BiHom-Jordan代数的表示
Representation of BiHom-Jordan Algebra

作者: 贾 超 :辽宁师范大学数学学院,辽宁 大连;

关键词: BiHom-Jordan代数BiHom-pre-Jordan代数&Omicron-算子Rota-Baxter算子BiHom-Jordan Algebra BiHom-pre-Jordan Algebra &Omicron-Operator Rota-Baxter Operator

摘要:

本文主要介绍了BiHom-Jordan代数的定义、表示和Ο-算子。首先,给出了BiHom-Jordan代数及其表示的定义和例子、BiHom-Jordan代数表示的等价条件,同时给出BiHom-Jordan代数表示的对偶映射是表示所满足的条件。其次,给出了BiHom-pre-Jordan代数的定义,找到BiHom-pre-Jordan代数与BiHom-Jordan代数之间的关系。最后,给出了BiHom-Jordan代数上的Ο-算子、Rota-Baxter算子的定义,以及BiHom-Jordan代数上的Ο-算子与BiHom-pre-Jordan代数之间的关系。

Abstract: This article mainly introduces the definition, representation and Ο-operator of BiHom-Jordan algebra. Firstly, we give the definition of BiHom-Jordan algebra and its representation, the condi-tions for judging the representation of BiHom-Jordan algebra and an example of representation. At the same time, it is given that the dual mapping of BiHom-Jordan algebra representation is the condition that the representation satisfies. Secondly, we give the definition of BiHom-pre-Jordan algebra. The relation between BiHom-pre-Jordan algebra and BiHom-Jordan algebra is found. Final-ly, we give the definition of Ο-operator and Rota-Baxter operator on BiHom-Jordan algebra, and the relationship between Ο-operator on BiHom-Jordan algebra and BiHom-pre-Jordan algebra.

1. 引言

Jordan代数是由物理学家P. Jordan在研究量子力学时所提出来的 [1],后来逐渐成为了一个独立的代数体系 [2] [3]。Jordan代数与李代数有密切的关系。在李代数中一个比较基本的问题是李代数上的经典Yang-Baxter方程,它对于构造李双代数有非常重要的作用。对于Jordan代数及pre-Jordan代数,许多学者也研究了它们的双代数结构以及与经典Yang-Baxter方程类似的方程 [4] [5]。作为Jordan代数的推广,BiHom-Jordan代数也是现在研究的热点,许多学者对它的结构作了研究 [6] [7],本文将进一步研究BiHom-Jordan代数的表示。

2. BiHom-Jordan代数的表示

本文所说的线性空间都指域F上的线性空间。

定义1.1 [6] 设J是线性空间, α , β E n d ( J ) ,J中定义双线性代数运算 ( x , y ) x y ,若满足下面的条件

α β = β α , (1.1)

β ( x ) α ( y ) = β ( y ) α ( x ) , (1.2)

{ ( β 2 ( x ) α β ( x ) ) α 2 β ( y ) } β α 3 ( x ) = α ( β 2 ( x ) α β ( x ) ) ( α 2 β ( y ) α 3 ( x ) ) , (1.3)

其中 x , y J ,则称 ( J , , α , β ) 是BiHom-Jordan代数。

注记1.1 等式(1.3)有以下等价形式

{ ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) α 2 β ( u ) } β α 3 ( z ) + { ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) α 2 β ( u ) } β α 3 ( y ) + { ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) α 2 β ( u ) } β α 3 ( x ) = α ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) ( α 2 β ( u ) α 3 ( z ) ) + α ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) ( α 2 β ( u ) α 3 ( y ) ) + α ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) ( α 2 β ( u ) α 3 ( x ) ) , (1.4)

其中 x , y , z , u J

证明:设 ( J , , α , β ) 是BiHom-Jordan代数, x , y , z , u J ,由(1.3)得

{ ( β 2 ( x + y + z ) α β ( x + y + z ) ) α 2 β ( u ) } β α 3 ( x + y + z ) α ( β 2 ( x + y + z ) α β ( x + y + z ) ) ( α 2 β ( u ) α 3 ( x + y + z ) ) = { ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) α 2 β ( u ) } β α 3 ( z ) + { ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) α 2 β ( u ) } β α 3 ( y ) + { ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) α 2 β ( u ) } β α 3 ( x ) α ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) ( α 2 β ( u ) α 3 ( z ) ) α ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) ( α 2 β ( u ) α 3 ( y ) ) α ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) ( α 2 β ( u ) α 3 ( x ) ) = 0 ,

