一类相变模型的弱解存在性的研究
Existence of Weak Solutions for a Class of Phase Field Models

作者: 陈 梅 :上海大学,材料基因组工程研究院,上海;

关键词: 弱解的存在性序参数巴拿赫不动点定理Existence of Weak Solutions Order Parameter Banach’s Fixed Point Theorem

摘要:

本文在忽略弹性效应的情况下,研究了一类Neumann边界条件下的序参数不守恒的相场模型。通过引入一个参数κ构造一个修正模型,然后借助巴拿赫不动点定理、Aubin-Lions引理和一系列先验估计,最终得到该模型弱解的整体存在性。

Abstract: We shall investigate a phase-field model with a non-conserved order parameter which is under Neumann boundary conditions and omitting the effect of elasticity. By introducing a parameter κ to construct a modified model, and then using Banach’s fixed point Theorem, Aubin-Lions lemma and a series of a-priori estimates, the existence of global weak solutions to the model is finally obtained.

1. 引言

相场模型是一门非常年轻的学科,自问世以来,就对材料的发展做出了巨大的贡献,如经典的原子扩散模型:Allen-Cahn模型和Cahn-Hilliard模型,前者起始于1979年,可用于研究反向畴粗化 [1],不可压缩流体 [2] 等,后者起始于1958年,用于研究生物种群和图像的修复 [3] [4] 等。而2006年和2007年,Zhu和Alber提出了一类由构型力驱动的固固相变模型,这是一类更加适合于陶瓷烧结和马氏体相变的模型。关于Alber-Zhu模型的研究结果见 [5] - [11]。

为了引入本文的模型,我们先给出一些符号约定,满足(1)~(3)的未知量 T ( t , x ) 是一个 3 × 3 的对称矩阵,称为柯西张力。并且方程中出现的 u ( t , x ) 称为位移,属于 3 空间。

d i v x T ( t , x ) = b ( t , x ) (1)

T ( t , x ) = D ( ε ( x u ( t , x ) ) ε ¯ S ( t , x ) ) (2)

S t ( t , x ) = c ( ψ S ( ε ( x u ( t , x ) ) , S ( t , x ) ) ν Δ x S ( t , x ) ) | x S ( t , x ) | (3)

u ( t , x ) = γ ( t , x ) , S x ( t , x ) = 0 , ( t , x ) [ 0 , ) × Ω , (4)

S ( 0 , x ) = S 0 ( x ) , x Ω . (5)

可以看出这是一个纽曼初边值条件的椭圆–抛物耦合方程组,下面对方程中出现的其他参数进行说明。

x u ( t , x ) 是u的一阶微分, 3 空间下,这是一个 3 × 3 梯度矩阵, ( x u ) T 是其转置矩阵。应力张量: ε ( x u ) = 1 2 ( x u + ( x u ) T ) 。错配应变 ε ¯ S 3 是一个给定的矩阵。弹性张量: S 3 S 3 是一个线性的对称正定映射。总能量为

ψ * ( ε , S ) ( t , x ) = ψ ( ε , S ) + ν 2 | x S ( t , x ) | 2 .

其中自由能是 ψ ( ε , S ) = 1 2 ( D ( ε ε ¯ S ) ) ( ε ε ¯ S ) + ψ ^ ( S ) ψ ^ C 2 ( , [ 0 , ) ) 是双势阱函数, ψ S 是关于S的偏导数。两个矩阵的标量积是: A B = a i j b i j 。c和 ν 都是正常数,且 ν 与界面厚度成正比。体积力 b : [ 0 , ) × Ω 3 。数据 γ : [ 0 , ) × 3 S 0 : Ω

对于这个含有弹性效应和固固相变效应的模型,我们将对其进行适当的简化。首先本文忽视弹性效应,令柯西张力 T = 0 ,得到:

ψ S = 1 2 ( D ( ε ¯ ) ( ε ε ¯ S ) + D ( ε ε ¯ S ) ( ε ¯ ) ) + ψ ^ = D ( ε ε ¯ S ) ( ε ¯ ) + ψ ^ S = T ( ε ¯ ) + ψ ^ S = ψ ^ S ,

则总能量表示为 ψ * ( S , S x ) ( t , x ) = ψ ^ ( S ) + ν 2 | S x ( t , x ) | 2 。为了在使用压缩映射原理的过程中,减少记号的出现,本文中将双势肼函数 ψ ^ 记为 ψ ,并选取

ψ ( S ) = S 2 ( 1 S ) 2 (6)

至此,本文所要研究的一维纽曼初边值问题的总能量可记为:

ψ * ( S , S x ) ( t , x ) = ψ ( S ) + ν 2 | S x ( t , x ) | 2 . (7)

研究的初边值问题如下所示:

S t = c ( ψ S ( S ) ν S x x ) | S x | , ( t , x ) ( 0 , T e ) × Ω (8)

S x = 0 , ( t , x ) ( 0 , T e ) × Ω , (9)

S ( 0 , x ) = S 0 ( x ) , x Ω , (10)

本文研究的Alber-Zhu模型弱解定义和主要结论如下:

