

反复应用迭代表达式得(4)式

u n + 1 u n q n u 1 u 0 .

p N 可得

u n + p u n u n + p u n + p 1 + u n + p 1 u n + p 2 + + u n + 1 u n ( q n + p 1 + q n + p 2 + + q n ) u 1 u 0 q n 1 q u 1 u 0 .

p ,则 u n + p u ,由(b)则可得(5)式成立。

3. 改进的皮卡尔迭代法

李星 [17] 给出了第二类线性Fredholm积分方程的泛函修正平均法,其方法通过在皮卡尔迭代序列中添加修正项,来加速迭代过程。本文将第二类线性Fredholm积分方程的泛函修正平均法推广到第二类线性Volterra型积分方程中,改进并应用到一类特殊非线性积分方程,得到两类特定积分方程的一种改进皮卡尔迭代法,来优化皮卡尔迭代法迭代格式,加速迭代过程并提高解的精度。

3.1. 第二类线性积分方程的改进皮卡尔迭代法

讨论第二类一维线性积分方程,将文献 [17] 提出的Fredholm型积分方程泛函修正平均法推广到Volterra型积分方程(2)

u ( x ) = λ a x k ( x , t ) u ( t ) d t + f ( x ) , x [ a , b ] , t [ a , b ] ,

ξ ( a , x ] ,则

第二类Volterra型积分方程的改进皮卡尔迭代法即在皮卡尔迭代法的迭代格式中添加一个修正泛函 α n

α n = 1 ξ a a ξ δ n ( x ) d x ,

考虑泛函修正平均法有

u ( ξ ) = λ a ξ k ( ξ , t ) u ( t ) d t + f ( ξ ) , ξ ( a , x ] , t [ a , b ] ,

u n ( x ) = λ a x k ( x , t ) [ u n 1 ( t ) + α n ] d t + f ( x ) , x [ a , b ] , t [ a , b ] ,

δ n ( ξ ) = u n ( ξ ) u n 1 ( ξ ) , n = 1 , 2 , . (6)

C ( λ ) = ( ξ a ) λ a ξ a ξ k ( x , t ) d x d t , (7)

可得

α n = 1 ξ a a ξ δ n ( x ) d x = 1 ξ a a ξ [ u n ( x ) u n 1 ( x ) ] d x = 1 ξ a a ξ ( λ a ξ k ( x , t ) [ δ n 1 ( t ) α n 1 + α n ] ) d x = λ C ( λ ) a ξ a ξ k ( x , t ) [ δ n 1 ( t ) α n 1 ] d t d x . (8)

通常规定

α 0 = 0 , δ 0 ( x ) = u 0 ( x ) ,

u n ( ξ ) = f ( ξ ) + λ a ξ k ( ξ , t ) [ u n 1 ( t ) + α n ] d t .

ξ ( a , x ] 任意性,上式可得

u n ( x ) = f ( x ) + λ a x k ( x , t ) [ u n 1 ( t ) + α n ] d t . (9)

ξ = a ,则

u ( x ) = f ( 0 ) .

可知若 α n 0 ,则算法为皮卡尔迭代法,故皮卡尔迭代法为改进皮卡尔迭代法的特殊形式。

3.2. 形如(3)式型非线性积分方程的改进的皮卡尔迭代法

对于方程(3)的改进的皮卡尔迭代法通常可取方程自由项为0次近似解,在第一次迭代中令 K ( x , t ) = k ( x , t ) u 0 m 1 ( t ) ,则方程(3)可转化为方程(2)的一般形式,得到修改的第一次迭代方程。用3.1中提出的改进皮卡尔迭代法做第一次迭代,在后续迭代中用皮卡尔迭代法处理。可以发现其实这种修正的迭代方法是部分修正,但针对迭代收敛速度较慢的方程,此法行之有效。具体算法步骤如下

u ( x ) = λ a b k ( x , t ) u m ( t ) d t + f ( x ) , x [ a , b ] , t [ a , b ] , m Z + , m 1 ,

u 0 ( x ) = f ( x ) ,

修改的第一次迭代方程为

u ( x ) = λ a b k ( x , t ) u 0 m 1 ( t ) u ( t ) d t + f ( x ) , t [ a , b ] , m Z + , m 1 (10)

应用泛函修正平均法有

δ 1 ( x ) = u 1 ( x ) u 0 ( x ) , n = 1 , 2 , .

