带有变号权函数的p(x)-Kirchhoff类型方程正解的存在性与多重性
Multiplicity of Positive Solutions of p(x)-Kirchhoff Problems with Sign-Changing Weight Functions

作者: 尚 彬 :浙江师范大学数学与计算机科学学院,浙江 金华;

关键词: 正解Nehari流形变分法p(x)-Kirchhoff方程Positive Solution Nehari Manifold Variational Method p(x)-Kirchhoff Equation

摘要: 本文研究带有变号权函数的p(x)-Kirchhoff类型方程,主要运用变分方法与Nehari流形的分解证明其正解的存在性与多重性。

Abstract: In this paper, the p(x)-Kirchhoff problem with sign-changing weight functions is studied. Based on variational method and Nehari manifold, it is proved the existence and multiplicity of positive so-lutions of the problem.

1. 引言

本文考虑一类带有p(x)-Laplacian算子的Kirchhoff方程

{ M ( Ω 1 p ( x ) | u | p ( x ) d x ) Δ p ( x ) u = λ f ( x ) | u | q ( x ) 2 u + g ( x ) | u | h ( x ) 2 u , x Ω , u = 0 , x Ω (1)

正解的存在性与多重性,其中 Ω N N 3 是光滑有界区域, Δ p ( x ) = d i v ( | u | p ( x ) 2 u ) 是p(x)- Laplacian算子,参数 λ > 0 p ( x ) , q ( x ) , h ( x ) , s 1 ( x ) , s 2 ( x ) C ( Ω ¯ )

本文的方程满足如下条件:

(H1) 对于 k 0 M ( t ) = a + b t k t [ 0 , )

(H2) f ( x ) L s 1 ( x ) ( Ω ) f ( x ) 0

(H3) g ( x ) L s 2 ( x ) ( Ω ) g ( x ) 0

(H4) 1 < q ( x ) < p ( x ) < h ( x ) N < min ( s 1 ( x ) , s 2 ( x ) ) ,其中 x Ω ¯

1 < p : = inf x Ω p ( x ) p ( x ) p + : = sup x Ω p ( x )

1 < q q + < p p + < p + ( k + 1 ) < h h +

对于Kirchhoff类型方程的研究一直是偏微分方程中的重要课题。Huang等在 [1] 中利用山路引理讨论了方程(1)在p(x)=p和权函数非负的情况下正解的存在性。当权函数f(x),g(x)变号时, [2] [3] 中利用Nehari流形分解的方法得到了正解的存在性与多重性。对于带有变号权函数的p(x)-Laplacian方程正解的存在性与多重性结果可参见 [4] [5]。

本文的主要结果如下:

定理1.1:若假设(H1)~(H4)成立,则存在 λ 1 > 0 ,使得当 λ ( 0 , λ 1 ) 时方程(1)存在至少两个正解。

2. 预备知识与变分框架

p ( x ) C + ( Ω ¯ ) ,变指数Lebesgue空间 L p ( ) ( Ω ) 定义为:

L p ( ) ( Ω ) = { u | u Ω | u | p ( x ) d x < } ,

其范数定义为:

| u | p ( x ) = inf { λ > 0 : Ω | u ( x ) λ | p ( x ) d x 1 } .

记E为Sobolev空间 W 0 1 , p ( x ) ( Ω ) ,其范数 u E = | u | p ( ) ,空间E是自反可分的Banach空间。

命题2.1 [6] 设 p ( x ) q ( x ) 是可测函数使得对a.e. x Ω p ( x ) L ( Ω ) 以及 1 p ( x ) q ( x ) ,设 u L q ( x ) ( Ω ) ,则有

| u | p ( x ) q ( x ) 1 | u | p ( x ) q ( x ) p + | | u | p ( x ) | q ( x ) | u | p ( x ) q ( x ) p ,

| u | p ( x ) q ( x ) 1 | u | p ( x ) q ( x ) p | | u | p ( x ) | q ( x ) | u | p ( x ) q ( x ) p + .

命题2.2 [6] 若 q ( x ) C + ( Ω ¯ ) ,且 q ( x ) < p ( x ) x Ω ¯ ,则 W 0 1 , p ( x ) ( Ω ) L q ( x ) ( Ω ) 是紧嵌入且连续的。

根据假设条件(H4),易知对 x Ω ¯ s 1 ( x ) q ( x ) < p ( x ) 以及 s 2 ( x ) h ( x ) < p ( x ) 其中 s 1 s 2 分别是 s 1 s 2 的共轭指数。因此 E L s 1 ( x ) q ( x ) ( Ω ) E L s 2 ( x ) h ( x ) ( Ω ) 是紧嵌入且连续的。

由Hölder不等式及Sobolev嵌入可以得到,当 u E 时下列不等式成立:

