﻿ 三元变系数欧拉函数方程φ(abc)=φ(a)+5φ(b)+7φ(c)的正整数解

# 三元变系数欧拉函数方程φ(abc)=φ(a)+5φ(b)+7φ(c)的正整数解Positive Integer Solution of Ternary Variable Coefficient Euler Function Equation φ(abc)=φ(a)+5φ(b)+7φ(c)

Abstract: For any positive integer solution n, Euler’s function φ(n) represents the number of positive integer solutions that are prime to n from 1,2,...,n-1. Euler’s function equation is an important research topic in number theory and its applications. The univariate variable coefficients and multivariate variable coefficients of indeterminate equations have allowed us to extend many new research methods and research on the solvability of equations containing Euler functions. It has important theoretical significance and application value. Using the related content and calculation method of elementary number theory, the solvability of the ternary Euler function equation φ(abc)=φ(a)+5φ(b)+7φ(c) with odd coefficients is studied, where φ(n) is the Euler function. A total of 25 positive integer solutions of the equation are obtained.

1. 引言

2. 相关引理

$\phi \left(n\right)=n\left(1-\frac{1}{{p}_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{{p}_{2}}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{{p}_{k}}\right)$

$\phi \left(mn\right)=\frac{\left(m,n\right)\phi \left(m\right)\phi \left(n\right)}{\phi \left(\left(m,n\right)\right)}$

3. 定理及其证明

$\left(a,b,c\right)=\left(3,12,3\right)$$\left(3,11,5\right)$$\left(3,11,8\right)$$\left(3,32,3\right)$$\left(3,17,3\right)$

$\left(5,7,3\right)$$\left(5,7,4\right)$$\left(8,7,3\right)$$\left(5,7,6\right)$$\left(5,9,4\right)$$\left(5,14,3\right)$$\left(10,7,3\right)$

$\left(8,2,2\right)$$\left(10,2,2\right)$$\left(12,2,2\right)$$\left(26,1,2\right)$$\left(26,2,1\right)$$\left(13,2,2\right)$

$\left(28,1,2\right)$$\left(28,2,1\right)$$\left(36,1,2\right)$$\left(36,2,1\right)$$\left(42,1,2\right)$$\left(42,2,1\right)$$\left(21,2,2\right)$

$\phi \left(abc\right)=\phi \left(a\right)+5\phi \left(b\right)+7\phi \left(c\right)$ (1)

$\phi \left(abc\right)=\frac{\left(a,bc\right)\phi \left(a\right)\phi \left(bc\right)}{\phi \left(\left(a,bc\right)\right)}=\frac{\left(a,bc\right)\left(b,c\right)}{\phi \left(\left(a,bc\right)\right)\phi \left(\left(b,c\right)\right)}\phi \left(a\right)\phi \left(b\right)\phi \left(c\right)$

$\phi \left(a\right)+5\phi \left(b\right)+7\phi \left(c\right)=\phi \left(abc\right)\ge \phi \left(a\right)\phi \left(b\right)\phi \left(c\right)$

$\phi \left(a\right)+5\phi \left(b\right)=\phi \left(abc\right)-7\phi \left(c\right)\ge \phi \left(a\right)\phi \left(b\right)\phi \left(c\right)-7\phi \left(c\right)$

$\left(\phi \left(a\right)\phi \left(b\right)-7\right)\phi \left(c\right)\ge \phi \left(a\right)\phi \left(b\right)-7$，即 $\left(\phi \left(a\right)-5\right)\left(\phi \left(b\right)-1\right)\le 12$

1.1当 $\phi \left(a\right)=1$，情形 $\phi \left(b\right)>1$ 时，有

$1+5\phi \left(b\right)+7\phi \left(c\right)=\phi \left(abc\right)\ge \phi \left(b\right)\phi \left(c\right)$

$\left(\phi \left(b\right)-7\right)\left(\phi \left(c\right)-5\right)\le 36$

1.1.1若 $\phi \left(a\right)=1$$\phi \left(b\right)=2$$\phi \left(c\right)$ 为任意值时，此时(1)式为 $\phi \left(abc\right)=11+7\phi \left(c\right)$，经检验，(1)无解。

