一类Finsler子流形的研究
The Study of a Class of Finsler Submanifolds

作者: 晏 文 :西南交通大学数学学院,四川 成都;

关键词: 自然恒等式β)-流形极小子流形A Natural Identityβ)-Manifold Minimal Submanifold

摘要:
本文主要利用一个自然恒等式并且考虑一类特殊(α,β)-流形 且φ(0)=1,其中ã是Riemann度量,是一个1-形式。旨在利用自然恒等式研究一类特殊(α,β)-流形在一定条件下不存在闭的可定向的BH-极小子流形和闭的可定向的HT-极小曲面。

Abstract: In this paper, we mainly use a natural identity and consider a class of special manifolds with an  (α,β)-metric in which ã is the Riemannian metric, and is a one-form. We aim to study a class of special manifolds by using the natural identity. Under certain conditions, there are no closed orientable BH-minimal submanifolds and closed orientable HT-minimal surfaces.

1. 引言

1972年,M. Matsumoto [1] 推广了Randers度量的概念,得到了 ( α , β ) -度量。 ( α , β ) -度量

F = α ϕ ( β / α ) 是由Riemann度量 α = a i j ( x ) y i y j 和1-形式 β = b i ( x ) y i 构成的一类重要的Finsler度量,其中 ϕ ( s ) 是定义在开区间 ( b 0 , b 0 ) 上的光滑正函数,并满足 ϕ ( 0 ) = 1 使得 F 为正定的Finsler度量。不难看出,这类 ( α , β ) -度量包含了所有的Riemann度量( ϕ = 1 或者 β = 0 ),这是Finsler几何中一类重要的度量,它们已经被应用到物理、生物等学科 [2] [3]。因此,人们对这类特殊的度量进行了深入研究。当 ϕ = 1 + s 时, ( α , β ) -度量 F = α + β 称为Randers [4] 度量,它是最简单Finsler度量,著名的Funk度量就是射影平

坦且旗曲率为 K = 1 4 的Randers度量;当 ϕ ( s ) = ( 1 + s ) 2 ,那么 F = ( α + β ) 2 α 称为Square度量,它是由L. Berwald [5] 构造的二次平方度量,其旗曲率为 K = 0 。而当 ϕ ( s ) = 1 1 s ,那么 F = α 2 α β 称为Matsumoto

度量。它是由日本数学家M.Matsumoto在研究山路的斜坡问题时抽象出来的度量,其中 α 是地球引力, β 是高度。

近年来,受到Riemann子流形研究的影响,Finsler子流形的研究越来越受到人们的重视。1998年,在没有借助任何联络的情况下,文献 [6] 研究了在Busemann-Hausdorff-体积形式下Finsler子流形几何。之后,文献 [7] 考虑了Minkowski Randers空间的(超)曲面,得到了极小曲面的Bernstein型定理。2006年,文献 [8] 和文献 [9] 提出了另一种集中于Holmes-Thompson测度的方法,引入了法曲率以及Holmes- Thompson平均曲率的概念并给出了具体的表达式。而文献 [10] 首次引入了体积比函数

Φ b ( t ) : = 2 σ ( t ) ( b 2 t ) + σ ( t ) , t [ 0 , b 2 ]

目的是为了简化平均曲率公式并使它们适用于Busemann-Hausdorff测度和Holmes-Thompson测度下 ( α , β ) -空间中的浸入曲面。

本文考虑一般 ( α , β ) -流形 ( M ˜ n + p , F ˜ ) ,其中 F ˜ = α ˜ ϕ ( β ˜ α ˜ 2 , β ˜ / α ˜ ) α ˜ 是一个Riemann度量, β ˜ 是1-

阶微分形式, b : = β ˜ α ˜ 2 β ˜ 在度量 α ˜ 的长度, ϕ ( b , s ) 在条件 | s | b < b 0 下是一个2-变量光滑正函数,且满足式(8)使得 F ˜ 是正定的Finsler度量。我们将引用文献 [11] 中一个涉及了 σ -平均曲率向量和一个向量场切分量相关的散度项的自然恒等式(定理1.3)。选择一类特殊的 ( α , β ) -度量

