广义酉除数和函数在函数域上的均值
The Average Value of Generalized Unitary Divisor Sum Function in Function Fields

作者: 牛 威 :青岛大学数学与统计学院,山东 青岛;

关键词: 函数域广义酉除数和函数均值Function Fields Generalized Unitary Divisor Sum Function Average Value

摘要:
对任意正整数n,若d|n且(d,n/d)=1,就称d是n的酉除数。本文考虑了函数域上的广义酉除数和函数 的均值,得到其渐近公式。

Abstract: For any positive integer n, we say d is a unitary divisor of n, if d|n and (d,n/d)=1. In this paper, we consider the average value of the generalized unitary divisor sum function in function fields, and obtain its asymptotic formula.

1. 引言

对任意正整数 n ,若 d | n ( d , n / d ) = 1 ,我们就称 d n 的酉除数(unitary divisor),其基本性质可见 [1]。用 σ ( n ) 表示 n 的所有酉除数的和,即:

σ ( n ) = d | n ( d , n / d ) = 1 d .

函数 σ ( n ) 是可乘的,对任意的正整数 n ,有:

σ ( n ) = p α | | n ( 1 + p α ) p 为素数。

1977年,A. Ivic [2] 证明当 n 31 时,有:

σ ( n ) 28 15 n log log n .

2008年,A. Derbal [3] 证明当 n > 17 时,

σ ( n ) σ ( n ) ( log log n ) < e γ ,其中 γ 为Euler常数。

2013年,T. Trudgian [4] 改进A. Ivic [2] 的结果,证明当 n 570571 时,有:

σ ( n ) 1.3007 n log log n .

E. Cohen [5] 和P. J. McCarthy [6] 分别给出酉除数和函数 σ ( n ) 在长区间的渐近公式:

n x σ ( n ) = π 2 x 2 12 ζ ( 3 ) + O ( x ( log x ) 5 / 3 ) .

K. Nageswara在 [7] 中定义有理数域上的广义除数和函数:

σ k ( n ) = d | n ( d , n / d ) = 1 d k k 是非负整数;

并证明如下卷积形式:

d | n ( d , n / d ) = 1 Φ k ( n d ) τ ( d ) = σ k ( n ) .

本文研究函数域 F q ( T ) 上的广义酉除数和函数,令 M F q [ T ] 上的所有首一多项式构成的集合,定义:

σ k ( f ) = g | f ( g , f / g ) = 1 g k ,

其中, f , g M k 是非负整数。函数 σ k ( f ) M 上是可乘的,对 M 上的任意一个多项式 f ,有:

σ k ( f ) = P α | | f ( 1 + P α k )

其中 P M 上的不可约多项式。

本文计算 σ k ( f ) 的均值,结果如下:

定理1.1 在函数域 F q ( T ) 中, k 是非负整数,对任意的 0 < ε < 1 / 4 和给定的正整数 n M n M 中所有次数为 n 的多项式构成的集合,有:

1 q n f M n σ k ( f ) = { q n k + O ε ( q n k k + 1 2 + ε ) , k 1 n + 1 + O ε ( ( n + 1 ) q k + 1 2 + ε ) , k = 0

符号

A = F q [ T ] :有限域 F q 上的多项式环,其中 q = p t p 为素数, t 为正整数。

M : A 中所有首一多项式的集合。

M n : M 中所有次数为 n 的多项式构成的集合。

g = q d e g g

Re ( s ) :复数 s 的实部。

ζ A ( s ) = f M 1 f s Re ( s ) > 1

ζ ( s ) = n = 1 + 1 n s Re ( s ) > 1

2. 预备知识和引理

下文中的出现的 q F q [ T ] 中的 q 一致: q = p t p 为素数, t 为正整数; k σ k ( f ) 中的 k 一致,是非负整数。

2.1. 函数域上的zeta函数 ζ A ( s ) 和函数 σ k ( f )

由文献 [8],给出函数域 F q ( T ) 上的zeta函数:

ζ A ( s ) = f M 1 f s , Re ( s ) > 1.

有以下引理:

引理2.1.1 当 Re ( s ) > 1 时,有 ζ A ( s ) = P M P ( 1 1 P s ) 1 = 1 1 q 1 s .

其中 ζ A ( s ) = 1 1 q 1 s 是函数 ζ A ( s ) 在复平面除 s = 1 点外的解析延拓。

关于函数域 F q ( T ) 上的广义酉除数和函数 σ k ( f ) ,对任意 M 上的不可约多项式 P 及非负整数 α ,有 σ k ( P α ) = 1 + P α k ,且有以下引理:

引理2.1.2 函数 σ k ( f ) M 上是可乘的,即若 f , g M ( f , g ) = 1 ,有 σ k ( f g ) = σ k ( f ) σ k ( g )

证明:对任意两个不相等的 M 中的不可约多项式 P 1 , P 2 ,有:

σ k ( P 1 α 1 ) = 1 + P 1 α 1 k α 1 是非负整数。

σ k ( P 2 α 2 ) = 1 + P 2 α 2 k α 2 是非负整数。

σ k ( P 1 α 1 P 2 α 2 ) = 1 + P 1 α 1 k + P 2 α 2 k + P 1 α 1 k P 2 α 2 k = σ k ( P 1 α 1 ) σ k ( P 2 α 2 ) .