1.1.2若 $\phi \left(a\right)=1$$\phi \left(b\right)=4$，此时 $\phi \left(abc\right)=21+7\phi \left(c\right)$，经检验，(1)无解。

1.1.3若 $\phi \left(a\right)=1$$\phi \left(b\right)=6$，此时 $\phi \left(abc\right)=31+7\phi \left(c\right)$，经检验，(1)无解。

1.1.4若 $\phi \left(a\right)=1$$\phi \left(b\right)=8$，此时 $\phi \left(c\right)-5\le 36$，即

$\phi \left(c\right)=1,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,40$

$\phi \left(c\right)=1$$\phi \left(abc\right)=48$ 时，即 $abc=65,104,105,112,130,140,144,156,168,180,210$，又 $a=c=1,2$$b=15,16,20,24,30$，经检验，(1)无解。

$\phi \left(c\right)=2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40$ 时 ， $\phi \left(abc\right)=41+7\phi \left(c\right)$，由引理3知(1)无解。

1.1.5若 $\phi \left(a\right)=1$$\phi \left(b\right)=10$，此时 $\phi \left(c\right)-5\le 13$，即 $\phi \left(c\right)=1,2,4,6,8,10,12,14,16,18$

$\phi \left(c\right)=1$$\phi \left(abc\right)=58$ 时，即 $abc=59,118$，又 $a=c=1,2$$b=11,22$，经检验，(1)无解。

$\phi \left(c\right)=2,4,6,8,10,12,14,16,18$ 时， $\phi \left(abc\right)=51+7\phi \left(c\right)$，由引理3知(1)无解。

1.1.6若 $\phi \left(a\right)=1$$\phi \left(b\right)=12$，此时 $\phi \left(c\right)-5\le 7$，即 $\phi \left(c\right)=1,2,4,6,8,10,12$

$\phi \left(c\right)=1$$\phi \left(abc\right)=68$ 时，不存在 $abc$ 使得 $\phi \left(abc\right)=68$，(1)无解。

$\phi \left(c\right)=2,4,6,8,10,12$ 时， $\phi \left(abc\right)=61+7\phi \left(c\right)$，由引理3知(1)无解。

1.1.7若 $\phi \left(a\right)=1$$\phi \left(b\right)=14$，不存在 $b$ 使得 $\phi \left(b\right)=14$，(1)无解。

1.1.8若 $\phi \left(a\right)=1$$\phi \left(b\right)=16$，此时 $\phi \left(c\right)-5\le 4$，即 $\phi \left(c\right)=1,2,4,6,8$

$\phi \left(c\right)=1$$\phi \left(abc\right)=88$ 时，即 $abc=89,115,178,184,230,276$，又 $a=c=1,2$$b=17,32,34,40,48,60$，经检验，(1)无解。

$\phi \left(c\right)=2,4,6,8$ 时， $\phi \left(abc\right)=81+7\phi \left(c\right)$，由引理3知(1)无解。

1.1.9若 $\phi \left(a\right)=1$$\phi \left(b\right)\ge 18$ 时，此时 $\phi \left(c\right)\le 8$

$\phi \left(c\right)=1$ 时，经检验，不存在 $a,b,c$ 使(1)成立，(1)无解。

$\phi \left(c\right)$ 为偶数时， $\phi \left(abc\right)$ 为奇数，由引理3知(1)无解。

1.2当 $\phi \left(a\right)=2$$\phi \left(b\right)>1$ 时，有

$\phi \left(abc\right)=2+5\phi \left(b\right)+7\phi \left(c\right)$

1.2.1若 $\phi \left(a\right)=2$$\phi \left(b\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=12+7\phi \left(c\right)\ge 4\phi \left(c\right)$，不存在c使(1)成立。

1.2.2若 $\phi \left(a\right)=2$$\phi \left(b\right)=4$ 时， $\phi \left(abc\right)=22+7\phi \left(c\right)\ge 8\phi \left(c\right)$，即 $\phi \left(c\right)\le 22$，即 $\phi \left(c\right)=1,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22$

$\phi \left(c\right)=1,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22$ 时，不存在 $a,b,c$ 使(1)成立。