F = α ϕ ( s ) , s = β α

其中 ϕ 是定义在某区间 ( b 0 , b 0 ) 上的光滑正函数且 ϕ ( 0 ) = 1 。本文旨在利用自然恒等式研究在Busemann-Hausdorff测度和Holmes-Thompson测度下一类特殊 ( α , β ) -流形在一定条件下不存在闭的可定向的极小子流形和极小曲面。

2. 预备知识

本节主要介绍后面所用到的一些概念和记号。在整个文章中,也使用Einstein求和约定。简称Busemann-Hausdorff体积形式为BH-体积形式,Holmes-Thompson体积形式为HT-体积形式。

定义1 用 L X ˜ 表示 M ˜ 上的一个Lie导数算子。因为 L X ˜ g ˜ 是一个对称协变(0,2)-张量,所以可以定义一个(1,1)-张量(仍然用 L X ˜ g ˜ 表示)。对任意 M ˜ 上的向量场 Y ˜ Z ˜ ,我们有

( L X ˜ g ˜ ) ( Y ˜ ) , Z ˜ g ˜ : = ( L X ˜ g ˜ ) ( Y ˜ , Z ˜ ) = ˜ Y ˜ X ˜ , Z ˜ g ˜ + ˜ Z ˜ X ˜ , Y ˜ g ˜ (1)

定义2 如果对 M ˜ 上的一个光滑函数 c ,使得 L X ˜ g ˜ = 2 c g ˜ ,即

( L X ˜ g ˜ ) ( Y ˜ , Z ˜ ) = ˜ Y ˜ X ˜ , Z ˜ g ˜ + ˜ Z ˜ X ˜ , Y ˜ g ˜ = 2 c Y ˜ , Z ˜ g ˜ (2)

其中 Y ˜ Z ˜ M ˜ 上的任意两个向量场,那么向量场 X ˜ 称为 ( M ˜ , g ˜ ) 的共形向量场。特别地,如果 c = 0 ,则 X ˜ 称为Killing向量场。

3. 一个自然恒等式

在文献 [11] 中,通过运用子流形的理论知识进行大量计算,自然引入了体积比函数

Φ ( p , b , t ) : = 2 σ t ( p , b , t ) ( b t ) + σ ( p , b , t ) (3)

这样的一个函数是在计算过程中自然出现的,目的是为了简化 σ -平均曲率向量和自然恒等式。其中 σ = σ ( p , b , t ) 是一个任意3-变量光滑正函数,在没有特别提醒的情况下,我们用 σ t : = σ t ( p , b , t ) 表示 σ 关于 t 的偏导数,那么 σ b , σ p t , σ b t σ t t 等也是表示关于 p , b , t 求偏导数。对于任意的向量场 X ˜ ,用 X ˜ 表示其法向分支。

引理1 [11] 设 ( M ˜ n + p , g ˜ ) 是一个 n + p 维的Riemann流形且具有向量场 X ˜ M n M ˜ 的一个子流形,用 ˜ 表示度量 g ˜ 的一个Levi-Civita联络,取 M ˜ 一个局部正交标架 ( ε i , ε α ) ,使得 ( ε i ) M 相切。则对 M 上的切向量 X = X ˜ T ,总有

d i v M ( Φ X ) = n H σ , X ˜ g ˜ + σ p X ˜ ( f ) + ( σ b + σ t ) X ˜ ( X ˜ g ˜ 2 ) + σ [ d i v M ˜ X ˜ α = n + 1 n + p ˜ ε α X ˜ , ε α g ˜ ] 2 σ t ˜ X ˜ X ˜ , X ˜ g ˜ . (4)

其中 σ Φ 是由式(3)给出, f : M ˜ R 是一个任意的光滑函数, d i v M 是关于流形 M 在诱导度量 g 下的散度算子, H σ 称为流形 M σ -平均曲率向量,即

n H σ : = n H σ + 2 n H , X ˜ g ˜ σ t X ˜ 2 [ 2 σ t t X X ˜ , X ˜ g ˜ X ˜ σ t X X ˜ ] + 2 σ p t X ( f ) X ˜ σ p f σ b ( X ˜ g ˜ 2 ) 2 σ t [ [ ( L X ˜ g ˜ ) ( X ) ] ( ˜ X X ˜ ) ] + 2 ( σ b t + σ t t ) X ( X ˜ g ˜ 2 ) X ˜ + 2 σ t [ d i v M ˜ X ˜ α = n + 1 n + p ˜ ε α X ˜ , ε α g ˜ ] X ˜ . (5)