故有(1.4)成立。反之,在(1.4)中,令 x = y = z 即可得(1.3)。

定义1.2 设 ( J , , α , β ) 是BiHom-Jordan代数,V是一个线性空间, ϕ , φ E n d ( V ) 均可逆, ρ : J E n d ( V ) 为线性映射,若满足

ϕ φ = φ ϕ , (1.5)

ρ ( ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) α 2 β ( z ) ) φ ϕ 2 + ρ ( α 2 β 2 ( y ) ) ϕ φ 1 ρ ( α β 2 ( z ) ) ϕ φ 1 ρ ( β 2 ( x ) ) φ + ρ ( α 2 β 2 ( x ) ) ϕ φ 1 ρ ( α β 2 ( z ) ) ϕ φ 1 ρ ( β 2 ( y ) ) φ ρ ( α ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) ) ρ ( α 2 β ( z ) ) ϕ 2 ρ ( α 1 β ( α 2 β ( z ) α 3 ( y ) ) ) ϕ 2 φ 1 ρ ( β 2 ( x ) ) φ ρ ( α 1 β ( α 2 β ( z ) α 3 ( x ) ) ) ϕ 2 φ 1 ρ ( β 2 ( y ) ) φ = 0 , (1.6)

ρ ( α 2 β 2 ( z ) ) ϕ φ 1 ρ ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) φ + ρ ( α 2 β 2 ( y ) ) ϕ φ 1 ρ ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) φ + ρ ( α 2 β 2 ( x ) ) ϕ φ 1 ρ ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) φ ρ ( α ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) ) ρ ( α 2 β ( z ) ) ϕ ρ ( α ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) ) ρ ( α 2 β ( y ) ) ϕ ρ ( α ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) ) ρ ( α 2 β ( x ) ) ϕ = 0 , (1.7)

其中 x , y , z J ,则称 ( V , ρ , ϕ , φ ) ( J , , α , β ) 的表示。

例1.3 设 ( J , , α , β ) 是BiHom-Jordan代数且 α , β 均可逆,定义 r g : J E n d ( J ) ,其中 r g ( x ) y = x y x , y J ,则 ( J , r g , α , β ) ( J , , α , β ) 的表示,称为伴随表示。

证明:由 ( J , , α , β ) 是BiHom-Jordan代数可知 α β = β α 。由(1.4)和 r g 的定义知

r g ( ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) α 2 β ( z ) ) β α 2 ( u ) + r g ( α 2 β 2 ( y ) ) α β 1 r g ( α β 2 ( z ) ) α β 1 r g ( β 2 ( x ) ) β ( u ) + r g ( α 2 β 2 ( x ) ) α β 1 r g ( α β 2 ( z ) ) α β 1 r g ( β 2 ( y ) ) β ( u ) r g ( α ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) ) r g ( α 2 β ( z ) ) α 2 ( u ) r g ( α 1 β ( α 2 β ( z ) α 3 ( y ) ) ) α 2 β 1 r g ( β 2 ( x ) ) β ( u ) r g ( α 1 β ( α 2 β ( z ) α 3 ( x ) ) ) α 2 β 1 r g ( β 2 ( y ) ) β (u)

= { ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) α 2 β ( z ) } β α 3 ( u ) + { ( β 2 ( x ) α β ( u ) ) α 2 β ( z ) } β α 3 ( y ) + { ( β 2 ( y ) α β ( u ) ) α 2 β ( z ) } β α 3 ( x ) α ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) ( α 2 β ( z ) α 3 ( u ) ) α ( β 2 ( x ) α β ( u ) ) ( α 2 β ( z ) α 3 ( y ) ) α ( β 2 ( y ) α β ( u ) ) ( α 2 β ( z ) α 3 ( x ) ) = 0 ,

同理可得,

r g ( α 2 β 2 ( z ) ) α β 1 r g ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) β ( u ) + r g ( α 2 β 2 ( y ) ) α β 1 r g ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) β ( u ) + r g ( α 2 β 2 ( x ) ) α β 1 r g ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) β ( u ) r g ( α ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) ) r g ( α 2 β ( z ) ) α ( u ) r g ( α ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) ) r g ( α 2 β ( y ) ) α ( u ) r g ( α ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) ) r g ( α 2 β ( x ) ) α (u)

= { ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) β ( u ) } β α 3 ( z ) + { ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) β ( u ) } β α 3 ( y ) + { ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) β ( u ) } β α 3 ( x ) α ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) ( β ( u ) α 3 ( z ) ) α ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) ( β ( u ) α 3 ( y ) ) α ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) ( β ( u ) α 3 ( x ) ) = 0 ,

