Gorenstein内射模上严格的Mittag-Leffler模
Strict Mittag-Leffler Modules over Gorenstein Injective Modules

作者: 雷靖靖 , 杨晓燕 :西北师范大学,数学与统计学院,甘肃 兰州;

关键词: 严格的Mittag-Leffler模GI-投射模Gorenstein内射模Strict Mittag-Leffler Module GI-Projective Module Gorenstein Injective Module

摘要:

本文介绍了Gorenstein内射模的类GI上的严格的Mittag-Leffler模,并用余挠对证明了GI-投射模在Gorenstein内射模的类GI上的严格的Mittag-Leffler模的一些同调性质。

Abstract: In this paper, the strict Mittag-Leffler module over the class GI of Gorenstein injective modules is introduced, and some homological properties of GI-projective module at the strict Mittag-Leffler module over the class GI are proved by cotorsion pair.

1. 引言

( F α , u α β ) α , β I 是abelian群上的逆向系统, u α β : A β A α 是R-模同态,其中 α β 。考虑 ( F α , u α β ) α , β I 的逆向极限A,它是由典范映射 S i : A A i i I 诱导的。称逆向系统 ( F α , u α β ) α , β I 满足严格的Mittag-Leffler条件,如果对于任意的 α I ,存在 j = j ( α ) ,其中 j i ,使得 Im ( A j A i ) Im ( A A i )

设M是左R-模,假定 M = lim F α ,其中 F = ( F α , u β β : F α F β ) α , β I 是有限表示模的正向系统。设B是左R-模类,如果 H o m R ( F , B ) 满足严格的Mittag-Leffler条件,那么称M在B上是严格的Mittag-Leffler模。Raynaud和Gruson在文献 [1] 中定义了Mittag-Leffler模和严格的Mittag-Leffler条件。Zimmermann在文献 [2] 中进一步定义了严格的Mittag-Leffler模。近年来,严格的Mittag-Leffler条件成功地解决了同调代数和表示论中的一些问题。

Enochs和Jenda在文献 [3] 中研究了Gorenstein内射模。Enochs和Iacob在文献 [4] 中证明了如果R是交换Noetherian环,使得任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模,那么Gorenstein内射模的类GI是包络类。其后,Iacob在文献 [5] 中将该结果推广到双边Noetherian环上,证明了如果R是双边Noetherian环,使得任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模,那么Gorenstein内射模的类GI是包络类。杨彦炯,朱晓胜和颜晓光在文献 [6] 中证明了如果R是左Noetherian环,使得所有内射模在GI上是严格的Mittag-Leffler模,那么任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模。杨彦炯和颜晓光在文献 [7] 中研究了GI上严格的Mittag-Leffler模并引入GI-投射模,并且在Noetherian上证明了有限表示GI-投射模的正向极限在GI上是严格的Mittag-Leffler模。受以上工作启发,我们在余挠对和对偶对上进一步研究了Gorenstein内射模上严格的Mittag-Leffler模。

本文所提到的环均指有单位元的结合环,模均指左R-模。用I,P,F分别表示内射,投射,平坦左R-模的类,用R-Mod表示R-模范畴。

2. 预备知识

引理1.1 [7] 设M和N是左R-模,则以下条件等价:

(1) 设 ( F α , u β α ) α , β I 是任意有限表示模的正向系统,且 M = lim F α ,则对任意的 α I ,存在 β α ,使得对任意同态 f : F β N ,存在同态 β : M N ,满足 f u β α = β u α 。见下图1

(2) 对任意可除Abelian群D ,自然变 ϕ : H o m Z ( N , D ) R M H o m Z ( H o m R ( M , N ) , D ) 被定义为 ϕ ( f m ) : g f ( g ( m ) ) ,其中 f H o m Z ( N , D ) m M g H o m R ( M , N ) ,则 ϕ 是单的。