$\phi \left(c\right)=2$ 时，经检验， $\left(a,b,c\right)=\left(3,12,3\right)$

1.2.3若 $\phi \left(a\right)=2$$\phi \left(b\right)=6$ 时， $\phi \left(abc\right)=32+7\phi \left(c\right)\ge 12\phi \left(c\right)$，即 $\phi \left(c\right)\le 6$，即 $\phi \left(c\right)=1,2,4,6$

$\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=39$，由引理3知(1)无解。

$\phi \left(c\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=46$$abc=47,94$，经检验，(1)无解。

$\phi \left(c\right)=4$ 时， $\phi \left(abc\right)=60$$abc=61,77,93,99,122,124,198,154,186$，经检验，(1)无解。

$\phi \left(c\right)=6$ 时， $\phi \left(abc\right)=74$，不存在 $a,b,c$ 使得 $\phi \left(abc\right)=74$，所以(1)无解。

1.2.4若 $\phi \left(a\right)=2$$\phi \left(b\right)=8$ 时， $\phi \left(abc\right)=42+7\phi \left(c\right)\ge 16\phi \left(c\right)$，即 $\phi \left(c\right)\le 4$，即 $\phi \left(c\right)=1,2,4$

$\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=49$，由引理3知(1)无解。

$\phi \left(c\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=56$$abc=87,116,174$，经检验，(1)无解。

$\phi \left(c\right)=4$ 时， $\phi \left(abc\right)=70$$abc=71,142$，经检验，(1)无解。

1.2.5若 $\phi \left(a\right)=2$$\phi \left(b\right)=10$ 时， $\phi \left(abc\right)=52+7\phi \left(c\right)\ge 20\phi \left(c\right)$，即 $\phi \left(c\right)\le 4$，即 $\phi \left(c\right)=1,2,4$

$\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=59$，由引理3知(1)无解。

$\phi \left(c\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=66$$abc=67,134$，经检验，(1)无解。

$\phi \left(c\right)=4$ 时， $\phi \left(abc\right)=80$$abc=123,164,165,176,200,246,264,300$，经检验， $\left(a,b,c\right)=\left(3,11,5\right)$$\left(3,11,8\right)$

1.2.6若 $\phi \left(a\right)=2$$\phi \left(b\right)=12$ 时， $\phi \left(abc\right)=62+7\phi \left(c\right)\ge 24\phi \left(c\right)$，即 $\phi \left(c\right)\le 3$，即 $\phi \left(c\right)=1,2$

$\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=69$，由引理3知(1)无解。

$\phi \left(c\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=76$，不存在 $a,b,c$ 使得 $\phi \left(abc\right)=76$，所以(1)无解。

1.2.7若 $\phi \left(a\right)=2$$\phi \left(b\right)=14$ 时，不存在b使得 $\phi \left(b\right)=14$，所以(1)无解。

1.2.8若 $\phi \left(a\right)=2$$\phi \left(b\right)=16$ 时， $\phi \left(abc\right)=82+7\phi \left(c\right)\ge 32\phi \left(c\right)$，即 $\phi \left(c\right)\le 3$，即 $\phi \left(c\right)=1,2$

$\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=89$，由引理3知(1)无解。

$\phi \left(c\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=96$$abc=97,119,153,194,195,208,218,224,238,260,280,288$，经检验， $\left(a,b,c\right)=\left(3,32,3\right)$$\left(3,17,3\right)$

1.2.9若 $\phi \left(a\right)=2$$\phi \left(b\right)\ge 18$ 时， $\phi \left(c\right)\le 2$

$\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)$ 为奇数，由引理3知(1)无解。

$\phi \left(c\right)=2$ 时，经检验不存在 $a,b,c$ 使得(1)成立，所以(1)无解。

1.3当 $\phi \left(a\right)=4$$\phi \left(b\right)>1$ 时，有

$\phi \left(abc\right)=4+5\phi \left(b\right)+7\phi \left(c\right)$

1.3.1若 $\phi \left(a\right)=4$$\phi \left(b\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=14+7\phi \left(c\right)\ge 8\phi \left(c\right)$，即 $\phi \left(c\right)\le 14$，即 $\phi \left(c\right)=1,2,4,6,8,10,12,14$

$\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=21$，由引理3知(1)无解。

$\phi \left(c\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=28$$abc=29,58$，经检验，(1)无解。