因此, ( J , r g , α , β ) ( J , , α , β ) 的表示。

命题1.4 设 ( J , , α , β ) 是BiHom-Jordan代数,V是一个线性空间, ϕ , φ E n d ( V ) ϕ , φ 均可逆, ρ : J E n d ( V ) 为线性映射,在 J V 上定义

( x + a ) ( y + b ) = x y + ρ ( x ) b + ρ ( α 1 β ( y ) ) ϕ φ 1 ( a ) , (1.8)

( α + ϕ ) ( x + a ) = α ( x ) + ϕ ( a ) , ( β + φ ) ( y + b ) = β ( y ) + φ ( b ) , (1.9)

其中 x , y J a , b V ,则 ( J V , , α + ϕ , β + φ ) 为BiHom-Jordan代数的充分必要条件是 ( J , , α , β ) 的表示。

证明: x + a , y + b , z + c , u + d J V ,则 ( J V , , α + ϕ , β + φ ) 为BiHom-Jordan代数当且仅当在 ( J V , , α + ϕ , β + φ ) 上(1.1)~(1.3)成立。

由于在J上(1.2)成立,所以有

( β + φ ) ( x + a ) ( α + ϕ ) ( y + b ) ( β + φ ) ( y + b ) ( α + ϕ ) ( x + a ) = ρ ( β ( x ) ) ϕ ( b ) + ρ ( β ( y ) ) ϕ ( a ) ρ ( β ( y ) ) ϕ ( a ) ρ ( β ( x ) ) ϕ ( b ) , (1.10)

因此在 J V 上(1.2)成立。

又由于

( α + ϕ ) ( β + φ ) ( x + a ) ( β + φ ) ( α + ϕ ) ( x + a ) = α β ( x ) + ϕ φ ( a ) β α ( x ) φ ϕ ( a ) , (1.11)

{ ( ( β + φ ) 2 ( x + a ) ( α + ϕ ) ( β + φ ) ( y + b ) ) ( α + ϕ ) 2 ( β + φ ) ( u + d ) } ( β + φ ) ( α + ϕ ) 3 ( z + c ) + { ( ( β + φ ) 2 ( x + a ) ( α + ϕ ) ( β + φ ) ( z + c ) ) ( α + ϕ ) 2 ( β + φ ) ( u + d ) } ( β + φ ) ( α + ϕ ) 3 ( y + b ) + { ( ( β + φ ) 2 ( y + b ) ( α + ϕ ) ( β + φ ) ( z + c ) ) ( α + ϕ ) 2 ( β + φ ) ( u + d ) } ( β + φ ) ( α + ϕ ) 3 ( x + a ) ( α + ϕ ) ( ( β + φ ) 2 ( x + a ) ( α + ϕ ) ( β + φ ) ( y + b ) ) ( ( α + ϕ ) 2

( β + φ ) ( u + d ) ( α + ϕ ) 3 ( z + c ) ) ( α + ϕ ) ( ( β + φ ) 2 ( x + a ) ( α + ϕ ) ( β + φ ) ( z + c ) ) ( ( α + ϕ ) 2 ( β + φ ) ( u + d ) ( α + ϕ ) 3 ( y + b ) ) ( α + ϕ ) ( ( β + φ ) 2 ( y + b ) ( α + ϕ ) ( β + φ ) ( z + c ) ) ( ( α + ϕ ) 2 ( β + φ ) ( u + d ) ( α + ϕ ) 3 ( x + a ) ) = ρ ( ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) α 2 β ( u ) ) φ ϕ 2 ( a ) + ρ ( α 2 β 2 ( y ) ) ϕ φ 1 ρ ( α β 2 ( u ) ) ϕ φ 1 ρ ( β 2 ( z ) ) φ ( a ) + ρ ( α 2 β 2 ( z ) ) ϕ φ 1 ρ ( α β 2 ( u ) ) ϕ φ 1 ρ ( β 2 ( y ) ) φ (a)