Ω f ( x ) | u | q ( x ) d x 2 | f | s 1 ( x ) | | u | q ( x ) | s 1 ( x ) max { C 1 u q + , C 2 u q } , (2.1)

Ω g ( x ) | u | h ( x ) d x 2 | g | s 2 ( x ) | | u | h ( x ) | s 2 ( x ) max { C 3 u h + , C 4 u h } . (2.2)

定义2.3若对任意 φ E ,下列积分恒等式成立,则称 u E 是方程(1)的弱解

a Ω | u | p ( x ) 2 u φ d x + b ( Ω 1 p ( x ) | u | p ( x ) d x ) k Ω | u | p ( x ) 2 u φ d x = λ Ω f ( x ) | u | q ( x ) 2 u φ d x + Ω g ( x ) | u | h ( x ) 2 u φ d x .

方程(1)的能量泛函 J λ : E N 表示为

J λ ( u ) = a Ω 1 p ( x ) | u | p ( x ) d x + b k + 1 ( Ω 1 p ( x ) | u | p ( x ) d x ) k + 1 λ Ω f ( x ) q ( x ) | u | q ( x ) d x Ω g ( x ) h ( x ) | u | h ( x ) d x , (2.3)

u > 1 时,有

J λ ( u ) a p + Ω | u | p ( x ) d x + b ( p + ) k + 1 ( k + 1 ) ( Ω | u | p ( x ) d x ) k + 1 λ q Ω f ( x ) | u | q ( x ) d x 1 h Ω g ( x ) | u | h ( x ) d x a p + u p + b ( p + ) k + 1 ( k + 1 ) u p ( k + 1 ) λ q C 1 u q + 1 h C 3 u h + .

根据假设(H4)有 q + < p < p ( k + 1 ) < h + ,由此可知 J λ 在空间E中不是下方有界的。因此,我们在下面的Nehari流形中考虑问题,其定义为

N λ = { u E \ { 0 } : J λ ( u ) , u = 0 } .

显然,其中的点为 J λ 的临界点。若 u N λ 当且仅当

I λ ( u ) = J λ ( u ) , u = a Ω | u | p ( x ) d x + b ( Ω 1 p ( x ) | u | p ( x ) d x ) k Ω | u | p ( x ) d x λ Ω f ( x ) | u | q ( x ) d x Ω g ( x ) | u | h ( x ) d x = 0 (2.4)

u N λ ,有

I λ ( u ) , u = a Ω p ( x ) | u | p ( x ) d x + k b ( Ω 1 p ( x ) | u | p ( x ) d x ) k 1 ( Ω | u | p ( x ) d x ) 2 + b ( Ω 1 p ( x ) | u | p ( x ) d x ) k Ω p ( x ) | u | p ( x ) d x λ Ω f ( x ) q ( x ) | u | q ( x ) d x Ω g ( x ) h ( x ) | u | h ( x ) d x . (2.5)

N λ 分解为

N λ + ( Ω ) = { u N λ ( Ω ) : I λ ( u ) , u > 0 } ,

N λ ( Ω ) = { u N λ ( Ω ) : I λ ( u ) , u < 0 } ,

N λ 0 ( Ω ) = { u N λ ( Ω ) : I λ ( u ) , u = 0 } .

3. 预备引理

引理3.1 存在 λ 1 > 0 ,使得对 λ ( 0 , λ 1 ) N λ 0 ( Ω ) =

证明:假设 N λ 0 ( Ω ) λ > 0 以及 u N λ 0 ( Ω ) 使得 u > 1 。根据(2.1),(2.2),(2.4)以及假设(H4)可以得到

0 = I λ ( u ) , u = a Ω p ( x ) | u | p ( x ) d x + k b ( Ω 1 p ( x ) | u | p ( x ) d x ) k 1 ( Ω | u | p ( x ) d x ) 2 + b ( Ω 1 p ( x ) | u | p ( x ) d x ) k Ω p ( x ) | u | p ( x ) d x λ Ω f ( x ) q ( x ) | u | q ( x ) d x Ω g ( x ) h ( x ) | u | h ( x ) d x p a Ω | u | p ( x ) d x + p ( k + 1 ) b ( Ω 1 p ( x ) | u | p ( x ) d x ) k Ω | u | p ( x ) d x h + Ω g ( x ) | u | h ( x ) d x q + [ a Ω | u | p ( x ) d x + b ( Ω 1 p ( x ) | u | p ( x ) d x ) k Ω | u | p ( x ) d x Ω g ( x ) | u | h ( x ) d x ] ( p q + ) a u p + p ( k + 1 ) q + ( p + ) k b u p ( k + 1 ) + ( q h + ) C 3 u h +