由此可知,引理成立。

2.2. 其他所需引理

G ( s ) = P M P ( 1 1 P 2 s k ) , Re ( s ) > k + 1 2 .

其中 k 是非负整数,我们可以得到以下引理:

引理2.2.1 对任意的 ε > 0 ,当 Re ( s ) k + 1 2 + ε 时,存在与 ε 有关的常数 C ( ε ) > 0 ,使得 | G ( s ) | C ( ε )

证明:对 G ( s ) 取模,有:

| G ( s ) | P M P ( 1 + | 1 P 2 s k | ) = n = 1 + P M n P ( 1 + | 1 P 2 s k | ) .

由于 Re ( s ) k + 1 2 + ε

| G ( s ) | n = 1 + P M n P ( 1 + | 1 P 1 + 2 ε | ) = n = 1 + P M n P ( 1 + 1 q n ( 1 + 2 ε ) ) .

a n M n 中不可约多项式的个数,有:

| G ( s ) | n = 1 + ( 1 + 1 q n ( 1 + 2 ε ) ) a n .

由文献 [8] 的定理2.2,知存在常数 c > 0 ,使得 a n c q n n ,则:

| G ( s ) | n = 1 + ( 1 + 1 q n ( 1 + 2 ε ) ) c q n n .

( 1 + 1 q n ( 1 + 2 ε ) ) c q n n 关于 1 q n ( 1 + 2 ε ) 做Taylor展开,有:

( 1 + 1 q n ( 1 + 2 ε ) ) c q n n = 1 + c n q 2 n ε + O ( 1 q 2 n ( 1 + 2 ε ) )

因此,

| G ( s ) | n = 1 + ( 1 + c n q 2 n ε + O ( 1 q 2 n ( 1 + 2 ε ) ) ) = n = 1 + ( 1 + O ( 1 n q 2 n ε ) ) .

n = 1 + ( 1 n q 2 n ε ) n = 1 + ( 1 q 2 n ε ) = 1 q 2 ε 1

n = 1 + ( 1 n q 2 n ε ) 是绝对收敛的。因此 n = 1 + ( 1 + O ( 1 n q 2 n ε ) ) 是收敛的。(参考文献 [9],第二章,定理1)

C ( ε ) = n = 1 + ( 1 + O ( 1 n q 2 n ε ) ) (2.1)

| G ( s ) | C ( ε ) 。引理得证。

| G ( s ) | Re ( s ) > k + 1 2 时收敛,可将 G ( s ) 写成:

G ( s ) = f M h ( f ) f s = l = 0 + f M l h ( f ) q l s ,

其中 h ( f ) M 上的可乘函数。取 u = q s ,令:

h l = f M l h ( f ) (2.2)

可得:

G ( s ) = G ˜ ( u ) = l = 0 + h l u l (2.3)

其中 | u | < q k + 1 2

关于 h l 有下面引理:

引理2.2.2 取 0 < ε < 1 4 C ( ε ) h l 别由式(2.1)、式(2.2)给出,有:

| h l | C ( ε ) q l ( k + 1 2 + ε ) .

证明:取围道 Γ | u | = q ( k + 1 2 + ε )

由Laurent定理( [10] ),有:

h l = 1 2 π i Γ G ˜ ( u ) u l + 1 d u .

因此,由引理2.2.1有:

| h l | 1 2 π Γ | G ˜ ( u ) | | u l + 1 | | d u | 1 2 π C ( ε ) q ( l + 1 ) ( k + 1 2 + ε ) 2 π q ( k + 1 2 + ε ) = C ( ε ) q l ( k + 1 2 + ε ) .

引理得证。

引理2.2.3 取 0 < ε < 1 4 h l 由式(2.2)给出,对任意的非负整数 t k ,有:

l = 0 t h l q l ( k + 1 ) = 1 + O ε ( q k + 1 2 + ε ) .

证明:由 h ( f ) M 上的可乘函数,知 h 0 = h ( 1 ) = 1 。因此,

l = 0 t h l q l ( k + 1 ) = 1 + l = 1 t h l q l ( k + 1 ) . (2.4)

下面估计 l = 1 t h l q l ( k + 1 ) ,由引理2.2.2有:

| l = 1 t h l q l ( k + 1 ) | l = 1 t | h l | q l ( k + 1 ) C ( ε ) l = 1 t q l ( k + 1 2 + ε ) .