$\phi \left(c\right)=4$ 时， $\phi \left(abc\right)=42$$abc=43,49,86,98$，经检验，(1)无解。

$\phi \left(c\right)=6$ 时， $\phi \left(abc\right)=56$$abc=87,116,174$，经检验，(1)无解。

$\phi \left(c\right)=8$ 时， $\phi \left(abc\right)=70$$abc=71,142$，经检验，(1)无解。

$\phi \left(c\right)=10$ 时， $\phi \left(abc\right)=84$$abc=129,147,172,196,258,294$，经检验，(1)无解。

$\phi \left(c\right)=12$ 时， $\phi \left(abc\right)=98$，不存在 $a,b,c$ 使得 $\phi \left(abc\right)=98$，所以(1)无解。

$\phi \left(c\right)=14$ 时，不存在c使得 $\phi \left(c\right)=14$，所以(1)无解。

1.3.2若 $\phi \left(a\right)=4$$\phi \left(b\right)=4$ 时， $\phi \left(abc\right)=24+7\phi \left(c\right)\ge 16\phi \left(c\right)$，即 $\phi \left(c\right)\le 2$，即 $\phi \left(c\right)=1,2$

$\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=31$，由引理3知(1)无解。

$\phi \left(c\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=38$，不存在 $a,b,c$ 使得 $\phi \left(abc\right)=38$，所以(1)无解。

1.3.3若 $\phi \left(a\right)=4$$\phi \left(b\right)=6$ 时， $\phi \left(abc\right)=34+7\phi \left(c\right)\ge 24\phi \left(c\right)$，即 $\phi \left(c\right)\le 2$，即 $\phi \left(c\right)=1,2$

$\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=41$，由引理3知(1)无解。

$\phi \left(c\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=48$$abc=65,104,105,112,130,140,144,156,168,180,210$，经检验， $\left(a,b,c\right)=\left(5,7,3\right)$$\left(5,7,4\right)$$\left(8,7,3\right)$$\left(5,7,6\right)$$\left(5,9,4\right)$$\left(5,14,3\right)$$\left(10,7,3\right)$

1.3.4若 $\phi \left(a\right)=4$$\phi \left(b\right)\ge 8$ 时， $\phi \left(c\right)\le 1$，即 $\phi \left(c\right)=1$

$\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)$ 是奇数，由引理3知(1)无解。

$\phi \left(a\right)=5$$\phi \left(b\right)$ 为任意数时，由引理3知 $\phi \left(a\right)=5$ 不存在，所以(1)无解。

$\phi \left(b\right)=1$$\phi \left(a\right)$ 为任意数时，此时(1)式为 $\phi \left(abc\right)=\phi \left(a\right)+5+7\phi \left(c\right)\ge \phi \left(a\right)\phi \left(c\right)$，即 $\left(\phi \left(a\right)-7\right)\left(\phi \left(c\right)-1\right)\le 12$

2.1当 $\phi \left(c\right)=1$$\phi \left(a\right)$ 为任意时， $\phi \left(abc\right)=12+\phi \left(a\right)$，由引理4知， $\phi \left(bc\right)=1,2<12+1+1$，所以方程有正整数解。

2.1.1当 $\phi \left(a\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)$ 是奇数，由引理3知(1)无解。

2.1.2当 $\phi \left(a\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=14$，不存在 $a,b,c$ 使得 $\phi \left(abc\right)=14$，所以(1)无解。

2.1.3当 $\phi \left(a\right)=4$ 时， $\phi \left(abc\right)=16$$a=5,8,10,12$，有 $\left(a,b,c\right)=\left(8,2,2\right)$$\left(10,2,2\right)$$\left(12,2,2\right)$

2.1.4当 $\phi \left(a\right)=12$ 时， $\phi \left(abc\right)=24$$a=13,21,26,28,36,42$，有 $\left(a,b,c\right)=\left(26,1,2\right)$$\left(26,2,1\right)$$\left(13,2,2\right)$$\left(21,2,2\right)$$\left(28,2,1\right)$$\left(28,1,2\right)$$\left(36,2,1\right)$$\left(36,1,2\right)$$\left(42,2,1\right)$$\left(42,1,2\right)$