其中 h ( ε i , ε i ) 称为流形 M 的第二基本形式, H = 1 n i = 1 n h ( ε i , ε i ) 表示 M 在流形 ( M ˜ , g ˜ ) 的Riemann平均曲率向量, L X ˜ 由式(1)给出。 f : = ( ˜ f ) ( X ˜ g ˜ 2 ) 是梯度向量场 ˜ f ˜ X ˜ g ˜ 2 的法向分支。

注记1 假设引理1中同样的条件。特别地,如果 σ = σ ( b , t ) ,那么 σ p = 0 ,则式(4)可以简化为

d i v M ( Φ X ) = n H σ , X ˜ g ˜ + ( σ b + σ t ) X ˜ ( X ˜ g ˜ 2 ) + σ d i v M ˜ X ˜ σ α = n + 1 n + p ˜ ε α X ˜ , ε α g ˜ 2 σ t ˜ X ˜ X ˜ , X ˜ g ˜ .

进一步来说,若 σ = σ ( b , t ) X ˜ 是共形向量场(2),则 X ˜ ( X ˜ g ˜ 2 ) = 2 ˜ X ˜ X ˜ , X ˜ g ˜ = 2 c X ˜ g ˜ 2 d i v M ˜ X ˜ = α = 1 n + p ˜ ε α X ˜ , ε α g ˜ = ( n + p ) c ˜ X ˜ X ˜ , X ˜ g ˜ = c X ˜ g ˜ 2 = c ( X ˜ g ˜ 2 X g ˜ 2 ) 。在这里令 b = X ˜ g ˜ 2 , t = X g ˜ 2 ,我们有

d i v M ( Φ X ) = n H σ , X ˜ g ˜ + c [ 2 ( σ b + σ t ) b + n σ 2 σ t ( b t ) ] = n H σ , X ˜ g ˜ + c [ 2 ( b σ b + t σ t ) + n σ ] . (6)

因此就得到了一个自然恒等式(6),它是涉及了一个 σ -平均曲率向量和一个向量场切分量相关的散度项,我们将在第5节给出其具体的应用。

4. 一般 ( α , β ) -度量体积元

一般 ( α , β ) -度量中的Finsler度量是近十年来重要的研究内容。我们知道,赋予Finsler度量 F n 维微分流形 M 称为Finsler流形 ( M , F ) 。其中光滑流形 M 上的一个Finsler度量 F 是定义在切从 T M 上的连续函数 F : T M [ 0 , + ) ,它满足以下条件:i) F T M \ { 0 } 上是光滑的;ii) 对于任意的实数 λ

( x , y ) T M F ( x , λ y ) = λ F ( x , y ) ;iii) 定义在 T M \ { 0 } 的基本张量 g F : = g i j F d x i d x j 是正定的,其中在

T M 上的一个局部坐标系下 ( x i , y i ) g i j F : = 1 2 ( 2 F 2 y i y j ) 。而在Finsler度量中,那里有一系列更广泛的度

量称为一般 ( α , β ) -度量,它是由文献 [12] 提出的。

( M , F ) 是一般 ( α , β ) -流形且具有一般 ( α , β ) -度量,若对任意 x M s : = β / α ,则有

F = α ϕ ( x , s ) (7)

其中 α = a i j ( x ) y i y j 是一个Riemann度量, β = b i ( x ) y i 是一个1-次微分形式且 β α < b 0 ϕ ( b , s ) 是一个2-变量光滑正函数(参看文献 [12] 命题3.3)满足:

