双曲空间中的Moser-Trudinger不等式
Moser-Trudinger Inequalities in Hyperbolic Spaces

作者: 郭明娟 , 王广兰 :临沂大学数学与统计学院,山东 临沂;

关键词: 双曲空间Moser-Trudinger不等式Adachi-Tabaka不等式Hyperbolic Spaces Moser-Trudinger Inequality Adachi-Tabaka Inequality

摘要:
本文利用分割水平集的技巧,借助于非增重排理论和O’Neil’s引理,把Moser-Trudinger不等式推广到双曲空间,所得结果推广和改进了近期的相应结果。

Abstract: In this paper, the Moser-Trudinger inequality is extended to hyperbolic space by using the technique of level set segmentation, non increasing rearrangement theory and O’Neil’s lemma. The results generalize and improve the recent results.

双曲空间 H n n 2 时是完备的,结合黎曼流形知识,截面曲率是常数-1,即:给定是维数以后,任意两个这样的空间是等距的 [1],双曲空间 H n 中有大量的模空空间,但是,最重要的一类模空间是等分空间模,也就是Poincaré模,即双曲空间或者Lorentz模。在涉及到旋转对称的时候,Poincaré球模极其有用,下面,我们利用Poincaré球模讨论问题,给定 n 2 ,我们用 B n 来表示 R n 中中心在原点的单位球。双曲空间中的Poincaré球模是单位球 B n 赋予下面的距离

g ( x ) = 4 1 | x | 2 | 2 i = 1 n d x i 2 .

与黎曼距离相匹配的体积元是

d V l o g = 2 n ( 1 | x | 2 ) 2 d x .

x B n ,用 ρ ( x ) = d ( x , 0 ) = ln 1 + | x | 1 | x | ,表示从x到0的测地距离, r > 0 时,用 B g ( 0 , r ) 表示球心在原点 半径为 r > 0 的测地开球。仍然用 表示 R n 中Euclidean梯度,同时用 . , . 表示 R n 中的标准内积,相对于距离g,在任何切向空间中,双曲梯度 g 和内积 . , . g 为如下形式:

g = ( 1 | x | 2 ) 2 4 , . , . g = 4 ( 1 | x | 2 ) 2 . , . .

为简单起见,对 H n 里的光滑函数u,我们用 | g u | g = g u , g u g ,因此有如下的关系

B n | g u | g n d V 0 l g = B n | u | n d x . (1.1)

结合(4.1.1),我们知道到Sobolev空间是 C 0 ( B n ) 完备的形式,当定义在Poincaré球模上的空间 W 0 1 , n ( B n ) 被赋予范数 ( B n | u | n ) 1 n 时,我们把它表示为 W 1 , n ( B n ) W 0 1 , n ( B n ) 里径向组成对称的函数构成的子空间我们用 W 0 , n 1 , n ( B n ) 表示。

众所周知,双曲空间 H n 中的对称问题是个很重要的问题。现在,我们来回忆一些双曲空间的重排理论。设 u : H n R 表示下面的函数:

V 0 l g ( { x H n : | u ( x ) | > t } ) = { x H n : | u ( x ) | > t } d V 0 l g < , t > 0 .

对上面的函数u,它的分布函数用 μ u 表示,定义为

μ u = V 0 l g ( { x H n : | u ( x ) | > t } ) , t > 0 .

函数 ( 0 , ) t μ u ( t ) 是非增右连续的。那么u的非增重排函数 u 定义为

u ( t ) = sup { s > 0 : μ u ( s ) > t } .

注意到 ( 0 , ) t u ( t ) 是非增的,现在定义u径向非增重排函数 u g #

u g # = u ( V 0 l g ( B g ( 0 , ρ ( x ) ) ) ) , x B n . (1.2)

我们再定义一个 R n 上的函数 u e #

u g # = u ( σ n | x | n ) , x B n . (1.3)

这里 σ n 表示R中单位球的体积,因为 u , u g # , u e # 都有同样的非增重排函数,对任意的非增函数 Φ : [ 0 , ) [ 0 , ) ,有

B n Φ ( | u | ) d V 0 l g = B n Φ ( u g # ) d V 0 l g = R n Φ ( u E # ) d x = 0 Φ ( u ( t ) ) d t . (1.4)

这个不等式是两次变换替换的结果,但是,由Pólya-Szego原则,有

B n | g u g # | g n d V 0 l g B n | g u | g n d V 0 l g .

引理1. 设 n > 2 ,对任意的 0 λ ( n 1 n ) n , 0 < β < n ,那么对所有的 u C 0 ( B n ) : g u n , g n λ u n , g n 1 ,有

B n ϕ ( α n ( 1 β α ) | u | n n 1 ) ρ β J ( θ , ρ ) d V o l g < .

