范德蒙行列式的矩阵形式推广及其应用
The Popularization and Application of Matrix Form of Vandermonde’s Determinant

作者: 周颂奇 * , 白 颖 :东北大学秦皇岛分校数学与统计学院,河北 秦皇岛;

关键词: 范德蒙行列式分块矩阵矩阵直积Vandermonde Determinant Block Matrix Kronecker Product

摘要:

本文旨在利用分块矩阵及矩阵直积的性质,将范德蒙行列式中的元素换成矩阵形式进行推广,使其推广后的行列式仍具有类似范德蒙行列式的通解公式,且能解决更复杂的行列式求值问题。

Abstract: The purpose of this article is to use the properties of block matrices and matrix direct products to generalize the elements of the Vandermonde determinant into a matrix form, so that the general-ized determinant still has a general solution formula similar to the Vandermonde determinant, and can solve more complicated problem of determinant evaluation.

1. 引言

范德蒙行列式在向量空间理论、线性变换理论、多项式理论、微积分等方面都有重要贡献,如参考文献 [1] [2] [3];在其他工程技术领域如计算机技术、自动化技术等也有广泛的应用。但由于传统的范德蒙行列式中的元素均为实数,适用范围有限,故本文利用分块矩阵及矩阵直积的性质,将行列式中的元素换成分块矩阵进行推广,使其应用范围更加广泛。

2. 预备知识

1) n阶范德蒙行列式的通解公式

d = | 1 1 1 1 a 1 a 2 a 3 a n a 1 2 a 2 2 a 3 2 a n 2 a 1 n 1 a 2 n 1 a 3 n 1 a n n 1 | = 1 j < i n ( a i a j )

2) 分块矩阵3点性质:

性质2.1: [4] 设矩阵 A = ( a i k ) s × n ,矩阵 B = ( b k j ) n × m ,把A,B分成一些小矩阵:

A = n 1 n 2 n l s 1 s 2 s t [ A 11 A 12 A 1 l A 21 A 22 A 2 l A t 1 A t 2 A t l ] B = m 1 m 2 m r n 1 n 2 n l [ B 11 B 12 B 1 r B 21 B 22 B 2 r B l 1 B l 2 B l r ]

其中 A i j s i × n j 小矩阵,每个 B i j n i × m j 小矩阵,于是有

C = A B = m 1 m 2 m r s 1 s 2 s t [ C 11 C 12 C 1 r C 21 C 22 C 2 r C t 1 C t 2 C t r ]

其中, C p q = A p 1 B 1 q + A p 2 B 2 q + + A p l B l q

性质2.2: [4] 若矩阵A可逆,则有

| A B C D | = | A | | D C A 1 B |

3) 矩阵直积的定义与性质:

定义2.1:设矩阵 A = ( a i j ) m × n B = ( b i j ) p × q ,称如下的分块矩阵

A B = ( a 11 B a 12 B a 1 n B a m 1 B a m 2 B a m n B )

为A与B的直积。

性质2.3: [5] A C m × m 的全体特征值是 λ 1 , λ 2 , , λ m B C n × n 的全体特征值是 u 1 , u 2 , , u n ,则 A B 的全体特征值是 λ i μ j ( i = 1 , 2 , , m ; j = 1 , 2 , , n )

证明:因为任何方阵都可以化成约当标准型,且对角线的元素都是矩阵的特征值,所以用约当标准型来证明,因为存在P、Q,使得

P 1 A P = J A Q 1 B Q = J B

J A = ( λ 1 t 1 λ 2 t m 1 λ m ) J B = ( μ 1 s 1 μ 2 s n 1 μ n )

这里 t i s i 表1或者0,于是

( P Q ) 1 ( A B ) ( P Q ) = ( P 1 A P ) ( Q 1 B Q ) = J A J B

A B 的特征值即 J A J B 的特征值是 λ i μ j

性质2.4: [5] 设 A C m × m B C n × n ,则 | A B | = | A | n | B | m

证明:由性质2.4,知 A B 的特征值是 λ i μ j ,于是

| A B | = λ i μ j = ( λ i ) n × ( u j ) m = | A | n | B | m

3. 主要结论

命题3.1:设方阵A由如下分块矩阵组成

A = ( A 11 A 1 j A 1 n A i 1 A i j A i n A n 1 A n j A n n )

其中 A i j ( 1 i n ) 都是s阶方阵,M是任一s阶方阵,对于矩阵

B = ( A 11 M A 1 j A 1 n A i 1 M A i j A i n A n 1 M A n j A n n ) C = ( A 11 A 1 j A 1 n M A i 1 M A i j M A i n A n 1 A n j A n n )

则有 | B | = | C | = | M | | A |

证明: B = ( A 11 A 1 j A 1 n A i 1 A i j A i n A n 1 A n j A n n ) ( E M E ) = A ( E M E )

于是 | B | = | A | | E M E | = | A | | M |

同理, C = ( E M E ) ( A 11 A 1 j A 1 n A i 1 A i j A i n A n 1 A n j A n n ) = ( E M E ) A

于是 | C | = | E M E | | A | = | M | | A | = | A | | M | = | B | ,证明完毕。

定理3.1:设n阶分块矩阵的行列式如下:

| D | = | E E E E D 1 D 2 D 3 D n D 1 2 D 2 2 D 3 2 D n 2 D 1 n 1 D 2 n 1 D 3 n 1 D n n 1 | (1)

