点态化完备代数正规类中的小理想
The Small Ideals in Normal Classes of Pointwise Complete Alagebra

作者: 杨宗文 , 娄本功 :云南大学数学系,云南 昆明;

关键词: 点态化完备代数正规类小理想小理想遗传根Normal Classes of Pointwise Complete Algebras Small Ideals Small Ideals Hereditary Radicals

摘要:
本文定义了点态化完备代数正规类中的小理想及小理想遗传根,讨论了小理想及根R和R-半单类SR与小理想相关的2个条件(*)与(**)的一些性质,进一步讨论了根R是一个小理想遗传根的2个条件。

Abstract: The small ideals and small ideals hereditary radicals in normal classes of pointwise complete algebras are defined, some properties of small ideals and two conditions (*) and (**) related to small ideals for radicals R and R-semisimple classes SR are discussed, and further two conditions that radical R is a small ideals hereditary radical are given.

1. 引言

环及其它代数系统根理论的统一研究促使一般代数正规类根理论的建立 [1] - [15],为了进一步统一的研究一般代数正规类中根性质,文献 [16] - [23] 分别引入了可积代数正规类、完备代数正规类,对特殊根等进行了研究,并对一类特殊的半环——大半环(可做单侧减法的半环)建立了相应的根理论;文献 [24] [25] [26] [27] 对完备代数正规类进行了点态化,研究了点态化完备代数正规类中的亚直既约代数类确定的上根——反单根、遗传幂等根、补根、对偶根、子幂等根、诣零根、λ-根、正则根、κ-根和β-根的结构性质,文献 [28] 使用预根概念给出了根类的一个映射刻画,文献 [29] 定义了点态化完备代数正规类中的低幂等根,证明了Boolean根 β 、正则根 ν 、遗传幂等根 χ 、λ-根 λ 、幂等代数根 ι 都是低幂等根,并且这5个低幂等根满足 β ν χ λ ι

本文在文献 [24] - [29] 建立的点态化完备代数正规类基础上,定义了点态化完备代数正规类中的小理想及小理想遗传根,讨论了小理想及根R和SR与小理想相关的2个条件(*)与(**)的一些性质,进一步讨论了根R是一个小理想遗传根的2个条件。

2. 预备知识及基本引理

点态化完备代数正规类的相关概念及性质参见文献 [24] - [29],为了建立每个代数的子代数乘积与Sa中点乘积之间的联系,本文使用文献 [26] [27] 中强化了的点乘积公理。

首先引入一些基本概念及引理。

引理2.1 [15]: A 是一个完备代数正规类, a A i a k i k ¯ 是a的包含k的最小理想。则 k ¯ = k a k k a a k a ,且 k ¯ 3 k

定义2.2 [25]: a A ,如果 i a ,都有 i 2 = i ,则称代数a是遗传幂等的。

引理2.3: A 是一个完备代数正规类,a是 A 中遗传幂等代数,则:

(1) j i a ,则 j a

(2) i a ,则i是遗传幂等代数。

证明:(1) j i a ,设 j ¯ 是a的包含j的最小理想,则由引理2.1有 j ¯ 3 j 。a是遗传幂等代数, j ¯ a ,从而 j ¯ 2 = j ¯ j ¯ 3 = j ¯ 2 j ¯ = j ¯ j ¯ = j ¯ ,故 j = j ¯ a ,则i是遗传幂等代数;

(2) i a j i ,由(1)都有 j a ,从而 j 2 = j ,即i是遗传幂等代数。证毕。

3. 点态化完备代数正规类中的小理想

本节引入点态化完备代数正规类中的小理想概念,讨论点态化完备代数正规类中的小理想一些相关性质。

定义3.1: A 是一个代数类。

(1) a A i a ,如果 j a ,由 i j = a ,则必有 j = a ,则称i是代数a的小理想,记为 i s a

(2) a A ,存在 b A ,使得 a s b ,则称a是一个小代数;

(3) R是一个根, a A 是R-根代数, i s a ,都有i是R-根代数,则称R是一个小理想遗传根。

例3.2:(1) A 是一个代数类,a是任意代数,则0都是a的小理想,称0是a的平凡小理想;

