局域规范变换中协变导数Dμ的作用新探
A New Study on the Role of Covariant Derivative Dμ in Local Gauge Transformation

作者: 赵国求 :华中科技大学WISCO联合实验室,湖北 武汉;

关键词: 波函数整体规范变换局域规范变换协变导数相互作用场Wave Function Global Gauge Transformation Local Gauge TransformationCovariant Derivative Interaction Field

摘要: 局域规范变换通过协变导数引进规范场 体现电磁作用的理解是不准确的。其实,对自由带电粒子作局域规范变换时就引进了电磁场作用。通过协变导数引进规范场 是消除局域规范变换引进的电磁场作用。这是恢复带电粒子自由运动状态和洛仑兹协变,保证狄拉克方程形式不变性的物理数学操作。

Abstract: It is not accurate to say that electromagnetic action is represented by introducing gauge field through covariant derivative. In fact, the local gauge transformation of charged free particles in-troduces electromagnetic fields. The introduction of gauge field by covariant derivative eli-minates the effect of electromagnetic field introduced by local gauge transformation. This is a physical and mathematical operation to restore the free motion state of charged particles and Lo-rentz covariant to ensure the form invariance of Dirac equation.

1. 整体规范变换

对自由带电粒子 ψ ψ ¯ μ ψ 做整体规范变换, α = 常数, μ α = 0 ,有

ψ ψ = e i α ψ

ψ ¯ ψ ¯ = ψ ¯ e i α

μ ψ μ ψ = e i α μ ψ

ψ ψ ¯ μ ψ 按相同规律变换。即可得到洛伦兹协变形式的狄拉克方程 [1]

( i r μ μ m ) ψ = 0

双4维时空量子力学中,波函数是物理波 [2] [3]。波函数乘上 α = 常数的相因子,实际就是在原来波函数相位上再加上一个固定的相因子 α ,得到的新波函数 ψ ,波函数增加了一个初相,波函数之间(或叠加态本征态之间)仍然保持固定相差,是波函数全空间坐标平移。整体规范变换自由带电粒子不受力,仍作自由运动 [2]。波函数量子平行态的存在(量子测量前的U过程),让狄拉克方程仍然成立。如果ψ(x)是自旋波函数,整体规范变换只是在自旋量子平行态之间增加一个固定相差,自旋与轨道没有偶合作用,电子仍然作自由运动。

2. 局域规范变换

上式中,若 α = α ( x ) ,即所乘相位因子是时空坐标x的函数。对自由带电粒子的场量 ψ 及其导数 μ ψ 做局域规范变换:

ψ ψ = e i α ( x ) ψ

ψ ¯ ψ ¯ = e i α ( x ) ψ ¯

μ ψ μ ψ = μ [ e i α ( x ) ψ ] = e i α ( x ) μ ψ i μ α ( x ) e i α ( x ) ψ e i α ( x ) μ ψ

由于 μ α ( x ) 0 ,场量与场量导数的变换不一致,不能得到洛仑兹协变的狄拉克方程。分析发现,数学上,通过引入协变导数 D μ

μ D μ = μ i e A μ

体现带电粒子与电磁场的作用,即可得到形式不变的狄拉克场方程:

( i r μ D μ m ) ψ = 0

可见,通过协变导数引进规范场 A μ ,体现电磁场与带电粒子之间的相互作用,就可实现局域规范变换规范不变性 [1]。

3. 规范变换协变导数的物理意义

我们认为,整体规范变换没有引进相互作用,带电粒子仍作自由运动。而作局域规范变换 α ( x ) 常数,耦合势 U = e α ( x ) 就已经使自由带电粒子置于电磁场中,受到了相互作用 [2]。其实,局域规范变换就是一种量子测量作用。 α ( x ) 常数, e i α ( x ) ψ 表明波函数之间(或叠加态本征态之间)固定相差不存在,纯态演变成混合态,相干性消失 [2]。自由带电粒子受到电磁力作用,作变速运动,在状态转变中,自由运动状态和洛仑兹协变遭到了破坏。量子测量的R过程即表现其中 [4]。因此,通过协变导数引进规范场 A μ 是消除局域规范变换引进的电磁场作用,恢复带电粒子自由运动状态和洛仑兹协变,保证狄拉克场方程形式不变性的物理数学操作 [2]。这样,规范场论中通过协变导数引进规范场,保证流和荷的守恒,物理上也得到了合理解释 [5]。

对自旋波函数ψ(x)作局域规范变换,相当于自旋与轨道之间引进了偶合作用。氢原子轨道上电子在耦合势 U = e α ( x ) 的作用下,从自由电子纯态演变成自旋向上,自旋向下的混合态。测量中我们将观察到自旋向上,自旋向下的混合态电子轨道精细结构 [2] [5]。

对自旋波函数ψ(x)作局域规范变换就能体现自旋–轨道耦合作用。引进协变导数 D μ 是消除自旋与轨道偶合作用。电子作自由运动,即可保证狄拉克场方程形式的不变性。狄拉克方程 [5] [6]

( i r μ D μ m ) ψ = 0

成立。

量子色动力学也类似。在夸克与胶子场的作用中,数学上要用到群论。考虑到夸克、胶子场的物质实在性,及其相位的物理意义,量子色动力学完全可以做出相同的力学分析。夸克与胶子场的作用也是在局域规范变换中实现的,协变导数引进规范场也只是一种抵消作用 [1] [2]。夸克作自由运动,即可保证狄拉克场方程形式的不变性。

4. 结论

1) 通过协变导数引进规范场,让粒子作自由运动,能保证狄拉克方程形式不变。

2) 带电粒子作自由运动,就可以保证局域规范变换中封闭曲面流和荷的守恆。

3) 对自旋波函数ψ(x)作局域规范变换,自旋与轨道之间就引进了偶合作用。

文章引用: 赵国求 (2021) 局域规范变换中协变导数Dμ的作用新探。 现代物理, 11, 77-79. doi: 10.12677/MP.2021.114010

参考文献

[1] 胡瑶光. 规范场论[M]. 上海: 华东师范大学出版社, 1984: 6-13, 176-181.

[2] 赵国求. 双4维时空量子力学基础[M]. 武汉: 湖北科学技术出版社, 2016: 165-167, 203-213.

[3] Zhao, G.Q. (2019) Meaning of the Wave Function and the Origin of Probability in Quantum Mechanics. International Journal of Quantum Foundations, 1, 32-45. https://www.ijqf.org/archives/5710

[4] 张永德. 量子菜根谭[M]. 北京: 清华大学出版社, 2016: 27-58.

[5] 赵国求. 规范场论中引进协变导数的物理实质及哲学思考[J]. 科学研究月刊, 2006(7): 133.

[6] 罗杰•彭罗斯. 通向实在之路[M]. 王文浩, 译. 长沙: 湖南科学技术出版社, 2008: 286, 639-644, 667.

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