﻿ 求极限刍议

# 求极限刍议Humble Opinion on Limiting

Abstract: The thought of limit is an important thought in modern mathematics, which runs through calculus and occupies an important position in calculus teaching. Finding the limit of function is a knowledge point that must be mastered in calculus. It is of great significance to learn advanced mathematics to master the limit operation method and operation skill of function correctly. In this paper, the types of limit of function in calculus are summarized, the calculation methods of each type are given, and the specific application methods of each limit type are clarified through the explanation of the representative real questions in the past years.

Abstract:

1. 引言

2. 求极限归纳

2.1. 确定型

1) 利用函数的连续性求极限

$\underset{x\to {x}_{0}}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=f\left({x}_{0}\right)$

$\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}{\text{e}}^{\sqrt{1-{\mathrm{cos}}^{2}x}}={\text{e}}^{\sqrt{1-{\mathrm{cos}}^{2}0}}=1$

2) 利用有界变量与无穷小的积仍是无穷小这一性质求极限

$\underset{x\to {x}_{0}}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=0$$g\left(x\right)$${x}_{0}$ 的某去心邻域 $\stackrel{\circ }{\text{U}}\left({x}_{0}\right)$ 内有界，则

$\underset{x\to {x}_{0}}{\mathrm{lim}}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)=0$

2) 求极限时，当所求极限函数的其中一部分极限不存在时，可考虑利用这一性质求极限。

【分析】极限 $\underset{x\to \infty }{\mathrm{lim}}\mathrm{arctan}x$ 是不存在的，因而考虑是否可以利用有界变量与无穷小的积仍是无穷小这一性质。

$\underset{x\to \infty }{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{arctan}x}{x}=\underset{x\to \infty }{\mathrm{lim}}\left(\frac{1}{x}\cdot \mathrm{arctan}x\right)=0$

2.2. 待定型

1) $\left(±\infty \right)±a=±\infty$

2) $\left(±\infty \right)\cdot a=\left\{\begin{array}{l}±\infty ,\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}a>0\\ \mp \infty ,\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}a<0\end{array}$

3) $\infty \cdot \infty =\infty$

4) $\frac{1}{0}=\infty$$\frac{1}{\infty }=0$

1. $\frac{0}{0}$ 型和 $\frac{\infty }{\infty }$ 型，简称为“商型”

1) 若 $\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=0$$\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}g\left(x\right)=0$，则极限 $\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ 称为 $\frac{0}{0}$ 型；

2) 若 $\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=\infty$$\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}g\left(x\right)=\infty$，则极限 $\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ 称为 $\frac{\infty }{\infty }$ 型。

$\frac{0}{0}$ 型和 $\frac{\infty }{\infty }$ 型常运用洛必达法则，在利用洛必达法则时，要注意以下几点。

1) $\frac{0}{0}$ 型常结合等价无穷小的代换、第一重要极限等先简化计算，且利用等价无穷小代换时，一般用在乘积因子，作和作差因子一般不要用；

2) 在利用洛必达法则时，要抓住“0”和“ $\infty$ ”因子求导，与之无关的放外面，这样会大大简化计算。

【分析】因为 $x\to 0$，将 $x=0$ 代入函数可得 $\frac{{\int }_{0}^{0}t\mathrm{ln}\left(1+t\mathrm{sin}t\right)\text{d}t}{1-\mathrm{cos}{0}^{2}}=\frac{0}{0}$ (这里代入仅为判断极限类型，无实际意义，下同)，即极限属于 $\frac{0}{0}$ 型，分母先利用等价无穷小代换 $1-\mathrm{cos}{x}^{2}\sim \frac{{x}^{4}}{2}\text{\hspace{0.17em}}\left(x\to 0\right)$ 以简化计算，利用洛必达法则后，分子中部分因子利用等价无穷小代换 $\mathrm{ln}\left(1+x\mathrm{sin}x\right)\sim x\mathrm{sin}x\text{\hspace{0.17em}}\left(x\to 0\right)$，最后利用第一重要极限。

【分析】因为 $x\to 0$，将 $x=0$ 代入函数可得 $\frac{\left[\mathrm{sin}0-\mathrm{sin}\left(\mathrm{sin}0\right)\right]\mathrm{sin}0}{{0}^{4}}=\frac{0}{0}$，即极限属于 $\frac{0}{0}$ 型，分子中一部分先利用等价无穷小代换 $\mathrm{sin}x\sim x\text{\hspace{0.17em}}\left(x\to 0\right)$，化简利用洛必达法则后，将不为“0”的因子单独分离出来求极限，剩余部分利用等价无穷小代换 $1-\mathrm{cos}\left(\mathrm{sin}x\right)\sim \frac{{\mathrm{sin}}^{2}x}{2}\text{\hspace{0.17em}}\left(x\to 0\right)$，最后利用第一重要极限。