C 1 ( λ ) = ( b a ) λ a b a b k ( x , t ) u 0 m 1 ( t ) d x d t ,

α 1 = 1 b a a b δ 1 ( x ) d x = 1 b a a b [ u 1 ( x ) u 0 ( x ) ] d x = 1 b a a b ( λ a b K ( x , t ) [ δ 1 ( t ) α 0 + α 1 ] ) d x = λ C ( λ ) a b a b k ( x , t ) u 0 m 1 ( t ) [ δ 0 ( t ) α 0 ] d t d x .

u 1 ( x ) = f ( x ) + λ a b k ( x , t ) u 0 m 1 ( t ) [ u 0 ( t ) + α 1 ] d t .

这就得到了第一次迭代解,后续迭代解采用皮卡尔迭代法处理

u n + 1 ( x ) = f ( x ) + λ 0 b k ( x , t ) u n m ( x ) d t , ( n 1 ) .

4. 数值模拟

例1 [17] 求解如下第二类Volerra积分方程

u ( x ) = 0 x ( x t ) u ( t ) d t + f ( x ) ,

其中 f ( x ) = 1 + x ,解析解 u ( x ) = e x

ξ = 0 ,由3.1节方法

u ( 0 ) = f ( 0 ) ,

且得到节点0处的精确值。

ξ ( 0 , x ] ,有如下等式成立

u ( ξ ) = 0 ξ ( ξ t ) u ( t ) d t + f ( ξ ) , ξ ( 0 , x ] ,

则迭代格式为

u n ( ξ ) = f ( ξ ) + a ξ k ( ξ , t ) [ u n 1 ( t ) + α n ] d t .

f ( x ) 为0次近似解

u 0 ( x ) = 1 + x , C ( λ ) = ξ 0 ξ 0 ξ ( x t ) d x d t = ξ ,

α 1 = 1 ξ 0 ξ 0 ξ ( x t ) ( 1 + t ) d x d t = 1 12 ξ 3 ,

u 1 ( ξ ) = 1 + ξ + 0 ξ ( ξ t ) ( 1 + t 1 12 ξ 3 ) d t = 1 + ξ + ξ 2 2 + ξ 3 3 ! ξ 5 4 ! .

ξ 的任意性可知 u 1 ( x ) = 1 + x + x 2 2 + x 3 3 ! x 5 4 ! ,可以发现前4项与解析解泰勒展开一致,可见逼近效果较好。

例2 求解如下第二类Volterra积分方程

u ( x ) = λ 0 x x ( t + 10 ) u ( t ) d t + f ( x ) , (11)

x = 1 ,取 λ = 1 10 , f ( x ) = 22 75 x ,可得对应方程解析解 u ( x ) = x

f ( x ) 为零次迭代解,有

u 0 ( x ) = 22 75 x ,

C ( λ ) = 1 1 10 0 1 0 1 x ( t + 10 ) d x d t = 3 10 ,

依次代入(10)式可得

α 1 = 10 3 × 1 10 0 1 0 1 22 75 x ( t + 10 ) t d x d t = 4664 10125 ,

并将之代入(11)式可得方程第一次近似解

u 1 ( x ) = 22 75 x + 1 10 0 1 ( 22 75 t + 4664 10125 ) x ( t + 10 ) d t 0.9843 x .

于是

δ 1 ( x ) = u 1 ( x ) u 0 ( x ) 6910 100000 x ,

代入(10)式可得第二次修正值

α 2 = 10 3 × 1 10 0 1 0 1 ( 6910 10000 t 4664 10125 ) x ( t + 10 ) d x d t 0.0103 ,

近一步可得第二次近似解

u 2 ( x ) = 22 75 x + 1 10 0 1 ( 9843 10000 t 103 10000 ) x ( t + 10 ) d t 0.9997 x .

重复上述过程可得

δ 2 ( x ) = 154 1000 x , α 3 = 15037 100000 ,

从而第三次迭代近似解为

u 3 ( x ) = 22 75 x + 1 10 0 1 ( 9997 t 10000 + 15037 100000 ) x ( t + 10 ) d t 0.99995 x .

多次迭代下皮卡尔迭代法与改进的皮卡尔迭代法所得近似解与解析解的比较见表1

表1中数据可以看出使用改进的皮卡尔迭代法,第1次迭代解比皮卡尔迭代法的第10次迭代解还精确。第3次迭代解与皮卡尔迭代法的第30次迭代解的误差在同一数量级,由此可见修正后的皮卡尔迭代法收敛速度较皮卡尔迭代法的收敛速度要快得多,可以大幅减少迭代工作量。

Table 1. Comparison of approximate and analytical solutions of equation (11) under Picard iterative method and improved Picard iterative method

表1. 方程(11)在皮卡尔迭代法与改进的皮卡尔迭代法下所得近似解与解析解的比较

表1中相对误差按公式(12)计算,(相对误差节点计算为[0, 1]取含端点等距分布的11个节点)。

表1中相对误差按公式 [19] (12)计算

R E = j = 0 10 | u ( x j ) u n ( x j ) | 2 j = 0 10 | u ( x j ) | 2 . (12)

例3 求解如下第二类Fredholm积分方程

u ( x ) = λ 0 1 x t u m ( t ) d t + f ( x ) .

