一类热扩散方程组的空间衰减估计
Spatial Decay Estimates for a Class of Thermo-Diffusion Equations

作者: 蔡梓涵 :广东金融学院金融数学与统计学院,广东 广州;

关键词: 热扩散微分方程空间衰减估计Saint-Venant原则Thermo-Diffusion Equations Spatial Decay Estimates Sait-Venent Principle

摘要:
本文研究了一类热扩散方程组的空间衰减估计,应用一阶微分不等式的方法,建立了半无限管内热扩散线性微分方程组的解的空间指数衰减估计。为了使估计明确,还导出了总能量的界。该结果可看作Saint-Venant原则在热扩散方程组中的应用。

Abstract: In this paper, we study the spatial decay estimates for a class of thermo-diffusion equations. Using the technique of a first-order differential inequality, the exponential decay estimates for the linear differential equations of thermodiffusion in a semi-infinite pipe were established. To make the estimate explicit, the bound for the total energy was also derived.

1. 前言

在20世纪70年代,W. Nowacki在他的论文 [1] 中给出了一维空间中热扩散的微分方程,参考文献中的许多论文研究了这一系统。例如, [2] 和 [3] 利用不同的参数研究了热扩散线性系统的初边界值问题。通过 [4] 得到了相关线性柯西问题解的 L p L q 时间衰减估计。然而,在本文中,我们考虑了三维热扩散的微分方程,并研究了系统解的空间衰减估计。实际上,很多文献都是关于各种微分方程系统的空间衰减估计问题,为了查阅关于圣维南原理的这类工作,可以参考 [5] - [13] 以及其中引用的论文。

我们假设瞬态流体占据了边界 R 的半无限圆柱管R的内部。管道的截面用D表示,截面的边界用 D 表示,管道R平行于 x 3 轴。我们定义:

R z = { ( x 1 , x 2 , x 3 ) | ( x 1 , x 2 ) D , x 3 > z 0 } ,

D z = { ( x 1 , x 2 , x 3 ) | ( x 1 , x 2 ) D , x 3 = z 0 } ,

其中z是沿 x 3 轴的变量。显然, R 0 = R D 0 = D 。设 u i 、T和C分别表示位移、温度和化学势为独立场。这些依赖于空间变量 ( x 1 , x 2 , x 3 ) 和时间变量t,并满足以下方程组:

ρ μ ¨ i v Δ u i ( λ + v ) u j , j i + γ 1 T , i + γ 2 C , i = 0 , R × { t 0 } , (1.1)

c T ˙ K Δ T + γ 1 u ˙ i , i + d C ˙ = 0 , R × { t 0 } , (1.2)

n C ˙ M Δ C + γ 2 u ˙ i , i + d T ˙ = 0 , in R × { t 0 } , (1.3)

在初始边界条件下

u i = 0 , T = C = 0 on D × { t 0 } , (1.4)

u i = u ˙ = 0 , T = C = 0 in R × { t = 0 } . (1.5)

u i = f i ( x 1 , x 2 , t ) , T = F ( x 1 , x 2 , t ) , C = G ( x 1 , x 2 , t ) on D 0 × { t 0 } , (1.6)

u i , u i , j , T , T i , C , C , i , p = o ( x 3 1 ) x 1 , x 2 , t as x 3 . (1.7)

在方程(1.1)~(1.3)中, Δ 是拉普拉斯算子; ρ 表示密度; γ 1 γ 2 是热和扩散扩张的系数; λ ν 是材料系数;K是导热系数;M是扩散系数。 n , c , d 是热扩散的系数。以上常数均为正,满足

c n d 2 > 0 (1.8)

这意味着(1.1)~(1.3)是一个偏微分方程组的双曲分解系统。在下面的几节中,我们可以使用下面的不等式。设D为带t的平面域D,他的边界为 D 。如果w在 D 上等于0,那么

D w , a w , a d A λ 1 D w 2 d x , (1.9)

其中 λ 1 是问题的最小特征值

Δ φ + λ φ = 0 in D ,

φ = 0 on D

这种不平等现象已经得到了很好的研究(见 [14] [15])。在本文中,通常的求和约定是使用重复的拉丁下标从1到3,并重复希腊字母下标从1到2。逗号用来表示部分区分,例如:

u i , j = u i x i , φ α , α = α = 1 2 φ α x α , u ˙ i = u i t .