ϕ s ϕ s > 0 , ϕ s ϕ s + ( b 2 s 2 ) ϕ s s > 0 (8)

n 3 或者

ϕ s ϕ s + ( b 2 s 2 ) ϕ s s > 0

n = 2 ,其中 b s 是任意实数且满足 | s | b < b 0

在文献 [13] 中,一般 ( α , β ) -流形 ( M , F ) 的Busemann-Hausdorff测度和Holmes-Thompson测度已经被计算出来,它的证明方法类似于文献 [14] 和文献 [15]。对任意 x M 和一个实数 t 0 ,我们定义

σ ( x , t ) : = { π Γ ( n 1 2 ) Γ ( n 2 ) [ 0 π sin n 2 θ ϕ ( x , t 1 2 cos θ ) n d θ ] 1 B H , Γ ( n 2 ) π Γ ( n 1 2 ) 0 π Q ( x , t 1 2 cos θ ) sin n 2 θ d θ H T . (9)

其中

Q ( x , s ) : = ϕ ( ϕ s ϕ s ) n 2 [ ϕ s ϕ s + ( t s 2 ) ϕ s s ] , s = t 1 2 cos θ

Γ ( t ) = 0 x t 1 e x d x 是一个Euler函数且满足递推公式 Γ ( t + 1 ) = t Γ ( t ) Γ ( 1 ) = 1 Γ ( 1 / 2 ) = π

引理2 [13] 对于具有度量(7)的一般 ( α , β ) -流形 ( M n , F ) ,关于在度量 F 下的BH-体积形式和HT-体积形式为 d V F ( x ) = σ ( x , β α 2 ) d V α ,其中 x M σ 是由式(9)给出。

在本节中,我们考虑一个一般 ( α , β ) -流形中定向等距浸入的子流形 f : M n ( M ˜ n + p , F ˜ ) ,其中

F ˜ = α ˜ ϕ ( β ˜ α ˜ 2 , β ˜ / α ˜ ) 。那么在流形 M 上的诱导度量 F : = f F ˜ F ˜ = α ˜ ϕ ( β ˜ α ˜ 2 , β ˜ / α ˜ ) 是一个一般 ( α , β ) -度量 F = α ϕ ( β ˜ α ˜ 2 , β / α ) ,其中 α : = f α ˜ 是诱导的Riemann度量, β : = f β ˜ 是诱导的1-形式。 β ˜ α ˜ 2 可以看作

是限制在 M 上的函数,而流形 M β ˜ α ˜ 2 一般是不等同于 β α 2 且具有如下关系:

β ˜ α ˜ 2 = β α 2 + α = n + 1 n + p β ˜ # , e α α ˜ 2 ,

其中 { e n + 1 , , e n + p } 是关于法从在度量 α ˜ 下的单位正交标架。通过引理2可以知道, ( M , F ) 的BH-体积形式和HT-体积形式具有形式

d V F ( x ) = σ ( β ˜ α ˜ 2 , β α 2 ) d V α , x M

那么根据式(9),函数 σ 可以为

σ ( b , t ) = { π Γ ( n 1 2 ) Γ ( n 2 ) [ 0 π sin n 2 θ ϕ ( b , t 1 2 cos θ ) n d θ ] 1 B H , Γ ( n 2 ) π Γ ( n 1 2 ) 0 π Q ( b , t , t 1 2 cos θ ) sin n 2 θ d θ H T . (10)

其中

Q ( b , t , s ) : = ϕ ( ϕ s ϕ s ) n 2 [ ϕ s ϕ s + ( t s 2 ) ϕ s s ] , s = t 1 2 cos θ (11)

b : = β ˜ α ˜ 2 t : = β α 2 。因为 ϕ = ϕ ( b , s ) ,所以 Q 是一个关于变量 ( b , t , s ) 函数。

5. Busemann-Hausdorff和Holmes-Thompson测度下的子流形

在Finsler几何中,BH-体积形式和HT-体积形式是两个重要的体积形式。根据式(10),对任意维度的一般 ( α , β ) -流形,函数 σ 均不能表示为初等函数,但我们仍然可以对它进行研究。因此在本小节,我们将深入研究一类特殊 ( α , β ) -流形在BH-测度和HT-测度下的极小子流形和极小曲面的不存在性。

