具有混合切换的随机丙型肝炎病毒感染模型的长期性行为
Long Time Behavior of Stochastic Hepatitis C Virus Infection Model with Mixed Switching

作者: 黄露秋 , 吕 超 , 潘玉婷 , 黄在堂 :南宁师范大学数学与统计学院,广西 南宁;

关键词: 随机HCV模型灭绝性持久性不变概率测度马尔科夫链Stochastic HCV Model Extinction Permanence Invariant Probability Measure Markov Chain

摘要:

本文主要研究具有混合切换的随机丙型肝炎病毒感染模型(HCV模型)的灭绝性和持久性。首先,证明了随机HCV模型解的存在性唯一性。其次,利用费勒性质、不变控制集和Krylov-Bogoliubov定理等理论,证明了随机HCV模型的不变概率测度的存在唯一性。最后,运用强遍历性定理、波莱尔康特立引理和迭代对数定律等理论,获得了随机HCV模型的灭绝性和持久性的条件。

Abstract: This paper mainly studies the extinction and persistence of a stochastic hepatitis C virus infection model (HCV model) with mixed switching. First, we prove the existence and uniqueness of the so-lution of the stochastic HCV model. Secondly, we prove the existence and uniqueness of the invariant probability measure of the stochastic HCV model by using the theory of Feller property, invariant control set and Krylov Bogoliubov theorem. Finally, by using the strong ergodicity theorem, Borel-Cantelli lemma and iterated logarithm law, the conditions of extinction and persistence of the stochastic HCV model are obtained.

1. 引言

近年来,全世界持续感染丙型肝炎病毒(HCV),并有罹患慢性肝病,肝硬化和肝细胞癌风险的人口数量逐步增加。由此,丙型肝炎病毒感染已成为一个严重的全球公共卫生问题,备受关注 [1] - [8]。

最早的丙型肝炎病毒感染模型(HCV模型)是由诺伊曼等人提出 [1],具体模型如下

{ d W t d t = S + a W t ( 1 W t + I t W max ) b W t ( 1 η ) β V t W t + q I t d I t d t = ν I t ( 1 W t + I t W max ) + ( 1 η ) β V t W t ω I t q I t d V t d t = ( 1 ϵ ) p I t c V t , (1.1)

其中 W t , I t , V t 分别为t时刻的未感染肝细胞数量,感染肝细胞量和病毒载量,且 N t = W t + I t + V t 表示细胞总数。S表示未感染的肝细胞可能通过移行或分化成肝细胞前体细胞,以S的构成率增加数量;a表示感染细胞的最大增值速率;b表示未感染细胞的死亡率; η 表示使用抗病毒药物治疗所降低的感染率;q表示通过非细胞溶解过程自发治愈感染的肝细胞的治愈率; ν 表示未感染细胞的最大增值速率; β 表示肝细胞游离病毒感染率; ω 表示感染病毒细胞死亡率; ϵ 表示病毒生产率;p表示细胞产生游离病毒的速率;c表示清除游离病毒的速率。

本文考虑以下三个具有混合切换的随机丙型肝炎病毒感染模型的动力学性质。

模型一:与状态无关的马尔科夫状态切换HCV模型

{ d W t d t = S α t + a α t W t ( 1 W t + I t W max ) b α t W t ( 1 η α t ) β α t V t W t + q α t I t , d I t d t = ν α t I t ( 1 W t + I t W max ) + ( 1 η α t ) β α t V t W t ω α t I t q α t I t , d V t d t = ( 1 ϵ α t ) p α t I t c α t V t , (1.2)

其初始值 ( W t , I t , V t ) = ( w 0 , i 0 , v 0 ) + 3 : = ( x , y , z ) 3 : x > 0 , y > 0 , z > 0 ,对于实数 M < ,有 α 0 = a 0 M = { 1,2, , M } 。因此, ( α t ) t 0 是一个具有状态空间 M 的连续时间马尔科夫链,且其具有如下转移概率

( α t + Δ = j | α t = i ) = { q i j Δ + o ( Δ ) , i j , 1 + q i i Δ + o ( Δ ) , i = j , (1.3)

其中 Δ 0 ,且Q-矩阵 Q = ( q i j ) i , j M a i , b i , η i , β i , q i , ν i , ε i , p i , c i > 0, i M