2. 能量衰减

在这一部分中,我们导出了问题(1.3)~(1.6)的主要指数衰减结果。应用方程(1.1)和(1.4)~(1.6),得到

0 = 0 t R z [ ρ u ¨ i v Δ u i ( λ + v ) u j , j i + γ 1 T , i + γ 2 C , i ] u ˙ i d x d η = 1 2 ρ R z u ˙ i u ˙ i d x + v 0 t D z u i , 3 u ˙ i d A d η + v 2 R z u i , j u i , j d x + ( λ + v ) 0 t D z u j , j u ˙ 3 d A d η + λ + v 2 R z u i , i 2 d x + γ 1 0 t R z T , i u ˙ i d x d η + γ 2 0 t R z C , i u ˙ i d x d η . (2.1)

我们用T乘以(1.2),并积分得

0 = 0 t R z [ c T ˙ K Δ T + γ 1 u ˙ i , i + d C ˙ ] T d x d η = c 2 R z T 2 d x | η = t + K 0 t D z T , 3 T d A d η + K 0 t R z T , j T , j d x d η γ 1 0 t D z T u ˙ 3 d A d η γ 1 0 t R z T , i u ˙ i d x d η + d 0 t R z C T ˙ d x d η . (2.2)

以同样的方式,我们也可得

0 = 0 t R z [ n C ˙ M Δ C + γ 2 u ˙ i , i + d T ˙ ] C d x d η = n 2 R z C 2 d x | η = t + M 0 t D z C , 3 C d A d η + M 0 t R z C , j C , j d x d η γ 2 0 t D z C u ˙ 3 d A d η γ 2 0 t R z C , i u ˙ i d x d η + d 0 t R z C T ˙ d x d η (2.3)

现在,我们定义一个函数

E ( z , t ) = 1 2 ρ R z u ˙ i u ˙ i d x + v 2 R z u i , j u i , j d x + λ + v 2 R z u i , i 2 d x + K 0 t R z T , j T , j d x d η + M 0 t R z C , j C , j d x d η + R z [ c 2 T 2 + d C T + n 2 C 2 ] d x (2.4)

然后得

E ( z , t ) z = 1 2 ρ D z u ˙ i u ˙ i d A + v 2 D z u i , j u i , j d A + λ + v 2 D z u i , i 2 d A + K 0 t D z T , j T , j d A d η + M 0 t D z C , j C , j d A d η + D z [ c 2 T 2 + d C T + n 2 C 2 ] d A . (2.5)

很明显,(2.5)的最后一项是正的,因为 c n d 2 > 0 。从(2.1)~(2.3)开始,我们有

E ( z , t ) = v 0 t D z u i , 3 u ˙ i d A d η ( λ + v ) 0 t D z u j , j u ˙ 3 d A d η + γ 1 0 t D z T u ˙ 3 d A d η + γ 2 0 t D z C u ˙ 3 d A d η K 0 t D z T , 3 T d A d η M 0 t D z C , 3 C d A d η . (2.6)

利用Schwarz,Poincar’e定理,以及AG的平均不等式,我们得到了

v 0 t D z u i , 3 u ˙ i d A d η v ( 0 t D z u ˙ i u ˙ i d A d η ) 1 2 ( 0 t D z u i , 3 u i , 3 d A d η ) 1 2 v ( 0 t D z u ˙ i u ˙ i d A d η ) 1 2 ( 0 t D z u i , 3 u i , 3 d A d η ) 1 2 v t ρ ( E ( z , t ) z ) , (2.7)

( λ + v ) 0 t D z u j , j u ˙ d A d η ( λ + v ) ( 0 t D z u ˙ i u ˙ i d A d η ) 1 2 ( 0 t D z u j , j 2 d A d η ) 1 2 λ + v t ρ ( E ( z , t ) z ) , (2.8)

还有

γ 1 0 t D z T u ˙ 3 d A d η + γ 2 0 t D z C u ˙ 3 d A d η γ 1 ( 0 t D z T 2 d A d η ) 1 2 ( 0 t D z u ˙ 3 2 d A d η ) 1 2 + γ 2 ( 0 t D z C 2 d A d η ) 1 2 ( 0 t D z u ˙ 3 2 d A d η ) 1 2 γ 1 λ 1 ( 0 t D z T , α T , α d A d η ) 1 2 ( 0 t D z u ˙ 3 2 d A d η ) 1 2 + γ 2 λ 1 ( 0 t D z C , α C , α d A d η ) 1 2 ( 0 t D z u ˙ 3 2 d A d η ) 1 2 [ γ 1 t 2 ρ λ 1 K + γ 2 t 2 ρ λ 1 M ] ( E ( z , t ) z ) . (2.9)

利用Schwarz定理,(1.9)和AG平均不等式,我们得到了

K 0 t D z T , 3 T d A d η M 0 t D z C , 3 C d A d η K ( 0 t D z T , 3 2 d A d η ) 1 2 ( 0 t D z T 2 d A d η ) 1 2 + M ( 0 t D z C , 3 2 d A d η ) 1 2 ( 0 t D z C 2 d A d η ) 1 2 K λ 1 ( 0 t D z T , 3 2 d A d η ) 1 2 ( 0 t D z T , α T , α d A d η ) 1 2 + M λ 1 ( 0 t D z C , 3 2 d A d η ) 1 2 ( 0 t D z C , α C , α d A d η ) 1 2 1 2 λ 1 ( E ( z , t ) z ) . (2.10)

将(2.7)~(2.10)代入(2.6),我们有

E ( z , t ) m 1 ( t ) ( E ( z , t ) z ) , (2.11)

其中

m 1 ( t ) = v t ρ + λ + v t ρ + γ 1 t 2 ρ λ 1 K + γ 2 t 2 ρ λ 1 M + 1 2 λ 1 (2.12)

我们可以知道,(2.11)得出的结论是:

