测度原理下自由粒子的路径积分研究
Path Integral Study of Free Particles under the Principle of Measurement

作者: 罗嘉铭 :河南科技大学数学与统计学院,河南 洛阳;

关键词: 粒子测度积分Particle Measure Integral

摘要:
本文研究的是量子力学中关于自由粒子运动的路径积分问题,通过将测度理论中的方法引入对自由粒子运动路径的描述,从而构建不同测度意义下路径积分量之间的关系。

Abstract: In this paper, the path integral of free particle motion in quantum mechanics is studied. By introducing the method of measure theory into the description of free particle motion path, therefore, the relationship between the path product components in different measurement sense is constructed.

1. 引言

物理为数学的研究提供背景,数学为物理提供研究工具。本文正是基于这样的基本思想,通过建立测度论与路径积分的联系,得到路径积分的物理量间的新的关系。

2. 考虑有限的平面路径积分情形

考虑x-t的平面路径积分图(如下),将其看作为平面矩形图( [1] )。于是坐标 ( a , b ) 满足:

I区域: { t 1 a t 2 t 1 a < t 2 t 1 < a t 2 t 1 < a < t 2 { x 1 b x 2 x 1 b < x 2 x 1 < b x 2 x 1 < b < x 2

II区域: { t 2 a t 3 t 2 a < t 3 t 2 < a t 3 t 2 < a < t 3 { x 2 b x 3 x 2 b < x 3 x 2 < b x 3 x 2 < b < x 3

Figure 1. Simple plane path integral diagram

图1. 简单平面路径积分图

对于图1,由于区域 I + I I 是矩形平面初等集,其测度为:

m ( I ) = ( x 2 x 1 ) ( t 2 t 1 )

m ( I I ) = ( x 3 x 2 ) ( t 3 t 2 )

这里m是满足 m : R × R R 的Lebesgue测度,所以该平面是坐标 ( a , b ) ϑ m 的集族 ϑ m 。由于该平面内的点属于 ϑ m ,并且满足条件:

1) I + I I = I I I ,且 I I I =

2) I + I I 的测度为 m ( I + I I ) = ( x 3 x 1 ) ( t 3 t 1 ) = m ( I ) + m ( I I ) = ( x 2 x 1 ) ( t 2 t 1 ) + ( x 3 x 2 ) ( t 3 t 2 )

因此该平面矩形的测度m满足 σ 可加性。

现在考虑一种简单的自由粒子对 U ( t ) 的近似情况:

由路径积分( [2] )中的

U ( t ) U ( x , t ; x , t ) = A allpath exp { i s [ x ( t ) ] / }

计算

U ( x , t ; x , t ) = A exp { i s c l / }

这里假设路径为贯穿两个区域的一条直线,所以有

x c l ( t 3 ) x 2 t 3 t 2 = x 1 x 2 t 1 t 2

由前面的测度理论可得

m ( I ) = ( x 1 x 2 ) ( t 1 t 2 )

m ( I I ) = ( x c l ( t 3 ) x 2 ) ( t 3 t 2 )

m ( I ) ( t 1 t 2 ) 2 = m ( I I ) ( t 3 t 2 ) 2

( t 3 t 2 ) 2 m ( I ) = ( t 1 t 2 ) 2 m ( I I )

速度为

v = x 1 x 2 t 1 t 2 = m ( I ) ( t 1 t 2 ) 2 = m ( I I ) ( t 3 t 2 ) 2

S c l = t 2 t 1 L d t 3 = 1 2 t 2 t 1 m v 2 d t 3 = m t 3 m ( I ) 2 2 ( t 1 t 2 ) 4 | t 2 t 1 = 1 2 m m ( I ) 2 ( t 1 t 2 ) 3

其中 L = 1 2 m v 2 。将 x , t 替换为 x 2 , t 2 x , t 替换为 x 1 , t 1 ,所以

U ( x 1 , t 1 ; x 2 , t 2 ) = A exp [ i m m ( I ) 2 2 ( t 1 t 2 ) 3 / ]

根据delta函数的性质,可得

U ( x 1 , t 1 ; x 2 , 0 ) = U ( x 1 , t 1 ; x 2 ) = ( m 2 π i t ) 1 / 2 exp [ i m m ( I ) 2 2 t 1 ] .