定义1.2 称模M是N上的严格的Mittag-Leffler模,如果满足以上等价条件之一。

我们用SML(N)表示N上严格的Mittag-Leffler模的类。设N是左R-模的类,如果对任意的 B N ,有 M SML ( B ) ,那么 M SML ( N ) 。称M是严格的Mittag-Leffler模,如果 N = R - M o d

注记1.3 (1) 如果模M是有限表示的,那么由( [8],定理3.2.11)知,引理1.1(2)中自然变换 ϕ 是同构的。

(2) 由( [9],引理8.9)知,SML(N)关于直和封。

定义1.4 设D是R-模的类。称 ( A , B ) 是余挠对,如果 A = B B = A 。称 ( A , B ) 是完备的余挠对,如果对任意的模M,存在正合列 0 M B 1 A 1 0 0 B 2 A 2 M 0 ,其中 A 1 , A 2 A B 1 , B 2 B 。称 ( A , B ) 是完全的余挠对,如果B是包络类,A是覆盖类。称 ( A , B ) 是遗传的余挠对,如果对任意的 A 1 A B 1 B i 1 ,有 E x t R i ( A 1 , B 1 ) = 0

定义1.5 设D是R-模的类,则

D = { M R - M o d | E x t R 1 ( M , A ) = 0 , A D }

D = { C R - M o d | E x t R 1 ( A , C ) = 0 , A D }

定义1.6 称左R-模M是Gorenstein内射模,如果存在内射左R-模的正合序列

I : I 1 I 0 I 0 I 1

使得 M = K e r ( I 0 I 1 ) ,且对任意内射左R-模 I ,序列 H o m ( I , I ) 正合。

定义1.7 称左R-模N是Gorenstein平坦模,如果存在平坦左R-模的正合序列

F : F 1 F 0 F 0 F 1

使得 N = K e r ( F 0 F 1 ) ,且对任意内射左R-模 I ,有 I R F 正合。

我们用GI和GF分别表示Gorenstein内射模类和Gorenstein平坦模类。

定义1.8 [5] 设M是左R-模类,C是右R-模类。称 ( M , C ) 是对偶对,如果满足以下条件:

(1) 对任意的R-模A, A M A 的特征模属于C。

(2) C关于直和项和有限直和封闭。

引理1.9 [5] [6] 设R是双边Noetherian环,使得 I SML ( G I ) ,则GI是包络类。

引理1.10 [10] 设D是R-模类。若D关于直积和正向极限封闭,则 D SML ( D )

3. 主要结果

引理2.1 设F是有限表示模的正向系统 ( F α , u β α ) α , β I 的正向极限。若 F SML ( I ) ,对任意的 β I ,有 F β G I ,则 F SML ( G I )

证明对任意的Gorenstein内射模M,我们有短正合列 0 A B M 0 ,其中 B I A G I 。又因为 F β G I ,即 E x t R 1 ( F β , G I ) = 0 ,所以对上述的 A G I ,有 E x t R 1 ( F β , A ) = 0 。我们用函子 H o m ( F β , ) 作用短正合列 0 A B M 0 ,则有正合列 0 H o m ( F β , A ) H o m ( F β , B ) H o m ( F β , M ) 0 。因此对任意同态 h : F β M ,以及满同态 Π : B M ,存在同态 g : F β B ,满足等式 h = Π g 。又因为 F SML ( I ) ,所以由引理1.1(1)知,对上述同态g,存在同态 u : F B ,满足等式 g u β α = u u α 。考虑以下交换图2

我们令 Φ = Π u : F M ,那么有 Φ u α = Π u u α = Π g u = β α h u β α ,由引理1.1(1)知, F SML ( M ) ,再由M的任意性知,有 F SML ( G I )

定义2.2 [7] 称左R-模M是GI-投射模,如果 M G I

我们用 P G I 表示GI-投射模的类。

注记2.3 (1) P G I = G I

(2) I P G I

(3) 设 0 A B C 0 是左R-模短正合列。若 A , C P G I ,则 B P G I ;若R是左Noetherian环, B , C P G I ,则 A P G I

