余切群胚的辛约化
Symplectic Reduction for Cotangent Groupoids

作者: 戴远莉 :西南交通大学,四川 成都;

关键词: 李群胚辛流形辛群胚余切群胚辛约化Lie Groupoid Symplectic Manifold Symplectic Groupoid Cotangent Groupoid Symplectic Reduction

摘要:
给定李群胚以及I-空间N,本文考虑了余切群胚在余切丛TN上的辛群胚作用,并给出了辛约化的具体表示。

Abstract: Given a Lie groupoid  and I-space N, this paper considers symplectic groupoid actions of the cotangent groupoid  on the cotangent bundle TN. Meanwhile, this reduction is investigated concretely.

1. 引言

约化理论起源于力学发展的早期阶段,是一种古典但历久弥新的理论。由于辛几何与Hamiltonian力学的紧密联系,约化理论在辛几何中也得到了充分的发展,即辛约化理论。在经典辛约化理论中G-等变的矩映射 J : M ( L i e G ) 生成Lie群G在辛流形M上的Hamiltonian作用,从而在必要的附加条件下可得到辛约化流形 M r e d : = J 1 ( u ) / G u 。辛约化理论起源于Arnold [1],Smale [2],Meyer [3] 以及Marsden-Weinstein [4] 等著名数学家的相关工作,经半个多世纪的发展,迄今仍是辛几何中的研究热点之一。

本文要考虑的余切群胚辛约化与经典辛约化理论中的两种重要情形,即余切丛辛约化和辛群胚约化,有着密切的联系。具体来说,给定李群胚 Ι : G M 以及I-空间N,即给定 C 流形N以及 G M 在N上的作用。我们可以证明余切群胚 T G A G 是李群胚。若李群胚 G M 在N上的作用能被提升为余切群胚 T G A G 在余切丛余切群胚 T N 上的辛作用,则由辛约化技巧 [5] 我们可得到新的辛流形,并将证明此约化辛流形辛同胚于某个商流形的余切丛。

2. 余切群胚

首先回顾辛群胚的定义。

定义2.1 [6] 群胚包含两个集合G和M (分别称为群胚和群胚的基),满射 α , β : G M (分别称为源映射和靶映射),映射 1 : x 1 x , M G ,定义在 G × G 的子集 G 2 = { ( h , g ) G × G | α ( h ) = β ( g ) } 上的乘法 ( h , g ) h g ,满足:

1. 对任意 ( h , g ) G 2 ,有 α ( h g ) = α ( g ) β ( h g ) = β ( h )

2. 对任意 g , h , k G ,有 ( g h ) k = g ( h k ) ,其中 α ( g ) = β ( h ) α ( h ) = β ( k )

3. 对任意 x M α ( 1 x ) = β ( 1 x ) = x

4. 对任意 g G ,有 g 1 α g = g , 1 β g g = g

5. 对任意 g G ,G中存在逆元 g 1 ,满足 α ( g 1 ) = β ( g ) β ( g 1 ) = α ( g ) g 1 g = 1 α g g g 1 = 1 β g

定义2.2 [6] 一个群胚 G M 称为李群胚,如果G和M都是微分流形, α , β 都是浸没,并且乘法运算均为流形间的光滑映射。

定义2.3 [6] 令 G M 是一个李群胚,若在G上有辛结构 Ω ,使得乘法图像 u = { ( x , y , x y ) G × G × G | ( x , y ) G 2 } 是乘积辛流形 ( G , Ω ) × ( G , Ω ) × ( G , Ω ) 的拉格朗日子流形,则称 G M 为辛群胚。

引理2.1 [7] 设X为 C 流形,S为X的子流形,则余法丛 N S 是余切丛 ( T X , w c a n ) 的拉格朗日子流形,其中 w c a n 为余切丛 T X 的典范辛形式。

给定李群胚 G M ,以 T α G G 表示由切映射 T ( α ) : T G T M 诱导的向量丛,以 1 : M G m 1 m 表示单位映射。定义向量丛 A G M T α G G C 映射 1 : M G 下的拉回丛,从而对 x M ,纤维 A x G = ker T 1 x ( α ) = T 1 x α 1 ( x ) T 1 x G