定义1:假设 S 0 L ( Ω ) ,函数

S L ( 0 , T e ; H 1 ( Ω ) ) (11)

是问题(8)-(10)的弱解,对于任意的 ϕ C 0 ( ( , T e ) ; C ( Ω ) ) ,有

( S , ϕ t ) Q T e = c ( ψ S | S x | , ϕ ) Q T e c ν 2 ( | S x | S x , ϕ x ) Q T e + ( S 0 , ϕ ( 0 ) ) Ω (12)

成立。

定理1:假设 S 0 H 1 ( Ω ) ,存在满足问题(8)-(10)的弱解,不仅满足式(11),而且满足

S x t L 4 3 ( 0 , T e ; W 1 , 4 3 ( Ω ) ) , S t L 4 3 ( Q T e ) (13)

( S x | S x | ) x L 4 3 ( Q T e ) S x L 8 3 ( 0 , T e ; L q ( Ω ) ) 任意 1 < q < (14)

对于修正模型,主要结论和弱解定义如下:

定义2:假设 S 0 L 1 ( Ω ) ,函数

S L ( 0 , T e ; H 1 ( Ω ) ) (15)

是问题(19)-(21)的弱解,对于任意的 ϕ C 0 ( ( , T e ) ; C ( Ω ) ) ,有

( S , ϕ t ) Q T e = c ( ψ S | S x | κ , ϕ ) Q T e c ν ( 0 S x | y | κ d y , ϕ x ) Q T e + ( S 0 , ϕ ( 0 ) ) Ω (16)

成立。

定理2:假设 S 0 H 1 ( Ω ) ,存在满足问题(19)-(21)的弱解,不仅满足式(15),而且满足

S x L ( 0 , T e ; L 2 ( Ω ) ) (17)

S x x L ( 0 , T e ; L 2 ( Ω ) ) , S t L 4 3 ( Q T e ) . (18)

本文共有2节,第2.1中,我们从Alber-Zhu模型的退化性入手,通过小参数 κ 构造一个修正的模型,借助于巴拿赫不动点原理得到该非退化模型的弱解存在性并证明了定理2。第2.2节中给出了与 κ 无关的先验估计,该部分参考了我的导师朱佩成教授在文献 [12] 中所使用的方法,但是因为模型和 κ 的表达的不同,细节方面仍然有所区别。第2.3节中,由Aubin-Lions引理得到近似解的紧致性,因此证明原问题弱解的存在性并证明了定理1。

2. 一类固固相变模型的弱解存在性

2.1. 修正模型的局部解存在性

引入 | S x | κ = | S x | 2 + κ 2 ,其中 1 κ > 0 ,这样我们就可以得到一个修正后的方程组,如下所示

S t = c ( ψ S ( S ) ν S x x ) | S x | κ ( t , x ) ( 0 , T e ) × Ω , (19)

S x = 0 ( t , x ) ( 0 , T e ) × Ω , (20)

S ( 0 , x ) = S 0 ( x ) x Ω . (21)

这是一类非退化的抛物型方程,首先借助截断因子 η | S x | κ 截断,再对其磨光,由于 | f | ˜ Q T e | f ( t τ , x y ) | ρ η ( τ , y ) d ( τ , y ) ,得到 | ( S x ) η | κ ˜ L ( Q T e ) 。截断磨光后的方程(19)表示如下:

S t c ν S x x | ( S x ) η | κ ˜ = c ψ S ( S ) | ( S x ) η | κ ˜ ( t , x ) ( 0 , T e ) × Ω , (22)

下面我们使用巴拿赫压缩映射原理证明该修正模型的弱解存在性。

定理3:设 T 是适当小的正数,对于(23)和(20)-(21),我们有 S X

X = { S | S L ( 0 , T ; H 1 ( Ω ) ) L 2 ( 0 , T ; H 2 ( Ω ) ) , S t L 4 3 ( 0 , T ; L 4 3 ( Ω ) ) } .

证明1.对于(22)中的 | ( S x ) η | κ ˜ ,给定一个函数 S X 。为了简化计算过程,用 F L ( Q T e ) 表示 | ( ( S ) x ) η | κ ˜ ,则(22)可改写成如下形式

S t F S x x = F ψ S ( S ) ( t , x ) ( 0 , T e ) × Ω , (23)

对于(23)中的 ψ S ( S ) ,给定一个函数

S t F S x x = F ψ S ^ ( S ^ ) ( t , x ) ( 0 , T e ) × Ω . (24)

根据 [13] 中的抛物程方程解存在性。可以知道(24)在(20)-(21)的初边值条件下的解也属于X。这里我们定义一个映射 A : X X ,即 A [ S ^ ] = S 。当 S ^ X ,我们得到了 S X ,所以我们说映射A是封闭的。

2.下面我们证明,当 T > 0 足够小时,映射A是紧压缩的。

Step1.根据上文中关于映射A的定义,当我们从X中选择两个函数 S ^ 1 S ^ 2 时,就可以得到S1和S2,这两个新的函数即满足 S 1 = A [ S ^ 1 ] S 2 = A [ S ^ 2 ] ,也满足(20)-(21)和(24)。令 W = S 1 S 2 ,得到了一个新的线性的偏微分方程组。