在文献 [11] 中,通过观察式(6)的最后一项,作者计算了式(10)中HT-情况下的 2 ( b σ b + t σ t ) + n σ ,即

2 ( b σ b + t σ t ) + n σ = Γ ( n 2 ) π Γ ( n 1 2 ) 0 π [ 2 ( b Q b + t Q t ) + n Q ] sin n 2 θ d θ (12)

其中

2 ( b Q b + t Q t ) + n Q = ( 2 b ϕ b + s ϕ s + n ϕ ) ( ϕ s ϕ s ) n 2 ( ϕ s ϕ s + ( t s 2 ) ϕ s s ) + ( n 2 ) ϕ ( ϕ s ϕ s ) n 3 ( 2 b ( ϕ b s ϕ s b ) s 2 ϕ s s ) ( ϕ s ϕ s + ( t s 2 ) ϕ s s ) + ϕ ( ϕ s ϕ s ) n 2 [ 2 b ( ϕ b s ϕ s b ) + ( 2 b ϕ s s b + s ϕ s s s ) ( t s 2 ) + ϕ s s ( 2 t 3 s 2 ) ] , (13)

b : = β ˜ α ˜ 2 t : = β α 2 。因为 s = t 1 2 cos θ ,所以式(11)中函数 Q 可以看作是关于 ( b , t ) 的函数。当给定函数 ϕ = ϕ ( b , s ) ϕ 满足式(8)后,那么通过一个技术上的计算就可以判断出 2 ( b Q b + t Q t ) + n Q 值的正负(在这里利用了 b t s 2 关系),因此作者证明了投影平坦Finsler流形 ( Β n + P ( r μ ) , F ˜ μ ) 中不存在HT-极小子流形(参看定理5.6)。下面我们首先对在BH-情况下的 2 ( b σ b + t σ t ) + n σ 进行一个技术上的计算。

引理3 对任意两变量的函数 ϕ = ϕ ( b , s ) 且满足式(8),其中 s = t 1 2 cos θ ,我们有

2 ( b σ b + t σ t ) + n σ = π Γ ( n 1 2 ) Γ ( n 2 ) [ 0 π ϕ n sin n 2 θ d θ ] 2 0 π 2 n ϕ n 1 ( b ϕ b + t ϕ t + 1 2 ϕ ) sin n 2 θ d θ (14)

证明:根据式(10)中BH-情况我们计算:

σ b = π Γ ( n 1 2 ) Γ ( n 2 ) [ 0 π ϕ n sin n 2 θ d θ ] 2 0 π n ϕ n 1 ϕ b sin n 2 θ d θ

从而有

2 b σ b = π Γ ( n 1 2 ) Γ ( n 2 ) [ 0 π ϕ n sin n 2 θ d θ ] 2 0 π 2 n ϕ n 1 b ϕ b sin n 2 θ d θ (15)

同理

2 t σ t = π Γ ( n 1 2 ) Γ ( n 2 ) [ 0 π ϕ n sin n 2 θ d θ ] 2 0 π 2 n ϕ n 1 t ϕ t sin n 2 θ d θ (16)

注意

σ ( b , s ) = π Γ ( n 1 2 ) Γ ( n 2 ) [ 0 π sin n 2 θ ϕ ( b , s ) n d θ ] 1 ,

n σ = n π Γ ( n 1 2 ) Γ ( n 2 ) [ 0 π sin n 2 θ ϕ ( b , s ) n d θ ] 1 = π Γ ( n 1 2 ) Γ ( n 2 ) [ 0 π ϕ n sin n 2 θ d θ ] 2 0 π n ϕ n sin n 2 θ d θ . (17)

依据式(15),(16)和(17),我们有

2 ( b σ b + t σ t ) + n σ = π Γ ( n 1 2 ) Γ ( n 2 ) [ 0 π ϕ n sin n 2 θ d θ ] 2 0 π 2 n ϕ n 1 ( b ϕ b + t ϕ t + 1 2 ϕ ) sin n 2 θ d θ

