超几何方程的一类非齐次边值问题解的相似结构
Similar Structure of Solution for a Class of Non-Homogeneous Boundary Value Problems of Hypergeometric Equation

作者: 周 敏 * , 李顺初 * , 董晓旭 , 郑鹏社 :西华大学应用数学研究所,四川 成都; 桂钦民 :北京东润科石油技术股份有限公司,北京;

关键词: 超几何方程非齐次边界相似核函数解的相似结构连分式Hypergeometric Equation Nonhomogeneous Boundary Similar Kernel Function Similar Structure Formula of Solution Continued Fraction

摘要:
本文对超几何方程的一类非齐次边值问题的解做了深入分析,发现可以通过构造引解函数和左、右相似核函数,得到解的相似结构式,并提出求解相似结构式的相似构造法。对一个具体的超几何方程边值问题的求解进一步说明:相较于传统的求解步骤,运用相似构造法求解边值问题更加快速便捷;解的相似结构式表示为连分式乘积,不仅体现了解的形式美,更反映出定解方程的解与边界条件系数之间的相互联系。

Abstract: In this paper, the solution of a class of nonhomogeneous boundary value problems for hypergeometric equation is studied in detail. It is founded that the solution’s similar structure formula can be obtained by constructing the derivation function, the left similar kernel function and the right similar kernel function; and then, a similar construction method for solving the similar structure formula is proposed. A solution of boundary value problem to a specific hypergeometric equation further explained that comparing with the traditional solution steps, it is more convenient and faster to solve boundary by using the similar construction method. Further, the similar structure formula of solution is expressed as the product of continued fraction, which not only shows the formal beauty of the solution, but also reflects the interrelation between the solution of the definite solution equation and the boundary condition coefficient.

1. 引言

微分方程的应用渗透于许多的工程问题,要解决工程中所遇到的问题免不了会涉及微分方程的求解,早在十七世纪Legendre、Euler就开始了对微分方程解的研究,并在十八世纪被Kummer、Hermite、Laguerre等人进一步丰富和加深 [1] [2],在随后的时间里研究工作者也纷纷投入到微分方程解的研究中。纵观微分方程解研究的发展历史,微分方程的求解常需要用到特殊函数,如:Bessel函数、Hermit函数、Legendre函数、Jacobi函数等超几何函数,正是如此,针对超几何方程的求解问题的研究显得极为重要。近年,李顺初等人研究了二阶齐次常微分方程边值问题 [3] - [8],并对其解的相似结构做了深入分析,得到微分方程的解具有某种相似结构:可以表示为连分式的乘积形式且其结构形式只与某一边界条件有关,而其所谓的相似核函数与定解方程和另外的边界条件有关。

基于以上研究,本文探讨了双边非齐次的欧拉超几何的第三类边值问题解的问题,通过对其解结构特点的观察及分析,提出了超几何方程边值问题解的相似结构法,得到了边值问题解的相似结构式。解的相似结构式由两个相似核函数与边界系数构成,并且一个边界条件影响一个相似核函数。本文针对超几何方程边值问题解的研究为解决计算机仿真、电磁场分析等实际工程问题奠定了相应的理论基础;解的相似构造法极大地缩减了繁琐的求解过程和计算时间,为工程模型的求解提供了一种简捷、实用的新方法;解的相似结构也为编制相应的分析软件提供了极大便利。

2. 主要结论

本文研究如下超几何方程非齐次边值问题

{ x ( 1 x ) y + [ c ( a + b + 1 ) ] y a b y = 0 ( m y + n y ) x = α = Q [ e y + ( 1 + e f ) y ] x = β = T (1)

式中: a , b , c , m , n , e , f , α , β 均为实数, β > α > 0 。得到了解的相似结构。

定理如果 c 整数,那么边值问题(1)有如下解的相似结构

y = T 1 e + 1 f + Φ 1 ( β ) 1 f + Φ 1 ( β ) Φ 1 ( x ) + Q 1 m + n Φ 2 ( α ) 1 Φ 2 ( α ) Φ 2 ( x ) (2)