ρ ( α ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) ) ρ ( α 2 β ( u ) ) ϕ 2 ( a ) ρ ( α 1 β ( α 2 β ( u ) α 3 ( y ) ) ) ϕ 2 φ 1 ρ ( β 2 ( z ) ) φ ( a ) ρ ( α 1 β ( α 2 β ( u ) α 3 ( z ) ) ) ϕ 2 φ 1 ρ ( β 2 ( y ) ) φ ( a ) + ρ ( ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) α 2 β ( u ) ) φ ϕ 2 ( b ) + ρ ( α 2 β 2 ( x ) ) ϕ φ 1 ρ ( α β 2 ( u ) ) ϕ φ 1 ρ ( β 2 ( z ) ) φ ( b ) + ρ ( α 2 β 2 ( z ) ) ϕ φ 1 ρ ( α β 2 ( u ) ) ϕ φ 1 ρ ( β 2 ( x ) ) φ ( b ) ρ ( α ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) ) ρ ( α 2 β ( u ) ) ϕ 2 ( b ) ρ ( α 1 β ( α 2 β ( u ) α 3 ( x ) ) ) ϕ 2 φ 1 ρ ( β 2 ( z ) ) φ ( b ) ρ ( α 1 β ( α 2 β ( u ) α 3 ( z ) ) ) ϕ 2 φ 1 ρ ( β 2 ( x ) ) φ ( b ) + ρ ( ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) α 2 β ( u ) ) φ ϕ 2 ( c ) + ρ ( α 2 β 2 ( y ) ) ϕ φ 1 ρ ( α β 2 ( u ) ) ϕ φ 1 ρ ( β 2 ( x ) ) φ ( c ) + ρ ( α 2 β 2 ( x ) ) ϕ φ 1 ρ ( α β 2 ( u ) ) ϕ φ 1 ρ ( β 2 ( y ) ) φ ( c ) ρ ( α ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) ) ρ ( α 2 β ( u ) ) ϕ 2 ( c ) ρ ( α 1 β ( α 2 β ( u ) α 3 ( y ) ) ) ϕ 2 φ 1 ρ ( β 2 ( x ) ) φ ( c ) ρ ( α 1 β ( α 2 β ( u ) α 3 ( x ) ) ) ϕ 2 φ 1 ρ ( β 2 ( y ) ) φ (c)

+ ρ ( α 2 β 2 ( z ) ) ϕ φ 1 ρ ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) φ ( d ) + ρ ( α 2 β 2 ( y ) ) ϕ φ 1 ρ ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) φ ( d ) + ρ ( α 2 β 2 ( x ) ) ϕ φ 1 ρ ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) φ ( d ) ρ ( α ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) ) ρ ( α 2 β ( z ) ) ϕ ( d ) ρ ( α ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) ) ρ ( α 2 β ( y ) ) ϕ ( d ) ρ ( α ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) ) ρ ( α 2 β ( x ) ) ϕ ( d ) , (1.12)

因此,在 J V 上(1.1)成立当且仅当(1.5)成立,(1.3)成立当且仅当(1.6)和(1.7)成立。因此,命题成立。

ρ : J E n d ( V ) ϕ E n d ( V ) ,定义线性映射 ρ : J E n d ( V ) ϕ E n d ( V ) ,其中

ρ ( x ) f , v = f , ρ ( x ) v ( x J , v V , f V ) ,

ϕ ( f ) , v = f , ϕ ( v ) ( v V , f V ) .

命题1.5 设 ( J , , α , β ) 是BiHom-Jordan代数, ( V , ρ , ϕ , φ ) ( J , , α , β ) 的表示,则 ( V , ρ , ϕ , φ ) ( J , , α , β ) 的表示当且仅当 ( V , ρ , ϕ , φ ) 满足下列条件

ϕ 2 φ ρ ( ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) α 2 β ( z ) ) + φ ρ ( β 2 ( x ) ) φ 1 ϕ ρ ( α β 2 ( z ) ) φ 1 ϕ ρ ( α 2 β 2 ( y ) ) + φ ρ ( β 2 ( y ) ) φ 1 ϕ ρ ( α β 2 ( z ) ) φ 1 ϕ ρ ( α 2 β 2 ( x ) ) ϕ 2 ρ ( α 2 β ( z ) ) ρ ( α ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) ) φ ρ ( β 2 ( x ) ) φ 1 ϕ 2 ρ ( α 1 β ( α 2 β ( z ) α 3 ( y ) ) ) φ ρ ( β 2 ( y ) ) φ 1 ϕ 2 ρ ( α 1 β ( α 2 β ( z ) α 3 ( x ) ) ) = 0 , (1.13)

φ ρ ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) φ 1 ϕ ρ ( α 2 β 2 ( z ) ) + φ ρ ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) φ 1 ϕ ρ ( α 2 β 2 ( y ) ) + φ ρ ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) φ 1 ϕ ρ ( α 2 β 2 ( x ) ) ϕ ρ ( α 2 β ( z ) ) ρ ( α ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) ) ϕ ρ ( α 2 β ( y ) ) ρ ( α ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) ) ϕ ρ ( α 2 β ( x ) ) ρ ( α ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) ) = 0 , (1.14)