模型二:仍然是模型(1.2),但此时 ( α t ) t 0 是一个具有状态空间 M 的跳跃过程,对任意 i , j M x + 3 ,其过渡内核如下所示

( α t + Δ = j | α t = i , X t = x ) = { q i j ( x ) Δ + o ( Δ ) , i j , 1 + q i i ( x ) Δ + o ( Δ ) , i = j , (1.4)

无论何时,都有 Δ 0 ,其中 X t = ( W t , I t , V t ) + 3

模型三:考虑到依赖于状态的随机环境和随机扰动的影响,随机HCV模型如下

{ d W t = { S α t + a α t W t ( 1 W t + I t W max ) b α t W t ( 1 η α t ) β α t V t W t + q α t I t } d t , ( b α t e a α t e ) W t d B t ( 1 ) a α t e I t W max W t d B t ( 2 ) ( 1 η α t e ) β α t e V t W t d B t ( 3 ) , d I t = { ν α t I t ( 1 W t + I t W max ) + ( 1 η α t ) β α t V t W t ω α t I t q α t I t } d t , ( ω α t e + q α t e ν α t e ) I t d B t ( 1 ) ν α t e W t W max I t d B t ( 2 ) , d V t = { ( 1 ϵ α t ) p α t I t c α t V t } d t c α t e V t d B t ( 1 ) (1.5)

2. 具有独立于状态的随机HCV模型的灭绝性与持久性

在随机HCV模型(1.2)和(1.3)中,连续时间马尔科夫链 ( α t ) t 0 的转移概率与状态无关。令 S = m a x i M S i S ^ = m i n i M S i ,其他变量 a , a ^ , b , b ^ , 的定义与它类似。假设

· H 1 对所有的 i M F ( , i ) : + 是局部利普希茨连续的,且存在常数 c > 0 ,使得 F ( x , i ) c ( 1 + | x | ) , x

· H 2 连续时间马尔科夫链 ( α t ) t 0 是不可约和正递归的,且其具有不变概率测度 π = ( π 1 , π 2 , , π M )

下面的引理表明,随机HCV模型(1.2)和(1.3)的唯一解在正象限中,并揭示了肝细胞的总数量有一个上界。

引理2.1 假设 H 1 成立,令 F ( x , i ) = ( 1 η α t ) β α t V t 。则随机丙型肝炎病毒感染模型(1.2)和(1.3) 有唯一强解 ( W t , I t , V t ) + 3 ,其解的初始值 ( w 0 , i 0 , v 0 ) + 3 。此外,仍有

N t N 0 e 0 t ϒ α s d s + 0 t S α s e s t ϒ α u d u d s , a .s . (2.1)

Proof. 首先由随机模型(1.2)可以得到

d N t = { S α t ( b α t a α t ) W t ( ω α t ν α t ) I t ( W t + I t ) b α t W t + a α t I t W max + ( 1 ϵ α t ) p α t I t c α t V t } d t , t > 0. (2.2)

又因为 W t , I t 0 ,故有

d N t { S α t ( b α t a α t ) W t ( ω α t ν α t ) I t + ( 1 ϵ α t ) p α t I t c α t V t } d t . (2.3)

ϒ α t = m i n { b α t a α t , ω α t ν α t p α t + ϵ α t p α t , c α t } ,则有

d N t { S α t ϒ α t N t } d t .

特别地

d N t { S α τ k ϒ α τ k N t } d t , t [ τ k , τ k + 1 ) , k .

d ( e ϒ α τ k t N t ) 应用伊藤链式法,有

d ( e ϒ α τ k t N t ) = ϒ α τ k e ϒ α τ k t N t d t + e ϒ α τ k t d N t e ϒ α τ k t S α τ k d t ,

从而,获得

N t e ϒ α τ k ( t τ k ) N τ k + τ k t S α s e ϒ α τ k ( t s ) d s = e τ k t ϒ α s d s N τ k + τ k t S α s e s t ϒ α u d u d s e τ k t ϒ α s d s ( e τ k 1 t ϒ α s d s N τ k 1 + τ k 1 t S α s e s t ϒ α u d u d s ) + τ k t S α s e s t ϒ α u d u d s = e τ k 1 t ϒ α s d s N τ k 1 + τ k 1 t S α s e s t ϒ α u d u d s e 0 t ϒ α s d s N 0 + 0 t S α s e s t ϒ α u d u d s . (2.4)

引理证明完毕。

推论2.2 假设 H 1 成立,则随机丙型肝炎病毒感染系统(1.2)的解 ( W t , I t , V t , α t ) t 0 具有不变概率测度。

证明:首先注意到 ( W t , I t , V t , α t ) t 0 是一个费勒过程。由(2.1)式,可得

W t N t N 0 e ϒ ^ t + S / ϒ ^ . (2.5)

