矩阵算子的广义正交问题的研究
Study on Generalized Orthogonal Problems of Matrix Operators

作者: 边春阳 , 计东海 :哈尔滨理工大学理学院,黑龙江 哈尔滨;

关键词: 算子空间Birkhoff正交等腰正交Roberts正交Operator Space Birkhoff Orthogonal Isospheric Orthogonal Roberts Orthogonal

摘要:
本文考虑了在算子空间中,取T1,T2都为n × n矩阵,给出了T1和T2满足Birkhoff正交、等腰正交与Roberts正交的等价条件。

Abstract: This paper considers that in the operator space, taking T1, T2 and as n × n matrices, the equivalent conditions of T1 and T2 satisfying the orthogonal Birkhoff, isospheric orthogonal and Roberts are given.

1. 引言

本文将借助于赋范线性空间空间下广义正交的相关理论,探究算子空间下的广义正交的若干性质。特别是矩阵作为算子空间中的元素,取 T 1 T 2 都为 n × n 矩阵,给出了 T 1 T 2 满足Birkhoff正交、等腰正交 [1] 与Roberts正交的等价条件。

2. 算子空间中n×n矩阵广义正交的等价条件

定义1 [2] 设X是一个赋范线性空间, x , y X ,如果对于任意 α R 都有

x + α y x

则称x Birkhoff正交于y。

定义2 [3] 设X是一个赋范线性空间, x , y X ,如果

x + y = x y

则称x等腰正交于y。

定义3 [4] 设X是一个赋范线性空间, x , y X ,如果对于任意 α R 都有

x + α y = x α y

则称x Roberts正交于y。

定义4 [3] 295设X是一个赋范线性空间, x , y X ,如果

x + y 2 = x 2 + y 2

则称x勾股正交于y。

定义5 [5] 任意给出矩阵 A C n × n ,定义矩阵A的一个实函数,记作 A ,若此函数满足:

1) 正定性: A 0 ,当 A = 0 时等号成立。

2) 齐次性:任意给出 k C , A C n × n ,都有 k A = | k | A

3) 三角不等式:任意给出 A , B C n × n ,都有 A + B A + B

4) 任意给出 A , B C n × n ,都有 A B A B

定理1 设A和B是两个lp空间, T 1 , T 2 B ( A , B ) T 1 B T 2 当且仅当存在一个单位向量 x A T 1 x = T 1 T 1 x , T 2 x = 0

证明:首先证明充分性。假设x是空间A上的一个单位向量,对于任意的 λ R

T 1 + λ T 2 2 ( T 1 + λ T 2 ) x 2 = T 1 x 2 + λ 2 T 2 x 2 + 2 λ Re T 1 x , T 2 x = T 1 x 2 + λ 2 T 2 x 2 T 1 x 2 = T 1 2

所以 T 1 + λ T 2 T 1 ,充分性得证。

下面证明必要性。让 T 1 B T 2 ,即为 T 1 + λ T 2 T 1 。对于空间A上的一个单位向量x有 x = 1

因为 T 1 x T 1 ,又因为 T 1 x T 1 x = T 1 。所以有 T 1 x = T 1

如果 T 1 是一个半正定矩阵并且 T 2 B ( A , B ) ,使得 T 1 + λ T 2 T 1 成立。则存在一个单位向量x使得 T 1 x = T 1 x Re T 1 x , T 2 x = 0

集合 { u , T 2 u : u = 1 , T 1 u = T 1 u } 是集合 { u : u = 1 , T 1 u = T 1 u } 在二次形式 u u , T 2 u 下的像,我们称之 T 2 的数值范围对应于最大特征值为 T 1 T 1 的特征空间的限制,根据Hausdorff-toeplitz [6] 定理,这是一个凸集,因此集合 { Re u , T 2 u : u = 1 , T 1 u = T 1 u } 是一个凸集。我们得到存在一个单位向量x有

T 1 x = T 1 x Re T 1 x , T 2 x = 0

意味着 Re T 1 x , T 2 x = 0 所以必要性得证。

定理2 设 H K 是两个有限维Hilbert空间,让 T 1 , T 2 B ( H , K ) T 1 I T 2 当且仅当存在一个单位向量 x H T 1 x = T 1 T 2 x = T 2 T 1 x , T 2 x = 0

证明:首先我们证明充分性,假设x是空间 H 上的一个单位向量,有

T 1 + T 2 2 = ( T 1 + T 2 ) x 2 = T 1 x 2 + T 2 x 2 + 2 Re T 1 x , T 2 x = T 1 x 2 + T 2 x 2 = T 1 2 + T 2 2

T 1 T 2 2 = ( T 1 T 2 ) x 2 = T 1 x 2 + T 2 x 2 2 Re T 1 x , T 2 x = T 1 x 2 + T 2 x 2 = T 1 2 + T 2 2

所以 T 1 + T 2 2 = T 1 T 2 2 即为 T 1 + T 2 = T 1 T 2 因此 T 1 I T 2 充分性得证。

反过来我们证必要性,让 T 1 I T 2 即为 T 1 + T 2 = T 1 T 2 所以有 ( T 1 + T 2 ) x 2 = ( T 1 T 2 ) x 2 整理得