W t F W x x = F ( ψ S ^ 1 ψ S ^ 2 ) ( t , x ) ( 0 , T e ) × Ω , (25)

W x = 0 ( t , x ) ( 0 , T e ) × Ω , (26)

W ( 0 , x ) = 0 x Ω . (27)

Step2.用W与(25)做内积可得

( W t , W ) + ( F W x x , W ) = ( F ( ψ S ^ 1 ψ S ^ 2 ) , W ) ,

考虑边值条件(26),以及F和 κ 的关系,我们有

1 2 d d t W L 2 ( Ω ) 2 + κ W x L 2 ( Ω ) 2 C Ω ( ψ S ^ 1 ψ S ^ 2 ) W d x ,

上式关于时间t积分,再根据Hölder不等式和索伯列夫嵌入定理,得到

W L ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) 2 + κ 0 T W x L 2 ( Ω ) 2 d τ C Q T e ( ( ψ S ^ 1 ψ S ^ 2 ) ) W d ( τ , x ) C ε ( ( ψ S ^ 1 ψ S ^ 2 ) ) L 2 ( Q T ) 2 + ε W L 2 ( Q T ) 2 C ε ψ S ^ 1 ψ S ^ 2 L 2 ( Q T ) 2 + ε W L ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) 2 0 T d τ C ε ψ S ^ 1 ψ S ^ 2 L 2 ( Q T ) 2 + ε W L ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) 2

对于上面不等式右边的 ε ,取足够小使得 C ε > 0 ,再带入(6)定义的双势肼函数,从而有

W L ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) 2 + C 0 T W x L 2 ( Ω ) 2 d τ C ε ψ S ^ 1 ψ S ^ 2 L 2 ( Q T ) 2 C ε 4 S ^ 1 3 6 S ^ 1 2 + 2 S ^ 1 4 S ^ 2 3 + 6 S ^ 2 2 2 S ^ 2 L 2 ( Q T ) 2 C ε ( S ^ 1 S ^ 2 ) ( S ^ 1 2 + S ^ 1 S ^ 2 + S ^ 2 2 6 S ^ 1 6 S ^ 2 + 2 ) L 2 ( Q T ) 2 C S ^ 1 S ^ 2 L ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) 2 0 T d τ C T S ^ 1 S ^ 2 L ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) 2

整理上述不等式,得到

W L ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) + W x L 2 ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) ( C T ) 1 2 S ^ 1 S ^ 2 L ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) . (28)

Step3.将(25)与 W x x 做内积,有

( W t , W x x ) + ( F W x x , W x x ) = ( F ( ψ S ^ 1 ψ S ^ 2 ) , W x x ) ,

对x积分,再由于F的特点,可得

d d t W x L 2 ( Ω ) 2 + κ W x x L 2 ( Ω ) 2 C Ω ( ψ S ^ 1 ψ S ^ 2 ) W x x d x = C Ω W x ( ψ S ^ 2 ψ S ^ 1 ) x d x = C Ω ( d ψ S ^ 2 d S ^ 2 S ^ 2 x d ψ S ^ 1 d S ^ 1 S ^ 1 x ) W x d x = Ω ( d ψ S ^ 2 d S ^ 2 ( S ^ 2 x S ^ 1 x ) + ( d ψ S ^ 2 d S ^ 2 d ψ S ^ 1 d S ^ 1 ) S ^ 1 x ) W x d x = Ω d ψ S ^ 2 d S ^ 2 ( S ^ 2 x S ^ 1 x ) W x d x + Ω ( S ^ 2 S ^ 1 ) S ^ 1 x ψ ( ξ ) W x d x Ω ( S ^ 2 x S ^ 1 x ) W x d x + C S ^ 2 S ^ 1 L 2 ( Ω ) S ^ 1 x L ( Ω ) W x L 2 ( Ω )

将上述不等式左右二边关于时间t积分,再由Hölder不等式,得到

W x L ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) 2 + W x x L 2 ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) 2 Q T ( S ^ 2 x S ^ 1 x ) W x d ( x , τ ) + 0 T S ^ 2 S ^ 1 L 2 ( Ω ) W x L 2 ( Ω ) S ^ 1 x L ( Ω ) Q T ( S ^ 2 x S ^ 1 x ) W x d ( x , τ ) + S ^ 1 S ^ 2 L 2 ( Q T ) W x L ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) S ^ 1 x L 2 ( 0 , T ; L ( Ω ) ) S ^ 1 x S ^ 2 x L 2 ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) W x L 2 ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) + C ε S ^ 1 S ^ 2 L 2 ( Q T ) 2 + ε W x L ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) 2 C ε S ^ 1 x S ^ 2 x L 2 ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) 2 + C ε S ^ 1 S ^ 2 L 2 ( Q T ) 2 + 2 ε W x L ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) 2

选e足够小使得 1 2 ε > 0 ,再根据索伯列夫嵌入定理,我们得到

W x L ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) 2 + W x x L 2 ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) 2 C T S ^ 1 x S ^ 2 x L ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) 2 + C T S ^ 1 S ^ 2 L ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) 2 ,

