a尺度二元最小能量多小波框架的构造
The Construction of Bivariate Minimum-Energy Multi-Wavelet Frames with Dilation Factor a

作者: 张 旭 , 李万社 :陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西 西安;

关键词: 多小波最小能量小波框架a尺度二元最小能量多小波框架Multi-Wavelet Minimum-Energy Wavelet Frame Bivariate Minimum-Energy Multi-Wavelet Frames with Dilation Factor a

摘要:
在最小能量小波多小波框架的基础上,给出了a尺度二元最小能量多小波框架的概念,和满足二元最小能量多小波框架特性的充分以及必要条件,利用对尺度函数以及小波函数相应的面具符号进行多相位分解,给出了构造a尺度二元最小能量多小波框架的构造算法。

Abstract: Based on the minimum-energy multi-wavelet frames, the concept of bivariate minimum-energy multi-wavelet frames with dilation factor a and the sufficient and necessary conditions for satisfying the characteristics of bivariate minimum energy multi-wavelet frames are given. Via using the polyphase decomposition that corresponds to the symbol functions for scaling function and wavelet function, the decomposition and reconstruction algorithms of bivariate minimum-energy multi-wavelet frames with dilation factor a are presented.

1. 引言

在小波理论之后又新发展起一种理论,即框架理论。小波框架是由多种数学学科结合得来的,1952年,框架理论是首先由Duffin以及Schaeffer给出。我们要说的框架就是一种具有Riesz基性质的基,但是却不一定是基,也可以认为它是这一种广义的基。

最小能量小波框架 [1] [2] [3] [4] [5] 的优点在于可以避免信号在分解以及重构时,对于对偶框架的寻找,也简化了计算过程的繁杂性,并且还能最大可能地去保证数值的稳定性。在框架多分辨分析(FMRA)的基础上,2000年,由C.K. Chui以及W. He首先给出了最小能量小波框架。

2. a尺度二元最小能量多小波框架的概念

先给出文章要提到的记号: ω = ( ω 1 , ω 2 ) R 2 x = ( x 1 , x 2 ) R 2 L 2 ( R 2 ) 里函数的内积和Fourier变

换定义如下

f , g = R 2 f ( x ) g ( x ) ¯ d x , f , g L (R2)

f ^ ( ω ) = R 2 f ( x ) e i x , ω d x

其中 x ω = x , ω = x 1 ω 1 + x 2 ω 2 , ω R 2 , x R 2

定义向量值函数 ϕ ( x ) = ( ϕ 1 ( x ) , ϕ 2 ( x ) , , ϕ r ( x ) ) T , ϕ i ( x ) L 2 ( R 2 ) , r , i N ,平移算子为 T k ϕ ( x ) = ϕ ( x k ) ,伸缩算子为 D : L 2 ( R 2 ) L 2 ( R 2 ) : D ϕ ( x ) = a ϕ ( a x )

定义1 [6] 假设有正常数 0 < A B < + ,使函数族 ψ i = ( ψ 1 i , ψ 2 i , , ψ r i ) T , i N 能够满足

A f 2 i = 1 N τ = 1 r j , k Z 2 | f , ψ τ , j , k i | 2 B f 2 , f ( x ) L 2 (R2)

那么称函数族 ψ i = ( ψ 1 i , ψ 2 i , , ψ r i ) T , i N L 2 ( R 2 ) 的一个紧框架 [7] [8],A,B是这个框架的上,下框架界。当 A = B = 1 时,有下列重构公式

f ( x ) = τ = 1 r j , k Z 2 | f , ψ τ , j , k i | 2 , f L 2 ( R 2 ) (1)

那么称 { ψ i } L 2 ( R 2 ) 的Parseval框架。

V k = c l o s L 2 { R 2 } ( s p a n { ϕ k , α ( x ) : α Z 2 } ) { ϕ k , α ( x ) : α Z 2 } L 2 ( R 2 ) 上的闭包。

定义2 [9] 假如每一个 { V τ } τ Z L 2 ( R 2 ) 的闭子空间,而且有 ϕ V 0 使得 { V τ } 满足

(1) V τ V τ + 1 V τ + 2 , τ Z

(2) τ Z V τ ¯ = L 2 ( R 2 ) , τ Z V τ = { 0 }

(3) g ( x ) V 0 g ( x k ) V 0 , k Z 2

(4) g ( x ) V τ g ( a x ) V τ + 1 , τ Z

(5) ϕ ( x ) L 2 ( R 2 ) 使 { ϕ ( x k ) } k Z 2 V 0 的紧框架,那么 { V τ } τ Z 是FMRA,其中 ϕ ( x ) 是FMRA的二

元尺度函数。

定义3 若 { V τ } τ Z ϕ ( x ) = ( ϕ 1 ( x ) , ϕ 2 ( x ) , , ϕ r ( x ) ) T 生成。设函数族 ψ i = ( ψ 1 i , ψ 2 i , , ψ r i ) T , i N 符合(3.1.1),且 ψ i = ( ψ 1 i , ψ 2 i , , ψ r i ) T V 1 ,那么称 ψ i = ( ψ 1 i , ψ 2 i , , ψ r i ) T , i N 生成对应 ϕ ( x ) 的小波紧框架。

