一维Sobolev方程的重心插值配点法
Barycentric Interpolation Collocation Method for One-Dimensional Sobolev Equation

作者: 武莉莉 , 卢梦双 :长安大学理学院,陕西 西安;

关键词: Sobolev方程重心插值配点法等距节点Chebyshev节点Sobolev Equation Barycentric Interpolation Collocation Method Equidistant NodeChebyshev Node

摘要:

本文使用重心Lagrange插值配点法求解一维Sobolev方程的数值解,分别采用等距节点和Chebyshev节点进行数值计算。实验结果表明:在使用重心Lagrange插值求解一维Sobolev方程的数值解时,采用第二类Chebyshev节点可取得更高精度的数值解。

Abstract: This paper uses the center of gravity Lagrange interpolation method to solve the numerical solution of the one-dimensional Sobolev equation. Equidistant nodes and Chebyshev nodes are used for numerical calculation. The experimental results show that: when using the center of gravity Lagrange interpolation to solve the numerical solution of the one-dimensional Sobolev equation, using the second type of Chebyshev node can obtain a higher precision numerical solution.

1. 引言

本文讨论如下Sobolev方程的数值解:

{ u t u x x = f ( x , t ) , ( x , t ) ( 0 , 1 ) × ( 0 , 1 ] u ( x , 0 ) = 0 , x ( 0 , 1 ) u ( 1 , t ) = u ( 0 , t ) = 0 , t [ 0 , 1 ] (1)

其中 ε γ 为两个正常数, f ( x , t ) φ ( x , t ) u 0 ( x ) 为三个已知函数。

Sobolev方程在许多实际工程领域中都有着广泛的应用 [1] [2] [3]。近几十年来,Sobolev方程一直受到密切的关注,目前已经有许多关于Sobolev方程的数值研究 [4] [5] [6] [7]。 1990年,Yanping Lin研究了二维齐次Dirichlet边界条件下非线性Sobolev方程解的Galerkin逼近,得到了连续Crank-Nicolson和外推Crank-Nicolson逼近的误差估计 [4]。郭会和芮洪兴于2006年提出将最小二乘Galerkin有限元法应用于Sobolev方程,并通过误差估计表明该方法在L2范数意义下具有最优收敛阶 [5]。2013年,李宏和周文文从时间二阶精度的Crank-Nicolson时间半离散格式出发,构造出了Crank-Nicolson全离散化的有限元格式,并导出了误差估计 [6]。2017年,经鑫在文献 [7] 中建立了Sobolev方程的一个两层隐格式,证明了Sobolev方程在该格式下解的存在唯一性,并通过数值实验进行验证。以上介绍的这些方法均为有限差分法和有限元素法。但在实际求解过程中,这些方法不易实现,数值模拟也比较困难,尤其在使用有限元求解偏微分方程时,很难构造出满足特定条件的有限元格式。而且当方程维数为二维甚至三维的时候,数值模拟实验也比较复杂。本文我们所要求解的Sobolev方程是与时间t有关的一类方程,使用差分法和有限元法更会增加求解的难度。

W. J. Taylor于1945年发现了计算插值多项式的重心公式 [8]。2004年,J. P. Berrut和L. N. Trefethen等人将Lagrange公式改为重心公式的形式,得到了重心Lagrange插值公式 [9]。2007年,Michael S. Floater和Kai Hormann提出了重心有理插值 [10],该方法操作简单,已经应用于许多偏微分方程的求解,都得到了精度较高的数值解 [11] [12] [13] [14]。重心插值配点法在求解二维或者三维偏微分方程的数值解时,数值模拟难度也不是很大。因此,本文将分别采用重心Lagrange插值配点法和重心有理插值配点法求解一维Sobolev方程,并对这两种插值法所得数值结果进行比较与分析。

2. 重心Lagrange插值与重心有理插值

给定 n + 1 个不同插值节点 x i ( i = 0 , , n ) 及其相应的一组实数 f i ,那么Lagrange插值多项式公式可写为

p ( x ) = i = 0 n l i ( x ) f i (2)

其中

l i ( x ) = k = 0 , k i n ( x x k ) k = 0 , k i n ( x i x k ) (3)

定义重心插值权:

ω i = 1 i k ( x i x k ) , i = 0 , 1 , , n (4)

则可将(2)式重写为

p ( x ) = j = 0 n ξ j ( x ) f j , j = 0 , 1 , 2 , , n (5)

其中

ξ j ( x ) = ω j x x j j = 0 n ω j x x j (6)

公式(5)即为重心Lagrange插值公式。

重心有理插值是用有理函数进行插值。我们需要考虑,对于给定的节点分布及其相应的函数值,是否存在满足插值条件的有理函数。将式(5)重新定义为:

ω k = i J k ( 1 ) i j = i , j k i + d 1 x k x j , k = 0 , 1 , 2 , , n (7)

此处d为一给定的正整数,且 0 d n I = { 0 , 1 , 2 , n } J k = { i I : k d i k }

从而得到重心有理插值公式:

r ( x ) = j = 0 n ω j x x j f j j = 0 n ω j x x j (8)