其中 x , y , z J

证明: ( V , ρ , ϕ , φ ) ( J , , α , β ) 的表示当且仅当对于 ( V , ρ , ϕ , φ ) 有(1.5)~(1.7)成立。 x , y , z J v V f V ,因为

( ϕ φ φ ϕ ) f , v = f , ( φ ϕ ϕ φ ) v ,

( ρ ( ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) α 2 β ( z ) ) φ ϕ 2 + ρ ( α 2 β 2 ( y ) ) ϕ ( φ 1 ) ρ ( α β 2 ( z ) ) ϕ ( φ 1 ) ρ ( β 2 ( x ) ) φ + ρ ( α 2 β 2 ( x ) ) ϕ ( φ 1 ) ρ ( α β 2 ( z ) ) ϕ ( φ 1 ) ρ ( β 2 ( y ) ) φ ρ ( α ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) ) ρ ( α 2 β ( z ) ) ϕ 2 ρ ( α 1 β ( α 2 β ( z ) α 3 ( y ) ) ) ϕ 2 ( φ 1 ) ρ ( β 2 ( x ) ) φ ρ ( α 1 β ( α 2 β ( z ) α 3 ( x ) ) ) ϕ 2 ( φ 1 ) ρ ( β 2 ( y ) ) φ ) f , v

= f , ( ϕ 2 φ ρ ( ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) α 2 β ( z ) ) + φ ρ ( β 2 ( x ) ) ( φ 1 ) ϕ ρ ( α β 2 ( z ) ) φ 1 ϕ ρ ( α 2 β 2 ( y ) ) + φ ρ ( β 2 ( y ) ) φ 1 ϕ ρ ( α β 2 ( z ) ) φ 1 ϕ ρ ( α 2 β 2 ( x ) ) ϕ 2 ρ ( α 2 β ( z ) ) ρ ( α ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) ) φ ρ ( β 2 ( x ) ) φ 1 ϕ 2 ρ ( α 1 β ( α 2 β ( z ) α 3 ( y ) ) ) φ ρ ( β 2 ( y ) ) φ 1 ϕ 2 ρ ( α 1 β ( α 2 β ( z ) α 3 ( x ) ) ) ) v ,

( ρ ( α 2 β 2 ( z ) ) ϕ ( φ 1 ) ρ ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) φ + ρ ( α 2 β 2 ( y ) ) ϕ ( φ 1 ) ρ ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) φ + ρ ( α 2 β 2 ( x ) ) ϕ ( φ 1 ) ρ ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) φ ρ ( α ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) ) ρ ( α 2 β ( z ) ) ϕ ρ ( α ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) ) ρ ( α 2 β ( y ) ) ϕ ρ ( α ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) ) ρ ( α 2 β ( x ) ) ϕ ) f , v

= f , ( φ ρ ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) φ 1 ϕ ρ ( α 2 β 2 ( z ) ) + φ ρ ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) φ 1 ϕ ρ ( α 2 β 2 ( y ) ) + φ ρ ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) φ 1 ϕ ρ ( α 2 β 2 ( x ) ) ϕ ρ ( α 2 β ( z ) ) ρ ( α ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) ) ϕ ρ ( α 2 β ( y ) ) ρ ( α ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) ) ϕ ρ ( α 2 β ( x ) ) ρ ( α ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) ) ) v ,

由此可知(1.6)成立当且仅当(1.13)成立,(1.7)成立当且仅当(1.14)成立。因此,命题成立。

推论1.6 设 ( J , , α , β ) 是BiHom-Jordan代数且 α , β 均可逆,则 ( r g , J , α , β ) ( J , , α , β ) 的表示当且仅当下面的等式成立

α 2 β ( ( ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) α 2 β ( z ) ) u ) + β ( β 2 ( x ) β 1 α ( α β 2 ( z ) β 1 α ( α 2 β 2 ( y ) u ) ) ) + β ( β 2 ( y ) β 1 α ( α β 2 ( z ) β 1 α ( α 2 β 2 ( x ) u ) ) ) α 2 ( α 2 β ( z ) ( α ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) u ) ) β ( β 2 ( x ) β 1 α 2 ( α 1 β ( α 2 β ( z ) α 3 ( y ) ) u ) ) β ( β 2 ( y ) β 1 α 2 ( α 1 β ( α 2 β ( z ) α 3 ( x ) ) u ) ) = 0 , (1.15)

β ( ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) β 1 α ( α 2 β 2 ( z ) u ) ) + β ( ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) β 1 α ( α 2 β 2 ( y ) u ) ) + β ( ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) β 1 α ( α 2 β 2 ( x ) u ) ) α ( α 2 β ( z ) ( α ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) u ) ) α ( α 2 β ( y ) ( α ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) u ) ) α ( α 2 β ( x ) ( α ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) u ) ) = 0 , (1.16)