$\begin{array}{l}\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\left[\mathrm{sin}x-\mathrm{sin}\left(\mathrm{sin}x\right)\right]\mathrm{sin}x}{{x}^{4}}=\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\left[\mathrm{sin}x-\mathrm{sin}\left(\mathrm{sin}x\right)\right]x}{{x}^{4}}=\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}x-\mathrm{sin}\left(\mathrm{sin}x\right)}{{x}^{3}}\\ \underset{_}{\underset{_}{L\text{'}}}\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{cos}x-\mathrm{cos}\left(\mathrm{sin}x\right)\cdot \mathrm{cos}x}{3{x}^{2}}=\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{1-\mathrm{cos}\left(\mathrm{sin}x\right)}{3{x}^{2}}\cdot \underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\mathrm{cos}x=\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\frac{{\mathrm{sin}}^{2}x}{2}}{3{x}^{2}}=\frac{1}{6}.\end{array}$

2. $0\cdot \infty$ 型和 $\infty -\infty$ 型，简称为“积差型”

1) 若 $\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=0$$\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}g\left(x\right)=\infty$，则极限 $\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)$ 称为 $0\cdot \infty$ 型；

2) 若 $\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=\infty$$\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}g\left(x\right)=\infty$，则极限 $\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)$ 称为 $\infty -\infty$ 型。

1) $0\cdot \infty ⇔\frac{0}{\frac{1}{\infty }}⇔\frac{0}{0}$$0\cdot \infty ⇔\frac{\infty }{\frac{1}{0}}⇔\frac{\infty }{\infty }$

2) $\infty -\infty$ 型常利用分子有理化、通分、变量代换等方法转化为“商型”。

【分析】该极限属于 $\frac{\infty }{\infty }$ 型，分母中一部分先利用等价无穷小代换 $\mathrm{ln}\left(1+\frac{1}{x}\right)\sim \frac{1}{x}\text{\hspace{0.17em}}\left(x\to +\infty \right)$，化简利用洛必达法则后，极限变为 $\infty -\infty$ 型，再利用变量代换，转化为 $\frac{0}{0}$ 型，最后利用洛必达法则。

$\begin{array}{l}\underset{x\to +\infty }{\mathrm{lim}}\frac{{\int }_{1}^{x}\left({t}^{2}\left({\text{e}}^{\frac{1}{t}}-1\right)-t\right)\text{d}t}{{x}^{2}\mathrm{ln}\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\underset{x\to +\infty }{\mathrm{lim}}\frac{{\int }_{1}^{x}\left({t}^{2}\left({\text{e}}^{\frac{1}{t}}-1\right)-t\right)\text{d}t}{{x}^{2}\cdot \frac{1}{x}}=\underset{x\to +\infty }{\mathrm{lim}}\frac{{\left({\int }_{1}^{x}\left({t}^{2}\left({\text{e}}^{\frac{1}{t}}-1\right)-t\right)\text{d}t\right)}^{\prime }}{\left(x\right)\text{'}}\\ =\underset{x\to +\infty }{\mathrm{lim}}\left({x}^{2}\left({\text{e}}^{\frac{1}{x}}-1\right)-x\right)\underset{_}{\underset{_}{t=\frac{1}{x}}}\underset{t\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\frac{{\text{e}}^{t}-1-t}{{t}^{2}}\underset{_}{\underset{_}{L\text{'}}}\underset{t\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\frac{{\text{e}}^{t}-1}{2t}=\frac{1}{2}.\end{array}$

【分析】因为 $x\to 0$，将 $x=0$ 代入函数可得 $\frac{1}{{\text{e}}^{0}-1}-\frac{1}{\mathrm{ln}\left(1+0\right)}=\frac{1}{0}-\frac{1}{0}=\infty -\infty$，即极限属于 $\infty -\infty$ 型，先通分转化为 $\frac{0}{0}$ 型，分母利用等价无穷小的代换 ${\text{e}}^{x}\sim 1,\mathrm{ln}\left(1+x\right)\sim x\text{\hspace{0.17em}}\left(x\to 0\right)$，再利用洛必达法则，整理后把不为“0”的因子剔出来单独求极限，剩余的利用洛必达法则。

$\begin{array}{l}\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\left[\frac{1}{{\text{e}}^{x}-1}-\frac{1}{\mathrm{ln}\left(1+x\right)}\right]=\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{ln}\left(1+x\right)-{\text{e}}^{x}+1}{\left({\text{e}}^{x}-1\right)\mathrm{ln}\left(1+x\right)}=\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{ln}\left(1+x\right)-{\text{e}}^{x}+1}{x\cdot x}\underset{_}{\underset{_}{L\text{'}}}\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\frac{1}{1+x}-{\text{e}}^{x}}{2x}\\ =\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{1-{\text{e}}^{x}\left(1+x\right)}{x}\cdot \underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{1}{1+x}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{{\left(1-{\text{e}}^{x}\left(1+x\right)\right)}^{\prime }}{{x}^{\prime }}=-\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\left({\text{e}}^{x}\left(2+x\right)\right)=-1.\end{array}$

3. ${1}^{\infty }$ 型、 ${0}^{0}$${\infty }^{0}$ 型，简称为“幂指型”