(2) A 是一个代数类,a是非0代数,则a是a的理想,但a不是a的小理想,从而小理想与理想是不同的概念;

(3) A 是一个代数类, a 0 是有心h的亚直既约代数, h a ,则h是a的小理想。

小理想有下面的性质:

引理3.3: A 是一个代数类,a是任意代数, i s a ,则 j a ,都有 ( i j ) / j s a / j

证明:(1) 设 j < k a k / j a / j ,则 ( ( i j ) / j ) ( k / j ) = ( i j k ) / j = a / j ,从而 i j k = a 。由 i s a j k = a ,所以 k = j k = a ,因此 k / j = a / j ,即 ( i j ) / j s a / j 。证毕。

引理3.4: A 是一个代数类,a是任意代数, i s a m是a的极大理想,则 i m

证明:如果 i m ,则 m i m a ,且 m i m ,由于m是a的极大理想,因此 i m = a 。由 i s a m = a ,与m是a的极大理想矛盾,所以 i m 。证毕。

定理3.5: A 是一个代数类,a是一个代数, i a i a ,都存在a的极大理想m,使得 i m 。则 i a i s a i { m | m a }

证明:“ i s a a 的极大理想m,由引理3.4知 i m ,从而 i { m | m a }

i a i { m | m a } 。如果i不是a的小理想,则存在 j a j a ,使得 i j = a 。由定理3.5条件知存在a的极大理想m,使得 j m ,从而 i m = a 。又因为 i m ,因此 i m = m ,故 m = a ,与m是a的极大理想矛盾,所以i是a的小理想。证毕。

定理3.6: A 是一个代数类,X A 中的同态闭代数类, a A ,a的所有非0同态像都不在X中。如果 i a i X ,则 i s a

证明:设 j a i j = a ,由X同态闭及 i X a / j = ( i j ) / j i / ( i j ) X ,又由a的所有非0同态像都不在X中,则得 a / j = 0 ,从而 j = a ,故 i s a 。证毕。

推论3.7: A 是一个代数类, a A 是幂等代数。如果 i a 是幂0理想,则 i s a

证明:取X为幂0代数类,则X A 中的同态闭的代数类;a是幂等代数,则a的所有非0同态像都是幂等代数,都不在X中,由定理3.6即得 i s a 。证毕。

A 是一个代数类,R为 A 中的一个根类,SR是R-半单类。下面是根R与SR与小理想相关的2个条件:

(*) a S R i s a ,都有 a / i S R

(**) a A i s a a / i R a R

下面首先讨论根R的条件(*)与(**)的性质。

引理3.8: A 是一个代数类,R为 A 中的一个根类,SR是R-半单类。则SR满足条件(*) a A i s a R ( a / i ) = ( R ( a ) i ) / i

证明:“ ”SR满足条件(*), a A i s a a / i R ,则 ( i R ( a ) ) / R ( a ) s a / R ( a ) a / R ( a ) S R ,有 a / i ( i R ( a ) ) / i a i R ( a ) a / R ( a ) ( i R ( a ) ) / R ( a ) S R ,所以 R ( a / i ) ( i R ( a ) ) / i 。又 ( i R ( a ) ) / i R ( a ) / ( R ( a ) i ) R ,从而 ( i R ( a ) ) / i R ( a / i ) ,故 R ( a / i ) = ( i R ( a ) ) / i

a S R i s a ,都有 R ( a / i ) = ( i R ( a ) ) / i R ( a ) / ( i R ( a ) ) = 0 ,即 a / i S R 。证毕。

引理3.9: A 是一个代数类,R为 A 中的一个根类,SR是R-半单类。SR满足条件(*),则R满足条件(**)。

证明: a A i s a a / i R ,则 a / i = ( i R ( a ) ) / i ,所以 i R ( a ) = a ,从而 R ( a ) = a ,即 a R ,R满足条件(**)。证毕。

定理3.10: A 是一个代数类,R为 A 中的一个满足条件(**)的根类, a A 是心为h(a)的R-半单亚直既约代数。则 a / h ( a ) S R

证明:设 R ( a / h ( a ) ) = b / h ( a ) b a ,如果 R ( a / h ( a ) ) 0 ,则b也是心为h(a)的亚直既约代数,故 h ( a ) s b b / h ( a ) = R ( a / h ( a ) ) R ,由条件(**)有 b R ,与a是R-半单代数矛盾,所以 R ( a / h ( a ) ) = 0 。证毕。

