一类微分方程奇解的另一种求法
Another Solution Method of Singular Solutions of a Class of Differential Equations

作者: 孔志宏 :太原师范学院数学系,山西 晋中;

关键词: 包络奇解C-判别式C-判别曲线构造通解Envelope Singular Solutions C-Discriminant C-Discriminant Curve Constructing the General Solution

摘要:

通过构造微分方程通解的方法,求得一类微分方程的奇解,纠正了其它书籍、文献在求这些微分方程奇解过程中的错误。

Abstract: By constructing the general solution of differential equations or complementing function value. We obtain the singular solutions of a class of differential equations and correct the errors in solving the singular equations of these differential equations in other books and literatures.

1. 引言

根据解的存在唯一性定理 [2],如果微分方程

中右端函数在某区域G上连续,在G上有界或连续,则在G内初值问题的解是存在且唯一的,

从而在G内肯定不存在奇解。如果存在唯一性定理的条件不在整个的定义域内成立,则奇解(如

果存在的话)只有到那些破坏了存在唯一性定理条件的点集中去找,也就是到使得无界的点集中去找。

对于某些微分方程,如等,它们的奇解(包络)是存在的。但是用c-判别曲线法求通解曲线族的包络时,由于通解是在的取值有一定限制的条件下求得的,所以根据c-判别式求得的c-判别曲线与通解是矛盾的,到目前为止,凡是涉及到求诸如之类的微分方程的包络(奇解)问题的书籍、文献(如 [3]、 [4]、 [5] )等,都是在这样的矛盾情形下,逻辑不自洽地“指导出”微分方程的奇解(包络)。结论是正确的,但求解过程是逻辑矛盾的。

本文通过构造通解法解决了这个矛盾。此前笔者曾通过补充定义法解决了这个矛盾(见 [1] )。

2. 构造通解法

例1判断微分方程

(1)

是否存在奇解,如果存在就求出来。

解右端函数,它在带形区域:上定义、连续。

时无界,所以方程(1)如果有奇解,只能是,显然是(1)的两个特解。下面求方程(1)的通解。

时(注意这个限制条件),(1)可改写为

,

积分得

,

于是

(2)

其中c为任意常数。由于也是(1)的解,故也可把(1)的通解表示为

(3)

其中C为任意常数。

现在求通解曲线族(3)的包络。这里,c-判别式为

c-判别曲线为

, 与

这两条c-判别曲线均为有,满足非蜕化条件,故两条c-判别曲线都是通解曲线族(3)的包络,从而都是方程(1)的奇解。

例2 [6] 判断微分方程

(4)

是否存在奇解,如果存在就求出来。

解右端函数在其定义域内是连续的。

时无界,所以方程(4)如果有奇解,只能是,显然是(4)的一个特解。下面求(4)的通解。

时(注意这个限制条件),(4)可改写为

,

积分得

,,

, (5)

其中c为任意常数。由于也是(4)的解,故也可把(4)的通解表示为

, (6)

易得c-判别曲线为

同样易知为通解曲线族(6)的包络,从而是(4)的奇解。

文章引用: 孔志宏 (2020) 一类微分方程奇解的另一种求法。 理论数学, 10, 139-142. doi: 10.12677/PM.2020.103020

参考文献

[1] 孔志宏. 微分方程中包络的定义及求奇解时必须注意的一个问题[J]. 理论数学, 2017, 7(4): 274-276.

[2] 王高雄, 周之铭, 朱思铭, 等. 常微分方程[M]. 第3版. 北京: 高等教育出版社, 2006: 103-104.

[3] 任永泰, 史希福. 常微分方程[M]. 沈阳: 辽宁人民出版社, 1984: 137-139.

[4] 东北师范大学微分方程教研室. 常微分方程[M]. 第2版. 北京: 高等教育出版社, 2005: 101-107.

[5] 周尚仁, 权宏顺. 常微分方程习题集[M]. 北京: 高等教育出版社, 1980: 87.

[6] 孔志宏. 包络排除方法及奇解排除定理[J]. 高等数学研究, 2003, 16(4): 36-39.

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