1) 若 $\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=1$$\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}g\left(x\right)=\infty$，则极限 $\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}$ 称为 ${1}^{\infty }$ 型；

2) 若 $\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=0$$\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}g\left(x\right)=0$，则极限 $\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}$ 称为 ${0}^{0}$ 型；

3) 若 $\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=\infty$$\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}g\left(x\right)=0$，则极限 $\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}$ 称为 ${\infty }^{0}$ 型。

1) ${1}^{\infty }⇔{\text{e}}^{\mathrm{ln}{1}^{\infty }}⇔{\text{e}}^{\infty \cdot \mathrm{ln}1}⇔{\text{e}}^{\infty \cdot 0}$

2) ${\infty }^{0}⇔{\text{e}}^{\mathrm{ln}{\infty }^{0}}⇔{\text{e}}^{0\cdot \mathrm{ln}\infty }⇔{\text{e}}^{0\cdot \infty }$，其中 $\infty$$+\infty$

3) ${0}^{0}⇔{\text{e}}^{\mathrm{ln}{0}^{0}}⇔{\text{e}}^{0\cdot \mathrm{ln}0}⇔{\text{e}}^{0\cdot \infty }$，其中 ${0}^{0}$ 中幂处的0指右极限。

$\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}{\left(1+u\left(x\right)\right)}^{v\left(x\right)}={\text{e}}^{\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}\left(u\left(x\right)v\left(x\right)\right)}$

$\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}={\left(\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}f\left(x\right)\right)}^{\left(\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}g\left(x\right)\right)}$

$\begin{array}{c}\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}{\left(1+u\left(x\right)\right)}^{v\left(x\right)}=\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}{\left(1+u\left(x\right)\right)}^{\frac{1}{u\left(x\right)}u\left(x\right)v\left(x\right)}=\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}{\left[{\left(1+u\left(x\right)\right)}^{\frac{1}{u\left(x\right)}}\right]}^{\left(u\left(x\right)v\left(x\right)\right)}\\ =\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}{\left[{\left(1+u\left(x\right)\right)}^{\frac{1}{u\left(x\right)}}\right]}^{\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}\left(u\left(x\right)v\left(x\right)\right)}={\text{e}}^{\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}\left(u\left(x\right)v\left(x\right)\right)},\end{array}$

$\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}{\left(1+u\left(x\right)\right)}^{v\left(x\right)}={\text{e}}^{\underset{x\to \ast }{\mathrm{lim}}\left(u\left(x\right)v\left(x\right)\right)}$

【分析】该极限属于 ${1}^{\infty }$ 型，可考虑利用第二重要极限的推广进行计算。

A. $a=\frac{1}{2},b=-1$ B. $a=-\frac{1}{2},b=-1$ C. $a=\frac{1}{2},b=1$ D. $a=-\frac{1}{2},b=1$

【分析】该极限属于 ${1}^{\infty }$ 型，可考虑转化为“商型”进行计算。

$\begin{array}{l}\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}{\left({\text{e}}^{x}+a{x}^{2}+bx\right)}^{\frac{1}{{x}^{2}}}=\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}{\text{e}}^{\mathrm{ln}{\left({\text{e}}^{x}+a{x}^{2}+bx\right)}^{\frac{1}{{x}^{2}}}}=\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}{\text{e}}^{\frac{\mathrm{ln}\left({\text{e}}^{x}+a{x}^{2}+bx\right)}{{x}^{2}}}\\ ={\text{e}}^{\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{ln}\left(\text{1}+{\text{e}}^{x}+a{x}^{2}+bx-1\right)}{{x}^{2}}}={\text{e}}^{\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{{\text{e}}^{x}+a{x}^{2}+bx-1}{{x}^{2}}}={\text{e}}^{\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{{\text{e}}^{x}+2ax+b}{2x}}\end{array}$

$\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}{\left({\text{e}}^{x}+a{x}^{2}+bx\right)}^{\frac{1}{{x}^{2}}}={\text{e}}^{\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{{\text{e}}^{x}+2ax-1}{2x}}={\text{e}}^{\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{{\text{e}}^{x}+2a}{2}}=1$

3. 结论

2018年度广西高校中青年教师基础能力提升项目(离散系统理论及应用研究，No. 2018KY0327)，广东理工职业学院2020年“创新强校工程”项目(创新创业教育背景下的《高等数学》在线开放课程建设，No. 2020LGCQ03-01)，广东开放大学基金项目(离散系统动力学研究，No. RC1926)。

NOTES

*通讯作者。

[1] 白杰, 刘薇. 微积分中常用的函数极限计算方法及解析[J]. 长春大学学报, 2012, 22(2): 182-184.

[2] 王洪英, 车军领. 微积分学中极限教学法探讨[J]. 山东师范大学学报(自然科学版), 2008, 23(1): 143-144.

[3] 孙聪, 王千. 洛必达法则在求极限中的方法[J]. 高等继续教育学报, 2011, 24(3): 57.

[4] 刘虹. 对求极限方法的总结[J]. 安徽教育学院学报(自然科学版), 1999(1): 50-51.

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