﻿ 级数理论的实际应用初探

# 级数理论的实际应用初探A Preliminary Study on the Practical Applications of Series Theory

Abstract: The emergence of series comes from the actual production, and conversely, series also has a huge application space in practice. This paper explores the applications of series in mathematics and other fields. Firstly, the problems of complex limit calculations and approximate calculations are transformed into simple series problems by using series theory. Secondly, it focuses on the applications of series in the field of biology, discusses the application of series in predicting the number of confirmed cases of COVID-19, and puts forward a new method for estimating biorhythm by using McLaughlin series.

1. 引言

2. 预备知识

${u}_{1}+{u}_{2}+\cdots +{u}_{n}+\cdots$, (1)

1) 当 $q<1$ 时，级数 $\sum {u}_{n}$ 收敛；

2) 当 $q>1$$q=+\infty$ 时，级数 $\sum {u}_{n}$ 发散。

$f\left(x\right)=f\left({x}_{0}\right)+{f}^{\prime }\left({x}_{0}\right)\left(x-{x}_{0}\right)+\frac{{f}^{″}\left({x}_{0}\right)}{2!}{\left(x-{x}_{0}\right)}^{2}+\cdots +\frac{{f}^{\left(n\right)}\left({x}_{0}\right)}{2!}{\left(x-{x}_{0}\right)}^{n}+\cdots$

$f\left(0\right)+\frac{{f}^{\prime }\left(0\right)}{1!}x\text{+}\frac{{f}^{″}\left(0\right)}{2!}{x}^{2}+\cdots +\frac{{f}^{\left(n\right)}\left(0\right)}{2!}{x}^{n}+\cdots$,

3. 级数在数学领域中的应用

3.1. 在求极限中的应用

3.2. 在近似计算中的应用

$\mathrm{sin}x=x-\frac{{x}^{3}}{3!}+\frac{{x}^{5}}{5!}+\cdots +{\left(-1\right)}^{n+1}\frac{{x}^{2n-1}}{\left(2n-1\right)!}+\cdots ,x\in \left(-\infty ,+\infty \right)$. (3)

$x=2$ 代入(3)式得， $\mathrm{sin}2=2-\frac{{2}^{3}}{3!}+\frac{{2}^{5}}{5!}+\cdots +{\left(-1\right)}^{n+1}\frac{{2}^{2n-1}}{\left(2n-1\right)!}+\cdots$。余项

$\begin{array}{c}{R}_{n}={\left(-1\right)}^{n+2}\frac{{2}^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}+{\left(-1\right)}^{n+3}\frac{{2}^{2n+3}}{\left(2n+3\right)!}+{\left(-1\right)}^{n+4}\frac{{2}^{2n+5}}{\left(2n+5\right)!}+\cdots \\ ={2}^{2n+1}\left[{\left(-1\right)}^{n+2}\frac{1}{\left(2n+1\right)!}+{\left(-1\right)}^{n+3}\frac{{2}^{2}}{\left(2n+3\right)!}+{\left(-1\right)}^{n+4}\frac{{2}^{4}}{\left(2n+5\right)!}+\cdots \right]\\ <{2}^{2n+1}\left[\frac{1}{\left(2n+1\right)!}+\frac{{2}^{2}}{\left(2n+3\right)!}+\frac{{2}^{4}}{\left(2n+5\right)!}+\cdots \right]\\ <\frac{{2}^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}\left(1+{2}^{2}+{2}^{4}+\cdots \right)\end{array}$

$n=5$，则有 $0<|{R}_{5}|=\frac{1023}{1871100}<0.001$，故 $\mathrm{sin}2=2-\frac{{2}^{3}}{3!}+\frac{{2}^{5}}{5!}-\frac{{2}^{7}}{7!}+\frac{{2}^{9}}{9!}=0.909$

3.3. 在积分计算中的应用

$\begin{array}{c}{\int }_{0}^{1}\mathrm{ln}{\left(1-x\right)}^{2}\text{d}x=2{\int }_{0}^{1}\mathrm{ln}\left(1-x\right)\text{d}x=-2{\int }_{0}^{1}\underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{x}^{n}}{n}\text{d}x\\ =-2\underset{n\to \infty }{\mathrm{lim}}\left[{\int }_{0}^{1}x\text{d}x+{\int }_{0}^{1}\frac{{x}^{2}}{2}\text{d}x+\cdots +{\int }_{0}^{1}\frac{{x}^{n}}{n}\text{d}x\right]\\ =-2\underset{n\to \infty }{\mathrm{lim}}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\cdots +\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\\ =-2\underset{n\to \infty }{\mathrm{lim}}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=-2\end{array}$

