基于MATLAB的近似直线机构的解析分析与实现
Analysis and Implement of an Approximate Straight-Line Mechanism Based on MATLAB

作者: 李克勤 :湖北工业大学机械工程学院,湖北 武汉; 姜翠香 :武汉科技大学理学院,湖北 武汉;

关键词: 解析分析直线机构运动学分析Analytical Method Straight-Line Mechanism Kinematics Analysis

摘要: 近似直线机构因组成构件少、机构的累积误差小、传动效率高,在冶金工业和轻工业自动化生产线、物流行业的物料垂直搬运与输送中起到很重要的作用。运用解析法、机构学原理来分析该近似直线机构的运动特性,分析了不同尺寸案例并在MATLAB软件平台上实现,为后续的概念设计和方案设计实施提供了便利和基础。

Abstract: Because of less components, small cumulative error and high transmission efficiency, the ap-proximate straight-line mechanism plays an important role in metallurgy industrial and light in-dustry automatic production line, material vertical handling and transportation in logistics indus-try. Analytical method and mechanism theory applied to analyze the motion characteristics of the approximate straight-line mechanism. Differential size samples analyzed, implemented by MATLAB, it’s convenient for conceptual and scheme design of project.

1. 引言

在平面四杆机构(含曲柄摇杆机构、双摇杆机构)中有一类机构能够实现近似直线运动轨迹,如在港口广泛使用的门座式起重机 [1] [2]、物流行业的垂直上下传递输送物料的装置 [3],在选矿机械的直线筛分机器、冶金企业轧钢系统中的推钢机的机械传动、工业企业的钢材送入加热炉的送料搬运机械系统 [4] [5] [6] 中。

2. 近似直线机构的运动轨迹分析

机构分析方法在过去普遍使用图解法 [4] - [10],随着计算机技术的普及,解析分析法 [2] [11] [12] 得到了广泛应用。图1所示为一近似直线机构,它由曲柄 A C ¯ 、连杆 C B ¯ 、摇杆 E B ¯ 和机架 A E ¯ 组成,在满足一定的条件下,连杆 C B ¯ 的延长线的D点可得到近似直线运动轨迹。

α为铰点C和铰点E的连线CE与机架的夹角;β为连线CE与摇杆 E B ¯ 的夹角;γ为连杆 C B ¯ 与摇杆 E B ¯ 的夹角,此即为该机构的传动角;θ为连杆 C B ¯ (包含其延长线 B D ¯ )与水平线的夹角;φ为曲柄 A C ¯ 与机架 A E ¯ 的夹角(逆时针为正); l A C 为曲柄 A C ¯ 的长度; l C B 为连杆 C B ¯ 的长度; l E B 为摇杆 E B ¯ 的长度; l A E 为机架 A E ¯ 的长度; l B D 为连杆 C B ¯ 延长线的长度。

Figure 1. Geometrical relationship of approximate straight-line mechanism

图1. 近似直线机构的几何关系图

为了得到D点的运动轨迹,分二种情况讨论:

(1) 曲柄 A C ¯ 在0˚~180˚范围内

因曲柄 A C ¯ 可在360˚范围活动,摇杆 E B ¯ 只在有限范围内摆动,四边形AEBC的构型也会发生很大的变化。

此时,在图1中连接铰点C和铰点E,由余弦定理可求解得连线CE的长度 l C E

l C E = l A C 2 + l A E 2 2 l A C l A E cos φ (1)

式中:φ为曲柄 A C ¯ 的转动角(输入角)。

由三角形△ACE,据余弦定理可求得α角:

α = arccos ( l C E 2 + l A E 2 l A C 2 2 l C E l A E ) (2)

再据三角形△CBE,由余弦定理可求得β角:

β = arccos ( l C E 2 + l E B 2 l C B 2 2 l C E l E B ) (3)

同理,可求得该直线机构的传动角γ:

γ = arccos ( l C B 2 + l E B 2 l C E 2 2 l C B l E B ) (4)