W x L ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) + W x x L 2 ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) ( C T ) 1 2 ( S ^ 1 x S ^ 2 x L ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) + S ^ 1 S ^ 2 L ( 0 , T ; L 2 ( Ω ) ) ) (29)

最后,根据(28)和(29)我们可以说映射A是紧压缩的,即当且仅当 T > 0 足够小使得 ( C T ) 1 2 < 1 时。

引理1:对任意的 t [ 0 , T e ] ,存在与 κ η 无关的常数C,使得

Ω ψ * ( S , S x ) ( t , x ) d x C (30)

Q T e ( ψ ( S ) S ν S x x ) 2 | ( S x ) η | κ ˜ d ( τ , x ) C (31)

成立。

证明:先对于(7)关于空间变量x积分,再对时间变量t求导,接着插入(22)

d d t Ω ψ ( S , S x ) ( t , x ) d x = d d t Ω ( ψ ( S ) + ν 2 S x 2 ) d x = Ω ( ψ ( S ) S S t + ν S x S t x ) d x = Ω ( ψ ( S ) S ν S x x ) S t d x = c Ω ( ψ ( S ) S ν S x x ) 2 | ( S x ) η | κ ˜ d x

再关于t积分,有

Ω ψ ( S , S x ) ( t , x ) d x + c Q T e ( ψ ( S ) S ν S x x ) 2 | ( S x ) η | κ ˜ d ( τ , x ) Ω ψ ( S , S x ) ( 0 , x ) d x (32)

观察上面的等式和初值 S 0 H 1 ( Ω ) 以及 t = 0 时的(7)

Ω ψ ( S , S x ) ( 0 , x ) d x = Ω ψ ( S ( 0 , x ) ) + ν 2 S x ( 0 , x ) 2 d x C

将上式带入(32),证明结束。

引理2:对任意的 t [ 0 , T e ] ,存在与 κ η 无关的常数C,使得

S L ( 0 , T e ; L 4 ( Ω ) ) (33)

S x L ( 0 , T e ; L 2 ( Ω ) ) (34)

证明:根据引理1,我们知道 Ω ψ ( S , S x ) ( t , x ) d x C ,再带入双势肼函数(6),得到

Ω S 2 2 S 3 + S 4 + ν 2 | S x | 2 d x = Ω ψ ( S , S x ) ( t , x ) d x C

将上式中左边的移到等式右边,有

Ω S 2 + S 4 + ν 2 | S x | 2 d x C + Ω 2 S 3 d x C + 2 Ω ( ε S 4 + C ε ) d x C + 2 Ω ε S 4 d x

不等式二边同时减去 2 Ω ε S 4 d x

Ω S 2 + ( 1 2 ε ) S 4 + ν 2 | S x | 2 d x C

取e足够小使得等式左边的 1 2 ε > 0 ,则上面不等式可以推出 Ω S 2 d x C Ω S 4 d x C Ω S x 2 d x C ,至此,引理得证。

引理3:对任意的 t [ 0 , T e ] ,存在与 κ 有关但和 η 无关的常数C,使得

Q T e S x x 2 d ( τ , x ) C (35)

成立。

证明:应用 ( a ± b ) 2 < 2 ( a 2 + b 2 ) ,并选取 a = ψ S ν S x x b = ψ S ,可以得到

( ψ S ν S x x ψ S ) 2 < 2 ( ( ψ S ν S x x ) 2 + ψ S 2 )

积分后得

Q T e ( ψ S ν S x x ψ S ) 2 d ( τ , x ) 2 Q T e ( ψ ( S ) S ν S x x ) 2 + ψ S 2 d ( τ , x ) 2 Q T e ( ψ ( S ) S ν S x x ) 2 d ( τ , x ) + Q T e ψ S 2 d ( τ , x )

联结 | ( S x ) η | κ ˜ = | ( S x ) η | ˜ 2 + κ 2 κ 和(31),有

κ Q T e ( ψ ( S ) S ν S x x ) 2 d ( τ , x ) Q T e ( ψ ( S ) S ν S x x ) 2 | ( S x ) η | κ ˜ d ( τ , x ) C .

再由引理2可以得到,存在一个与 κ 有关的常数C使得(35)成立。

引理4:存在与 κ η 无关的常数C,使得对任意的 t [ 0 , T e ]

Q T e | S t | 4 3 d ( τ , x ) C (36)

成立。

证明:为了证明这个引理,我们代入(22),再选择 2 > r 1 q r = 2 ,应用Hölder不等式

Q T e | S t | r d ( τ , x ) = Q T e | c ( ψ S ( S ) ν S x x ) | ( S x ) η | κ ˜ | r d ( τ , x ) = Q T e | c ( ψ S ( S ) ν S x x ) | r | ( S x ) η | κ ˜ r 2 | ( S x ) η | κ ˜ r 2 d ( τ , x ) ( Q T e | c ( ψ S ( S ) ν S x x ) | q r | ( S x ) η | κ ˜ r q 2 d ( τ , x ) ) 1 q ( Q T e | ( S x ) η | κ ˜ r p 2 d ( τ , x ) ) 1 p C ( Q T e | ( S x ) η | κ ˜ r 2 r d ( τ , x ) ) 2 r 2