定义结构映射 α , β ,乘积映射 · ,单位映射 1 ˜ ,以及逆映射如下:

① 定义 α ˜ : T G A G , ϕ α ˜ ( ϕ ) ,使得对 X A α g G ,有 α ˜ ( ϕ ) , X = ϕ , T ( L g ) ( X T ( 1 ) a X ) 。其中 a = a G : A G T M 为向量丛间的丛映射使得对 x M a x : A x G T x M X d β | 1 x ( X ) ,这里

X T 1 x G 满足 d α | 1 x ( X ) = 0

② 定义 β ˜ : T G A G , ϕ β ˜ ( ϕ ) ,使得对 Y A β g G ,有 β ˜ ( ϕ ) , Y = ϕ , T ( R g ) Y

③ 定义乘法运算 · : T G × T G T G ( ϕ , ψ ) ϕ · ψ 。其中 ϕ T g G , ψ T h G 满足 α ˜ ( ϕ ) = β ˜ ( ψ ) 。这里 X T g G Y T h G 满足 T ( α ) X = T ( β ) Y 使得 ϕ · ψ , X · Y = ϕ , X + ψ , Y

④ 定义单位映射 1 ˜ : A G T G ,使得对 φ A m G , ξ T 1 m G ,有 1 ˜ φ , ξ = φ , ξ T ( 1 ) T ( α ) ξ

⑤ 定义逆运算: T G T G , ϕ ϕ 1 。使得对 X T g G ϕ 1 , X 1 = ϕ , X (其中

ϕ T g G , X 1 T g 1 G 为X在逆运算 G G 的诱导切映射 T g G T g 1 G 下的像)。

定理2.1 给定李群胚 G M ,在上述定义的映射下, T G A G 为辛群胚。称 T G A G 为余切群胚。

证明:(1) 验证群胚结构:

① 任取 ϕ T g G , ψ T h G ,使得 α ˜ ( ϕ ) = β ˜ ( ψ ) ,则 ϕ · ψ T g h G 。需说明 α ˜ ( ϕ · ψ ) = α ˜ ( ψ ) β ˜ ( ϕ · ψ ) = β ˜ ( ϕ )

事实上, X A α ( g h ) G = A α ( h ) G ,有

α ˜ ( ϕ · ψ ) , X = ϕ · ψ , T ( L g h ) ( X T ( 1 ) a X ) = ϕ · ψ , 0 · T ( L h ) ( X T ( 1 ) a X ) = ϕ , 0 + ψ , T ( L h ) ( X T ( 1 ) a X ) = α ˜ ( ψ ) , X

从而 α ˜ ( ϕ · ψ ) = α ˜ ( ψ )

Y A β ( g h ) G = A β ( g ) G ,有

β ˜ ( ϕ · ψ ) , Y = ϕ · ψ , T ( R g h ) ( Y ) = ϕ · ψ , T ( R g ) ( Y ) · 0 = ϕ , T ( R g ) ( Y ) + ψ , 0 = β ˜ ( ϕ ) , Y

从而 β ˜ ( ϕ · ψ ) = β ˜ ( ϕ )

② 任取 ϕ 1 T f G , ϕ 2 T g G , ϕ 3 T h G ,且满足 α ˜ ( ϕ 1 ) = β ˜ ( ϕ 2 ) , α ˜ ( ϕ 2 ) = β ˜ ( ϕ 3 ) 。需说明 ϕ 1 · ( ϕ 2 · ϕ 3 ) = ( ϕ 1 · ϕ 2 ) · ϕ 3

任取 X 1 T f G , X 2 T g G , X 3 T h G ,且满足 T ( α ) X 1 = T ( β ) X 2 , T ( α ) X 2 = T ( β ) X 3 。从而 T ( α ) X 1 = T ( β ) ( X 2 · X 3 ) , T ( α ) ( X 1 · X 2 ) = T ( β ) X 3 ,从而 X 1 · ( X 2 · X 3 ) = ( X 1 · X 2 ) · X 3 。从而 ϕ 1 · ( ϕ 2 · ϕ 3 ) = ( ϕ 1 · ϕ 2 ) · ϕ 3