因此,

u C 5 ( p q + h + q + ) 1 h + p (3.1)

同样的,

0 = I λ ( u ) , u p + a Ω | u | p ( x ) d x + ( k + 1 ) p + b ( Ω 1 p ( x ) | u | p ( x ) d x ) k Ω | u | p ( x ) d x λ q Ω f ( x ) | u | q ( x ) d x h [ a Ω | u | p ( x ) d x + b ( Ω 1 p ( x ) | u | p ( x ) d x ) k Ω | u | p ( x ) d x λ Ω f ( x ) | u | q ( x ) d x ] ( p + h ) a u p + p + ( k + 1 ) h ( p ) k b u p ( k + 1 ) + λ ( h q ) C 1 u q +

因此,

u C 6 [ λ h q h ( k + 1 ) p + ] 1 p q + (3.2)

λ 足够的小,例如

λ 1 = h p + ( k + 1 ) h q ( 1 C 6 ) p q +

结合式(3.1)和(3.2)可知 u 1 ,与假设矛盾。因而可以得到当 λ ( 0 , λ 1 ) N λ 0 ( Ω ) =

由上面引理可知,当 λ ( 0 , λ 1 ) 时, N λ ( Ω ) = N λ + ( Ω ) N λ ( Ω ) 。记

α λ + = inf u N λ + ( Ω ) J λ ( u ) α λ = inf u N λ ( Ω ) J λ ( u )

引理3.2 泛函 J λ 在流形 N λ ( Ω ) 上是强制和下方有界的。

证明:设 u N λ ( Ω ) u > 1 。通过式(1.1)、(2.2)以及假设(H4)可以得到

J λ ( u ) a p + Ω | u | p ( x ) d x + b p + ( k + 1 ) ( Ω 1 p ( x ) | u | p ( x ) d x ) k Ω | u | p ( x ) d x λ q Ω f ( x ) | u | q ( x ) d x 1 h [ a Ω | u | p ( x ) d x + b ( Ω 1 p ( x ) | u | p ( x ) d x ) k Ω | u | p ( x ) d x λ Ω f ( x ) | u | q ( x ) d x ] ( a p + a h ) u p + [ 1 p + ( k + 1 ) 1 h ] b ( p + ) k u p ( k + 1 ) + C 1 λ ( 1 h 1 q ) u q + h p + p + h a u p + h p + ( k + 1 ) ( p + ) k + 1 ( k + 1 ) h b u ( k + 1 ) p C 1 λ h q h q u q +

根据假设(H4),可以得到 u 时, J λ 。因此泛函 J λ 在流形 N λ ( Ω ) 上是强制和下方有界的。

定理3.3 假设 u 0 J λ 在流形 N λ ( Ω ) 上的局部极小值或局部最大值,且 u 0 N λ 0 ( Ω ) ,则 u 0 J λ 的临界点。

证明:若 u 0 J λ 在流形 N λ ( Ω ) 上的局部极值,由Lagrange乘数法可知,存在使得。因此,

由于,而。因此可得,即

引理3.4 若,则

证明:由于,可以得到

(3.3)

我们将式(2.4) × ()后与式(3.3)相加,可得

因此

则有,

引理3.5 若,则中存在极小值,且

证明:由引理3.2可知上是有界的,所以存在序列使得

由于是强制的,在空间E中是有界的,我们假设在E中,根据Sobolev嵌入可以得到

中,

以及

中,

接下来,我们证明在空间E中。假设在E中,则有

根据Sobolev紧嵌入,有

根据以及式(2.1),

因此,

根据条件(H4),当时,

而引理3.4表明当,由此得到矛盾。

所以在空间E中以及

因此,中的极小值。

引理3.6 若,则

证明:设,通过定义式(2.3)以及式(2.4)可得

若选择

则有。基于以及,通过引理3.4可知

引理3.7 若,则中存在极小值,且

证明:由引理3.2可知上是有界的,所以存在极小化序列使得

由于是强制的,在空间E中是有界的,假设在E中,根据Sobolev嵌入可以得到

中,

以及

中,

,则存在常数使得以及

根据式(2.5),有

根据条件(H4),可以得到。因此根据的定义,知

接下来,我们证明在空间E中。假设在E中,则有

可得

因此,中的极小值。

定理1.1的证明:通过引理3.4和引理3.6可知存在以及使得

由于以及,可知为非负解。由定理3.3,空间E中的临界点,因此是方程(1)的弱解。再由Harnack不等式 [7],是方程(1)的正解。

致谢

作者对审稿人表示衷心的感谢。

文章引用: 尚 彬 (2020) 带有变号权函数的p(x)-Kirchhoff类型方程正解的存在性与多重性。 应用数学进展, 9, 565-573. doi: 10.12677/AAM.2020.94068

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