根据引理2和 | p | κ | p | + κ | p | + 1 ,当 r 2 r 2 时,即 r 4 3 时,我们立即就可以得到(36)。

定理4:假设 S 0 H 1 ( Ω ) ,对于修正问题(19)-(21)存在一个弱解S,其中 S L 2 ( 0 , T e ; H 2 ( Ω ) ) L 2 ( 0 , T e ; C 1 + α ( Ω ¯ ) ) α < 1 2 ,和 S t L 4 3 ( Q T e ) ,使得

( S x * ) η S x ,强收敛于空间 L 2 ( Q T e ) 内, (37)

| ( S x * ) η | ˜ | S x | ,强收敛于空间内, (38)

| ( S x * ) η | ˜ κ | S x | κ ,强收敛于空间 L 2 ( Q T e ) 内, (39)

成立。

证明:根据 ( S x ) η 的定义,我们可以直接得到,当 η 0

( S x * ) η S x L 2 ( Q T e ) 0 ,

再应用 f ˜ L 2 ( Q T e ) f L 2 ( Q T e ) 的性质,可以推出

| ( S x * ) η | ˜ | S x | L 2 ( Q T e ) ( S x * ) η | S x | L 2 ( Q T e ) 0.

鉴于在 L 2 ( Q T e ) 空间存在一个连续映射 f | f | κ ,再结合上式,最终得到

| ( S x * ) η | ˜ κ | S x | κ L 2 ( Q T e ) 0.

定理4得证。

借助于定理3和定理4,修正问题(19)-(21)的弱解存在性至此已经证明结束。

2.2. 与 无关的先验估计

目前为止,我们已经求得修正问题的弱解存在性。但是实际上章节2.1中给出的部分估计是与 κ 有关的,这使得我们无法直接证明序列 { S x κ } 是完备的,即无法证明当 κ 0 时的极限是否是我们所需要的。但是我们必须要求解一个序列可以收敛回原问题的解,所以本节将说明 { S x κ | S x κ | } 或者更详细的说,这个序列的近似,存在有界的偏导数,再借助于Aubin-Lions引理,使得问题可以得到解决。

下面先对于章节2.1中的修正问题的解序列 { S κ } 建立与 κ 无关的先验估计。设Te是一个固定的正常数,对于任意的 κ ,函数 S 0 κ C ( Ω ) 使得

S 0 κ S 0 H 1 ( Ω ) 0 κ 0 (40)

其中 S 0 H 1 ( Ω ) 是定理1给出的。

引理5存在与 κ 无关的常数C,使得

0 t Ω | S x κ | κ | S x x κ | 2 d x d τ C , (41)

0 t Ω ( | S x κ | κ | S x x κ | ) 4 3 d x d τ C (42)

成立。

证明对于方程(19)二边同时乘以 S x x κ ,再对x分部积分,应用Young不等式,我们得到

d 2 d t S x κ L 2 ( Ω ) 2 + Ω ν | S x κ | κ | S x x κ | 2 d x = Ω ψ S | S x κ | κ S x x κ d x C Ω | S x κ | κ | S x x κ | d x ε Ω | S x κ | κ | S x x κ | 2 d x + C ε Ω | S x κ | κ d x

选择 ε = ν 2 ,有

d 2 d t S x κ L 2 ( Ω ) 2 + Ω ν 2 | S x κ | κ | S x x κ | 2 d x C ν Ω | S x κ | κ d x .

对上面的不等式二边关于时间t积分,注意到边界条件(20)和引理2,可以立即推出(41)。

根据方程(19)和引理2及引理4,(42)得证。

引理6存在与 κ 无关的常数C,使得对任意的 t [ 0 , T e ]

0 t Ω | ( | S x κ | κ 2 ) x | 4 3 d x d τ C , (43)

0 t | S x κ | κ L 8 3 d τ C , (44)

成立。

证明为了证明(43),令 S x κ = : y | S x κ | κ = : | y | κ ,使用他们进行如下计算

| ( | S x κ | κ 2 ) x | = | ( | y | κ 2 ) x | 2 | y | | y x | 2 | y | κ | y x | = 2 | S x κ | κ | S x x κ | , (45)

联结(42)

0 t Ω | ( | S x κ | κ 2 ) x | 4 3 d x d τ 0 t Ω | 2 | S x κ | κ | S x x κ | | 4 3 d x d τ 2 4 3 0 t Ω | | S x κ | κ | S x x κ | | 4 3 d x d τ C .