3. 趋近无穷时的平面路径积分情形

下面研究自由粒子的路径趋近 时的情形(如下图2):

根据前面的已知条件, ϑ m 是初等集集族,测度m具有 σ 可加性。考虑图2的情形,不妨令路径间的间距相等,得到的路径积分( [3]、 [4] )为

Figure 2. Multi-planar path integral diagram

图2. 多重平面路径积分图

U ( x N , t N ; x 0 , t 0 ) = x 0 x N exp { i s [ x ( t ) ] / } D [ x ( t ) ]

这里 S = t 0 t N 1 2 m v 2 d t v = x 1 x 0 t 1 t 0 + x 2 x 1 t 2 t 1 + + x N x N 1 t N t N 1 = i = 0 N 1 x i + 1 x i t N t 0 N 。令 t N = t 0 + N θ ,因为

m ( S ) = i = 0 N 1 ( x i + 1 x i ) ( t N t 0 ) N

v = m ( S ) θ 2 代入,就有

S = 1 2 m m ( S ) 2 θ 4 t | t 0 t N S = m m ( S ) 2 N 2 θ 3

代入,得到

U ( x N , t N ; x 0 , t 0 ) = x 0 x N exp { i m m ( S ) 2 N 2 θ 3 } D [ x ( t ) ]

可以写成

U ( x N , t N ; x 0 , t 0 ) = lim N θ 0 A exp [ i m ( S ) 2 N m 2 θ 3 ] × d x 1 d x N 1

若只考虑坐标点之间的关系,可得

S = i = 0 N 1 m 2 ( x i + 1 x i θ ) 2 θ

U ( x N , t N ; x 0 , t 0 ) = lim N θ 0 A ( N 1 ) exp [ i m 2 i = 0 N 1 ( x i + 1 x i ) 2 θ ] × d x 1 d x N 1

U = lim N θ 0 A ( N 1 ) exp { i i = 0 N 1 [ ( m 2 θ ) 1 / 2 x i + 1 ( m 2 θ ) 1 / 2 x i ] } (1)

其中令 y i = ( m 2 θ ) 1 / 2 x i

U = lim N A ( N 1 ) exp [ i i = 0 N 1 ( y i + 1 y i ) 2 ] d y 1 d y N 1 (2)

将(1)式与(2)式进行比较,得到

A = A ( 2 θ m ) ( N 1 ) / 2

t = 2 时,得到

exp { i [ ( y 2 y 1 ) 2 + ( y 1 y 0 ) 2 ] } d y 1 = ( i π 2 ) 1 / 2 e ( y 2 y 0 ) 2 / 2 i

t = 3 时,得到

( i π 2 ) 1 / 2 e ( y 3 y 2 ) 2 / i e ( y 2 y 0 ) 2 / 2 i d y 2 = i π 3 e ( y 3 y 0 ) 2 / 3 i

t = N 时,得到

( i π 2 ) ( N 2 ) / 2 e ( y N y N 1 ) 2 / i e ( y N 1 y 0 ) 2 / ( N 1 ) i d y N 1 = ( i π ) ( N 1 ) / 2 N 1 / 2 e ( y N y 0 ) 2 / N i

所以由

{ ( i π ) ( N 1 ) / 2 N 1 / 2 e ( y N y 0 ) 2 / N i y N = ( m 2 θ ) 1 / 2 x N , y 0 = ( m 2 θ ) 1 / 2 x 0

( i π ) ( N 1 ) / 2 N 1 / 2 e [ ( m 2 θ ) 1 / 2 x N ( m 2 θ ) 1 / 2 x 0 ] / N i = ( i π ) ( N 1 ) / 2 N 1 / 2 e m ( x N x 0 ) 2 / 2 θ N i

所以

U = A ( 2 π θ i m ) N / 2 ( m 2 π θ i N ) 1 / 2 exp [ i m ( x N x 0 ) 2 2 N θ ]

前面已令 N θ = t N t 0 ,所以知 A = ( 2 π θ i m ) N / 2 ,所以

U ( x N , t N ; x 0 , t 0 ) = lim N θ 0 ( 2 π θ i m ) N / 2 ( N 1 ) exp [ i m m ( s ) 2 N 2 θ 3 ] × d x 1 d x N 1

其中 S = S 1 S 2 S N

取矩形 A S ,已知A的外测度是 μ ( A ) = inf A S N m ( S N ) = inf A S m ( S ) 。则任何与A相邻的矩形B,使得 A B 图3所示的几种情形:

Figure 3. Several adjacent rectangular graphs

图3. 几种相邻矩形图

所以 μ ( A B ) = μ ( A B ( t i , x ( t i ) ) ) = inf A B ( t i , x ( t i ) ) A B m ( A B ) < m ( A B ) ,这里

μ ( A B ) = μ ( A B { ( x , y ) | x = t i , x ( t i 1 ) y x ( t i ) } )