故得到了式(14)。下面将引理1应用于一般 ( α , β ) -流形中的子流形,得到以下命题。

命题1 设 M n 是一个等距浸入到一般 ( α , β ) -流形 ( M ˜ n + p , F ˜ ) 的子流形,其中 F ˜ = α ˜ ϕ ( β ˜ α ˜ 2 , β ˜ / α ˜ ) 。如果 β ˜ 是共形向量场(2), β ˜ 是关于 α ˜ 的共形1-形式且共形因子 c 0 ,那么在BH-测度和HT-测度下我们有

d i v M ( Φ β # ) = n H σ , β ˜ # α ˜ + c [ 2 ( b σ b + t σ t ) + n σ ] (18)

其中 b = β ˜ α ˜ 2 t = β α 2 σ 由式(10)给出, Φ 由式(3)定义, H σ 称为流形 M σ -平均曲率向量(5),最后一项由式(12),(13)和(14)给出。

现在考虑一类特殊的 ( α , β ) -度量(Randers度量,Square度量和Matsumoto度量),其中度量 F ˜ = α ˜ ϕ ( s ) s = β ˜ / α ˜ ϕ ( 0 ) = 1 。文献 [16] 已经详细计算了这类度量在满足式(8)的条件下是Finsler度量。下面依据式(18)研究这类特殊 ( α , β ) -流形 ( M ˜ , F ˜ ) 在一定条件下不存在闭的可定向的BH-极小子流形和闭的可定向的HT-极小曲面(这里 ϕ b 无关,故 ϕ b = 0 )。

定理1 设 ( M ˜ , F ˜ ) 是一个Finsler流形,其中 F ˜ = α ˜ ϕ ( s ) = α ˜ + β ˜ β ˜ 是关于 α ˜ 的共形1-形式且共形因

c 0 。则在 0 b < 1 2 的条件下,Finsler流形 ( M ˜ , F ˜ ) 中不存在闭的可定向的BH-极小子流形,其中 b

β ˜ 在Riemann度量 α ˜ 下的长度。

证明:对任意的 x M ˜ ,给定 β ˜ 在Riemann度量 α ˜ 下的长度 b : = β ˜ x α ˜ < 1 ,依据式(8)我们有

ϕ s ϕ s = 1 , ϕ s ϕ s + ( b 2 s 2 ) ϕ s s = 1

所以 F ˜ 在条件 | s | b < 1 下是正定的Finsler度量。由式(14)可以有(这里 s = t 1 2 cos θ ):

t ϕ t = 1 2 s , t ϕ t + 1 2 ϕ = 1 2 ( 1 + 2 s )

当给定条件 | s | b < 1 2 ϕ > 0 时,则有

2 n ϕ n 1 ( b ϕ b + t ϕ t + 1 2 ϕ ) = 2 n ϕ n 1 ( t ϕ t + 1 2 ϕ ) = n ϕ n 1 ( 2 s + 1 ) > 0

那么根据命题1,若存在一个闭的可定向的子流形 M ,则当 c > 0 H σ = 0 时,流形 M 上的积分(18)

会出现一个矛盾,所以Finsler流形 ( M ˜ , F ˜ ) 在条件 0 b < 1 2 下不存在闭的可定向的BH-极小子流形。

注记2 依据定理1的证明过程。设 ( M ˜ , F ˜ ) 是一个Finsler流形,其中 F ˜ = ( α ˜ + β ˜ ) 2 α ˜ β ˜ 是关于 α ˜

共形1-形式且共形因子 c 0 。则对任意的 x M ˜ β ˜ 在Riemann度量 α ˜ 下的长度 β ˜ x α ˜ < 1 ,对所有 | s | b < 1 ,我们有

ϕ s ϕ s + ( b 2 s 2 ) ϕ s s = ( 1 + s ) 2 2 s ( 1 + s ) + 2 ( b 2 s 2 ) = 1 + 2 b 2 3 s 2 1 b 2 > 0 ,

所以 F ˜ 在条件 | s | b < 1 下是正定的Finsler度量。当给定条件 | s | b < 1 3 ϕ > 0 时,由式(14)可以有

2 n ϕ n 1 ( t ϕ t + 1 2 ϕ ) = 2 n ϕ n 1 [ ( 1 + s ) s + 1 2 ( 1 + s ) 2 ] = n ( 3 s 2 + 4 s + 1 ) ϕ n 1 = n ( s + 1 ) ( 3 s + 1 ) ϕ n 1 > 0.