对任意 K > 0 ,令 B K ( 0 ) = { ( w 0 , i 0 , v 0 ) + 3 : w 0 + i 0 + v 0 K } M t ( w 0 , i 0 , v 0 , i ; ) 是起始点为 ( w 0 , i 0 , v 0 , i ) + 3 × M ( W t , I t , V t , α t ) 的过渡内核。对任意 t > 0 ξ B ( + 3 × M ) ,定义概率测度

χ t ( ξ ) = 1 t 0 t M s ( w 0 , i 0 , v 0 , i ; ξ ) d s .

则对任意的 ε > 0 ,由切比雪夫不等式和(2.5)可知,存在充分大的 K > 0 ,使得

χ t ( B K ( 0 ) × M ) = 1 t 0 t M s ( w 0 , i 0 , v 0 , i ; B K ( 0 ) d s × M ) 1 1 K s u p t 0 E N t 1 ε .

因为 B K ( 0 ) + 3 的紧子集,所以, ( χ t ) t 0 是紧的。由Krylov-Bogoliubov’s定理 [9] [10] 可知, ( W t , I t , V t , α t ) t 0 具有不变概率测度。推论证明完毕。

定理2.3 假设 H 1 H 2 成立,并进一步假设存在具有 l i m t Ψ t = 0 Ψ [ 0, ) [ 0, ) Φ : M [ 0, ) 使得

( 1 η α t ) β α t V t W t I t Ψ t + Φ α t (2.6)

Δ 1 : = i M π i Φ i i M π i ( ω i + q i ν i ) < 1. (2.7)

则有

l i m t I t = 0, a .s ., l i m t V t = 0, a .s . (2.8)

1 t 0 t { ( b α s a α s ) W s + b α s W s 2 W max } d s = i M π i S i . (2.9)

证明:设 ( W t , I t , V t ) ( + ) 3 ,由(1.2)和(2.6),可得

d d t ln I t = ν α t ( 1 W + I W m ) + ( 1 η α t ) β α t V t W t I t ω α t q α t = ν α t ( W t + I t ) W m + ( 1 η ) β α t V t W t I t + ν α t ω α t q α t ( 1 η α t ) β α t V t W t I t ( ω α t + q α t ν α t ) Ψ t + Φ t ( ω α t + q α t ν α t ) . (2.10)

从而,获得

l n ( I t I 0 ) 0 t Ψ s d s + 0 t ( Φ s ( ω α s + q α s ν α s ) ) d s . (2.11)

因此,利用马氏链的强遍历性定理,除了有 l i m t Ψ t = 0 之外,还获得

lim t sup ln I t t i M { Φ i ( ω i + q i ν i ) } π i , a .s .

因此,有 l i m t I t = 0 ,a.s.

下证 l i m t V t = 0 ,a.s.,注意到

d V t { ( 1 ϵ ^ ) p I t v ^ V t } d t ,

d ( e c t V t ) 应用伊藤链式法,有

V t V 0 e c ^ t + ( 1 ϵ ^ ) p 0 t e c ^ ( t s ) I s d s (2.12)

又因为 l i m t I t = 0 ,a.s.,所以对任意 ε > 0 ,存在具有 ( Ω 0 ) = 1 Ω 0 Ω T = T ( ω ) > 0 ,使得

I t ( ω ) c ^ ε 3 ( 1 ϵ ^ ) p , t T , ω Ω 0 .

这就意味着

( 1 ϵ ^ ) p T t e c ^ ( t s ) I s ( ω ) d s ε 3 , ω Ω 0 , t T .

结合(2.12)式可得:只要

t T ( 1 c ^ l n 3 V 0 ε ) ( T + 1 c ^ l n 3 ( 1 ϵ ^ ) ( N 0 + S γ ^ ) c ^ ε ) ,

就有

V t ( ω ) V 0 e c ^ t + ( 1 ϵ ^ ) p 0 T e c ^ ( t s ) I s ( ω ) d s + ( 1 ϵ ^ ) p T t e c ^ ( t s ) I s ( ω ) d s ε 3 + V 0 e c ^ t + ( 1 ϵ ^ ) p 0 T e c ^ ( t s ) I s ( ω ) d s ε 3 + V 0 e c ^ t + ( 1 ϵ ^ ) p ( N 0 + S γ ^ ) 0 T e c ^ ( t s ) d s ε , ω Ω 0 . (2.13)

由此证得 l i m t V t = 0 ,a.s.