2.2当 $\phi \left(c\right)=2$ 时， $\phi \left(a\right)-7\le 12$，即 $\phi \left(a\right)=1,2,4,6,8,10,12,14,16,18$

$\phi \left(a\right)=1$$\phi \left(abc\right)=20$$abc=25,33,44,50,66$，经检验，(1)无解。

$\phi \left(a\right)=2,4,6,8,10,12,14,16,18$$\phi \left(abc\right)=19+\phi \left(a\right)$，由引理3知(1)无解。

2.3当 $\phi \left(c\right)=4$ 时， $\phi \left(a\right)-7\le 4$，即 $\phi \left(a\right)=1,2,4,6,8,10$

$\phi \left(a\right)=1$$\phi \left(abc\right)=34$，不存在 $a,b,c$ 使得 $\phi \left(abc\right)=34$，所以(1)无解。

$\phi \left(a\right)=2,4,6,8,10$$\phi \left(abc\right)=33+\phi \left(a\right)$，由引理3知(1)无解。

2.4当 $\phi \left(c\right)=6$ 时， $\phi \left(a\right)-7\le 2$，即 $\phi \left(a\right)=1,2,4,6,8$

$\phi \left(a\right)=1$$\phi \left(abc\right)=48$$abc=65,104,105,112,130,140,144,156,168,180,210$，经检验，(1)无解。

$\phi \left(a\right)=2,4,6,8$$\phi \left(abc\right)=47+\phi \left(a\right)$，由引理3知(1)无解。

2.5当 $\phi \left(c\right)=8,10,12$ 时， $\phi \left(a\right)-7\le 1$，即 $\phi \left(a\right)=1,2,4,6,8$

$\phi \left(a\right)=1$，不存在 $a,b,c$ 使得 $\phi \left(abc\right)$ 成立，所以(1)无解。

$\phi \left(a\right)=2,4,6,8$$\phi \left(abc\right)$ 是奇数，由引理3知(1)无解。

2.6当 $\phi \left(c\right)\ge 14$ 时， $\phi \left(a\right)-7\le 0$，即 $\phi \left(a\right)=1,2,4,6$

$\phi \left(a\right)=1$，不存在 $a,b,c$ 使得 $\phi \left(abc\right)$ 成立，所以(1)无解。

$\phi \left(a\right)=2,4,6$$\phi \left(abc\right)$ 是奇数，由引理3知(1)无解。

$\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=23$，由引理3知(1)无解。

$\phi \left(c\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=30$$abc=31,62$，经检验，(1)无解。

5.1 若 $\phi \left(a\right)=6$$\phi \left(b\right)=4$，则 $\phi \left(abc\right)=26+7\phi \left(c\right)\ge 24\phi \left(c\right)$$\phi \left(c\right)\le 1$

$\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=33$，由引理3知(1)无解。

5.2 若 $\phi \left(a\right)=8$$\phi \left(b\right)=2$，则 $\phi \left(abc\right)=18+7\phi \left(c\right)\ge 16\phi \left(c\right)$$\phi \left(c\right)\le 2$

$\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=25$，由引理3知(1)无解。

$\phi \left(c\right)=2$ 时， $\phi \left(abc\right)=32$$abc=51,64,68,80,96,102,120$，经检验，(1)无解。

7.1若 $\phi \left(a\right)=6$$\phi \left(b\right)=6$，则 $\phi \left(abc\right)=36+7\phi \left(c\right)\ge 36\phi \left(c\right)$$\phi \left(c\right)\le 1$

$\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=43$，由引理3知(1)无解。

7.2若 $\phi \left(a\right)=10$$\phi \left(b\right)=2$，则 $\phi \left(abc\right)=20+7\phi \left(c\right)\ge 20\phi \left(c\right)$$\phi \left(c\right)\le 1$

$\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=27$，由引理3知(1)无解。

9.1若 $\phi \left(a\right)=6$$\phi \left(b\right)=8$，则 $\phi \left(abc\right)=46+7\phi \left(c\right)\ge 48\phi \left(c\right)$$\phi \left(c\right)\le 1$

$\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=53$，由引理3知(1)无解。

9.2若 $\phi \left(a\right)=12$$\phi \left(b\right)=2$，则 $\phi \left(abc\right)=22+7\phi \left(c\right)\ge 24\phi \left(c\right)$$\phi \left(c\right)\le 1$