其中 x , y , z , u J

证明:由命题1.5,取 ρ = r g ,利用 r g 的定义可直接通过计算得出。

3. BiHom-pre-Jordan代数

定义2.1 设J是线性空间,J上有双线性的代数运算 ( x , y ) x y α , β E n d ( J ) α , β 均可逆,若满足下面的条件

α β = β α , (2.1)

{ ( β 2 ( x ) α β ( y ) + β 2 ( y ) α β ( x ) ) α 2 β ( u ) } β α 3 ( z ) + { α β 2 ( u ) α β 1 ( β 2 ( x ) α β ( y ) + β 2 ( y ) α β ( x ) ) } β α 3 ( z ) + α 2 β 2 ( y ) α β 1 { α β 2 ( u ) α β 1 ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) } + α 2 β 2 ( x ) α β 1 { α β 2 ( u ) α β 1 ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) } α ( β 2 ( x ) α β ( y ) + β 2 ( y ) α β ( x ) ) ( α 2 β ( u ) α 3 ( z ) ) - α 1 β ( α 2 β ( u ) α 3 ( y ) + α 2 β ( y ) α 3 ( u ) ) α 2 β 1 ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) α 1 β ( α 2 β ( u ) α 3 ( x ) + α 2 β ( x ) α 3 ( u ) ) α 2 β 1 ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) = 0 , (2.2)

α 2 β 2 ( z ) α β 1 { [ β 2 ( x ) α β ( y ) + β 2 ( y ) α β ( x ) ] α 2 β ( u ) } + α 2 β 2 ( y ) α β 1 { [ β 2 ( x ) α β ( z ) + β 2 ( z ) α β ( x ) ] α 2 β ( u ) } + α 2 β 2 ( x ) α β 1 { [ β 2 ( y ) α β ( z ) + β 2 ( z ) α β ( y ) ] α 2 β ( u ) } α ( β 2 ( x ) α β ( y ) + β 2 ( y ) α β ( x ) ) ( α 2 β ( z ) α 3 ( u ) ) α ( β 2 ( x ) α β ( z ) + β 2 ( z ) α β ( x ) ) ( α 2 β ( y ) α 3 ( u ) ) α ( β 2 ( y ) α β ( z ) + β 2 ( z ) α β ( y ) ) ( α 2 β ( x ) α 3 ( u ) ) = 0 , (2.3)

其中 x , y , z , u J ,则称 ( J , , α , β ) 是BiHom-pre-Jordan代数。

定理2.2 设 ( J , , α , β ) 是BiHom-pre-Jordan代数,在J上定义

x y = x y + α 1 β ( y ) α β 1 ( x ) , x , y J , (2.4)

( J , , α , β ) 是BiHom-Jordan代数。

证明:由(2.4)可知

β ( x ) α ( y ) β ( y ) α ( x ) = β ( x ) α ( y ) + β ( y ) α ( x ) β ( y ) α ( x ) β ( x ) α ( y ) = 0 ,