传动角γ能很好地说明该水平直线机构的传动特性。

连杆 C B ¯ (包含其延长线 B D ¯ )与水平线的夹角θ可由式(5)求得。

θ = 180 ( α + β + γ ) (5)

所以,点D的轨迹方程即得。

{ x D = l A C cos φ + l C D cos θ y D = l A C sin φ + l C D sin θ (6)

(2) 曲柄 A C ¯ 在180˚~360˚范围内

当曲柄 A C ¯ 在180˚~360˚活动时,四边形AEBC的构型变化了,所以其几何关系发生了较大的变化,见图2所示。

Figure 2. Schematic geometrical relationship of approximate straight-line mechanism

图2. 近似直线机构的几何关系示意图

图2可知,此时的夹角θ应该由式(7)求解得到。

θ = 180 ( β α + γ ) (7)

点D的轨迹方程也有变化,可由式(8)得到。

{ x D = l A E l E B cos ( β α ) + l B D cos θ y D = l E B sin ( β α ) + l B D sin θ (8)

3. 摇杆 E B ¯ 的摆角分析

摇杆 E B ¯ 虽然只在有限范围内摆动,但其摆动角 ψ (与水平线的夹角,逆时针为正)关系式:

(1) φ在0˚~180˚时

ψ = 180 ( α + β ) (9)

(2) φ在180˚~360˚时

ψ = 180 ( β α ) (10)

4. 案例分析

分析案例1。据文献 [3]、 [5] 的信息有: l C B = l E B = l B D = 2.5 l A C l A E = 2 l A C 。为便于在MATLAB软件平台上编程实现,为方便分析,取 l A C = 10 单位量,表1为分析计算的结论,其轨迹输出可见图3图4图5为其摆角变化,图6为该直线机构的传动角变化。

Figure 3. Motion curve of point D ( φ [ 0 ˚ , 360 ˚ ] )

图3. D点的轨迹图(φ在0˚~360˚变化)

Figure 4. Motion curve of point D ( φ [ 90 ˚ , 270 ˚ ] )

图4. D点的轨迹图(直线段,φ在90˚~270˚变化)

Table 1. Results of analysis on two cases

表1. 案例分析的结论

Figure 5. Result of swing angle ψ of rocker E B ¯

图5. 摇杆 E B ¯ 的摆角ψ输出图

Figure 6. Result of transmission angle

图6. 传动角输出图

分析案例2。据文献 [6],其已知数据有: l C B = l E B = l B D = 4 l A C l A E = 3 l A C 。为便于比较,同样地,取 l A C = 10 单位量。其输出结论如表1图7~9所示。

二个案例分析表明:

在同样的曲柄活动范围(即φ在90˚~270˚变化),比较图4图7,其D点的输出直线段的有效区间:案例1的直线段长为40单位,案例1的垂直方向差值为0.0975单位,相对差值(垂直方向差值/直线段)0.002438;案例2的直线段长度为46.4758单位,垂直方向差值为0.4317单位,相对差值(垂直方向差值/直线段)为0.002648;显然,案例1比案例2的要好。要保持较好的直线度值,案例2的活动区间就必须缩小。

Figure 7. Motion curve of point D ( φ [ 90 ˚ , 270 ˚ ] )

图7. D点的轨迹图(直线段,φ在90˚~270˚变化)

Figure 8. Result of swing angle ψ of rocker E B ¯

图8. 摇杆 E B ¯ 的摆角ψ输出图

Figure 9. Result of transmission angle

图9. 传动角输出图

5. 结论

运用解析分析的方法对近似直线机构进行了运动学分析,得到了该近似直线机构的运动轨迹方程、传动角、摆角等重要的信息,为具体的机构选型与设计打下了扎实基础,方便项目的概念设计和方案设计实施。