那么由命题1,当 c > 0 H σ = 0 时,对式(18)进行积分会出现一个矛盾,所以Finsler流形 ( M ˜ , F ˜ )

条件 0 b < 1 3 下不存在闭的可定向的BH-极小子流形。

注记3 同注记2的讨论方法一样。给定 ϕ ( s ) = 1 1 s ,则 F ˜ = α ˜ 2 α ˜ β ˜ ,其中 β ˜ 是关于 α ˜ 的共形1-形式且共形因子 c 0 。对任意的 x M ˜ β ˜ 在Riemann度量 α ˜ 下的长度 β ˜ x α ˜ < 1 ,依据式(8)易证明度量 F ˜ 在条件 | s | b < 1 2 下是正定的Finsler度量。当给定条件 | s | b < 1 2 ϕ > 0 时,根据式(14)我们有

2 n ϕ n 1 ( t ϕ t + 1 2 ϕ ) = 2 n ϕ n 1 [ s 2 ( 1 s ) 2 + 1 2 ( 1 s ) ] = 2 n ϕ n 1 1 2 ( 1 s ) 2 = n ϕ n + 1 > 0.

从而根据命题1,当 c > 0 H σ = 0 时,对式(18)进行积分会出现一个矛盾,所以在条件 0 b < 1 2 下,

Finsler流形 ( M ˜ , F ˜ ) 不存在闭的可定向的BH-极小子流形。

现在来观察等式(13),因为 ϕ = ϕ ( s ) b 无关且 ϕ b = ϕ s b = ϕ s s b = 0 ,所以式(13)右边的第二项是一个负值。在这种情况下给定函数 ϕ = ϕ ( s ) ,则 2 ( b Q b + t Q t ) + n Q 的计算将会变得复杂。因此为了简便计算,我们将这类特殊 ( α , β ) -流形限制在 n = 2 (曲面情况)进行讨论,那么式(13)可以简化为

2 [ ( b Q b + t Q t ) + Q ] = ( s ϕ s + 2 ϕ ) ( ϕ s ϕ s + ( t s 2 ) ϕ s s ) + ϕ [ s ϕ s s s ( t s 2 ) + ϕ s s ( 2 t 3 s 2 ) ] . (19)

接下来根据式(19),我们继续探讨这类特殊 ( α , β ) -流形在Holmes-Thompson测度下极小曲面的不存在性。

定理2 设 ( M ˜ , F ˜ ) 是一个Finsler流形,其中 F ˜ = ( α ˜ + β ˜ ) 2 α ˜ β ˜ 是关于 α ˜ 的共形1-形式且共形因子 c 0 。则在 0 b < 13 1 6 的条件下,Finsler流形 ( M ˜ , F ˜ ) 不存在闭的可定向的HT-极小曲面,其中 b

β ˜ 在Riemann度量 α ˜ 下的长度。

证明:对任意的 x M ˜ β ˜ 在Riemann度量 α ˜ 下的长度 β ˜ x α ˜ < 1 ,易得到 F ˜ 在条件 | s | b < 1 下是正定的Finsler度量。由式(19)我们有

ϕ = ( 1 + s ) 2 , ϕ s = 2 ( 1 + s ) , ϕ s s = 2 , ϕ s s s = 0

从而有

s ϕ s + 2 ϕ = 2 ( s + 1 ) ( 2 s + 1 )

ϕ s ϕ s + ( t s 2 ) ϕ s s = 1 + 2 t 3 s 2

在这里 b , t , s = t 1 2 cos θ 的关系是 b t s 2 。当给定条件 | s | b < 13 1 6 时,我们有

2 [ ( b Q b + t Q t ) + Q ] = 2 ( s + 1 ) ( 2 s + 1 ) ( 1 + 2 t 3 s 2 ) + 2 ( 1 + s ) 2 ( 2 t 3 s 2 ) = 2 ( s + 1 ) ( 9 s 3 6 s 2 + 2 s + 6 t s + 4 t + 1 ) = 2 ( s + 1 ) [ ( 6 s + 4 ) ( t s 2 ) 3 s 3 2 s 2 + 2 s + 1 ] = 2 ( s + 1 ) [ ( 6 s + 4 ) ( t s 2 ) + ( s + 1 ) ( 3 s 2 + s + 1 ) ] 2 ( s + 1 ) 2 ( 3 s 2 + s + 1 ) > 0.