为了证明(44),使用(43)和庞加莱不等式

0 t Ω | | S x κ | κ 2 | 4 3 d x d τ = 0 t Ω | ( S x κ ) 2 + κ 2 | 4 3 d x d τ 0 t Ω | ( S x κ ) 2 | 4 3 d x d τ + 0 t Ω | κ 2 | 4 3 d x d τ C 0 t Ω | ( ( S x κ ) 2 ) x | 4 3 d x d τ + C 1 C 0 t Ω | ( ( S x κ ) 2 + κ 2 ) x | 4 3 d x d τ + C 0 t Ω | ( | S x κ | κ 2 ) x | 4 3 d x d τ + C C

考虑到上式和(43),应用索伯列夫嵌入定理,最终可以得到

0 t | S x κ | κ 2 L ( Ω ) 8 3 d τ C 0 t | S x κ | κ 2 W 1 , 4 3 ( Ω ) 4 3 d τ C ,

根据 | S x κ | κ 的定义,即 | S x κ | κ 2 = ( S x κ ) 2 + κ 2 。最终,我们可以得到

0 t | S x κ | κ L ( Ω ) 8 3 d τ 0 t | S x κ | κ 2 L ( Ω ) 4 3 d τ C .

引理7存在与 κ 无关的常数C使得对任意的 t [ 0 , T e ]

S x κ S x t κ L 1 ( 0 , T e ; H 2 ( Ω ) ) C , (46)

( | S x κ | κ 2 ) t L 1 ( 0 , T e ; H 2 ( Ω ) ) C (47)

成立。

证明我们发现 L 1 ( 0 , T e ; H 2 ( Ω ) ) 是等距嵌入到其对偶空间 L ( 0 , T e ; H 2 ( Ω ) ) ,所以(46)的成立意味着下面不等式的成立

| ( S x κ S x t κ , ϕ ) | C ϕ L ( 0 , T e ; H 2 ( Ω ) ) ,

其中 ϕ L ( 0 , T e ; H 2 ( Ω ) )

为了证明等价后的的上式。首先用 S x κ S x t κ ϕ 做内积,分部积分后再带入方程(19)

( S x κ S x t κ , ϕ ) = 0 T e Ω S x x κ S t κ ϕ d x d τ 0 T e Ω S x κ S t κ ϕ x d x d τ = c 0 T e Ω S x x κ ( ψ S ν S x x κ ) | S x κ | κ ϕ d x d τ + c 0 T e Ω S x κ ( ψ S ν S x x κ ) | S x κ | κ ϕ x d x d τ = : I 1 + I 2 (48)

下面分别计算 I 1 , I 2

| I 1 | = | c 0 T e Ω S x x κ ϕ ψ S | S x κ | κ d x d τ c ν 0 T e Ω ( S x x κ ) 2 | S x κ | κ ϕ d x d τ | c 0 T e Ω | ϕ ψ S | | S x x κ | | S x κ | κ d x d τ + c ν 0 T e Ω | ϕ | ( S x x κ ) 2 | S x κ | κ d x d τ . (49)

为了估计上式等式右边中的第一项,我们应用Hölder不等式、引理2,和(42)

c 0 T e Ω | ϕ ψ S | | S x x κ | | S x κ | κ d x d τ C ϕ L ( Q T e ) S x x κ | S x κ | κ L 1 ( Q T e ) C ϕ L ( 0 , T e ; H 2 ( Ω ) ) . (50)

对于(49)的右边第二项,应用Hölder不等式和(41)我们得到

c ν 0 T e Ω | ϕ | ( S x x κ ) 2 | S x κ | κ d x d τ C ϕ L ( Q T e ) ( S x x κ ) 2 | S x κ | κ L 1 ( Q T e ) C ϕ L ( 0 , T e ; H 2 ( Ω ) ) . (51)

结合(50)和(51),我们立即可以得到 | I 1 | C ϕ L ( 0 , T e ; H 2 ( Ω ) )

现在开始估计 I 2

| I 2 | = | c 0 T e Ω S x κ ψ S | S x κ | κ ϕ x d x d τ c ν 0 T e Ω S x κ | S x κ | κ S x x κ ϕ x d x d τ | c 0 T e Ω | ϕ x ψ S S x κ | S x κ | κ | d x d τ + c ν 0 T e Ω | ϕ x S x x κ S x κ | | S x κ | κ d x d τ = : | I 2 , 1 | + | I 2 , 2 (52)

根据引理2和 | S x κ | | S x κ | κ 可以得到

| I 2 , 1 | = c 0 T e Ω | ϕ x ψ S S x κ | S x κ | κ | d x d τ C 0 T e Ω | ϕ x | S x κ | κ 2 | d x d τ C ϕ x L ( Q T e ) | S x κ | κ 2 L 1 ( Q T e ) C ϕ L ( 0 , T e ; H 2 ( Ω ) ) (53)

应用Hölder不等式和(44),(41),我们可以得到

| I 2 , 2 | = c ν 0 T e Ω | S x κ S x x κ ϕ x | | S x κ | κ d x d τ c ν 0 T e | S x κ | κ L ( Ω ) 1 2 ϕ x L ( Ω ) Ω ( | S x κ | κ ) 1 2 | S x x κ | | S x κ | d x d τ c ν 0 T e | S x κ | κ L ( Ω ) 1 2 ϕ x L ( Ω ) ( Ω | S x κ | κ | S x x κ | 2 d x ) 1 2 ( Ω | S x κ | 2 d x ) 1 2 d τ C ϕ L ( 0 , T e ; H 2 ( Ω ) ) 0 T e | S x κ | κ L ( Ω ) 1 2 ( Ω | S x κ | κ | S x x κ | 2 d x ) 1 2 d τ C ϕ L ( 0 , T e ; H 2 ( Ω ) ) ( 0 T e | S x κ | κ L ( Ω ) d τ ) 1 2 ( 0 T e Ω | S x κ | κ | S x x κ | 2 d x d τ ) 1 2 C ϕ L ( 0 , T e ; H 2 ( Ω ) ) (54)