在使用重心有理插值法求解偏微分方程时,参数d的选取非常重要,它会直接影响计算精度。

3. 一维Sobolev方程的计算

对方程(1),采用第二类Chebyshev节点,将空间方向和时间方向分别离散为m,n个插值节点 a = x 1 < < x m = b 0 = t 1 < < t n = T ,共有 m × n 个张量型插值节点 u ( x i , t j ) ,其中 i = 1 , 2 , , m j = 1 , 2 , , n 。则

u ( x , t ) = i = 1 m j = 1 n L i ( x ) T j ( t ) u i j (9)

其中 u ( x i , t j ) = u i j L i ( x ) , T j ( t ) 分别为x方向和t方向的插值基函数。

将上式代入Sobolev方程(1)得到

i = 1 m j = 1 n ( L i ( x ) T j ( t ) ε L i ( x ) T j ( t ) γ L i ( x ) T j ( t ) ) u i j = f ( x , t ) (10)

f ( x i , t j ) = f i j L j ( x i ) = δ i j , T k ( t j ) = δ j k ,用 表示矩阵的Kronecker积,则可将(10)式写为

( I m T ( 1 ) ε ( L ( 2 ) T ( 1 ) ) γ ( I m T ( 1 ) ) ) U = F (11)

其中 L ( r ) 为插值节点 x 1 , x 2 , , x m 的r阶微分矩阵, T ( r ) 为插值节点 t 1 , t 2 , , t l 的r阶微分矩阵。且式(11)中的U和F分别为如下形式

U = [ u 11 , u 12 , , u 1 n , u 21 , u , 22 , u 2 n , , u m 1 , u m 2 , , u m n ]

F = [ f 11 , f 12 , , f 1 n , f 21 , f 22 , , f 2 n , , f m 1 , f m 2 , , f m n ]

L = I m T ( 1 ) ε ( L ( 2 ) T ( 1 ) ) γ ( I m T ( 1 ) ) ,则方程(21)可以写为

L U = F (12)

4. 数值算例

算例4.1 方程(1)的精确解为

u ( x , t ) = ( 0.5 x 2 0.5 x ) t

下面分别用这两种插值法求解方程(1)的数值解,节点类型选取第二类Chebyshev节点和等距节点,将 x , t 离散化, 0 = x 1 < < x m = 1 0 = t 1 < < t n = 1 ,其中m,n为剖分节点数。通过数值模拟,所得绝对误差如表1表2所示。

Table 1. Absolute error of Lagrange interpolation

表1. 重心Lagrange插值的绝对误差

表1的结果可以看出,在计算一维Sobolev方程的数值解时,当所选节点数目较小时,采用等距节点逼近效果较好,但随着节点数目增加,会出现“龙格现象”。整体来看,采用第二类Chebyshev节点所得数值解逼近效果更好。因此,在使用重心Lagrange插值配点法求解偏微分方程数值解时,为了取得较高精度的数值解,通常会选取第二类Chebyshev节点进行数值计算。

表1结果可知,选取等距节点产生的结果并不理想。并且通过参考大量文献,可以发现选取等距节点所得实验结果往往都是病态的,所以在使用重心有理插值求解Sobolev方程时,我们将只选取第二类Chebyshev节点,其所得结果见表2。由于参数d的选择对结果的精度影响很大,所以需谨慎选择参数d。此处我们令d = 5。

Table 2. Absolute error of rational interpolation

表2. 重心有理插值的绝对误差

表2结果表明,在求解Sobolev方程时,重心有理插值也有很好的逼近效果。将表2结果与表1的第二列比较,可以发现,这两种插值方法在选取第二类Chebyshev节点时都可产生较高精度的结果,且重心有理插值产生的数值解精度要略高一些。由表1表2结果还可以发现,不仅节点类型对数值结果有影响,节点数目的大小对计算结果也有较大的影响。随着节点数目的增大,数值精度反而在逐渐下降,最终趋于稳定。由表1第三列可以看出,节点数目的大小对结果的影响非常大,从整体来看,选取等距节点产生的结果是很不稳定的。因此,具体的方程数值解求解过程中,一般不选取等距节点。

5. 结论

采用这两种插值方法求解一维Sobolev方程时,为了获得逼近效果好的数值解,通常建议选取第二类Chebyshev节点。本文中有理插值所产生的数值结果精度略高,但并不能因此说明重心有理插值一定能够获得比重心Lagrange插值精度高的数值解。可将这两种插值法推广到二维和三维Sobolev方程,甚至其他偏微分和常微分方程的数值求解,并分析比较这两种方法各自的优势。

文章引用: 武莉莉 , 卢梦双 (2020) 一维Sobolev方程的重心插值配点法。 理论数学, 10, 938-943. doi: 10.12677/PM.2020.1010109

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[11] Liu, F., Wang, Y. and Li, S. (2018) Barycentric Interpolation Collocation Method for Solving the Coupled Viscous Burgers’ Equations. International Journal of Computer Mathe-matics, 95, 2162-2173.
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