这里, ρ = ln 1 + | x | 1 | x | , J ( θ , ρ ) = ( sinh ρ ρ ) n 1

证明:参考Lam和Lu等人 [2] [3] [4] [5] [6] 使用分割水平集的方法,设 Ω ( u ) = { x B n , | u ( x 1 ) | } ,则有如下不等式

B n ϕ n ( α n ( 1 β α ) | u | n n 1 ) ρ ( x ) β J ( θ , ρ ) d V Ω ( u ) exp ( α n ( 1 β α ) | u | n n 1 ) ρ ( x ) β J ( θ , ρ ) d V + β \ Ω ( u ) ϕ n ( α n ( 1 β α ) | u | n n 1 ) ρ ( x ) β J ( θ , ρ ) d V I + I I (1.5)

对于II,我们需要一个简单而又有技巧的工具,简单验证可知,函数 J ( θ , ρ ) 关于ρ的单调递减的函数,而且 J ( θ , ρ ) J ( θ , 0 ) = 1 ,设 g ( ρ ) = 1 ρ ( x ) β J ( θ , ρ ) ,则 g ( t ) = ( n t ω n 1 ) β n , t > 0 。因此有

β \ Ω ( u ) ϕ n ( α n ( 1 β n ) | u | n n 1 ) ρ ( x ) β J ( θ , ρ ) d V < ˜ B n \ Ω ( u ) | u | n ρ ( x ) β d V < ˜ { | u | < 1 } { ρ u n } | u | n ρ ( x ) β d V + { | u | < 1 } { ρ u n } | u | n ρ ( x ) β d V < ˜ { | u | < 1 } { ρ u n } 1 ρ ( x ) β d V + { | u | < 1 } { ρ u n } | u | n ρ ( x ) β d V < ˜ 0 u n sinh 3 t t β d t + 1 u n β { | u | < 1 } { ρ u n } u n d V C

对于不等式I,由重排理论得

Ω ( u ) exp ( α n ( 1 β α ) | u | n n 1 ρ ( x ) β J ( θ , ρ ) .

类似于 [7] 和 [8],令 v = ( g λ 1 n ) u 1 2 ,那么 B n | v | n 1 ,把u写成位势形式:

u = u ( | g | λ 1 n ) n = v φ 1

由O’Neil’s引理 [9] 和变量替换,经过简单计算可得:

I = 0 | Ω | exp ( ( 1 β n ) α n u ( t ) n n 1 ) g ( t ) d t 0 Ω exp ( ( 1 β n ) α n | 1 t 0 t v ( s ) d s 0 t φ 1 ( s ) d s + 0 v ( s ) φ 1 ( s ) d s | n n 1 ) g ( t ) d t 0 Ω 0 + exp ( ( 1 β n ) α n | 1 Ω 0 e t 0 Ω 0 e t v ( s ) d s 0 Ω 0 e t φ 1 ( s ) d s + Ω 0 e t v ( s ) φ 1 ( s ) d s | n n 1 ) g ( t ) d t = Ω 0 0 + e F ( t ) d t

这里

F ( t ) = t ( 1 β α ) α n | 1 Ω 0 e t 0 Ω 0 e t v ( s ) d s 0 Ω 0 e t φ 1 ( s ) d s + Ω 0 e t v ( s ) φ 1 ( s ) d s | n n 1 ln g ( Ω 0 e t )

ψ ( t ) = Ω 0 e t v ( Ω 0 e t ) , φ ( t ) = α n Ω 0 e t φ 1 ( Ω 0 e t )

F ( t ) 可以表示成如下的形式:

F ( t ) = t ( 1 β n ) ( e t t e s 2 ψ ( s ) d s t e s 2 φ ( s ) d s + t ψ ( s ) φ ( s ) d s ) n n 1 ln g ( Ω 0 e t ) = t ( 1 β n ) ( + a ( s , t ) φ ( s ) d s ) n n 1 ln g ( Ω 0 e t )

a ( s , t ) 为如下形式

a ( s , t ) = { φ ( s ) , s < t e t ( t e r 2 φ ( r ) d r ) e s 2 , s > t

下面我们需要证明 0 + e F ( t ) d t < C 。这里的C是 φ 有关的常数。(从现在开始,我们统一用C表示某个合适的正常数,可能行与行之间是不同的数)。现在,我们需要证明:

1) 存在与 φ 有关的常数满足 inf t 0 F ( t ) C

2) 设 E λ = { t 0 : F ( t ) λ } ,那么存在依赖于 φ 的两个常数 C 1 C 2 满足

| E λ | C 1 | λ | + C 2 .

参考 [7] 中引理5.1的方法可知

( + α ( s , t ) ψ ( s ) d s ) n n 1 t + C .