4. 级数在生物领域的应用

4.1. 在新冠肺炎疫情中的应用

2020年3月，新冠肺炎在美国爆发，为了研究疫情扩散速度及特点，人们统计了疫情爆发初期的20天(2020年3月6日~2020年3月25日)的确诊病例数 [5]，将这些数据作为样本绘制出图1中的散点图。横轴代表日期，纵轴代表确诊病例数。不难看出，新冠肺炎确诊人数增长趋势大致呈“J”型曲线 [6]。因此我们猜测，确诊病例数每天以一定的倍数增长，不妨将这个倍数设为q，即，第二天的病例数是第一天的q倍。再进一步假设第 $n+1$ 天的确诊病例数为 ${a}_{n}$，则有 ${a}_{n}={a}_{0}\cdot {q}^{n}$，其中 ${a}_{0}=319$，表示第一天，即3月6日的确诊病例数。从第二天起，将每一天的确诊病例数与前一天的比记为 ${q}_{t}\left(t=1,2,\cdots ,19\right)$，根据公式 $q=\frac{1}{19}\underset{t=1}{\overset{19}{\sum }}{q}_{t}$ 粗略算出 $q=1.33$图1中，根据20天的确诊病例数绘制出的散点图与曲线 $y=319\cdot {1.33}^{x}$ 的图像大致拟合。故可推断美国新冠疫情爆发初期呈“J”型曲线增长，符合几何级数的规律。假设人们不对病毒进行防御，那么新冠确诊人数将会以几何级数的形式增长，这将会给美国带来经济损失、社会动荡、政治混乱等负面影响。截止2020年4月4日，美国新冠肺炎累计确诊31,794例，按照我们的几何级数预测模型，计算结果为1,193,348例。这表明对疫情采取的防控措施是必要的，但美国的疫情形势依然严峻。反观之，我国作为世界上首个面临新冠疫情挑战的国家，通过采取强有力的防御和救治措施，抗疫已取得重大阶段性胜利，这得益于以习近平同志为核心的党中央的坚强领导和中国特色社会主义制度的优越性。

Figure 1. Curve: the number of confirmed cases in the first 20 days of the outbreak of COVID-19 in the United States

Figure 2. Effect picture of traditional SEIR epidemic model

4.2. 在生物节律中的应用

$\mathrm{sin}t=t-\frac{{t}^{3}}{3!}+\frac{{t}^{5}}{5!}+\cdots +{\left(-1\right)}^{n+1}\frac{{t}^{2n-1}}{\left(2n-1\right)!}+\cdots ,\text{}t\in \left(-\infty ,+\infty \right)$.

$\mathrm{sin}\frac{2\pi }{23}x=\frac{2\pi }{23}x-\frac{{\left(\frac{2\pi }{23}x\right)}^{3}}{3!}+\frac{{\left(\frac{2\pi }{23}x\right)}^{5}}{5!}+\cdots +{\left(-1\right)}^{n+1}\frac{{\left(\frac{2\pi }{23}x\right)}^{2n-1}}{\left(2n-1\right)!}+\cdots ,\text{}x\in \left(0,22\right)$. (4)

$\mathrm{sin}\frac{\pi }{14}y=\frac{\pi }{14}y-\frac{{\left(\frac{\pi }{14}y\right)}^{3}}{3!}+\frac{{\left(\frac{\pi }{14}y\right)}^{5}}{5!}+\cdots +{\left(-1\right)}^{n+1}\frac{{\left(\frac{\pi }{14}y\right)}^{2n-1}}{\left(2n-1\right)!}+\cdots ,\text{}y\in \left(0,27\right)$. (5)

$\mathrm{sin}\frac{2\pi }{33}z=\frac{2\pi }{33}z-\frac{{\left(\frac{2\pi }{33}z\right)}^{3}}{3!}+\frac{{\left(\frac{2\pi }{33}z\right)}^{5}}{5!}+\cdots +{\left(-1\right)}^{n+1}\frac{{\left(\frac{2\pi }{33}z\right)}^{2n-1}}{\left(2n-1\right)!}+\cdots ,\text{}z\in \left(0,32\right)$. (6)

[1] 许宏文. 幂级数在函数值近似计算中的应用[J]. 牡丹江师范学院学报(自然科学版), 2003(1): 13-15.

[2] 杨京开, 陈秀红. 级数在求极限中的应用[J]. 玉林师范学院学报, 2014, 35(2): 31-34.

[3] 吴自库. π的级数计算方法[J]. 科技信息(科学教研), 2008(15): 337.

[4] 华东师范大学数学科学学院. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2019.

[5] 必然(美国疫情峰值3.58~5.78万?) [Z/OL].http://blog.sina.com.cn/s/blog_5000f4c901030zbl.html, 2020-04-05.

[6] 谭鹃, 霍静. 数学模型在“种群数量的变化”一节中的应用[J]. 生物学通报, 2017, 52(1): 42-44.

[7] seir模型_SEIR模型到底是什么? 五分钟带你理解并代码实现[Z/OL]. https://blog.csdn.net/weixin_39893274/article/details/111299056, 2020-12-08.

[8] 王洪斌. PSI、EQ理论在高等教育教学中的应用研究[J]. 辽宁教育研究, 2005(4): 11-13.

[9] 姬祥, 薛景仰, 杨文明. 基于人体生物节律的人员警示研究[J]. 价值工程, 2018, 37(8): 228-230.

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