③ 任取 φ A m G ,需说明 α ˜ ( 1 φ ) = β ˜ ( 1 φ ) = φ

任取 X A m G T 1 m G ,则有

α ˜ ( 1 ˜ φ ) , X = 1 ˜ φ , T ( L 1 m ) ( X T ( 1 ) a X ) = 1 ˜ φ , ( X T ( 1 ) a X ) = φ , ( X T ( 1 ) a X ) T ( 1 ) T ( α ) ( X T ( 1 ) a X ) = φ , X

另外, β ˜ ( 1 ˜ φ ) , X = 1 ˜ φ , T ( R 1 m ) ( X ) = 1 ˜ φ , X = φ , X T ( 1 ) T ( α ) X = φ , X

④ 任取 ϕ T g G ,需说明 ϕ · 1 ˜ α ˜ ( ϕ ) = ϕ 1 ˜ β ˜ ( ϕ ) · ϕ = ϕ

任取 X T g G , Y T 1 α g G 满足 T ( α ) X = T ( β ) Y

ϕ · 1 ˜ α ˜ ( ϕ ) , X · Y = ϕ , X + 1 ˜ α ˜ ( ϕ ) , Y = ϕ , X + α ˜ ( ϕ ) , Y T ( 1 ) T ( α ) Y = ϕ , X + ϕ , T ( L g ) [ ( Y T ( 1 ) T ( α ) Y ) T ( 1 ) a ( Y T ( 1 ) T ( α ) Y ) ] = ϕ , X + ϕ , T ( L g ) [ ( Y T ( 1 ) T ( α ) Y ) T ( 1 ) T ( β ) ( Y T ( 1 ) T ( α ) Y ) ] = ϕ , X + ϕ , T ( L g ) ( Y T ( 1 ) T ( β ) Y ) = ϕ , X + T ( L g ) ( Y T ( 1 ) T ( β ) Y ) = ϕ , X · Y

任取 X T g G , Z T 1 β g G 满足 T ( α ) Z = T ( β ) X

1 ˜ β ˜ ( ϕ ) · ϕ , Z · X = 1 ˜ β ˜ ( ϕ ) , Z + ϕ , X = β ˜ ( ϕ ) , Z T ( 1 ) T ( α ) Z + ϕ , X = ϕ , T ( R g ) ( Z T ( 1 ) T ( α ) Z ) + ϕ , X = ϕ , T ( R g ) ( Z T ( 1 ) T ( α ) Z ) + X = ϕ , Z · X

⑤ 任取 ϕ T g G ,需说明 α ˜ ( ϕ 1 ) = β ˜ ( ϕ ) β ˜ ( ϕ 1 ) = α ˜ ( ϕ ) ϕ · ϕ 1 = 1 ˜ β ˜ ( ϕ ) ϕ 1 · ϕ = 1 ˜ α ˜ ( ϕ )

任取 X A α g 1 G = A β g G ,则

α ˜ ( ϕ 1 ) , X = ϕ 1 , T ( L g 1 ) ( X T ( 1 ) a X ) = ϕ 1 , T ( L g 1 ) ( T ( i ) X ) = ϕ 1 , T ( i ) T ( R g ) X = ϕ , T ( R g ) X = β ˜ ( ϕ ) , X

同理可证 β ˜ ( ϕ 1 ) = α ˜ ( ϕ )

任取 X T g G , Y T g 1 G 满足 T ( α ) X = T ( β ) Y X · Y T 1 β g G 。注意到 T 1 β g G 中的元素均可唯一表示