这里的C是与 φ 有关的常数,结合 g ( t ) ( n t ω n 1 ) β n 可得

F ( t ) = t ( 1 β n ) ( + a ( s , t ) ψ ( s ) d s ) n n 1 ln g ( Ω 0 e t ) t ( 1 β n ) ( t + C ) + β n ( ln n Ω 0 ω n 1 t ) = ( β n 1 ) + β n ln n Ω 0 ω n 1 = C

1) 得证

下面,我们证明2)。设 R > 0 ,不失一般性,假设 E λ [ R , ) ϕ 。设 t 1 , t 2 E λ [ R , ) ϕ ,并且 t 1 > t 2 。那么,经过计算可得:

t 2 λ ( 1 β n ) ( + a ( s , t ) ψ ( s ) d s ) n n 1 + ln g ( Ω 0 e t ) ( 1 β n ) ( + a ( s , t ) ψ ( s ) d s ) n n 1 β n ( ln n Ω 0 ω 3 t 2 )

因此

t 2 λ ( 1 β n ) ( + a ( s , t ) ψ ( s ) d s ) n n 1 β n ( ln n Ω 0 ω 3 t 2 )

后续计算完全类似于文献 [10] 的方法,此处我们略去这些计算。

定理1. 设 n 2 , 0 β n ,则对任意的 0 λ ( n 1 n ) n

sup u W 1 , n ( H n ) , g u n , g n λ u n , g n 1 B n ϕ n ( α n ( 1 β n ) | u | n n 1 ) ρ β d V 0 l g < (1.6)

成立,而且,当 α > α n 时,上式取不到上确界。

证明:由 [11] 可知

1 ρ β 1 + 1 ρ β J ( θ , ρ ) J θ R n 1 , ρ [ 0 , 1 ] ( θ , ρ ) ( 1 + 1 ρ β J ( θ , ρ ) ) C .

B n ϕ n ( α n ( 1 β n ) | u | n n 1 ) ρ β d V 0 l g B n ϕ n ( α n ( 1 β n ) | u g # ( x ) | n n 1 ) ρ β d V 0 l g c B n ϕ n ( α n ( 1 β n ) | u g # | n n 1 ) ρ β d V 0 l g + C B n ϕ n ( α n ( 1 β n ) | u g # | n n 1 ) d V 0 l g = C ( I + I I )

由引理1可得 I C ,由 [12] 中定理1可得 I I C

注意到,定理(1)中的 λ 达不到 ( n 1 n ) n ,一个很自然的问题是什么条件下 λ 可以取到 ( n 1 n ) n ,下面的定理2给出了回答。

定理2:设 n 2 0 < β < n ,则当 α < α n

sup u W 1 , n ( H n ) , g u n , g n n 1 n u n , g n 1 B n ϕ n ( α ( 1 β n ) | u | n n 1 ) ρ β d V 0 l g C ( u n , g n β + u n , g n ) (1.7)

成立。

证明:

B n ϕ n ( α ( 1 β n ) | u | n n 1 ) ( 1 + | u | ) n n 1 ρ β d V 0 l g C B n ϕ n ( α ( 1 β n ) | u | n n 1 ) ( 1 + | u | ) n n 1 ρ β J ( θ , ρ ) d V 0 l g + C B n ϕ n ( α ( 1 β n ) | u | n n 1 ) ( 1 + | u | ) n n 1 d V 0 l g = C ( I 1 + I 2 )

由 [13] 中Adachi-Tabaka不等式可知,如果 u W 1 , n ( B n ) , g u n , g n ( n 1 n ) n u n , g n 1 ,当 α < α n 时有

I 2 = B n ϕ ( α ( 1 β n ) | u | n n 1 ) ( 1 + | u | ) n n 1 d V 0 l g B n ϕ ( α | u | n n 1 ) ( 1 + | u | ) n n 1 d V 0 l g u n , g n

J ( θ , ρ ) = ( sinh ρ ρ ) n 1 ,令 g ( ρ ) = 1 ρ β J ( θ , ρ ) 那么 g ( t ) = ( n t ω n 1 ) β n ,再令 h ( x ) = 1 | x | β ,那么 h ( t ) = ( n t ω n 1 ) β n ,由1.4和 [14] 可得当 α α n

I 1 R n ϕ n ( α ( 1 β n ) u e # n n 1 ) ( 1 + | u e # | ) n n 1 | x | β d x R n ϕ n ( α ( 1 β n ) u e # n n 1 ) ( 1 + | u e # | ) n n 1 ( 1 β n ) | x | β d x C u e # n n β C u n , g n β

因此,

B n ϕ n ( α ( 1 β n ) | u | n n 1 ) ( 1 + | u | ) n n 1 ρ β d V 0 l g C ( u n , g n β + u n , g n )

即:

sup u W 1. n ( H n ) , g u n , g n ( n 1 n ) n u n , g n 1 1 u n , g n β + u n , g n B n ϕ n ( α ( 1 β n ) | u | n n 1 ) ( 1 + | u | ) n n 1 ρ β <

我们注意到:当 λ = 0 , β = 0 时,定理1包含Moser-Trudinger不等式。(1.4)作为特殊情况之一;当 β = 0 时,定理1是 [12] 中定理1.1改进的形式,而且,根据(1.4)中常数的最佳性质,可以知道(1.7)中 α n ( 1 β n ) 也是最佳的。在断点情况,即当 λ = ( n 1 n ) n 时,(1.7)中的上确界是取不到,此情形下, [14] [15] 把Hardy-Moser-Trudinger不等式从 [16] 的二维空间推广到了任意维数空间。

NOTES

*通讯作者。

文章引用: 郭明娟 , 王广兰 (2021) 双曲空间中的Moser-Trudinger不等式。 应用数学进展, 10, 453-460. doi: 10.12677/AAM.2021.102051

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