因为

m ( A B ) = m ( A ) + m ( B ) = ( x ( t i ) x ( t i p ) ) ( t i t i p ) p + ( x ( t i + q ) x ( t i ) ) ( t i + q t i ) q < ε

所以 μ ( A B ) < ε ,同时 μ ( A B ) μ ( A ) + μ ( B ) = 2 inf A , B S m ( S ) < ε 。所以有路径积分

U ( x N , t N ; x 0 , t 0 ) = lim N θ 0 ( N 1 ) ( 2 π θ i m ) N / 2 exp [ i m μ ( A B ) 2 N 2 θ 3 ] × d x 1 d x N 1

U ( x N , t N ; x 0 , t 0 ) lim N θ 0 ( 2 π θ i m ) N / 2 ( N 1 ) exp [ i m ( μ ( A ) 2 + 2 μ ( A ) μ ( B ) + μ ( B ) 2 ) N 2 θ 3 ] × d x 1 d x N 1 lim N θ 0 ( 2 π θ i m ) N / 2 ( N 1 ) exp [ i m ( 2 μ ( A ) 2 + 2 μ ( B ) 2 ) N 2 θ 3 ] × d x 1 d x N 1 = lim N θ 0 ( 2 π θ i m ) N / 2 ( N 1 ) exp [ 2 i m ( inf A , B S m ( S ) ) 2 N θ 3 ] × d x 1 d x N 1 < lim N θ 0 ( 2 π θ i m ) N / 2 ( N 1 ) exp [ i m N ε 2 2 θ 3 ] × d x 1 d x N 1

U L ( x N , t N ; x 0 , t 0 ) = lim N θ 0 ( 2 π θ i m ) N / 2 ( N 1 ) exp [ i m μ ( A ) 2 N 2 θ 3 ] × d x 1 d x N 1

为Lebesgue意义( [1]、 [5] )下的路径积分。再令

U ε ( x N , t N ; x 0 , t 0 ) = lim N θ 0 ( 2 π θ i m ) N / 2 ( N 1 ) exp [ i m ε 2 N 2 θ 3 ] × d x 1 d x N 1

U A ( x N , t N ; x 0 , t 0 ) = lim N θ 0 ( 2 π θ i m ) N / 4 ( N 1 ) exp [ i m μ ( A ) 2 N 4 θ 3 ] × d x 1 d x N 1

U B ( x N , t N ; x 0 , t 0 ) = lim N θ 0 ( 2 π θ i m ) N / 4 ( N 1 ) exp [ i m μ ( B ) 2 N 4 θ 3 ] × d x 1 d x N 1

就有 U A 2 U B 2 < U ε

考虑矩形 A , B , C 形成具有m测度的环 m ,且 C B A ,可知

A C = S 1 S 2 ( t a , x ( t a ) ) ( t a + d , x ( t a + d ) ) A C S 1 S 2

所以

m ( A C ) i = 1 , 2 m ( S i ) = p = 0 j 1 ( x ( t a p ) x ( t a p 1 ) ) ( t a t a j ) j + q = 0 f d 1 ( x ( t a + d + q + 1 ) x ( t a + d + q ) ) ( t a + d + q + 1 t a + d + q ) f d

由于

A C = { S 1 S 2 ( t a , x ( t a ) ) ( t a + d , x ( t a + d ) ) S 1 S 2 { ( x , y ) | x = t a , x ( t a 1 ) y x ( t a ) } { ( x , y ) | x = t a + d , x ( t a + d ) y x ( t a + d + 1 ) } ,

在此条件下令

ξ = p = 0 j 1 ( x ( t a p ) x ( t a p 1 ) ) ( t a t a j ) j + q = 0 f d 1 ( x ( t a + d + q + 1 ) x ( t a + d + q ) ) ( t a + d + q + 1 t a + d + q ) f d

所以 m ( A C ) < ξ B 是Jordan集。得到Jordan意义( [1]、 [5] )下的路径积分

U J ( x N , t N ; x 0 , t 0 ) = lim N θ 0 ( 2 π θ i m ) N / 2 ( N 1 ) exp [ i m μ ( B ) 2 N 2 θ 3 ] × d x 1 d x N 1 .