T ( 1 ) ( w ) + W ,其中 w T β g M , W A β g G

由于 w = T ( α ) X = T ( β ) Y ,从而 T ( 1 ) w = T ( 1 ) T ( β ) Y = Y · Y 1 。从而

ϕ · ϕ 1 , T ( 1 ) w = ϕ · ϕ 1 , Y · Y 1 = ϕ , Y + ϕ 1 , Y 1 = ϕ , Y ϕ , Y = 0

1 ˜ β ˜ ( ϕ ) , T ( 1 ) w = 1 ˜ β ˜ ( ϕ ) , T ( 1 ) T ( α ) X = 0 ,故 ϕ · ϕ 1 , T ( 1 ) w = 1 ˜ β ˜ ( ϕ ) , T ( 1 ) w

0 ˜ g 1 T g 1 G 为切空间 T g 1 G 中的零向量,则

W = ( T ( R g ) W ) · 0 ˜ g 1 ,(*)

若上式成立,则

ϕ · ϕ 1 , W = ϕ · ϕ 1 , ( T ( R g ) ) W · 0 ˜ g 1 = ϕ , ( T ( R g ) ) W + ϕ 1 , 0 ˜ g 1 = ϕ , T ( R g ) W = β ˜ ( ϕ ) , W = 1 β ˜ ( ϕ ) , W

从而 ϕ · ϕ 1 = 1 ˜ β ˜ ( ϕ ) 。同理可证 ϕ 1 · ϕ = 1 ˜ α ˜ ( ϕ )

注:由于 W A y G ,从而可取 C 曲线 γ : ( ε , ε ) G , ε > 0 充分小使得 t ( ε , ε )

γ ( 0 ) = 1 y , α ( γ ( t ) ) = y d d t | t = 0 γ ( t ) = W 。从而 T ( R g ) W = d d t | t = 0 R g ( γ ( t ) ) = d d t | t = 0 γ ( t ) g 从而

T ( R g ) W · 0 ˜ g 1 = d d t | t = 0 k ( γ ( t ) g , g 1 ) = d d t | t = 0 γ ( t ) = W

(2) 证明 G = { ( g , ϕ ) , ( h , ψ ) , ( g h , ϕ · ψ ) T G × T G × T G | α ˜ ( ϕ ) = β ˜ ( ψ ) } 是辛流形 ( T G , w 0 ) × ( T G , w 0 ) × ( T G , w 0 ) 的拉格朗日子流形,则 T G A G 为辛群胚。

由于 G M 为李群胚,从而 S = { ( g , h , g h ) G × G × G | α ( g ) = β ( h ) } G × G × G 的光滑子流形,由引理1可知,余法丛 N S ( T G , w c a n ) × ( T G , w c a n ) × ( T G , w c a n ) 的拉格朗日子流形。任取 ( g , h , g h ) S ,则余法丛 N S 的纤维为

{ ( ϕ , ψ , ϕ · ψ ) T g G × T h G × T g h G | α ˜ ( ϕ ) = β ˜ ( ψ ) }

此纤维同构于 { ( ϕ , ψ , ϕ · ψ ) T g G × T h G × T g h G | α ˜ ( ϕ ) = β ˜ ( ψ ) } 。得证。

3. 主要结果及证明

G M 是一个李群胚,N是一个 C 流形,并且 J : N M C 映射。

定义3.1 [8] 李群胚G在流形N上的带有矩映射J的作用是一个 C 映射 σ : G × J N N ( g , n ) g n ,其中 α ( g ) = J ( n ) ,满足以下条件:

(1) J ( g n ) = β ( g )

(2) ( g h ) n = g ( h n )

(3) 1 ( J ( n ) ) n = n

定义3.2 [8] 设 σ : G × J N N 是李群胚G在辛流形N上的作用,如果 G M 是辛群胚,并且作用的图像 u = { ( g , m , g m ) G × N × N | α ( g ) = J ( m ) } 是乘积辛流形 G × N × N ¯ 的拉格朗日子流形,则称 σ 为辛群胚作用。其中 N ¯ 表示辛流形 ( N , Ω )