根据(2.8)有

l i m t ( 1 t 0 t I s d s ) = 0, a .s . l i m t ( 1 t 0 t V s d s ) = 0, a .s . (2.14)

由(2.2)可以得到下式

1 t { 0 t ( b α s a α s ) W s + b α s W s 2 W max 2 ) 之间,通过BDG不等式和(4.1)式可知,存在常数

M ˜ p , M ^ p > 0 ,使得

E ( sup t [ k , k + 1 ] | k t ν α s e W s W max d B s ( 2 ) | p ) M ˜ p ν e W max E ( k k + 1 W s 2 d s ) p 2 M ˜ p ν e W max E ( sup k s k + 1 W s p ) M ^ p . (4.11)

对任意常数 C > 0 和每个实数 k 1 ,令

B k , C : = { 1 k sup t [ k , k + 1 ] | k t ν α s e W s W max d B s ( 2 ) | C }

由切比雪夫不等式及(4.11)式,可得

( B k , C ) 1 k p C p E ( s u p t [ k , k + 1 ] | k t ν α s e W s W max d B s ( 2 ) | p ) M ^ p k p C p

又因为级数 k = 1 1 k p 收敛,于是利用波莱尔—康特立引理,可以得到

( lim k sup B k , C ) = 0.

由C的任意性可知(4.9)式成立。

下证(4.10)式成立 令 z 0 = 0 , z k = 0 k ν α s W s W max d B s ( 2 ) , u k = z k z k 1 , k 1

显然, E ( u k / k ) < ,另一方面,(4.11)式意味着

k = 1 E ( | u k | p | F k 1 ) k p M ^ p k = 1 k p < (4.12)

因此,由( [15], Theorem 5)知,(4.10)式成立。

类似地,可以得到以下结果

lim t 1 t ( 0 t ( b α t a α t ) W s d B s ( 1 ) ) = 0 ; lim t 1 t ( 0 t a α t I s W max d B s ( 2 ) ) = 0 ; (4.13)

lim t 1 t ( 0 t ( 1 η α s ) β α s V s W s d B s ( 3 ) ) = 0 ; lim t 1 t ( 0 t ( ω α s + q α s ν α s ) I s d B s ( 1 ) ) = 0 ;

lim t 1 t ( 0 t c α s V s d B s ( 1 ) ) = 0 ; lim t N t t = 0 ;

定理4.1 假设 H 1 H 2 及引理3.1中的条件成立,并进一步假设存在具有 l i m t Ψ t = 0 Ψ : [ 0, ) [ 0, ) Φ : M [ 0, ) ,使得 ( 1 η α t ) β α t V t W t / I t Ψ t + Φ α t

(a) 若 i Φ i * : = Φ i ( ω i + q i ν i ) 为非减的,且有

Δ 9 : = i M π ˜ i Φ i i M π ˜ i ( ω i + q i ν i ) < 1. (4.14)

则有

lim t I t = 0 , a .s . lim t V t = 0 , a .s . (4.15)

i M π i * S i lim inf t ( 1 t 0 t { ( b α s a α s ) W s + b α s W s 2 W max } d s ) lim sup t ( 1 t 0 t { ( b α s a α s ) W s + b α s W s 2 W max } d s ) i M π ˜ i S i . (4.16)

(b) 若 i Φ i * : = Φ i ( ω i + q i ν i ) 为非增的,且有

Δ 10 : = i M π i * Φ i i M π i * ( ω i + q i ν i ) < 1. (4.17)

则有

l i m t I t = 0, a .s . d l i m t V t = 0, a .s .

i M π ˜ i S i lim inf t ( 1 t 0 t { ( b α s a α s ) W s + b α s W s 2 W max } d s ) lim sup t ( 1 t 0 t { ( b α s a α s ) W s + b α s W s 2 W max } d s ) i M π i * S i . (4.18)

证明:为了使证明更加简化,记

I 1 ( t ) = 0 t μ α s e d B s ( 1 ) ; I 2 ( t ) = 1 t 0 t ν α s W s W m a x d B s ( 2 ) .