至此,通过对 I 2 I 1 的估计可以得到 S x κ S x t κ L 1 ( 0 , T e ; H 2 ( Ω ) ) 是有界的。

为了证明(47),我们给出下面的定义

f κ : = c ( ψ ( S κ ) S ν S x x κ ) | S x κ | κ . (55)

ϕ L ( 0 , T e ; H 2 ( Ω ) ) ,用 ( S x κ ϕ ) x ( S t κ f κ ) 作内积,并且关于 ( t , x ) 做积分,利用(45)可得

0 = ( ( S t κ f κ ) , ( S x κ ϕ ) x ) Q T e = ( S t κ , ( S x κ ϕ ) x ) Q T e ( f κ , ( S x κ ϕ ) x ) Q T e = Q T e S t x κ S x κ ϕ d ( τ , x ) ( f κ , S x x κ ϕ ) Q T e ( f κ , S x κ ϕ x ) Q T e = 1 2 ( ( | S x κ | κ 2 ) t , ϕ ) Q T e ( f κ , S x x κ ϕ ) Q T e ( f κ , S x κ ϕ x ) Q T e

把上式改写成如下格式

| 1 2 ( ( | S x κ | κ 2 ) t , ϕ ) Q T e | = | ( f κ , S x x κ ϕ ) Q T e ( f κ , S x κ ϕ x ) Q T e | Q T e | f κ S x x κ ϕ | d ( τ , x ) + Q T e | f κ S x κ ϕ x | d ( τ , x ) (56)

由估计(55)和(48)~(51)可得

Q T e | f κ S x x κ ϕ | d ( τ , x ) = Q T e | S t κ S x x κ ϕ | d ( τ , x ) C ϕ L ( 0 , T e ; H 2 ( Ω ) ) . (57)

由(48),(55)和(52)~(54),我们就可以用 C ϕ L ( 0 , T e ; H 2 ( Ω ) ) 来估计(56)的等式右边最后一项

Q T e | f κ S x κ ϕ x | d ( τ , x ) = Q T e | S t κ S x κ ϕ x | d ( τ , x ) C ϕ L ( 0 , T e ; H 2 ( Ω ) ) . (58)

至此,由(56)-(58),使得(47)成立。

根据引理2,引理4和引理5~7,我们可以将Alber-Zhu模型(8)~(10)的弱解从小区间 [ 0 , T ] 不断延拓到整个空间 [ 0 , T e ]

2.3. 一维Alber-Zhu模型弱解的存在性

本节我们将研究(19)-(21)的解 { S κ } κ 0 时的收敛性并且证明定理1。

由估计(34)和(36)可得 S κ W 1 , 4 3 ( Q T e ) C ,其中C是与 κ 无关的常数。意味着我们可以选择序列 κ n 0 和一个函数 S W 1 , 4 3 ( Q T e ) 使得序列 S κ n (这里仍然用 S κ 来表示)满足下式

S κ S L 4 3 ( Q T e ) 0 S x κ S x S t κ S t (59)

这里的弱收敛存在空间 L 4 3 ( Q T e )

引理8: B 0 是一个赋范线性空间并且紧嵌入另一个赋范线性空间B,B连续嵌入到一个Hausdorf局部凸空间 B 1 ,其中 1 p < 。如果 ν , ν i L p ( 0 , T e ; B 0 ) i ,序列 { ν i } i 在空间 L p ( 0 , T e ; B 0 ) 中弱收敛于 ν ,且 { ν i t } i 在空间 L 1 ( 0 , T e ; B 1 ) 上有界,则 ν i 在空间 L p ( 0 , T e ; B ) 内强收敛于 ν

引理9: ( 0 , T e ) × Ω 是一个在 + × n 上的开集,假设函数序列 g n ,函数g都在空间 L q ( ( 0 , T e ) × Ω ) 内,并且对于任意所给的 1 < q < ,满足

g n L q ( ( 0 , T e ) × Ω ) C g n g ,a.e.在 ( 0 , T e ) × Ω 内,

则函数序列 g n 在空间 L q ( ( 0 , T e ) × Ω ) 内弱收敛于g。

引理8是一般形式的Aubin-Lions引理,其证明详见文献 [14],引理9的证明在 [15]。

引理10:存在与 κ 无关的常数C使得

S x κ S x ,a.e. in Q T e (60)

sgn ( S x κ ) | S x κ | κ S x | S x κ | κ | S x | ,a.e. in Q T e (61)

sgn ( S x κ ) | S x κ | κ S x | S x κ | κ | S x | ,弱收敛于空间 L 4 3 ( Q T e ) (62)

sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 S x | S x | ,强收敛于空间 L 4 3 ( 0 , T e ; L 2 ( Ω ) ) (63)