定理3.1 [8] 令 ( M , J ) 为辛 Γ -空间,如果u是J的clean值, J 1 ( u ) / Γ u 为光滑流形使得投射 h u : J 1 ( u ) J 1 ( u ) / Γ u 为浸没映射。那么在 J 1 ( u ) / Γ u 上存在一个辛结构 Ω u 使得 h u Ω u = l u w M ,其中 l u J 1 ( u ) 到M的包含映射。这里称u为J的clean值,是指 J 1 ( u ) 为u的 C 子流形,并且对 m J 1 ( u ) T m J 1 ( u ) = ker T m J

下面开始考虑余切群胚在余切丛上的辛作用,并具体描述辛约化过程。具体来说,假设李群胚 G M 光滑作用在流形N上,且有矩映射 J : N M 。定义映射 J : T N A G 如下:任取 ( q , ϕ q ) T N ,定

J q ϕ q ( A G ) J ( q ) 使得对 X ( A G ) J ( q ) = T 1 J ( q ) α 1 ( J ( q ) ) J q ϕ q , X = ϕ q , X # ( q ) (其中 X # ( q ) T J ( q ) N 为由X诱导的切向量:任取 α 1 ( J ( q ) ) G 中通过 1 J ( q ) C 曲线 γ : ( ε , ε ) α 1 ( J ( q ) ) γ ( 0 ) = 1 J ( q ) 使得 d γ ( t ) d t | t = 0 = X ,则 X # ( q ) : = d d t | t = 0 γ ( t ) q T q N )。定义 J : T N A G ( q , ϕ q ) ( J ( q ) , J q ϕ q ) ,显然 J 是光滑的丛映射且使得图表 T N A G π N π M N M 可交换,其中 π N , π M 均为丛投影映射。

定理3.2假设余切群胚 T G A G 辛作用在余切丛上 T N 上,且以 J : T N A G 为矩映射。假设

0 m A G 为clean值使得 ( J ) 1 ( 0 m ) / G m C 流形,且 π 0 : ( J ) 1 ( 0 m ) ( J ) 1 ( 0 m ) / G m 为浸没映射,假

设m为clean值使得 ( J ) 1 ( m ) / G m C 流形,且 π J : J 1 ( m ) J 1 ( m ) / G m 为浸没映射,则约化辛流形

( J ) 1 ( 0 m ) / G m 辛微分同胚于余切丛 T ( J 1 ( m ) / G m )

证明:定义光滑映射 φ ¯ 0 : ( J ) 1 ( 0 m ) T ( J 1 ( m ) / G m ) 使得对 v q T q J 1 ( m ) T q N φ ¯ 0 ( ϕ q ) , T q π J ( v q ) : = ϕ q , v q 。下面说明与 v q 的选取无关,如果 v q , v q T q J 1 ( m ) 使得 T q π J ( v q ) = T q π J ( v q ) ,则 v q v q = ker T π J ( q ) = T q π J 1 ( [ q ] ) ,因此 v q v q = ξ G m # ( q ) ,其中 ξ G m L i e ( G m ) 。从而 ϕ q , v q v q = ϕ q , ξ G m # ( q ) = 0 ,即 ϕ q , v q = ϕ q , v q

下面说明 φ ¯ 0 G m -不变的。对于任意 g G m , v q T q N T g q π J ( g v q ) = T q π J ( v q ) ,从而

φ ¯ 0 ( g ϕ q ) , T q π J ( v q ) = φ ¯ 0 ( g ϕ q ) , T g q π J ( g v q ) = g ϕ q , g v q = ϕ q , v q = φ ¯ 0 ( ϕ q ) , T q π J ( v q ) ,所以对于

任意 g G m 及任意 ϕ q ( J ) 1 ( ξ ) ,有 φ ¯ 0 ( g ϕ q ) = φ ¯ 0 ( ϕ q )

下面说明 φ ¯ 0 是满射。如果 Γ [ q ] T [ q ] ( J 1 ( m ) / G m ) ,其中 [ q ] : = π J ( q ) 。我们定义 ϕ q ( J ) 1 ( 0 m ) 使得

ϕ q , v q : = Γ [ q ] , T q π J ( v q ) ,那么 φ ¯ 0 ( ϕ q ) = Γ [ q ]