由伊藤公式及 0 W t N t ,可得

1 t ln ( I t / I 0 ) = 1 t 0 t { ν α s W s + I s W max + ( 1 η α s ) β α s V s W s I s ( ω α s + q α s ν α s ) 1 2 ( ω α s + q α s ν α s ) 2 1 2 ( ν α s W s W max ) 2 } d s 1 t 0 t ( ω α s e + q α s e ν α s e ) d B s ( 1 ) 1 t 0 t ν α s W s W max d B s ( 2 ) 1 t 0 t { ( 1 η α s ) β α s V s W s I s ( ω α s + q α s ν α s ) } d s + I 1 ( t ) t + I 2 ( t ) 1 t 0 t { Ψ s + Φ α s ( ω α s + q α s ν α s ) } d s + I 1 ( t ) t + I 2 ( t ) . (4.19)

由引理4.2知

l i m t I 2 ( t ) = 0 a .s . (4.20)

I 1 t I 1 ( t ) 的二次变差,则有

lim sup t 1 t I 1 t ( μ e ) 2 .

由此,根据连续鞅的强大数定理,可得

l i m t 1 t I 1 ( t ) = 0 a .s . (4.21)

结合(4.20)和(4.21)及 i Φ i * 非降(或非增)的性质,并利用引理3.1和连续时间马尔科夫链的强遍历性定理,即得

l i m t I t = 0 a .s .

这意味着对任意 ε ( 0,1 ) 充分小,存在 Ω 1 Ω ( ( Ω 1 ) = 1 ) T 1 = T 1 ( ω ) > 0 ,使得

I t ( ω ) ε , t T 1 , ω Ω 1 (4.22)

ξ i : = ω i + ι i + ( μ i e ) 2 / 2 , i M ,且对任意 0 s t

S s , t : = s t μ α u e d B u ( 2 ) ; Φ s , t : = exp ( s t ξ α u d u S s , t ) .

由(4.21)得

l i m t 1 t l n Φ 0, t < 0, a .s .

这就意味着必定会存在 Ω 2 Ω ( ( Ω 2 ) = 1 ) T 2 = T 2 ( ω ) > 0 ,使得

Φ 0, t ( ω ) ε , t T 2 , ω Ω 2 . (4.23)

而后,利用随机积分的迭代对数定律 [16] [17],可以得到

lim inf t S s , t 2 S s , t log log S s , t = 1 a .s .

因此,必定存在 Ω 3 Ω ( ( Ω 3 ) = 1 ) T 3 = T 3 ( ω ) > 0 ,使得

( 1 + ε ) 2 S s , t log log S s , t S s , t ( 1 + ε ) 2 S s , t log log S s , t , t , s T 2 , ε Ω 3 . (4.24)

由常数变易公式,由(4.23)和(4.24)式可知,对任意 t T : = T 1 + T 2 + T 3

V t ( ω ) = Φ 0 , t ( ω ) { V 0 + 0 t Φ 1 ( s ) ( 1 ϵ α s ) p α s I s ( ω ) d s } = Φ 0 , t ( ω ) V 0 + Φ s , t ( ω ) 0 t ( 1 ϵ α s ) p α s I s ( ω ) d s V 0 ε + Φ T , t ( ω ) ( 1 ϵ ^ ) p 0 T I s ( ω ) Φ s , T ( ω ) d s + ( 1 ϵ ^ ) p T t I s ( ω ) Φ s , t ( ω ) d s V 0 ε + ( 1 ϵ ^ ) p ε T t exp ( s t ξ α u d u + ( 1 + ε ) 2 S s , t log log S s , t ) d s + ( 1 ϵ ^ ) p 0 T I s ( ω ) Φ s , T ( ω ) d s exp ( T t ξ α u d u + ( 1 + ε ) 2 S T , t log log S T , t ) . (4.25)

显然,经观察可知,必定会存在实数 c > 0 q ( 0,1 ) ,使得

( 1 + ε ) 2 S s , t log log S s , t c + q s t ξ α u d u . (4.26)

将(4.26)式代入(4.25)式,并由 ε ( 0,1 ) 的任意性,可得(4.15)式成立。

结合(4.15),根据(4.2)和(4.13)式可得

l i m t ( 1 t 0 t { S α s ( b α s a α s ) W s + b α s W s 2 W max d s } ) = 0 (4.27)

结合引理3.1即得(4.16)和(4.18)式。

基金项目

国家自然科学基金(41665006、11561009),广西自然科学基金(2018GXNSFAA380240)。

文章引用: 黄露秋 , 吕 超 , 潘玉婷 , 黄在堂 (2020) 具有混合切换的随机丙型肝炎病毒感染模型的长期性行为。 理论数学, 10, 433-447. doi: 10.12677/PM.2020.105053

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