三阶线性方程满足能量守恒的差分格式
The Difference Scheme of Energy Conservation for the Third Order Linear Equation

作者: 田 雨 , 崔艳芬 :上海大学理学院,上海;

关键词: 守恒律稳定性保结构性Conservation Law Stability Structure Preservation

摘要: 三阶线性守恒型方程具有多个守恒律,本文对该方程设计了一种守恒型数值格式。该格式能满足方程的前两个守恒律。通过数值算例验证了格式有效性,数值结果表明,该格式在长时间的数值模拟中具有很好的稳定性和保结构性。

Abstract: Based on the third-order linear conservation equation’s many conservation laws, this paper de-signed a conservation numerical scheme which can satisfy the first two conservation laws of the equation. The numerical examples show the scheme’s effectiveness and the good stability and structure preservation in long-term numerical simulation.

1. 引言

本文对三阶线性守恒方程

(1)

进行数值模拟,其中u是方程的解。方程(1)对应的守恒形式为

(2)

流函数记为

(3)

方程(1)在物理上,其解满足无穷多个守恒律。本文根据这一物理性质,对这个方程设计一种满足两个守恒律的数值方法。第二个守恒律为

(4)

其中记为能量,能量流函数为

(5)

在对守恒方程进行数值模拟时,本文采用有限体积法 [1],数值解是对精确解网格平均的逼近,但是与传统有限体积法不同的是,本文设计的数值格式能够满足两个守恒律,格式要求数值解是守恒的,同时要求数值能量也守恒。传统的守恒型数值格式 [2],一般来说只能保持一个守恒律,即使有些格式可以保持多个守恒律,那些守恒律也是被动守恒。本文所设计的格式(见 [3] - [7] )与传统守恒格式不同,该格式同时满足两个守恒律,并且第二个守恒律中的数值实体不是被动守恒,在格式设计中参与计算,即使对线性方程而言,本文的格式也是非线性的。

本文的结构如下,第一节是引言,第二节详细描述了我们的格式,第三节是数值算例,最后是结论。

2. 格式的描述

数值解的定义

本文格式采用均匀网格剖分,网格,其中,在这儿h为空间步长,为时间步长。为网格步长比。

格式同时计算了两个数值实体,即数值解和数值能量。其中数值解是对时刻精确解网格平均的近似

(6)

数值能量是对时刻精确能量网格平均的近似

(7)

如同Godunov型格式一样(见 [1] ),格式分为重构、发展和网格平均三步进行。

第一步重构:在层上对数值解进行重构。由于方程为三阶方程,则重构函数用三次函数重构,重构函数

(8)

其中由传统插值方法可得,在这里要求重构函数的网格平均和数值解相等,

(9)

即重构函数(8)的中的系数在满足(9)式的前提下,由插值可得

(10)

(11)

(12)

(13)

与通常插值不同,在重构函数中的三次项系数作为自由变量,要求重构函数能量的网格平均和数值能量相等,

(14)

由此可见第二个数值实体,即数值能量确实参与格式的计算,因此对于能量来说不是被动守恒。

重构函数三次项系数由(14)式可得

(15)

其中

(16)

其中取与距离近的值。

(17)

第二步发展,以重构函数作为层的初值,求解三阶线性方程

(18)

得到精确解

第三步网格平均,在时刻的数值解和数值能量分别为

(19)

(20)

对三阶线性方程在上求二重积分,并应用Green公式可得数值格式为

(21)

(22)

其中是网格步长比。数值流函数和数值能量流函数分别为

(23)

(24)

在格式中,数值流函数采用左矩形公式数值离散,

(25)

数值能量流函数为

(26)

3. 数值算例

算例3.1:考虑方程(1),精确解为

(27)

在数值模拟中网格步长比,实线表示精确解,*表示数值解,数值结果如图1所示,其中图a是初值图像,图b、图c、图d分别为计算一个周期、十个周期和五十个周期后的结果。

(a) (b) (c) (d)

Figure 1. Numerical results at different times

图1. 不同时刻的数值结果

由此可看出,数值解在50个周期也保持了很好的数值模拟效果,这是因为我们的数值格式满足两个守恒律,所以数值结果在长时间的数值模拟中能保持很好的效果。

算例3.2:考虑方程(1)的双波解

(28)

在本算例中,考虑两个波为初值,从而可以看出波的干涉的情况,数值结果显示了两个波的干涉过程。

在数值模拟中网格步长比,结果如图2所示,其中实线代表精确解,*代表数值解,图a表示初始图像。图b、图c、图d分别代表时刻的数值解。可以看出,在波的干涉过程中,数值解能很好的保持解得结构。

(a) (b)(c) (d)

Figure 2. Numerical results at different times

图2. 不同时刻的数值结果

4. 结论

对于三阶线性守恒型方程,本文设计了同时满足两个守恒律的差分格式,该格式是通过满足方程物理上的守恒性质得到的,这样的格式具有很好的保结构性质。这种守恒型格式可推广到非线性的守恒方程和高维的方程。

文章引用: 田 雨 , 崔艳芬 (2020) 三阶线性方程满足能量守恒的差分格式。 应用数学进展, 9, 263-269. doi: 10.12677/AAM.2020.92031

参考文献

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[3] Cui, Y. and Mao, D. (2007) Numerical Method Satisfying the First Two Conservation Laws for the Korteweg-De Vries Equation. Journal of Computational Physics, 227, 376-399.
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