(1) 在同样的曲柄活动范围(即φ在90˚~270˚变化),案例1的直线段长的区段比案例2的要大一些;案例1比案例2的要好。

(2) 摇杆 E B ¯ 的摆角输出,随尺寸的增大而输出相应的变小;案例1优于案例2。

(3) 传动角的变化趋势也是随尺寸增大而输出变小,这说明案例1的传动性能更佳。

(4) 案例1的综合性能比案例2更好,直线度更好一些,直线段的区域更大。

附录:程序代码

% MATLAB 实现程序

% AC为曲柄(主动件,φ为输入角)

% C、B、D在一条直线上;机架为AE;摇杆为EB

% CB=EB=BD=2.5*AC;AE=2*AC

%求D点的轨迹

clc;

AC=10;

CB=2.5.*AC;

EB=2.5.*AC;

BD=2.5.*AC;

AE=2.*AC;

phia=[0:2:180]*pi/180; %曲柄输入角在0到180°时

CE=sqrt(AC.*AC+AE.*AE-2.*AC.*AE*cos(phia)); %计算CE长度

alph=acos((CE.*CE+AE.*AE-AC.*AC)./(2.*CE.*AE)); %α

beta=acos((CE.*CE+EB.*EB-CB.*CB)./(2.*CE.*EB)); %β

gama =acos((CB.*CB+EB.*EB-CE.*CE)./(2.*CB.*EB)); %γ传动角

sita=pi-(alph+beta)-gama;

gama11= gama*180/pi;

baijiao=(pi-(alph+beta))*180/pi;%摇杆的摆角输出(°)

xd1=AC.*cos(phia)+(CB+BD).*cos(sita); %D点的横坐标

yd1=AC.*sin(phia)+(CB+BD).*sin(sita); %D点的纵坐标

phia1=[180:2:360]*pi/180; %当曲柄输入角在180°到360°时

CE1=sqrt(AC.*AC+AE.*AE-2.*AC.*AE*cos(2.*pi-phia1)); %计算CE长度

alph1=acos((CE1.*CE1+AE.*AE-AC.*AC)./(2.*CE1.*AE)); %α

beta1=acos((CE1.*CE1+EB.*EB-CB.*CB)./(2.*CE1.*EB)); %β

gama1=acos((CB.*CB+EB.*EB-CE1.*CE1)./(2.*CB.*EB)); %γ传动角

sita1=pi-(beta1-alph1)-gama1; %注意:几何关系变化

gama11= gama1*180/pi;

baijiao1=(pi-( beta1-alph1))*180/pi; %摇杆的摆角输出(°)

xd2=AE-EB.*cos(beta1-alph1)+BD.*cos(sita1); %D点的横坐标

yd2=EB.*sin(beta1-alph1)+BD.*sin(sita1); %D点的纵坐标

plot(xd1,yd1,xd2,yd2)%绘制轨迹图

grid

文章引用: 李克勤 , 姜翠香 (2021) 基于MATLAB的近似直线机构的解析分析与实现。 机械工程与技术, 10, 44-51. doi: 10.12677/MET.2021.101005

参考文献

[1] 倪庆兴, 王焕勇. 起重机械[M]. 上海: 上海交通大学出版社, 1990.

[2] 李克勤. 具有近似水平直线运动轨迹双摇杆变幅机构的运动学分析与计算[J]. 港口装卸, 2002(2): 5-7.

[3] 陈国华. 机械机构及应用[M]. 第2版. 北京: 机械工业出版社, 2013.

[4] 杨黎明, 杨志勤. 机构选型与运动设计[M]. 北京: 国防工业出版社, 2007.

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[8] 杨基厚. 机构运动学与动力学[M]. 北京: 机械工业出版社, 1987.

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[12] Dijksman, E.A. and Smals, A.T.J.M. (1996) λ-Formed 4-bar Linkages Set in a Translation-Position to Design Mechanisms Approximating a Straight Line. Mechanism and Machine Theory, 31, 1033-1042.
https://doi.org/10.1016/0094-114X(96)84596-4

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