( ( T 1 + T 2 ) x 2 ( T 1 T 2 ) x 2 ) = 4 Re T 1 x , T 2 x = 0

因此 T 1 x , T 2 x = 0

对于空间 H 上的一个单位向量是x有 x = 1 因此有 T 1 x T 1 x = T 1 又因为 T 1 x T 1 所以有 T 1 x = T 1 。同理可得 T 2 x = T 2 。因此必要性得证。

定理3 设 H K 是两个有限维Hilbert空间,让 T 1 , T 2 B ( H , K ) T 1 R T 2 当且仅当存在一个单位向量 x H T 1 x = T 1 T 2 x = T 2 T 1 x , T 2 x = 0

证明:首先我们证明充分性,假设x是空间 H 上的一个单位向量,对于任意的 λ C

T 1 + λ T 2 2 = ( T 1 + λ T 2 ) x 2 = T 1 x 2 + | λ | 2 T 2 x 2 + 2 Re λ ˜ T 1 x , T 2 x = T 1 x 2 + | λ | 2 T 2 x 2 = T 1 2 + | λ | 2 T 2 2

T 1 λ T 2 2 = ( T 1 λ T 2 ) x 2 = T 1 x 2 + | λ | 2 T 2 x 2 2 Re λ ˜ T 1 x , T 2 x = T 1 x 2 + | λ | 2 T 2 x 2 = T 1 2 + | λ | 2 T 2 2

所以 T 1 + λ T 2 2 = T 1 λ T 2 2 即为 T 1 + λ T 2 = T 1 λ T 2 因此 T 1 R T 2 充分性得证。

反过来我们证必要性,让 T 1 R T 2 即为 T 1 + λ T 2 = T 1 λ T 2 所以有 ( T 1 + λ T 2 ) x 2 = ( T 1 λ T 2 ) x 2 整理得

( ( T 1 + λ T 2 ) x 2 ( T 1 λ T 2 ) x 2 ) = 4 Re λ ˜ T 1 x , T 2 x = 0

因此 T 1 x , T 2 x = 0

对于空间 H 上的一个单位向量是x有 x = 1 因此有 T 1 x T 1 x = T 1 又因为 T 1 x T 1 所以有 T 1 x = T 1 。同理可得 T 2 x = T 2 。因此必要性得证。

定理4 设 H K 是两个有限维Hilbert空间,让 T 1 , T 2 B ( H , K ) T 1 勾股正交 T 2 当且仅当存在一个单位向量 x H T 1 x = T 1 T 2 x = T 2 Re T 1 x , T 2 x = 0

证明:首先我们证明充分性,假设x是空间 H 上的一个单位向量,有

T 1 + T 2 2 = ( T 1 + T 2 ) x 2 = T 1 x 2 + T 2 x 2 + 2 Re T 1 x , T 2 x = T 1 x 2 + T 2 x 2 = T 1 2 + T 2 2

因此有 T 1 + T 2 2 = T 1 2 + T 2 2 ,所以 T 1 勾股正交 T 2 。充分性得证。

下面我们证必要性。让 T 1 勾股正交 T 2 ,即为 T 1 + T 2 2 = T 1 2 + T 2 2

对于空间 H 上的一个单位向量是x有 x = 1 因此有 T 1 x T 1 x = T 1 又因为 T 1 x T 1 所以有 T 1 x = T 1 。同理可得 T 2 x = T 2 。由 T 1 + T 2 2 = T 1 2 + T 2 2 可得

( T 1 + T 2 ) x 2 = T 1 x 2 + T 2 x 2 (1)

对于空间 H 上的一个单位向量是x有

( T 1 + T 2 ) x 2 = T 1 x 2 + T 2 x 2 + 2 Re T 1 x , T 2 x (2)

综合(1)和(2)可以得到 Re T 1 x , T 2 x = 0 所以必要性得证。

3. 结论

本文讨论了在算子空间中当算子是 n × n 方阵时,算子之间的广义正交性问题。分别给出了算子之间Birkhoff正交、等腰正交与Roberts正交的等价条件。

文章引用: 边春阳 , 计东海 (2021) 矩阵算子的广义正交问题的研究。 应用数学进展, 10, 48-51. doi: 10.12677/AAM.2021.101005

参考文献

[1] 吴森林, 计东海. 正交性相关问题的研究[D]: [硕士学位论文]. 哈尔滨: 哈尔滨理工大学, 2006: 34-46.

[2] Birkhoff, G. (1935) Orthogonality in Linear Metric Spaces. Duke Mathematical Journal, 1, 169-172.
https://doi.org/10.1215/S0012-7094-35-00115-6

[3] James, R.C. (1945) Orthogonality in Normed Linear Spaces. Duke Mathematical Journal, 12, 291-301.
https://doi.org/10.1215/S0012-7094-45-01223-3

[4] Roberts, B.D. (1934) On the Geomrtry of Abstract Vector Spaces. Tohoku Mathematic Journal, 39, 42-59.

[5] 任芳国, 高莹. 随机矩阵的范数[J]. 东北师大学报(自然科学版), 2012, 44(1): 28-31.

[6] Gustafson, K. (1970) The Toeplitz-Hausdorff Theorem for Linear Operators. Proceedings of the American Mathematical Society, 25, 203-204.
https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1970-0262849-9

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