高维传染病模型的Lyapunov函数构造
Lyapunov Functions for Higher-Dimensional Epidemiological Models

作者: 栾培译 , 李 静 :临沂大学数学与统计学院,山东 临沂;

关键词: Lypunov函数传染病模型地方病平衡点全局稳定性Lypunov Function Epidemiological Models Endemic Equilibrium State Global Stability

摘要:
本文主要研究几类传染病模型如SIR,SIRS,SIS和SEIR模型的Lypunov函数构造方法,从而获得传染病模型全局稳定性的结论。

Abstract: Lypunov functions for classical epidemiological models are introduced such as SIR, SIRS, SIS and SEIR. Global stability of some epidemiological models is also established.

1. 引言

动力系统的全局稳定性判断并不容易,最常用的方法就是直接构造函数 [1]。但是,构造过程中需要具有特殊性质的辅助函数,也就是说,Lypunov函数并不容易寻找,本文我们将集中探讨几类传染病模型的Lypunov函数构造。

2. SIR模型

借助古典假设 [2] [3],我们将总人扣N分为以下几类:易感者类,染病者类和移除者类,分别用字母S,I和R表示,即 N = S + I + R 。当个体被感染后,将从易感者类变为染病者类,随着个人的康复,从而转变为移除者类。当然也有可能因疾病而死亡。不妨假设总人口N为常数,即使出生率等于死亡率。若存在垂直传染即母婴等传染,假设p为传染水平,同时水平传染率记为 β S I N 。因此就产生了 p γ I ,进去染病者类与此同时 γ N p γ I ,进入易感者类。

于是便产生了如下模型:

{ S ˙ = γ N β S I N p γ I I ˙ = β S I N ( δ p γ ) I (1)

系统(1)有两个平衡点:疾病消除平衡点 E 0 = ( δ p γ β N , 0 ) = ( S 0 , I 0 ) 和地方病平衡点 E = ( δ p γ β N , γ δ N ) = ( S , I )

定理1系统(1)的地方病平衡点 E 为全局稳定的。

证明:

由微分等式可得:

β S I N = γ N p γ I = ( δ p γ ) I

β S N = ( δ p γ ) , I = γ δ N .

构造Lyapunov函数如下

V ( S , I ) = S ( S S ln S S ) + δ δ p γ I ( I I ln I I )

满足

V S = 1 S S , 2 V S 2 = S S 2 ,

V I = δ δ p γ ( 1 I I ) , 2 V I 2 = δ δ p γ I I 2

2 V S I = 0

以及

| 2 V S 2 2 V S I 2 V S I 2 V I 2 | = ( 2 V S 2 2 V I 2 2 V S I ) = 1 S 2 I 2 N γ β > 0

很容易看出 E 为唯一极值状态且为函数 V ( S , I ) R + 2 内的最小值。

于是

V ˙ ( S , I ) = ( 1 S S ) ( γ N β S I N p γ I ) + ( 1 I I ) ( β S I N ( δ p γ ) I ) = γ N β S I N p γ I γ N S S + β S I N + p γ I S S + ( I I ) ( β S N β S N ) δ N β S = γ N β S I N p γ I γ N S S + β S I N + p γ I S S + ( I I ) ( S S ) δ S = γ N ( 2 S S S S ) p γ I ( 2 S S S S ) = ( 2 S S S S ) ( γ N p γ I )

由于 2 ( S S + S S ) 0 ,故等式 V ˙ ( S , I ) 0 , V ˙ ( S , I ) = 0 仅在 S = S 时才成立。由渐近稳定定理,系统(1)的地方病平衡点 E 为全局稳定的。

3. SEIR模型

具有非线性传染率的SEIR模型描述如下:

S = λ I p S q + b μ S E = λ I p S q ( ε + μ ) E I = ε E ( γ + μ ) I R = γ I μ R (2)

其中参数 p , q , ε , μ , λ , γ , b 为正数,总人口N分为以下几类:易感者类,潜伏者类,染病者类和移除者类,分别用字母S,E,I和R表示,即 N = S + E + I + R 。非负常数 μ 表示死亡率,b为出生率(假设出生率与死亡率相等), ε 表示潜伏者类到染病者类的转化率, γ 为康复率。

p = 1 时,参数 σ = λ ε ( ε + μ ) ( γ + μ ) 表示接触数。

定理 2 [4] 如果 0 < p < 1 p = 1 σ > 1 ,地方病平衡点在区域T内是全局渐近稳定的。( T = { ( S , E , I ) : 0 S , E , I 1 , S + E + I 1 } )

p > 1 时,令 p = 2 , q = 1 , τ = ( γ + μ ) t , α = μ γ + μ , β = ε γ + μ , a = λ γ + μ

系统(2)可化为

S = a I 2 S + α α S E = a I 2 S ( α + β ) E I = β E I (3)

定理3如果 p = 2 , q = 1 σ ¯ = a α β 2 4 ( α + β ) 2 < 1 ,t则只有唯一疾病消除平衡点 P 0 ( 1 , 0 , 0 ) 且在区域T内全局渐近稳定( T = { ( S , E , I ) : 0 S , E , I 1 , S + E + I 1 } )。

证明:构造Lyapunov函数如下

V ( S , E , I ) = ( S S S ln S S ) + α + β β I ( 1 + 1 p 1 ( I I ) p ) + ( E E ln E )

V ( S , E , I ) = ( S S S ln S S ) + α + β β I + E

满足 V ( S , E , I ) = 0 S , E , I > 0 时, ( S , E , I ) = ( 1 , 0 , 0 )