证明 (3)设 A , C P G I ,由定义知, E x t R 1 ( A , G I ) = 0 E x t R 1 ( C , G I ) = 0 ,则有 E x t R 1 ( B , G I ) = 0 ,即 B P G I 。因为 B , C P G I ,所以由定义有 E x t R 1 ( B , G I ) = 0 E x t R 1 ( C , G I ) = 0 。又因为R是左Noetherian环,所以由( [5],引理1)和(1)知, ( P G I , G I ) 是完备遗传的余挠对,即当 i 1 时,上述等式仍然成立。则对任意的模 M G I ,我们用函子 H o m ( , M ) 去作用短正合列 0 A B C 0 ,则有短正合列 0 = E x t R 1 ( B , M ) E x t R 1 ( A , M ) E x t R 2 ( C , M ) = 0 ,因此 E x t R 1 ( A , M ) = 0 ,即 A P G I

命题2.4 设GI关于正向极限封闭。则 P G I SML ( G I )

证明因为GI关于直积封闭,所以由题设和引理1.10知, G I SML ( G I ) ,再由注记2.3知, P G I SML ( G I )

定理2.5 设R是双边Noetherian环。若任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模,则GI是关于纯商模封闭的包络类。

证明因为任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模,所以由( [6],定理4.3)知, I SML ( G I ) 。又因为R是双边Noetherian环,所以由引理1.9知,GI是包络类。再由( [5],定理4)知, ( G I , G F ) 是对偶对。再次由( [11],定理3.1)知,GI关于纯商模封闭。

推论2.6 设R是n-Gorenstein环,则GI是关于纯商模封闭的包络类。

证明因为R是n-Gorenstein环,所以由( [8],引理11.1.2)知,GI关于正向极限封闭。又由注记2.3知, I P G I 。再由命题2.4知, P G I SML ( G I ) ,则 I SML ( G I ) 。再次由定理2.5的证明知,GI是关于纯商模封闭的包络类。

定理2.7 设R是双边Noetherian环。若任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模, G I 关于直积封闭,则 G I SML ( P G I )

证明因为任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模,所以由( [5],定理2)知, ( G I , G F ) 是对偶对,由( [11],定理3.1)知, G I 关于纯商模和纯子模封闭。由定义知, G I 关于扩张封闭。再由( [4],命题1)知, ( G I , G I ) 是完全的余挠对,即 G I 是覆盖类。又因为 G I 关于直积封闭。所以由( [12],定理3.4)知, G I 关于正向极限封闭。再次由引理1.10以及注记2.3知, G I SML ( P G I )

我们用 I n 表示内射维数小于等于n的模类。

推论2.8 设R是n-Gorenstein环。若任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模, G I 关于直积封闭,则 G I SML ( I n )

证明因为R是n-Gorenstein环,所以 P G I = I n 。再由定理2.7知, G I SML ( P G I ) ,则有 G I SML ( I n )

命题2.9 设R是双边Noetherian环,使得对任意的正整数n,有 i d R O P R n 。则对任意的可除abelian群D,有 T o r i R ( H o m Z ( G I , D ) , P G I ) = 0 ,其中 i 1

证明 因为R是双边Noetherian环,使得对任意的正整数n,有 i d R O P R n ,所以由( [5],定理8)知,任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模,由( [5],定理4)知, ( G I , G F ) 是对偶对,再由( [11],定理3.1)知,GI关于纯商模和纯子模封闭,再次由( [4],引理2)知,GI关于正向极限封闭。又因为GI关于直积封闭,所以由命题2.4知, P G I SML ( G I ) 。由注记2.3和( [5],引理1)知, ( P G I , G I ) 是遗传的余挠对,即 P G I 是可解的,则 P G I 中有足够的投射对象,且它关于满同态的核封闭。对任意的模 M P G I ,则M有投射分解 P 1 P 0 M 0 ,其中 P i P 。我们记 Ω i ( M ) = K e r ( P n 1 P n 2 ) 是M的第i个合冲,其中 i 1 ,由 P G I 是可解的知, Ω i ( M ) P G I 。又因为 P G I SML ( G I ) ,所以有 Ω i ( M ) SML ( G I ) 。再由( [10],引理2.5)知,对任意的可除abelian群D,以及任意的模 B G I ,我们有映射 Φ M i : T o r i R ( H o m Z ( B , D ) , M ) H o m Z ( E x t R i ( M , B ) , D ) 是单的,其中 i 1 。则有 T o r i R ( H o m Z ( B , D ) , M ) = 0 ,再次由B和M的任意性,则有 T o r i R ( H o m Z ( G I , D ) , P G I ) = 0