那么依据命题1,当 c > 0 H σ = 0 时,若存在一个闭的可定向的极小曲面,则对式(18)进行积分会

出现一个矛盾,所以Finsler流形 ( M ˜ , F ˜ ) 在条件 0 b < 13 1 6 下不存在闭的可定向的HT-极小曲面。

注记4 给定 ϕ ( s ) = 1 + s ,则 F ˜ = α ˜ + β ˜ ,其中 β ˜ 是关于 α ˜ 的共形1-形式且共形因子 c 0 。对任意的 x M ˜ β ˜ 在Riemann度量 α ˜ 下的长度 β ˜ x α ˜ < 1 ,那么度量 F ˜ 在条件 | s | b < 1 下是正定的Finsler度量。因为 ϕ s ϕ s = 1 , ϕ s s = ϕ s s s = 0 ,所以式(13)可以化简为式(19)的一般情况。因此我们讨论 n = 2 是一种特殊的

情况,当限制 | s | b < n n + 1 ,根据式(13)计算可得

2 ( b Q b + t Q t ) + n Q = ( s ϕ s + n ϕ ) = ( n + 1 ) s + n > 0

那么依据命题1,当 c > 0 H σ = 0 时,对式(18)进行积分会出现一个矛盾,所以Finsler流形 ( M ˜ , F ˜ )

在条件 0 b < n n + 1 下不存在闭的可定向的HT-极小子流形。

注记5 依据定理2的证明过程。设 ( M ˜ , F ˜ ) 是一个Finsler流形,其中 F ˜ = α ˜ 2 α ˜ β ˜ β ˜ 是关于 α ˜ 的共形1-形式且共形因子 c 0 。则依据式(8)易证明度量 F ˜ 在条件 | s | b < 1 2 下是正定的Finsler度量,那么根据式(19)可得

s ϕ s + 2 ϕ = 2 s ( 1 s ) 2 , ϕ s ϕ s + ( t s 2 ) ϕ s s = 1 3 s + 2 t ( 1 s ) 3 ,

s ϕ s s s ( t s 2 ) + ϕ s s ( 2 t 3 s 2 ) = ( 2 s + 4 ) ( t s 2 ) 2 s 2 ( 1 s ) ( 1 s ) 4 .

当给定条件 | s | b < 2 5 ϕ > 0 b t s 2 时,我们有

2 [ ( b Q b + t Q t ) + Q ] = ( 2 s ) ( 1 3 s + 2 t ) ( 1 s ) 5 + ( 2 s + 4 ) ( t s 2 ) 2 s 2 ( 1 s ) ( 1 s ) 5 = [ ( 2 s ) ( 1 3 s + 2 t ) + ( 2 s + 4 ) ( t s 2 ) 2 s 2 ( 1 s ) ] ϕ 5 = ( 3 s 2 7 s + 2 + 8 t ) ϕ 5 = [ 5 s 2 7 s + 2 + 8 ( t s 2 ) ] ϕ 5 ( s 1 ) ( 5 s 2 ) ϕ 5 > 0.

那么依据命题1,当 c > 0 H σ = 0 时,对式(18)进行积分会出现一个矛盾,所以在条件 0 b < 2 5 下,

Finsler流形 ( M ˜ , F ˜ ) 中不存在闭的可定向的HT-极小曲面。

基金项目

论文由西南交通大学基础培育项目《黎曼–芬斯勒几何若干问题研究》资助(No. 2682021ZTPY042)。

文章引用: 晏 文 (2021) 一类Finsler子流形的研究。 理论数学, 11, 1020-1030. doi: 10.12677/PM.2021.116116

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