考虑若 m = 2 λ = 1 f ( x ) = 1 5 x 12 ,得到方程 [17] (13)

u ( x ) = 0 1 x t u 2 ( t ) d t + f ( x ) , (13)

其解析解 u ( x ) = 1 + x 3

应用3.2节中方法,选择初始迭代解

u 0 ( x ) = 1 ,

利用皮卡尔迭代法可以得到如下解序列

u 1 ( x ) = 1 + 0.083 x , u 2 ( x ) = 1 + 0.140 x , u 3 ( x ) = 1 + 0.182 x , , u 7 ( x ) = 1 + 0.269 x , .

利用改进的皮卡尔迭代法,应用(10)得

u ( x ) = 0 1 x t u ( t ) d t + 1 5 12 x .

λ = 1 ,可得

C ( λ ) = 3 4 ,

α 1 = 4 3 0 1 0 1 x t d x d t = 1 3 ,

故得第一次近似解

u 1 ( x ) = 1 5 12 x + 0 1 x t ( 1 + 1 3 ) d t = 1 + x 4 .

多次迭代下皮卡尔迭代法与改进的皮卡尔迭代法所得近似解与解析解的比较见表2

Table 2. Comparison of approximate solutions and analytical solutions obtained by taking different initial iterative solutions between Picard iterative method and improved Picard iterative method for equation (13)

表2. 方程(13)皮卡尔迭代法与改进的皮卡尔迭代法取不同初始迭代解所得近似解与解析解的比较

表2中相对误差按公式(12)计算,(相对误差节点计算为[0, 1]取含端点等距分布的11个节点)。

若考虑 m = 2 λ = 1 2 f ( x ) = 7 8 x ,得到方程(14)

u ( x ) = 1 2 0 1 x t u 2 ( t ) d t + f ( x ) , (14)

解析解 u ( x ) = x

两次迭代下皮卡尔迭代法与改进的皮卡尔迭代法所得近似解与解析解的比较见表3

Table 3. Comparison of approximate solution and exact solution of equation (14) under Picard iterative method and improved Picard iterative method

表3. 方程(14)在皮卡尔迭代法与改进的皮卡尔迭代法下所得近似解与精确解的比较

表3中相对误差按公式(12)计算,(相对误差节点计算为[0, 1]取含端点等距分布的11个节点)。

表2对比方程(13)的求解结果可以发现改进的皮卡尔迭代法第一次迭代结果与皮卡尔迭代法第7次迭代结果精度相似,改进的方法加速迭代的效果明显。此外也可以发现合理选择初始迭代解也可以在相同的迭代次数下获得更精确的解。由表3对比方程(14)的求解结果可以发现改进的皮卡尔迭代法在相同的迭代次数下其结果确实比皮卡尔迭代法的迭代结果更逼近解析解,但是效果不够明显。结合表2表3数据结果可以确定改进的皮卡尔迭代法对于方程(3)这类特殊形式的非线性Fredholm积分方程是可以加速迭代的,但是如果零次迭代解的误差不是太大的话,改进的皮卡尔迭代法的优化效果稍弱。

5. 结束语

本文在文献 [17] 提出的第二类线性Fredholm积分方程泛函修正平均法的基础上,首先将其推广到第二类线性Volterra积分方程,并加以改进应用到了一类特殊非线性方程的求解中,得到了两类特定积分方程的一种改进皮卡尔迭代法,来加速迭代并提高解的精度。通过3个数值算例4个方程的模拟结果与皮卡尔迭代法的比较,展示了改进皮卡尔迭代法的优化作用,说明了文中方法的可行性。部分积分方程优化效果不够明显的原因有待后续研究。

基金项目

国家自然科学青年基金项目:(11801456)。

博士启动基金项目:(17E083)。

NOTES

*通讯作者。

文章引用: 陈国林 , 陈 冲 (2021) 基于泛函修正平均法的第二类积分方程的改进迭代法。 理论数学, 11, 1728-1738. doi: 10.12677/PM.2021.1110194

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