定义4 [10] 若 ϕ ( x ) = ( ϕ 1 ( x ) , ϕ 2 ( x ) , , ϕ r ( x ) ) T , ϕ i ( x ) L 2 ( R 2 ) ,而且 ϕ ^ ( ω ) 在原点处连续,对于 f ( x ) L 2 ( R 2 ) ,如果一个函数族 ψ i L 2 ( R 2 ) , i N 符合

τ = 1 r k Z 2 | f , ϕ τ ,1, k | 2 = τ = 1 r k Z 2 | f , ϕ τ ,0, k | 2 + i = 1 N τ = 1 r k Z 2 | f , ψ τ ,0, k i | 2 (2)

则称 { ψ 1 , ψ 2 , , ψ N } 是与 ϕ ( x ) 相对应的二元最小能量多小波紧框架。其中

ϕ j , k = a j ϕ ( a j x k ) , ψ j , k i = a j ψ i ( a j x k ) , i , j Z , k Z 2

式(2)等价于

τ = 1 r k Z 2 f , ϕ τ ,1, k ϕ τ ,1, k = τ = 1 r k Z 2 f , ϕ τ ,0, k ϕ τ ,0, k + i = 1 N τ = 1 r k Z 2 f , ψ τ ,0, k i ψ τ ,0, k i (3)

若函数 ϕ ( x ) = ( ϕ 1 ( x ) , ϕ 2 ( x ) , , ϕ r ( x ) ) T , ϕ i ( x ) L 2 ( R 2 ) 满足

(4)

称上式为r重多尺度函数。此处重矩阵序列。

对式(4)两边施行Fourier变换有

(5)

其中

(6)

的符号函数。对于根据定义2,就有

(7)

其中重矩阵序列,等式两边做Fourier变换有

的符号函数,表示为

(8)

接下来利用来构造一个阶的分块矩阵

(9)

的共轭转置我们用来表示。

3. a尺度二元最小能量多小波框架的特征

定理1若里都为Laurent多项式,并且的尺度函数,则等价于

(1) 为与相应的二元最小能量多小波框架生成元;

(2)满足

(10)

(3)

(11)

符合是Kronecker符号为

证明:由式(4)和(7)以及,可以得到式(3)的等价式子

(12)

并且有,式(10)等价于

(13)

即有

因为,有

那么上式也可以写为

利用Cramer法则和Vandermonde行列式的性质可将上变形为

对上面式子中所有等式两边乘,有

即为

对上式做Fourier逆变换就有

根据式(4)和(7),上式就可变形为

(14)

由(11)式证明得到式(14),也就有了(12)式,现在我们来证明由(12)式得到(11)式。

是紧支撑函数,若固定m,则仅有有限个不为零,那么泛函

仅有有限个不为零。

接下来对(12)式做傅里叶变换有

由于不是平凡函数,所以,既有,故

,则有,最后做傅里叶变换就可得,综上,定理得证。

定理2 若尺度函数紧支撑,并有,设是对应的二元最小能量多小波框架生成元,则

(15)

证明:由于那么我们就可以得到。下面只看式(15)中当的情况,i为其他数值时证明过程类似。

的第一行元素,将中剩下的记为矩阵,那么根据式(10)就有

是Hermitian矩阵,那么就有

即有

其实

其中

所以

接下来将写为多相位形式

阶的符号矩阵中的每项都为Laurent多项式,记为

那么就有,也即

(16)

由式(10)有

(17)

接下来讨论该框架存在的充分条件。

定理3 若多尺度函数为,且,那么a

尺度Laurent多项式符号函数符合

则存在二元多尺度函数对应的二元最小能量多小波框架生成元

证明:由

其中的多相位矩阵。而由(16) (17)可以得到

即有

且有,则

根据Riesz定理可知,对于Laurent多项式

接下来把单位向量按照文

献 [11] 里定理3的方式变换之后就可以得到 [11]

而且符合

4. 二元最小能量多小波框架的构造算法

对于,下面记到子空间上的正交投影算子

则根据以上算子式(3)可变形为

(18)

其中表示为误差项,还可以表示为

(19)

那么由以上两式,做内积就可以得到

在式(19)下,误差项的系数能量是最小的,也正是这个原因我们把符合(3)的框架叫做最小能量小波框架。

1) 分解算法 若已知,那么我们由的加细方程我们可以得到

对以上两式两边与作内积,就有以下分解公式

2) 重构算法

对上式两端与作内积,就有

文章引用: 张 旭 , 李万社 (2020) a尺度二元最小能量多小波框架的构造。 理论数学, 10, 272-281. doi: 10.12677/PM.2020.104035

参考文献

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https://doi.org/10.1016/j.chaos.2006.06.082

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