下面考虑由图4给出的两种情形:

测度m给定在X里的集半环 ϑ m P = P 1 P 2 P X ,在图(I)情形下, μ ( P ) = μ ( P P 1 ) + μ ( P P 1 ) ,由初等集的性质就得到

m ( P ) = m ( P P 1 ) + m ( P P 1 ) m ( P 1 ) + m ( P 2 )

因为

Figure 4. Arbitrary path integral diagram

图4. 任意路径积分图

m ( P 1 ) = k = 1 a ( t i + k t i + k 1 ) ( x ( t i + k ) x ( t i + k 1 ) ) a

m ( P 2 ) = k = 1 b ( t i k + 1 t i k ) ( x ( t i k + 1 ) x ( t i k ) ) b

所以就有

m ( P ) k = 1 a , b [ ( t i + k t i + k 1 ) ( x ( t i + k ) x ( t i + k 1 ) ) a + ( t i k + 1 t i k ) ( x ( t i k + 1 ) x ( t i k ) ) b ]

所以在P区域的自由粒子的路径积分为:

U P = lim N θ 0 ( 2 π θ i m ) N / 2 ( N 1 ) exp [ i m m ( P ) 2 N 2 θ 3 ] × d x 1 d x N 1

并且满足

U P lim N θ 0 ( 2 π θ i m ) N / 2 ( N 1 ) exp [ i m ( m ( P 1 ) + m ( P 2 ) ) 2 N 2 θ 3 ] × d x 1 d x N 1 (3)

( 3 ) lim N θ 0 ( 2 π θ i m ) N / 2 ( N 1 ) exp [ 2 i m m ( P 1 ) m ( P 2 ) N θ 3 ] × d x 1 d x N 1

当“=”成立时, m ( P 2 ) = m ( P 1 ) = 1 2 m ( P ) ,所以在此条件下有Caratheodory意义( [1]、 [5] )下可测的路径积分,并且 A 3 U P = U P 1 2 U P 2 2

在图(II)的情形下:

P = P 1 P 2 P 3 , P X , μ ( P ) = μ ( P P 1 ) + μ ( P P 1 )

m ( P ) = m ( P P 1 ) + m ( P P 1 ) m ( P 1 ) + m ( P 2 ) + m ( P 3 )

因为

m ( P 1 ) = s = 1 L ( t i + s t i + s 1 ) ( x ( t i + s ) x ( t i + s 1 ) ) L

m ( P 2 ) = s = 1 M L ( t i + L + s t i + L + s 1 ) ( x ( t i + L + s ) x ( t i + L + s 1 ) ) M L

m ( P 3 ) = s = 1 K ( t i s + 1 t i s ) ( x ( t i s + 1 ) x ( t i s ) ) K

所以

m ( P ) s = 1 L ( t i + s t i + s 1 ) ( x ( t i + s ) x ( t i + s 1 ) ) L + s = 1 M L ( t i + L + s t i + L + s 1 ) ( x ( t i + L + s ) x ( t i + L + s 1 ) ) M L + s = 1 K ( t i s + 1 t i s ) ( x ( t i s + 1 ) x ( t i s ) ) K

U P = lim N θ 0 ( 2 π θ i m ) N / 2 ( N 1 ) exp [ i m m ( P ) 2 N 2 θ 3 ] × d x 1 d x N 1 lim N θ 0 ( 2 π θ i m ) N / 2 ( N 1 ) exp [ i m ( m ( P 1 ) + m ( P 2 ) + m ( P 3 ) ) 2 N 2 θ 3 ] × d x 1 d x N 1 (4)

因为

( 4 ) lim N θ 0 ( 2 π θ i m ) N / 2 ( N 1 ) exp [ 4 i m m ( P 1 ) m ( P 2 ) m ( P 3 ) N θ 3 ] × d x 1 d x N 1 = lim N θ 0 ( 2 π θ i m ) N / 2 ( N 1 ) exp [ 2 i m m ( P 1 ) 2 N θ 3 ] × d x 1 d x N 1

当且仅当 m ( P 1 ) = 2 m ( P 2 ) m ( P 3 ) ,即 m ( P 2 ) = m ( P 3 ) 时,“=”成立。所以就有

{ m ( P 1 ) = 2 m ( P 2 ) = 2 m ( P 3 ) m ( P ) = 2 m ( P 1 )

在此条件下有Caratheodory意义( [1]、 [5] )下可测的路径积分,且 A 7 U P = U P 1 3 U P 2 2 U P 3 2

4. 总结

通过以上的论述和计算得到了在Hilbert紧空间变换条件下的两个从不同方向趋近的能级表达式,所得到的两个能级表达式体现为在谐波振子状态下的距离不对称性。然而相关的深入研究以及应用问题还需要进一步地加深探索。

文章引用: 罗嘉铭 (2021) 测度原理下自由粒子的路径积分研究。 理论数学, 11, 1702-1711. doi: 10.12677/PM.2021.1110191

参考文献

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