定理3.11: A 是一个代数类,R为 A 中的一个满足条件(**)的根类, a A 是遗传幂等的R-半单代数。则 i a a / i S R

证明:对 i a ,设 R ( a / i ) = b / i b a ,令 M i = { j b | i j = b } 。设 { j λ | λ Λ } M i 中一个降链, c = { j λ | λ Λ } ,则 i c = i ( λ Λ j λ ) = λ Λ { i j λ } = λ Λ b = b ,由Zorn引理知 M i 中有极小元k,从而 b / i = ( i k ) / i k / ( k i ) 。设 l k k = ( k i ) l ,则 b = i k = i ( ( k i ) l ) = i l 。由 l k b a 及引理2.3知 l a ;由k在 M i 中的极小性得 l = k ,故 k i s k k / ( k i ) b / i R ,由R满足条件(**)有 k R 。又 k a a S R ,因此 k = 0 ,从而 b / i k / ( k i ) = 0 ,即 a / i S R 。证毕。

引理3.12: A 是一个代数类,R是一个根,则:R是一个小理想遗传根 代数a, i s a ,都有 R ( i ) = i R ( a )

证明:“ ”R是一个小理想遗传根, 代数a, i s a ,有 R ( i ) a ,从而 R ( i ) R ( a ) ,故 R ( i ) i R ( a ) ;又因为 i R ( a ) R ( a ) ,故 R ( i R ( a ) ) = i R ( a ) i ,因此 i R ( a ) R ( i ) 。所以 R ( i ) = i R ( a )

代数a, R ( a ) = a i s a ,则 R ( i ) = i R ( a ) = i a = i ,即i是a的R代数,从而R是一个小理想遗传根。证毕。

定理3.13: A 是一个代数类,R为 A 中的一个根类,SR是R-半单类。如果SR满足:

(***) a A ,存在 i s a 0 i S R ,则有 a S R

则R是一个小理想遗传根。

证明: a R i s a ,如果 R ( i ) i (从而 i a ),则 R ( i ) a ,考虑 a / R ( i ) ,由引理3.3有 i / R ( i ) = ( i R ( i ) ) / R ( i ) s a / R ( i ) 0 i / R ( i ) S R ,由条件(***)知 a / R ( i ) S R ,故 R ( a ) R ( i ) ,所以 R ( i ) = R ( a ) = a ,因此 i = a ,与 i a 矛盾,所以 R ( i ) = i ,即 i R 。因此R是一个小理想遗传根。证毕。

4. 小结

本文定义了点态化完备代数正规类中的小理想及小理想遗传根,讨论了小理想及根R和R-半单类SR与小理想相关的2个条件(*)与(**)的一些性质,进一步讨论了根R是一个小理想遗传根的2个条件。

基金项目

国家自然科学基金(11861076);云南省自然科学基金(2019FB139)。

文章引用: 杨宗文 , 娄本功 (2021) 点态化完备代数正规类中的小理想。 理论数学, 11, 1691-1695. doi: 10.12677/PM.2021.1110189

参考文献

[1] Száse, F.A. (1981) Radicals of Rings. John Wiley & Sons, New York.

[2] Gardner, B.J. and Wiegandt, R. (2004) Radical Theory of Rings. Marcel Dekker, Inc., New York and Basel.
http://ecite.utas.edu.au/27037

[3] Beidar, K.I., Fong, Y. and Ke, W.-F. (1998) On Complemented Radicals. Journal of Algebra, 201, 328-356.
https://doi.org/10.1006/jabr.1997.7254

[4] Tumurbat, S. and Zand, H. (2001) Hereditariness, Strongness and Relationship between Brown-McCoy and Behrens Radicals. Contributions to Algebra and Geometry, 42, 275-280.

[5] 蔡传仁. 对偶根和F.A.SZASZ的问题21 [J]. 数学学报: 中文版, 1989, 32(3): 394-400.