经直接计算,可得

{ ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) α 2 β ( u ) } β α 3 ( z ) + { ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) α 2 β ( u ) } β α 3 ( y ) + { ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) α 2 β ( u ) } β α 3 ( x ) α ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) ( α 2 β ( u ) α 3 ( z ) ) α ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) ( α 2 β ( u ) α 3 ( y ) ) α ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) ( α 2 β ( u ) α 3 ( x ) ) = { ( β 2 ( x ) α β ( y ) + β 2 ( y ) α β ( x ) ) α 2 β ( u ) } β α 3 ( z ) + { α β 2 ( u ) α β 1 ( β 2 ( x ) α β ( y ) + β 2 ( y ) α β ( x ) ) } β α 3 ( z ) + α 2 β 2 ( y ) α β 1 { α β 2 ( u ) α β 1 ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) } α 2 β ( u ) } α ( β 2 ( x ) α β ( y ) + β 2 ( y ) α β ( x ) ) ( α 2 β ( z ) α 3 ( u ) ) α ( β 2 ( x ) α β ( z ) + β 2 ( z ) α β ( x ) ) ( α 2 β ( y ) α 3 ( u ) ) α ( β 2 ( y ) α β ( z ) + β 2 ( z ) α β ( y ) ) ( α 2 β ( u ) α 3 ( x ) ) α ( β 2 ( y ) α β ( z ) + β 2 ( z ) α β ( y ) ) ( α 2 β ( x ) α 3 ( u ) ) ) + { ( β 2 ( x ) α β ( z ) + β 2 ( z ) α β ( x ) ) α 2 β ( u ) } β α 3 ( y ) + { α β 2 ( u ) α β 1 ( β 2 ( x ) α β ( z ) + β 2 ( z ) α β ( x ) ) } β α 3 ( y ) + α 2 β 2 ( z ) α β 1 { α β 2 ( u ) α β 1 ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) } + α 2 β 2 ( x ) α β 1 { α β 2 ( u ) α β 1 ( β 2 ( z ) α β ( y ) ) } α ( β 2 ( x ) α β ( z ) + β 2 ( z ) α β ( x ) ) ( α 2 β ( u ) α 3 ( y ) ) α 1 β ( α 2 β ( u ) α 3 ( z ) + α 2 β ( z ) α 3 ( u ) ) α 2 β 1 ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) α 1 β ( α 2 β ( u ) α 3 ( x ) + α 2 β ( x ) α 3 ( u ) ) α 2 β 1 ( β 2 ( z ) α β ( y ) ) ) + { ( β 2 ( y ) α β ( z ) + β 2 ( z ) α β ( y ) ) α 2 β ( u ) } β α 3 ( x ) + { α β 2 ( u ) α β 1 ( β 2 ( y ) α β ( z ) + β 2 ( z ) α β ( y ) ) } β α 3 ( x ) + α 2 β 2 ( z ) α β 1 { α β 2 ( u ) α β 1 ( β 2 ( y ) α β ( x ) ) } + α 2 β 2 ( y ) α β 1 { α β 2 ( u ) α β 1 ( β 2 ( z ) α β ( x ) ) }

α ( β 2 ( y ) α β ( z ) + β 2 ( z ) α β ( y ) ) ( α 2 β ( u ) α 3 ( x ) ) α 1 β ( α 2 β ( u ) α 3 ( z ) + α 2 β ( z ) α 3 ( u ) ) α 2 β 1 ( β 2 ( y ) α β ( x ) ) α 1 β ( α 2 β ( u ) α 3 ( y ) + α 2 β ( y ) α 3 ( u ) ) α 2 β 1 ( β 2 ( z ) α β ( x ) ) = 0 ,

所以, ( J , , α , β ) 是BiHom-Jordan代数。

4. BiHom-Jordan代数的O-算子

定义3.1 设 ( J , , α , β ) 是BiHom-Jordan代数, ( V , ρ , ϕ , φ ) ( J , , α , β ) 的表示,如果线性映射 T : V J 满足下面的条件

T ( a ) T ( b ) = T ( ρ ( T ( a ) ) b + ρ ( T ( ϕ 1 φ ( b ) ) ) ϕ φ 1 ( a ) ) , a , b V , (3.1)

T ϕ = α T , T φ = β T , (3.2)

则称T为 ( J , , α , β ) 上与表示 ( V , ρ , ϕ , φ ) 相关的一个O-算子。

定义3.2 设 ( J , , α , β ) 是BiHom-Jordan代数且 α , β 均可逆,R是J上的线性变换,若满足下面的条件

R ( x ) R ( y ) = R ( R ( x ) y + R ( α 1 β ( y ) ) α β 1 ( x ) ) , x , y J , (3.3)

R α = α R , R β = β R , (3.4)

则称R为 ( J , , α , β ) 上的Rota-Baxter算子。

定理3.3 设 ( J , , α , β ) 是BiHom-Jordan代数, ( V , ρ , ϕ , φ ) 是它的表示,如果T是 ( J , , α , β ) 上的与表示 ( V , ρ , ϕ , φ ) 相关的O-算子,在V上定义

a b = ρ ( T ( a ) ) b , a , b V , (3.5)

( V , , ϕ , φ ) 是BiHom-pre-Jordan代数。

证明:由 ( J , , α , β ) 的表示知 ϕ φ = φ ϕ 并且有(1.6)、(1.7)成立。对任意的 a , b , c , d V ,令 x = T ( a ) z = T ( c ) u = T ( d ) ,经直接计算,可得