从而 φ ¯ 0 诱导 C 满射 φ 0 : ( J ) 1 ( 0 m ) / G m J 1 ( m ) / G m ,满足 φ 0 π 0 = φ ¯ 0 (其中

π 0 : ( J ) 1 ( 0 m ) ( J ) 1 ( 0 m ) / G m )。

下面说明 φ 0 是单射。取 ϕ q , ϕ q ( J ) 1 ( ξ ) 满足 φ ¯ 0 ( ϕ q ) = φ 0 ( π 0 ( ϕ q ) ) = φ 0 ( π 0 ( ϕ q ) ) = φ ¯ 0 ( ϕ q ) 。从而有

g G m 使得 q = g q 。因为 J ( g ϕ q ) = A d g 1 J ( ϕ q ) = 0 可知 g α q , α q ( J ) 1 ( 0 m ) T q N 。由于 φ 0 G m -

不变的,则 φ ¯ 0 ( g ϕ q ) = φ ¯ 0 ( ϕ q ) ,即对于任意 v q T q N g ϕ q , v q = ϕ q , v q 。因此 ϕ q = g ϕ q ,从而 π 0 ( ϕ q ) = π 0 ( ϕ q )

下面说明 φ 0 是辛映射。令 θ c a n T ( J 1 ( m ) / G m ) 的典范1-形式, Θ c a n T J 1 ( m ) 的典范1-形式, i 0 : ( J ) 1 ( 0 m ) T J 1 ( m ) 为包含映射, π 0 : ( J ) 1 ( 0 m ) ( J ) 1 ( 0 m ) / G m 为商投影。

π J 1 ( m ) / G m : T ( J 1 ( m ) / G m ) J 1 ( m ) / G m 为余切丛投影,显然有 π J 1 ( m ) / G m φ ¯ 0 = π J π J 1 ( m ) i 0 。取

ϕ q ( J ) 1 ( 0 m ) , v T ϕ q ( J ) 1 ( 0 m ) ,则

( π 0 φ 0 θ c a n ) ( ϕ q ) , v = ( φ ¯ 0 θ c a n ) ϕ q , v = θ c a n ( φ ¯ 0 ( ϕ q ) ) , T ϕ q φ ¯ 0 ( v ) = φ ¯ 0 ( ϕ q ) , T φ ¯ 0 ( ϕ q ) π ( J ) 1 ( 0 m ) ( T ϕ q φ ¯ 0 ( v ) ) = φ ¯ 0 ( ϕ q ) , T ϕ q ( π ( J ) 1 ( 0 m ) φ ¯ 0 ) ( v ) = φ ¯ 0 ( ϕ q ) , T ϕ q ( π J π J 1 ( m ) i 0 ) ( v ) = φ ¯ 0 ( ϕ q ) , T q π J ( T ϕ q π J 1 ( m ) ( v ) ) = ϕ q , T ϕ q π J 1 ( m ) ( v ) = i 0 Θ ( ϕ q ) , v

π 0 φ 0 θ c a n = i 0 Θ c a n 。因此 π 0 φ 0 w c a n = i 0 Ω c a n ,其中 w c a n , Ω c a n 分别为 T ( J 1 ( m ) / G m ) , T ( J 1 ( m ) ) 的典范辛形式。由辛约化定理可知, φ 0 w c a n = Ω 0 ,其中 Ω 0 ( J ) 1 ( 0 m ) / G m 的约化辛形式。

因此 φ 0 : ( J ) 1 ( 0 m ) / G m T ( J 1 ( m ) / G m ) 为光滑辛双射。因为辛映射为浸入映射,故 φ 0 为浸入映射。由维数比较有

dim ( J ) 1 ( 0 m ) / G m = 2 dim J 1 ( m ) 2 dim G m = dim T ( J 1 ( m ) / G m )

φ 0 为局部微分同胚映射。又由于 φ 0 为双射,从而 φ 0 为微分同胚映射。

文章引用: 戴远莉 (2021) 余切群胚的辛约化。 理论数学, 11, 323-329. doi: 10.12677/PM.2021.113043

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