[6] 蔡传仁. 半遗传根的一个特征性质[J]. 数学研究与评论, 1991, 11(1): 9-12.

[7] 谢邦杰. 关于周期环与Jacobson环的几个定理[J]. 数学研究与评论, 1982, 2(2): 11-13.

[8] 于宪君. 关于FA, δ-环与广义周期环的几个定理[J]. 数学研究与评论, 1988, 8(3): 341-345.

[9] 胡小美. 几类与Jacbson根相关环的研究[D]: [硕士学位论文]. 杭州: 杭州师范大学, 2017.

[10] 于宪君, 朱捷. 关于周期环的几个定理[J]. 黑龙江大学自然科学学报, 2004, 21(3): 20-22.

[11] 杜现昆, 齐毅. 周期环的刻划[J]. 吉林大学自然科学学报, 2001, 39(3): 29-31.

[12] Puczylowski, E.R. (1993) On Gen-eral Theory of Radicals. Algebra Universalis, 39, 53-60.
https://doi.org/10.1007/BF01196549

[13] Wang, Y. and Zhang, A.H. (2002) Radicals and Semisimple Classes of the Class of Algebras. Journal of Anshan Normal University, 4, 5-10.

[14] 任艳丽, 王尧. 代数正规类中的遗传根与强半单根[J]. 数学研究与评论, 2004, 24(4): 597-602.

[15] Yang, Z.W. (2006) The Upper Radical Classes of the Class of Algebras. Journal of Yunnan University (Natural Sciences Edition), 28, 8-11.

[16] Yang, Z.W. and Pan, J.M. (2008) The Supernilpotent Radical, Special Radical and Bear Radical in Normal Classes of Product Algebras. Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 32, 181-192.

[17] Yang, Z.W. and Pan, J.M. (2010) The Radicals and Likemodules in Normal Classes of Complete Alagebras. Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 34, 377-386.

[18] 杨宗文, 杨柱元. 完备代数正规类的根与右理想[J]. 昆明理工大学学报(理工版), 2006, 31(3): 112-116, 120.

[19] 杨宗文, 杨柱元. 子环的和与积[J]. 云南大学学报(自然科学版), 2007, 29(4): 335-338.

[20] 杨宗文, 杨柱元, 李友宝. 大半环子半环的和与积[J]. 昆明理工大学学报(理工版), 2007, 32(6) :113-118.

[21] 杨宗文, 杨柱元, 李友宝. 可积代数正规类中半素代数类及半素一致代数类确定的上根[J]. 数学理论与应用, 2008, 28(4): 71-75.

[22] Yang, Z.W., Yang, Z.Y. and Li, Y.B. (2010) The General Radicals Theory of the Big Semirings. Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 34, 1149-1167.

[23] Yang, Z.W. and Yang, Z.Y. (2011) The Semihereditary and Semisupernilpotent Radicals in Normal Classes of Product Algebras. Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 35, 891-902.

[24] 杨宗文, 何青海. 点态化完备代数正规类中的亚直既约代数类[J]. 理论数学, 2018, 8(5): 546-554.
https://doi.org/10.12677/pm.2018.85072

[25] 杨宗文, 何青海. 点态化完备代数正规类中的遗传幂等根、补根、对偶根、子幂等根及诣零根[J]. 理论数学, 2018, 8(6): 712-722.
https://doi.org/10.12677/pm.2018.86096

[26] 杨宗文, 何青海. 点态化完备代数正规类中的λ-根和正则根[J]. 理论数学, 2019, 9(7): 836-842.
https://doi.org/10.12677/pm.2019.97109

[27] 杨宗文, 何青海. 点态化完备代数正规类中的Jacobson代数和Boolean代数[J]. 理论数学, 2019, 9(9): 1009-1014.
https://doi.org/10.12677/pm.2019.99127

[28] 杨宗文, 娄本功. 点态化完备代数正规类中Amitsur-Kurosh根的映射刻画[J]. 理论数学, 2020, 10(12): 1138-1144.
https://doi.org/10.12677/pm.2020.1012135

[29] 杨宗文, 娄本功. 点态化完备代数正规类中的低幂等根[J]. 理论数学, 2021, 11(1): 1-6.
https://doi.org/10.12677/pm.2021.111001

分享
Top