{ ( φ 2 ( a ) ϕ φ ( b ) + φ 2 ( b ) ϕ φ ( a ) ) ϕ 2 φ ( d ) } φ ϕ 3 ( c ) + { ϕ φ 2 ( d ) ϕ φ 1 ( φ 2 ( a ) ϕ φ ( b ) + φ 2 ( b ) ϕ φ ( a ) ) } φ ϕ 3 ( c ) + ϕ 2 φ 2 ( b ) ϕ φ 1 { ϕ φ 2 ( d ) ϕ φ 1 ( φ 2 ( a ) ϕ φ ( c ) ) } + ϕ 2 φ 2 ( a ) ϕ φ 1 { ϕ φ 2 ( d ) ϕ φ 1 ( φ 2 ( b ) ϕ φ ( c ) ) } ϕ ( φ 2 ( a ) ϕ φ ( b ) + φ 2 ( b ) ϕ φ ( a ) ) ( ϕ 2 φ ( d ) ϕ 3 ( c ) ) ϕ 1 φ ( ϕ 2 φ ( d ) ϕ 3 ( b ) + ϕ 2 φ ( b ) ϕ 3 ( d ) ) ϕ 2 φ 1 ( φ 2 ( a ) ϕ φ ( c ) ) ϕ 1 φ ( ϕ 2 φ ( d ) ϕ 3 ( a ) + ϕ 2 φ ( a ) ϕ 3 ( d ) ) ϕ 2 φ 1 ( φ 2 ( b ) ϕ φ (c) )

= ρ ( ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) α 2 β ( u ) ) φ ϕ 3 ( c ) + ρ ( α 2 β 2 ( y ) ) ϕ φ 1 ρ ( α β 2 ( u ) ) ϕ φ 1 ρ ( β 2 ( x ) ) ϕ φ ( c ) + ρ ( α 2 β 2 ( x ) ) ϕ φ 1 ρ ( α β 2 ( u ) ) ϕ φ 1 ρ ( β 2 ( y ) ) ϕ φ ( c ) ρ ( α ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) ) ρ ( α 2 β ( u ) ) ϕ 3 ( c ) ρ ( α 1 β ( α 2 β ( u ) α 3 ( y ) ) ) ϕ 2 φ 1 ρ ( β 2 ( x ) ) ϕ φ ( c ) ρ ( α 1 β ( α 2 β ( u ) α 3 ( x ) ) ) ϕ 2 φ 1 ρ ( β 2 ( y ) ) ϕ φ ( c ) = 0 ,

ϕ 2 φ 2 ( c ) ϕ φ 1 { ( φ 2 ( a ) ϕ φ ( b ) + φ 2 ( b ) ϕ φ ( a ) ) ϕ 2 φ ( d ) } + ϕ 2 φ 2 ( b ) ϕ φ 1 { ( φ 2 ( a ) ϕ φ ( c ) + φ 2 ( c ) ϕ φ ( a ) ) ϕ 2 φ ( d ) } + ϕ 2 φ 2 ( a ) ϕ φ 1 { ( φ 2 ( b ) ϕ φ ( c ) + φ 2 ( c ) ϕ φ ( b ) ) ϕ 2 φ ( d ) } ϕ ( φ 2 ( a ) ϕ φ ( b ) + φ 2 ( b ) ϕ φ ( a ) ) ( ϕ 2 φ ( c ) ϕ 3 ( d ) ) ϕ ( φ 2 ( a ) ϕ φ ( c ) + φ 2 ( c ) ϕ φ ( a ) ) ( ϕ 2 φ ( b ) ϕ 3 ( d ) ) ϕ ( φ 2 ( b ) ϕ φ ( c ) + φ 2 ( c ) ϕ φ ( b ) ) ( ϕ 2 φ ( a ) ϕ 3 (d) )

= ρ ( α 2 β 2 ( z ) ) ϕ φ 1 ρ ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) ϕ 2 φ ( d ) + ρ ( α 2 β 2 ( y ) ) ϕ φ 1 ρ ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) ϕ 2 φ ( d ) + ρ ( α 2 β 2 ( x ) ) ϕ φ 1 ρ ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) ϕ 2 φ ( d ) ρ ( α ( β 2 ( x ) α β ( y ) ) ) ρ ( α 2 β ( z ) ) ϕ 3 ( d ) ρ ( α ( β 2 ( x ) α β ( z ) ) ) ρ ( α 2 β ( y ) ) ϕ 3 ( d ) ρ ( α ( β 2 ( y ) α β ( z ) ) ) ρ ( α 2 β ( x ) ) ϕ 3 ( d ) = 0 ,

所以, ( V , , ϕ , φ ) 是一个BiHom-pre-Jordan代数。

5. 结论

本文给出了BiHom-Jordan代数表示和O-算子的定义,同时研究了BiHom-Jordan代数与BiHom-pre-Jordan代数之间的关系,但是没有给出BiHom-pre-Jordan代数的表示,未来还需要进一步研究。

文章引用: 贾 超 (2020) BiHom-Jordan代数的表示。 理论数学, 10, 478-487. doi: 10.12677/PM.2020.105058

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