其中

Φ 1 ( x ) = m φ 0 , 0 ( α , x ) + n φ 0 , 1 ( α , x ) m φ 1 , 0 ( α , β ) + n φ 1 , 1 ( α , β ) (3)

为左相似核函数;

Φ 2 ( x ) = e φ 0 , 0 ( x , β ) + ( 1 + e f ) φ 1 , 0 ( x , β ) e φ 0 , 1 ( α , β ) + ( 1 + e f ) φ 1 , 1 ( α , β ) (4)

为右相似核函数;

Φ 2 ( x ) = e φ 0 , 0 ( x , β ) + ( 1 + e f ) φ 1 , 0 ( x , β ) e φ 0 , 1 ( α , β ) + ( 1 + e f ) φ 1 , 1 ( α , β ) (5)

φ 1 , 0 ( x , y ) = φ 0 , 0 ( x , y ) x , φ 0 , 1 ( x , y ) = φ 0 , 0 ( x , y ) y , φ 1 , 1 ( x , y ) = φ 1 , 0 ( x , y ) y (6)

为引解函数;

F ( a , b , c , x ) = k = 0 ( a ) k ( b ) k k ! ( c ) k x k ( c 0 , 1 , 2 , ) (7)

为超比级数。

定理的证明:

c 整数时,边值问题(1)中的第一个方程具有如下通解

y = A F ( a , b , c , x ) + B x 1 c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , x ) (8)

其中, y 1 = F ( a , b , c , x ) , y 2 = x 1 c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , x ) 是边值问题(1)中的第一个定解方程的两个线性无关的解。下面求解通解的系数 A , B

根据超几何函数的微分性质得 [9]

y 1 = a b c F ( a + 1 , b + 1 , c + 1 , x ) (9)

y 2 = ( 1 c ) x c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , x ) + ( a + 1 c ) ( b + 1 c ) 2 c x 1 c F ( a + 2 c , b + 2 c , 3 c , x ) (10)

进而得到 y

y , y 带入(1)中的第二、三方程得关于 A , B 的二元方程组如下

A [ m F ( a , b , c , α ) + n a b c F ( a + 1 , b + 1 , c + 1 , α ) ] + B { m α 1 c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , α ) + n [ ( 1 c ) α c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , α ) + ( a + 1 c ) ( b + 1 c ) 2 c α 1 c F ( a + 2 c , b + 2 c , 3 c , α ) ] } = Q (11)

A [ e F ( a , b , c , β ) + ( 1 + e f ) a b c F ( a + 1 , b + 1 , c + 1 , β ) ] + B { β 1 c e F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , β ) + ( 1 + e f ) [ ( 1 c ) β c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , β ) + ( a + 1 c ) ( b + 1 c ) 2 c β 1 c F ( a + 2 c , b + 2 c , 3 c , β ) ] } = T (12)

方程系数矩阵的行列式可转化为

d = | m α 1 c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , α ) m F ( a , b , c , α ) e β 1 c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , β ) e F ( a , b , c , β ) | + | n [ ( 1 c ) α c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , α ) + ( a + 1 c ) 2 c ( b + 1 c ) α 1 c F ( a + 2 c , b + 2 c , 3 c , α ) ] n a b c F ( a , b , c , α ) e β 1 c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , β ) e F ( a , b , c , β ) |

+ | m α 1 c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , α ) m F ( a , b , c , α ) ( 1 + e f ) [ ( 1 c ) β c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , β ) + ( a + 1 c ) 2 c ( b + 1 c ) β 1 c F ( a + 2 c , b + 2 c , 3 c , β ) ] ( 1 + e f ) a b c F ( a + 1 , b + 1 , c + 1 , β ) | + | n [ ( 1 c ) α c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , α ) + ( a + 1 c ) 2 c ( b + 1 c ) α 1 c F ( a + 2 c , b + 2 c , 3 c , α ) ] n a b c F ( a + 1 , b + 1 , c + 1 , α ) ( 1 + e f ) [ ( 1 c ) β c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , β ) + ( a + 1 c ) 2 c ( b + 1 c ) β 1 c F ( a + 2 c , b + 2 c , 3 c , β ) ] ( 1 + e f ) a b c F ( a + 1 , b + 1 , c + 1 , β ) | = e m φ 0 , 0 ( α , β ) + e n φ 0 , 1 ( α , β ) + ( 1 + e f ) m φ 1 , 0 ( α , β ) + ( 1 + e f ) n φ 1 , 1 ( α , β )