因此,

| l = 1 t h l q l ( k + 1 ) | C ( ε ) q ( k + 1 2 + ε ) l = 0 t 1 q l ( k + 1 2 + ε ) .

0 < ε < 1 4 ,知:

l = 0 t 1 q l ( k + 1 2 + ε ) l = 0 + q l ( k + 1 2 + ε ) = 1 1 q ( k + 1 2 + ε ) 1 1 2 1 4

由此可得:

l = 1 t h l q l ( k + 1 ) = O ε ( q k + 1 2 + ε ) .

再由式(2.4),引理得证。

3. 定理1.1的证明

广义酉除数和函数 σ k ( f ) 在函数域 F q ( T ) 上的Dirichlet级数如下:

F ( s ) = f M σ k ( f ) f s = n = 0 + f M n σ k ( f ) q n s (3.1)

由引理2.1.2知可对 F ( s ) 做Euler乘积,即:

F ( s ) = P M P ( 1 + σ k ( P ) P s + σ k ( P 2 ) P 2 s + ) = P M P ( 1 + 1 + P k P s + 1 + P 2 k P 2 s + ) .

再由引理2.1.1,有:

ζ A 1 ( s ) ζ A 1 ( s k ) F ( s ) = P M P ( 1 1 P 2 s k ) = G ( s ) .

即:

F ( s ) = ζ A ( s ) ζ A ( s k ) G ( s ) . (3.2)

由引理2.1.1,知:

ζ A ( s ) = 1 1 q 1 s ζ A ( s k ) = 1 1 q 1 + k s

对其做Taylor展开,并取 u = q s ,有:

ζ A ( s ) = m = 0 + q m u m ζ A ( s k ) = h = 0 + q h ( k + 1 ) u h

将此及式(2.3)代入式(3.2),有:

F ( s ) = m = 0 + q m u m h = 0 + q h ( k + 1 ) u h l = 0 + h l u l . (3.3)

下面分两步计算 f M n σ k ( f )

第一步:令

t = 0 + T t u t = ζ A ( s k ) G ( s ) = h = 0 + q h ( k + 1 ) u h l = 0 + h l u l .

则:

T t = h + l = t q h ( k + 1 ) h l = q t ( k + 1 ) l = 0 t h l q l ( k + 1 ) .

由引理2.2.3,可得:

T t = q t ( k + 1 ) + O ε ( q t ( k + 1 ) k + 1 2 + ε ) .

第二步,计算均值:

比较式(3.1)和式(3.3)的系数,可得:

1 q n f M n σ k ( f ) = 1 q n m + t = n q m T t = t = 0 n T t q t .

由第一步结果可知:

t = 0 n T t q t = t = 0 n q t k + O ε ( t = 0 n q t k k + 1 2 + ε ) .

k = 0 时,

1 q n f M n σ k ( f ) = n + 1 + O ε ( ( n + 1 ) q k + 1 2 + ε ) .

k 1 时,

1 q n f M n σ k ( f ) = q ( n + 1 ) k 1 q k 1 + O ε ( q k + 1 2 + ε q ( n + 1 ) k 1 q k 1 ) .

q ( n + 1 ) k 1 q k 1 = q k q k 1 q n k 1 q k 1 ,

1 < q k q k 1 < 2 ,因此,

1 q n f M n σ k ( f ) = q k q k 1 q n k + O ε ( q n k k + 1 2 + ε ) .

1 1 q k 作Taylor展开,有:

1 1 q k = 1 + O ( 1 q k ) .

因此,

1 q n f M n σ k ( f ) = q n k + O ( q n k k ) + O ε ( q n k k + 1 2 + ε ) .

又知 ( n 1 ) k n k k + 1 2 + ε

故:

1 q n f M n σ k ( f ) = q n k + O ε ( q n k k + 1 2 + ε ) .

定理得证。

文章引用: 牛 威 (2021) 广义酉除数和函数在函数域上的均值。 理论数学, 11, 1242-1249. doi: 10.12677/PM.2021.116137

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[3] Derbal, A. (2008) Grandes valeurs de la func-tion σ(n)/σ∗(n). Comptes Rendus de l’Académie des Sciences Paris, 346, 125-128.
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[4] Trudgian, T. (2013) The Sum of the Unitary Divisor Function. Publications de l’Institut Mathematique, 97, 175-180.
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[5] Cohen, E. (1960) Arithmetical Functions Associated with the Uni-tary Divisors of an Integer. Mathematische Zeitschrift, 74, 66-80.
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[6] McCarthy, P.J. (1986) Introduction to Arithmetical Functions. Springer Verlag, New York-Berlin-Heidelberg-Tokyo.

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[8] Rosen, M. (2002) Number Theory in Function Fields. Springer-Verlag, New York, 1-19.
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[10] 钟玉泉. 复变函数论[M]. 第三版. 北京: 高等教育出版社, 2004: 185-188.

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