通过计算可得

V S = 1 1 S , V E = 1 , V I = α + β β

以及

V = ( 1 1 S ) ( a I 2 S + α α S ) + [ a I 2 S ( α + β ) E ] + α + β β ( β E I ) = a I 2 α + β β I + α ( 1 S ) ( 1 1 S ) 0

可得 ( 1 S ) ( 1 1 S ) 0 仅当 S = 1 时;

R 0 = λ ε ( γ + μ ) ( ε + μ ) = a β α + β f ( I ) = a I 2 α + β β I ,可得当 I ( 0 , 1 R 0 ) 时, R 0 < 1 f ( I ) = a I 2 α + β β I < 0

由渐近稳定定理可得,疾病消除平衡点 P 0 ( 1 , 0 , 0 ) 在区域T内全局稳定。

定理4如果 σ ¯ = a α β 2 4 ( α + β ) 2 = 1 ,系统产生周期轨道。

定理5系统(3)的非常数周期解的轨迹,如果存在,则必为渐近相轨道渐近稳定。

证. 系统(2)的解 ( S ( t ) , E ( t ) , I ( t ) ) 的线性系统为

X = ( a I 2 + 2 α + β ) X + 2 a I S ( Y + Z ) Y = β X ( a I 2 + α + 1 ) Y Z = a I 2 Y ( α + β + 1 ) Z (4)

想要讨论系统(4)的稳定性,需要构造下列函数

V ( X , Y , Z ; S , E , I ) = sup { | X | , E I ( | Y | + | Z | ) }

假定解 ( S ( t ) , E ( t ) , I ( t ) ) 具有最小周期 ω > 0 ,轨道 γ 与T的边界始终有正数的距离,那么会存在常数c使得

V ( X , Y , Z ; S , E , I ) c sup { | X | , | Y | , | Z | }

( X , Y , Z ) R + 3 ( S , E , I ) γ

通过计算可得 V ( t ) 的右导数

D + | X ( t ) | ( a I 2 + 2 α + β ) | X | + 2 a I S ( | Y | + | Z | ) = ( a I 2 + 2 α + β ) | X | + 2 a I 2 S E { E I ( | Y | + | Z | ) } (5)

D + | Y ( t ) | β | X | ( a I 2 + α + 1 ) | Y |

D + | Z ( t ) | a I 2 | Y | ( α + β + 1 ) | Z |

这样便有

D + E I ( | Y | + | Z | ) = ( E I I E ) E I ( | Y | + | Z | ) + E I D + ( | Y | + | Z | ) ( E E I I ) E I ( | Y | + | Z | ) + E I ( β | X | ( α + 1 ) | Y | + ( α + β + 1 ) | Z | ) β E I | X | + ( E E I I α 1 ) E I ( | Y | + | Z | ) (6)

联立(5) (6)可得

D + V ( t ) sup { g 1 ( t ) , g 2 ( t ) } V ( t )

其中 g 1 ( t ) = ( a I 2 + 2 α + β ) + 2 a I 2 S E g 2 ( t ) = β E I + E E I I α 1

结合(3),会有

I I + 1 = β E I , E E + α + β = a I 2 S E

便可得到

D + V ( t ) sup { E E α , 2 E E + β a I 2 } V ( t )

因为 ( S ( 0 ) , E ( 0 ) , I ( 0 ) ) T 0 ,则存在 β ,a使得 β a I 2 < 0 以及

0 ω sup { g 1 ( t ) , g 2 ( t ) } d t < 0

即揭示了 V ( t ) 0 t 时,进而得到 ( X ( t ) , Y ( t ) , Z ( t ) ) 0 t 事。因此,系统(4)渐近稳定,周期解 ( S ( t ) , E ( t ) , I ( t ) ) 以渐近相轨道渐近稳定。

定理6如果 σ ¯ = a α β 2 4 ( α + β ) 2 > 1 ,系统(2.1)会产生hopf分支为稳定开关想象。

4. 结论

Lyapunov函数的构造方法同样也适用于竞争捕食系统 [5] [6]。本文考虑了具有非线性传染率的SIR和SEIR传染病模型,此外,具有非线性传染率的SIRS,SEIRS模型,也可以用同样的构造方法来解决全局稳定性。

致谢

作者对同行评阅人的意见和建议表示深深的感谢。

基金项目

本文由2020大学生创新创业训练项目(X202010452127)支持。

文章引用: 栾培译 , 李 静 (2020) 高维传染病模型的Lyapunov函数构造。 应用数学进展, 9, 2222-2227. doi: 10.12677/AAM.2020.912259

参考文献

[1] Lyapunov, A.M. (1992) The General Problem of the Stability of Motion. Taylor &Francis, London.

[2] Busenberg, S. and Cooke, K. (1993) Vetically Transmitted Diseases in Humans: Models and Dynamics. Springer, Berlin.
https://doi.org/10.1007/978-3-642-75301-5

[3] Anderson, R.M. and May, R.M. (1991) Infectious Diseases in Humans: Dynamics and Control. Oxford University Press, Oxford.

[4] Li, M.Y. and Muldowney, J.S. (1995) Global Stability for the SEIR Model in Epidemiology. Mathematical Biosciences, 125, 155-164.
https://doi.org/10.1016/0025-5564(95)92756-5

[5] Goh, B.S. (1980) Management and Analysis of Biological Populations. Elsevier Science, Amsterdam.

[6] Cluskey, M. and Connell, C. (2009) Global Stability for an SEIR Epidemiological Model with Varying Infectivity and Infinite Delay. Mathematical Biosciences and Engineering, 6, 603-610.
https://doi.org/10.3934/mbe.2009.6.603

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