此外

d 1 = T { m α 1 c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , α ) + n [ ( 1 c ) α c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , α ) + ( a + 1 c ) ( b + 1 c ) 2 c α 1 c F ( a + 2 c , b + 2 c , 3 c , α ) ] } Q { β 1 c e F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , β ) + ( 1 + e f ) [ ( 1 c ) β c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , β ) + ( a + 1 c ) ( b + 1 c ) 2 c β 1 c F ( a + 2 c , b + 2 c , 3 c , β ) ] }

d 2 = Q [ e F ( a , b , c , β ) + ( 1 + e f ) a b c F ( a + 1 , b + 1 , c + 1 , β ) ] T [ m F ( a , b , c , α ) + n a b c F ( a + 1 , b + 1 , c + 1 , α ) ]

应用克拉默法则 [10] 得 A = d 1 d , B = d 2 d ,将 A , B 带入(8)式得

y = T m d { α 1 c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , α ) F ( a , b , c , x ) F ( a , b , c , α ) x 1 c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , x ) } + T n d { F ( a , b , c , x ) [ ( 1 c ) α c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , α ) + ( a + 1 c ) ( b + 1 c ) 2 c α 1 c F ( a + 2 c , b + 2 c , 3 c , α ) ] a b c F ( a + 1 , b + 1 , c + 1 , α ) x 1 c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , x ) }

+ Q e d { F ( a , b , c , β ) x 1 c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , x ) F ( a , b , c , x ) β 1 c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , β ) } + Q ( 1 + e f ) d { a b c F ( a + 1 , b + 1 , c + 1 , β ) x 1 c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , x ) [ ( 1 c ) β c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , β ) + ( a + 1 c ) ( b + 1 c ) 2 c β 1 c F ( a + 2 c , b + 2 c , 3 c , β ) ] F ( a , b , c , x ) }

= T m φ 0 , 0 ( α , x ) + T n φ 0 , 1 ( α , x ) + Q e φ 0 , 0 ( x , β ) + Q ( 1 + e f ) φ 1 , 0 ( x , β ) e m φ 0 , 0 ( α , β ) + e n φ 0 , 1 ( α , β ) + ( 1 + e f ) m φ 1 , 0 ( α , β ) + ( 1 + e f ) n φ 1 , 1 ( α , β ) ( Φ 1 ( x ) m φ 0 , 0 ( α , x ) + n φ 0 , 1 ( α , x ) m φ 1 , 0 ( α , β ) + m φ 1 , 1 ( α , β ) , Φ 2 ( x ) e φ 0 , 0 ( x , β ) + ( 1 + e f ) φ 1 , 0 ( x , β ) e φ 0 , 1 ( α , β ) + ( 1 + e f ) φ 1 , 1 ( α , β ) ) = T 1 e Φ 1 ( β ) + 1 + e f Φ 1 ( x ) + Q 1 m Φ 2 ( α ) + n Φ 2 ( x ) = T 1 e + 1 f + Φ 1 ( β ) 1 f + Φ 1 ( β ) Φ 1 ( x ) + Q 1 m + n Φ 2 ( α ) 1 Φ 2 ( α ) Φ 2 (x)

证毕。

3. 相似构造法的提出

定理证明了超几何方程存在解的相似结构式,那么如何迅速得到相似结构式?本文作出了如下三点总结。

第一步:构造引解函数

根据所给方程类型以及方程系数限定,得到方程的两个线性无关的解 F ( a , b , c , x ) , x 1 c F ( a + 1 c . b + 1 c , 2 c , x ) ,利用这两个线性无关解构造引解函数如下