推论2.10 设R是双边Noetherian 环,使得对任意的正整数n,有 i d R O P R n ,则GI是覆盖类。

证明由命题2.9的证明知, P G I SML ( N ) ,再由注记2.3知, I SML ( G I ) 。再次由( [7],引理2.6)知,GI是覆盖类。

基金项目

国家自然科学基金项目(11761060)。

文章引用: 雷靖靖 , 杨晓燕 (2020) Gorenstein内射模上严格的Mittag-Leffler模。 理论数学, 10, 695-700. doi: 10.12677/PM.2020.108082

参考文献

[1] Raynaud, M. and Gruson, L. (1971) Criteres de platitude et de projective. Inventiones Mathematicae, 13, 1-89.
https://doi.org/10.1007/BF01390094

[2] Zimmermann, W. (1997) Modules with Chain Conditions for Finite Matrix Subgroups. Algebra, 190, 68-87.
https://doi.org/10.1006/jabr.1996.6882

[3] Enochs, E.E. and Jenda, O. (1995) Gorenstein Injective and Projective Modules. Mathematische Zeitschrift, 220, 611-633.
https://doi.org/10.1007/BF02572634

[4] Enochs, E.E. and Iacob, A. (2014) Gorenstein Injective Covers and Envelopes over Noetherian Rings. Proceedings of the American Mathematical Society, 143, 5-12.
https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2014-12232-5

[5] Iacob, A. (2017) Gorenstein Injective Covers and Envelopes over Two-Noetherian Rings. Communications in Algebra, 45, 2238-2244.
https://doi.org/10.1080/00927872.2016.1233193

[6] Yang, Y., Zhu, X. and Yan, X. (2016) Strict Mittag-Leffler Conditions on Gorenstein Modules. Communications in Algebra, 44, 1754-1766.
https://doi.org/10.1080/00927872.2015.1027380

[7] Yang, Y. and Xiao, Y. (2020) Strict Mittag-Leffler Modules over Gorenstein Injective Modules. Journal of Algebra, 19, 2050050.
https://doi.org/10.1142/S0219498820500504

[8] Enochs, E.E. and Jenda, O.M.G. (2000) Relative Homological Algebra. de Gruyter Expositions Mathematics, Vol. 30. Walter de Gruyter, Berlin.
https://doi.org/10.1515/9783110803662

[9] Angeleri Hugel, L. and Herbera, D. (2008) Mittag-Leffler Conditions on Modules. Indiana University Mathematics Journal, 57, 2459-2517.
https://doi.org/10.1512/iumj.2008.57.3325

[10] Yang, Y., Zhu, X. and Yan, X. (2016) Strict Mittag-Leffler Con-ditions and Gorenstein Modules. Algebras and Representation Theory, 19, 1451-1466.
https://doi.org/10.1007/s10468-016-9626-3

[11] Holm, H. and Jøyrgensen, P. (2009) Cotorsion Pairs Induced by Duality Pairs. Communications in Algebra, 1, 621-633.
https://doi.org/10.1216/JCA-2009-1-4-621

[12] Dai, G. and Ding, N. (2018) Coherent Rings and Absolutely Pure Covers. Communications in Algebra, 46, 1267-1271.
https://doi.org/10.1080/00927872.2017.1344693

分享
Top