其中,小矩阵块 E , D i ( 1 i n ) 均为同阶方阵,则有 | D | = 1 j < i n | D i D j |

证明(数学归纳法):

n = 2 时由性质2.2,可得

| E E D 1 D 2 | = | E | | D 2 D 1 E E | = | D 2 D 1 |

满足定理公式。

假设定理公式对于 n 1 阶的行列式成立,现在来看对于n阶的情形。在(1)式中,用第n行减去 D 1 左乘第 n 1 行,用第 n 1 行减去 D 1 左乘第 n 2 行,也就是自下而上依次用每一行减去 D 1 左乘它上一行,也即

| ( E D 1 E D 1 E ) ( E E E D 1 D 2 D n D 1 n 1 D 2 n 1 D n n 1 ) | = | E D 1 E D 1 E | | E E E D 1 D 2 D n D 1 n 1 D 2 n 1 D n n 1 | = | D |

因此可得:

| D | = | E E E O D 2 D 1 D n D 1 O D 2 n 1 D 1 D 2 n 2 D n n 1 D 1 D n n 2 | = | D 2 D 1 D 3 D 1 D n D 1 D 2 2 D 1 D 2 D 3 2 D 1 D 3 D n 2 D 1 D n D 2 n 1 D 1 D 2 n 2 D 3 n 1 D 1 D 3 n 2 D n n 1 D 1 D n n 2 | = | D 2 D 1 D 3 D 1 D n D 1 ( D 2 D 1 ) D 2 ( D 3 D 1 ) D 3 ( D n D 1 ) D n ( D 2 D 1 ) D 2 n 2 ( D 3 D 1 ) D 3 n 2 ( D n D 1 ) D n n 2 |

由命题3.1,上式可以化简为:

| D 2 D 1 | × | D 3 D 1 | × × | D n D 1 | × | E E E D 2 D 3 D n D 2 n 2 D 3 n 2 D n n 2 |

由于后面这个行列式是一个 n 1 级范德蒙行列式的矩阵推广形式,根据归纳假设,它就等于所有可能差 | D i D j | ( 2 j < i n ) 的乘积;又由于包含 | D k D 1 | ( 2 k n ) 的项在前面已经全部出现。因此,可以得出结论,定理公式对n级范德蒙行列式的矩阵推广形式也成立。根据数学归纳法,证明完毕。

定理3.2:若n阶分块矩阵行列式如下:

| D | = | B B B B a 1 B a 2 B a 3 B a m B a 1 2 B a 2 2 B a 3 2 B a m 2 B a 1 m 1 B a 2 m 1 B a 3 m 1 B a m m 1 B |

其中 B C n × n ,则有

| D | = ( 1 j < i n ( a i a j ) ) n | B | m

证明:令

A = ( 1 1 1 1 a 1 a 2 a 3 a n a 1 2 a 2 2 a 3 2 a n 2 a 1 m 1 a 2 m 1 a 3 m 1 a m m 1 )

由矩阵直积的定义2.1及性质2.4可知:

| D | = | A B | = | A | n | B | m

根据范德蒙行列式的通解公式,可知:

| A | = 1 j < i n ( a i a j )

故上式可整理得:

| D | = ( 1 j < i n ( a i a j ) ) n | B | m

完成证明。

4. 应用举例

1) 计算 | D | = | 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 2 1 3 1 4 2 3 3 4 4 5 5 8 10 15 17 24 8 13 15 25 24 41 | 的值。

解:

由于 | 1 2 2 3 | 2 = | 5 8 8 13 | | 1 3 3 4 | 2 = | 10 15 15 25 | | 1 4 4 5 | 2 = | 17 24 24 41 |

D 1 = | 1 2 2 3 | D 2 = | 1 3 3 4 | D 3 = | 1 4 4 5 |

所以可以直接使用定理3.1,解得:

| D | = | D 2 D 1 | | D 3 D 1 | | D 3 D 2 | = | 0 1 1 1 | × | 0 2 2 2 | × | 0 1 1 1 | = ( 1 ) × ( 4 ) × ( 1 ) = 4.

2) 计算 | D | = | 1 2 1 2 1 2 3 4 3 4 3 4 x 2 x y 2 y z 2 z 3 x 4 x 3 y 4 y 3 z 4 z x 2 2 x 2 y 2 2 y 2 z 2 2 z 2 3 x 2 4 x 2 3 y 2 4 y 2 3 z 2 4 z 2 | 的值。

解:

| D | = | ( 1 1 1 x y z x 2 y 2 z 2 ) ( 1 2 3 4 ) |

利用定理3.2,可直接解得结果为

| D | = | 1 1 1 x y z x 2 y 2 z 2 | 2 × | 1 2 3 4 | 3 = ( ( z y ) ( z x ) ( y x ) ) 2 | 1 2 3 4 | 3 = 8 ( ( z y ) ( z x ) ( y x ) ) 2

文章引用: 周颂奇 , 白 颖 (2020) 范德蒙行列式的矩阵形式推广及其应用。 理论数学, 10, 648-654. doi: 10.12677/PM.2020.107078

参考文献

[1] 徐杰. 范德蒙行列式的应用[J]. 科技信息, 2009(17): 588-590.

[2] 黄威, 吕维东. 关于范德蒙行列式计算类型的探讨及其运用[J]. 湖北科技学院学报, 2015, 35(10): 202-204.

[3] 程伟健, 贺冬冬. 范德蒙行列式在微积分中的应用[J]. 大学数学, 2004, 20(3): 127-130.

[4] 王萼芳, 石生明. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.

[5] 韩志涛. 矩阵分析[M]. 沈阳: 东北大学出版社, 2016.

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