φ 0 , 0 ( x , y ) = | x 1 c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , x ) F ( a , b , c , x ) y 1 c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , y ) F ( a , b , c , y ) |

φ 0 , 1 ( x , y ) = | ( 1 c ) x c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , x ) + ( a + 1 c ) 2 c ( b + 1 c ) x 1 c F ( a + 2 c , b + 2 c , 3 c , x ) a b c F ( a , b , c , x ) y 1 c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , y ) F ( a , b , c , y ) |

φ 1 , 0 ( x , y ) = | x 1 c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , x ) F ( a , b , c , x ) ( 1 c ) y c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , y ) + ( a + 1 c ) 2 c ( b + 1 c ) y 1 c F ( a + 2 c , b + 2 c , 3 c , y ) a b c F ( a + 1 , b + 1 , c + 1 , y ) |

φ 1 , 1 ( x , y ) = | ( 1 c ) x c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , x ) + ( a + 1 c ) 2 c ( b + 1 c ) x 1 c F ( a + 2 c , b + 2 c , 3 c , x ) a b c F ( a + 1 , b + 1 , c + 1 , x ) ( 1 c ) y c F ( a + 1 c , b + 1 c , 2 c , y ) + ( a + 1 c ) 2 c ( b + 1 c ) y 1 c F ( a + 2 c , b + 2 c , 3 c , y ) a b c F ( a + 1 , b + 1 , c + 1 , y ) |

第二步:构造左、右相似核函数

根据左边值条件中所涉及的系数 m , n 、边界值 α 以及引解函数 φ k , l ( x , y ) , k , l = 0 , 1 构造左边界的相似核函数 Φ 1 ( x ) ,将边界值 β 带入左边界的相似核函数,计算出 Φ 1 ( β ) ;根据得右边值条件中涉及的系数 e , f 、边界值 β 以及引解函数构造右边界的相似核函数 Φ 2 ( x ) 将边界值 α 带入右边界的相似核函数,计算出 Φ 2 ( α )

第三步:求得解的相似结构

对于超几何方程的非齐次边值问题(1),结合左右边值条件中涉及的系数 m , n , e , f 以及所求得的左、右相似核函数,根据(2)式,得到边值问题解的相似结构。

4. 相似构造法的举例

求解如下超几何方程非齐次边值问题

{ x ( 1 x ) y 2.25 y y = 0 ( 2 y + y ) x = 1 = 5 [ 4 y + y ] x = β = 10 (13)

与边值问题(1)相比,本例中的 a = 1 , b = 1 , c = 0.75 , m = 2 , n = 1 , e = 4 , f = 0 , α = 1 , β = 2 , Q = 5 , T = 10 ,根据相似构造法的步骤,直接求出(13)式得解相似结构。

第一步:构造引解函数

根据方程 x ( 1 x ) y 2.25 y y = 0 的两个线性无关解 x 0.25 F ( 1.25 , 1.25 , 1.75 , x ) F ( 1 , 1 , 0.75 , x ) 得到非齐次边值问题(13)的引解函数

φ 0 , 0 ( x , y ) = | x 0.25 F ( 1.25 , 1.25 , 1.75 , y , x ) F ( 1 , 1 , 0.75 , x ) y 1 0.25 F ( 1.25 , 1.25 , 1.75 , y ) F ( 1 , 1 , 0.75 , y ) |

φ 0 , 1 ( x , y ) = | 0.25 x 0.75 F ( 1.25 , 1.25 , 1.25 , x ) + 1.25 x 0.25 F ( 2.25 , 2.25 , 2.25 , x ) 8 3 F ( 1 , 1 , 0.75 , x ) y 0.25 F ( 1.25 , 1.25 , 1.25 , y ) F ( 1 , 1 , 0.75 , y ) |

φ 1 , 0 ( x , y ) = | x 0.25 F ( 1.25 , 1.25 , 1.25 , x ) F ( 1 , 1 , 0.75 , x ) 0.25 y 0.75 F ( 1.25 , 1.25 , 1.25 , y ) + 1.25 y 0.25 F ( 2.25 , 2.25 , 2.25 , y ) 8 3 F ( 2 , 2 , 1.75 , y ) |