证明我们应用引理8并选择 p = 4 3

B 0 = W 1 , 4 3 ( Ω ) B = L 2 ( Ω ) B 1 = H 2 ( Ω )

由(43)和(47),我们发现 sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 ( sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 ) t 是有界的,那么这些空间就完全满足引理8的前提条件。也就是说存在一个子序列,为了简洁,这里仍然用 sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 来表示,在空间 L p ( 0 , T e ; B ) = L 4 3 ( 0 , T e ; L 2 ( Ω ) ) 中强收敛于一个极限函数 G L 4 3 ( 0 , T e ; L 2 ( Ω ) )

实际上另一个子序列仍然用 sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 来表示,存在下述关系 sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 S x | S x | a.e.在 Q T e 内。令 f ( sgn ( S x κ ) | S x κ | κ ) = sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 ,利用映射 y f ( y ) : = y | y | ,有一个连续的逆映射 f 1 : ,我们可以推论 f 1 ( sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 ) = sgn ( S x κ ) | S x κ | κ Q T e 内几乎处处收敛。由此,可以得到序列 S x κ 几乎处处收敛。我们借助 | S x κ | κ 的定义,可以看到 ( S x κ ) 2 = ( sgn ( S x κ ) | S x κ | κ ) 2 κ 2 。即 lim κ 0 S x κ = lim κ 0 sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 。至此, S x κ Q T e 内几乎处处收敛得证。

由引理9和 S x κ S x in L 4 3 ( Q T e ) ,(60)-(61)立即可以得到证明。关系式(61)和极限的唯一性意味着(63)。联结(59)和文中设定的关系式 | | S x κ | κ | = | sgn ( S x κ ) | S x κ | κ | | S x κ | + κ | S x κ | + 1 ,再应用引理9,我们立即得到(62)。

证明定理1:根据(59),我们可以给定一个子序列 { S κ } 和相应的极限函数,用 { S κ } 来表示定理2中方程(19)~(21)所构造的解序列。下面我们将证明S是(8)~(10)的弱解。

引理5和(59)立即可以得到(11)。(13)中的第二项由(59)可得。(14)中的第二项可由(44)和(61)可得。(14)中的第一项是(43)和(63)的一个结论。为了证明(13)中的第一项,我们选择 ϕ L 4 ( 0 , T e , W 1 , 4 ( Ω ) ) 并且用(55)中定义的 ϕ x S t κ f κ 做内积,在时间和空间上积分,可得

0 = ( ( S t κ f κ ) , ϕ x ) Q T e = Q T e S t x κ ϕ d ( τ , x ) + ( f κ , ϕ x ) Q T e ,

注意到引理2-5,我们得到

Q T e S t x κ ϕ d ( τ , x ) f κ L 4 3 ( Q T e ) ϕ x L 4 ( Q T e ) C ϕ L 4 ( 0 , T e ; W 1 , 4 ( Ω ) ) ,

S x t κ L 4 3 ( 0 , T e ; W 1 , 4 3 ( Ω ) ) C 。联结此式和(59),第一项立即可得。

为了证明(12),我们研究下面的收敛关系

( S 0 κ , ϕ ( 0 ) ) Ω ( S 0 , ϕ ( 0 ) ) Ω , (64)

( S κ , ϕ t ) Q T e ( S , ϕ t ) Q T e , (65)

( 0 S x κ | y | κ d y , ϕ x ) Q T e ( 1 2 | S x | S x , ϕ x ) Q T e , (66)

( ψ S ( S x κ ) | S x κ | κ , ϕ ) Q T e ( ψ S | S x | , ϕ ) Q T e , (67)

κ 0 。(64)和(65)由(40)和(59)可得。为了证明(66)

0 S x κ | y | κ d y 1 2 | S x | S x = ( 0 S x κ | y | κ d y 1 2 sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 ) + 1 2 ( sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 | S x | S x ) ,

上式中右边的第二项由(63)立即可得:

1 2 ( sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 | S x | S x ) L 4 3 ( 0 , T e ; L 2 ( Ω ) ) 0

κ 0 。对于第一项我们有

| ( 0 S x κ | y | κ d y 1 2 sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 ) | = | ( 0 S x κ | y | κ d y 1 2 sgn ( S x κ ) ( ( S x κ ) 2 + κ 2 ) ) | | ( 0 S x κ | y | κ d y 1 2 sgn ( S x κ ) ( S x κ ) 2 ) | + | 1 2 sgn ( S x κ ) κ 2 | 0 | S x κ | | | y | κ | y | | d y + C κ κ | S x κ | + C κ

联结(34),我们立即得到(66)。由引理2和引理5得到 ψ S ( S x κ ) | S x κ | κ L 2 ( Q T e ) C ,再联结引理9和(60)~(61),(67)立即可得。至此,(12)证明结束。

参考文献

文章引用: 陈 梅 (2020) 一类相变模型的弱解存在性的研究。 理论数学, 10, 666-679. doi: 10.12677/PM.2020.107080

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