E ( z , t ) E ( 0 , t ) e 1 m 1 ( t ) z . (2.13)

不等式(2.13)就是我们所寻求的空间衰减结果。

3. 总能量E(0, t)的边界

为了使我们的衰变结果在第3节中明确化,我们根据已知的数据导出了 E ( 0 , t ) 的界。首先,我们将等式(2.4)和(2.6)代入 z = 0 的时候,即,

E ( 0 , t ) = 1 2 ρ R u ˙ i u ˙ i d x + v 2 R u i , j u i , j d x + λ + v 2 R u i , i 2 d x + K 0 t R T , j T , j d x d η + M 0 t R C , j C , j d x d η + R [ c 2 T 2 + d C T + n 2 C 2 ] d x = v 0 t D 0 u i , 3 u ˙ i d A d η ( λ + v ) 0 t D 0 u j , j u ˙ 3 d A d η + γ 1 0 t D 0 T u ˙ 3 d A d η + γ 2 0 t D 0 C u ˙ 3 d A d η K 0 t D 0 T , 3 T d A d η M 0 t D 0 C , 3 C d A d η . (3.1)

为了得到 E ( 0 , t ) 的界,我们现在介绍函数

(3.2)

其中是待定的正常数。所以,我们可得

(3.3)

根据散度定理可知

(3.4)

由Schwarz的不等式和AG的平均不等式,从(3.4)我们得到了

(3.5)

对于。挑选结合(3.1)和(3.5),我们有

(3.6)

因此,

(3.7)

其中

(3.8)

回顾(3.2)中的定义,我们得出结论,我们通过选择适当的的界,不等式(2.13)就可以明确表示。

基金项目

广东大学生攀登计划(pdjh2019b0335)。

文章引用: 蔡梓涵 (2020) 一类热扩散方程组的空间衰减估计。 理论数学, 10, 265-271. doi: 10.12677/PM.2020.104034

参考文献

[1] Nowacki, W. (1971) Certain Problem of Thermo-Diffusion in Solids. Archives of Mechanics, 23, 731-754.

[2] Fichera, G. (1974) Uniqueness, Existence and Estimates of Solution in the Dynamical Problem of Thermodiffusion in an Elastic Solid. Archives of Mechanics, 26, 903-920.

[3] Podstrigach, Y.S. (1961) Differential Equations of the Problem of Thermodiffusion in an Isotropic Deformable Solid. Dopovidi Akademi? nauk Ukra?ns ko? RSR, 2, 169-172. (In Ukrainian)

[4] Szymaniec, A. (2010) Lp-Lq Time Decay Estimates for the Solution of the Linear Partial Differential Equations of Thermodiffusion. Applicationes Mathematicae, 37, 143-170.
https://doi.org/10.4064/am37-2-2

[5] Kaloni, P.N. and Qin, Y. (1998) Spatial Decay Estimates for Flow in the Brinkman-Forchheimer Model. Quarterly of Applied Mathematics, 56, 71-87.
https://doi.org/10.1090/qam/1604880

[6] Horgan, C.O. and Wheeler, L.T. (1978) Spatial Decay Estimates for the Navier-Stokes Equations with Application to the Problem of Entry Flow. SIAM Journal on Applied Mathematics, 35, 97-116.
https://doi.org/10.1137/0135008

[7] Payne, L.E. and Song, J.C. (1997) Spatial Decay Estimates for the Brinkman and Darcy Flows in a Semi-Infinite Cylinder. Continuum Mechanics and Thermodynamics, 9, 175-190.
https://doi.org/10.1007/s001610050064

[8] Ames, K.A. and Song, J.C. (2006) Decay Bounds for Magnetohydrodynamic Geophysical Flow. Nonlinear Analysis, 65, 1318-1333.
https://doi.org/10.1016/j.na.2005.10.013

[9] Ames, K.A. and Payne, L.E. (1989) Decay Estimates in Steady Pipe Flow. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 20, 789-815.
https://doi.org/10.1137/0520056

[10] Horgan, C.O. (1996) Recent Developments Concerning Saint-Venant’s Principle: A Second Update. Applied Mechanics Reviews, 49, 101-111.
https://doi.org/10.1115/1.3101961

[11] Lin, C. (1992) Spatial Decay Estimates and Energy Bounds for the Stokes Flow Equation. Stability & Applied Analysis of Continuous Media, 2, 249-264.

[12] Lin, C. and Payne, L.E. (2004) Spatial Decay Bounds in the Channel Flow of an Incompressible Viscous Fluid. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 14, 795-818.
https://doi.org/10.1142/S0218202504003453

[13] Song, J.C. (2003) Improved Decay Estimates in Time-Dependent Stokes Flow. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 288, 505-517.
https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2003.09.007

[14] Payne, L.E. (1967) Isopermetric Inequalities and Their Applications. SIAM Review, 9, 453-488.
https://doi.org/10.1137/1009070

[15] Polya, G. and Szego, G. (1951) Isopermetric Inequalities in Mathematical Physics. Annals of Mathematics Studies Vol. 27, Princeton University Press, Princeton.

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