φ 1 , 1 ( x , y ) = | 0.25 x 0.75 F ( 1.25 , 1.25 , 1.25 , x ) + 1.25 x 0.25 F ( 2.25 , 2.25 , 2.25 , x ) 8 3 F ( 2 , 2 , 1.75 , x ) 0.25 y 0.75 F ( 1.25 , 1.25 , 1.25 , y ) + 1.25 y 0.25 F ( 2.25 , 2.25 , 2.25 , y ) 8 3 F ( 2 , 2 , 1.75 , y ) |

其中

F ( 1.25 , 1.25 , 1.25 , x ) = k = 0 ( 1.25 ) k ( 1.25 ) k k ! ( 1.25 ) k x k

F ( 1 , 1 , 0.75 , x ) = k = 0 ( 1 ) k ( 1 ) k k ! ( 0.75 ) k x k

F ( 2.25 , 2.25 , 2.25 , x ) = k = 0 ( 2.25 ) k ( 2.25 ) k k ! ( 2.25 ) k x k

F ( 2 , 2 , 1.75 , x ) = k = 0 ( 2 ) k ( 2 ) k k ! ( 1.75 ) k x k

第二步:构造左、右相似核函数

根据(3)式,得到边值问题(13)的左相似核函数

Φ 1 ( x ) = 2 φ 0 , 0 ( 1 , x ) + φ 0 , 1 ( 1 , x ) 2 φ 1 , 0 ( 1 , 2 ) + φ 1 , 1 ( 1 , 2 )

进一步求得

Φ 1 ( 2 ) = 2 φ 0 , 0 ( 1 , 2 ) + φ 0 , 1 ( 1 , 2 ) 2 φ 1 , 0 ( 1 , 2 ) + φ 1 , 1 ( 1 , 2 )

同理,根据(4)式,得到边值问题(13)的右相似核函数

Φ 2 ( x ) = 4 φ 0 , 0 ( x , 2 ) + φ 1 , 0 ( x , 2 ) 4 φ 0 , 1 ( 1 , 2 ) + φ 1 , 1 ( 1 , 2 )

进一步求得

Φ 2 ( 1 ) = 4 φ 0 , 0 ( 1 , 2 ) + φ 1 , 0 ( 1 , 2 ) 4 φ 0 , 1 ( 1 , 2 ) + φ 1 , 1 ( 1 , 2 )

第三步:求得解的相似结构

根据(2)式并结合左、右相似核函数以及 Φ 1 ( 2 ) , Φ 2 ( 1 ) ,得到超几何方程非齐次边值问题(13)的解的相似结构如下

y = 10 1 4 + 1 Φ 1 ( 2 ) 1 Φ 1 ( 2 ) Φ 1 ( x ) + 5 1 2 + 1 Φ 2 ( 1 ) 1 Φ 2 ( 1 ) Φ 2 (x)

5. 结论与认识

1) 通过构造引解函数 φ 0 , 0 ( x , y ) φ 1 , 0 ( x , y ) φ 0 , 1 ( x , y ) 以及 φ 1 , 1 ( x , y ) ,构造左、右相似核函数 Φ 1 ( x ) Φ 2 ( x ) ,得到方程的解式为一个简单优美的连分式乘积表达式,解的相似结构中的参数与边界条件中参数相对应,不同边界条件确定不同的相似核函数。

2) 若将相应结果应用于石油工程问题中,在编制分析软件时更能体现结果的优越性。

基金项目

四川省科技厅2015年第一批科技计划项目(基本科研-重点研发) (2015JY0245);四川省教育厅重点项目(12ZA164);四川省教育厅自然科学重点项目(15ZA0135)。

NOTES

*通讯作者。

文章引用: 周 敏 , 李顺初 , 董晓旭 , 郑鹏社 , 桂钦民 (2020) 超几何方程的一类非齐次边值问题解的相似结构。 理论数学, 10, 226-234. doi: 10.12677/PM.2020.103030

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