$\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=29$，由引理3知(1)无解。

11.1 若 $\phi \left(a\right)=6$$\phi \left(b\right)=10$，则 $\phi \left(abc\right)=56+7\phi \left(c\right)\ge 60\phi \left(c\right)$$\phi \left(c\right)\le 1$

$\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=63$，由引理3知(1)无解。

11.2若 $\phi \left(a\right)=14$$\phi \left(b\right)=2$，则 $\phi \left(abc\right)=24+7\phi \left(c\right)\ge 28\phi \left(c\right)$$\phi \left(c\right)\le 1$

$\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=31$，由引理3知(1)无解。

11.3若 $\phi \left(a\right)=8$$\phi \left(b\right)=4$，则 $\phi \left(abc\right)=28+7\phi \left(c\right)\ge 32\phi \left(c\right)$$\phi \left(c\right)\le 1$

$\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=35$，由引理3知(1)无解。

13.1若 $\phi \left(a\right)=6$$\phi \left(b\right)=12$，则 $\phi \left(abc\right)=66+7\phi \left(c\right)\ge 72\phi \left(c\right)$$\phi \left(c\right)\le 1$

$\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=73$，由引理3知(1)无解。

13.2若 $\phi \left(a\right)=16$$\phi \left(b\right)=2$，则 $\phi \left(abc\right)=26+7\phi \left(c\right)\ge 32\phi \left(c\right)$$\phi \left(c\right)\le 1$

$\phi \left(c\right)=1$ 时， $\phi \left(abc\right)=33$，由引理3知(1)无解。

[1] 闵嗣鹤, 严士健. 初等数论[M]. 第3版. 北京: 高等教育出版社, 2003: 58.

[2] 张四保. 有关Euler函数的方程的正整数解[J]. 数学的实践与认识, 2014, 44(20): 302-305.

[3] 官春梅, 张四保. 与Euler函数有关的方程的正整数解[J]. 数学的实践与认识, 2016, 46(9): 221-225.

[4] 孙树东. 一个与Euler函数有关的方程的正整数解[J]. 北华大学学报(自然科学版), 2015, 16(2): 161-164.

[5] 张四保, 席小忠. 有关方程的正整数解[J]. 南京师大学报(自然科学版), 2016, 39(1): 41-47.

[6] 孙翠芳, 程智. 关于方程 [J]. 数学的实践与认识, 2012, 42(23): 267-271.

[7] 张四保, 杜先存. 一个包含Euler函数方程的正整数解[J]. 华中师范大学学报(自然科学版), 2015, 49(4): 497-501.

[8] 张四保. 不定方程的解[J]. 东北石油大学学报, 2013, 37(6): 113-118.

[9] 白继文, 赵西卿. 与Euler函数有关的一个方程的正整数解[J]. 贵州师范大学学报(自然科学版), 2016, 52(4): 17-21.

[10] 张四保, 杨燕妮, 姜莲霞, 席小忠. 与Euler函数有关的一个四元不定方程的解[J]. 重庆理工大学学报(自然科学版), 2019, 33(11): 214-221.

[11] 夏衣旦·莫合德, 张四保, 熊满玉. 一个有关Euler函数的非线性方程的解[J]. 首都师范大学学报(自然科学版), 2018, 39(2): 4-7.

[12] 姜莲霞. 包含Euler函数的一个非线性方程的正整数解[J]. 北华大学学报(自然科学版), 2018, 19(6): 719-723.

[13] 袁合才, 王波, 王晓峰. 三元变系数混合型欧拉函数方程的正整数解[J]. 数学的实践与认识, 2018, 48(12): 303-307.

[14] 杨张媛, 赵西卿. 方程的正整数解[J]. 云南师范大学学报(自然科学版), 2018, 38(2): 38-42.

[15] 张明丽, 高丽. 关于一个三元变系数欧拉函数方程的正整数解[J]. 华中师范大学学报(自然科学版), 2020, 54(1): 23-29.

[16] Rosen, K.H. (2005) Elementary Number Theory and Its Applications. Fifth Edition, Pearson Education, Inc., Addison Wesley, Boston, 233-245.

Top