二元(p, q)-Bernstein算子的逼近性质
Approximation Properties of Bivariate (p, q)-Bernstein Operators

作者: 高 盼 , 刘辉辉 , 冷献祥 :巢湖学院数学与统计学院,安徽 合肥;

关键词: 二元(p q)-Bernstein算子收敛速度Lipschitz函数Bivariate (p q)-Bernstein Operators Rate of Convergence Lipschitz Function

摘要: 本文在(p, q)-Bernstein算子的基础上构建二元(p, q)-Bernstein算子,证明该算子的逼近定理;应用Volkov定理验证了该算子的一致收敛性,并估计其收敛速度,此结论推广了一元(p, q)-Bernstein算子的逼近结果。

Abstract: In this paper, we introduce the bivariate (p, q)-Bernstein operator on the basis of (p, q)-Bernstein operator, and obtain the approximation theorem of the operator. The uniform convergence of the operator is verified by applying Volkov theorem, and its convergence rate is estimated. Those re-sults further promote some of the conclusions of (p, q)-Bernstein operator.

1. 引言

算子是逼近理论重要的研究对象,其中经典的算子之一为Bernstein算子。最早于1912年,Bernstein首次提出。其后,众多研究者开始关注研究Bernstein算子的推广。于是,Bernstein算子的各种变形算子纷纷被讨论,如Szász-Mirakjan-Kantorovich算子 [1],Baskakov算子 [2] 等。

随着数学与生产生活各领域的交错发展,学者们将q微积分引入逼近理论,构造出大量q型算子。2007年,Dalmanoglu Ö. [3] 研究了q-Bernstein-Kantorovich算子;2011年,Muraru C V [4] 提出q-Bernstein-Schurer算子,并研究其逼近问题;伴随着研究的进一步深化,二元或多元算子相继被提出,故得到了大量二元算子关于逼近的相关理论,详见文献 [5] [6] [7] 等。

q微积分在逼近中的发展推动了(p, q)微分学步入逼近理论。Mursaleen于2015年首次在q-Bernstein算子的基础上提出(p, q)-Bernstein算子 [8],实现了q-Bernstein算子性质的推广。自此,有关于(p, q)型算子呈现于世人面前。2016年,Acar在文献 [9] 中构建了两元(p, q)-Bernstein-Kantorovich算子并证明该算子一些的逼近结论。由此可知,关于(p, q)型二元算子逼近问题的研究正在持续发展中。本文构建出二元(p, q)Bernstein算子,证明算子的一些逼近相关的定理,从而更进一步推广一元算子的逼近性质,更加丰富逼近理论的完整性。

2. 知识储备

下文中出现的符号: [ n ] p , q , [ n ] p , q ! , [ n k ] p , q 主要定义为:

[ n ] p , q = p n q n p q , n = 0 , 1 , 2 ,

[ n ] p , q ! = { 1 , n = 0 ; [ n ] p , q [ n 1 ] p , q [ 1 ] , n = 1 , 2 ,

[ n k ] p , q = [ n ] p , q ! [ k ] p , q ! [ n k ] p , q !

定义1 [8] :设 f C [ 0 , 1 ] 0 < q < p 1 x [ 0 , 1 ] ,则(p, q)-Bernstein算子定义为下式:

B n p , q ( f ; x ) = k = 0 n b n , k p , q ( x ) f ( p n k [ k ] p , q [ n ] p , q ) ,

其中 b n , k p , q ( x ) = [ n k ] p , q p [ k ( k 1 ) n ( n 1 ) ] / 2 x k s = 0 n k 1 ( p s q s )

定义2:设 0 < q < p 1 f C [ 0 , 1 ] ,定义二元(p, q)-Bernstein算子为:

B n 1 n 2 ( f ; x , y ) = 1 p 1 n 1 ( n 1 1 ) 2 1 p 2 n 2 ( n 2 1 ) 2 k 1 = 0 n 1 k 2 = 0 n 2 b n 1 n 2 k 1 k 2 ( x , y ) ( x , y ) f ( p 1 n 1 k 1 [ k 1 ] p 1 , q 1 [ n 1 ] p 1 , q 1 , p 2 n 2 k 2 [ k 2 ] p 2 , q 2 [ n 2 ] p 2 , q 2 )

其中

b n 1 n 2 k 1 k 2 ( x , y ) = [ n 1 k 1 ] p 1 , q 1 [ n 2 k 2 ] p 2 , q 2 p 1 k 1 ( k 1 1 ) 2 p 2 k 2 ( k 2 1 ) 2 x k 1 y k 2 s = 0 n 1 k 1 1 ( p 1 s q 1 s x ) s = 0 n 2 k 2 1 ( p 2 s q 2 s y ) .

引理1 [8] :设 0 < q < p 1 x [ 0 , 1 ] ,则有

B n p , q ( e 0 ; x ) = 1 , B n p , q ( e 1 ; x ) = x , B n p , q ( e 2 ; x ) = p n 1 [ n ] p , q x + q [ n 1 ] p , q [ n ] p , q x 2 .

引理2:设 0 < q 1 < p 1 1 , 0 < q 2 < p 2 1 e i j : I 2 × I 2 , e i j ( x , y ) = x i y j , 0 i + j 2 I 2 = [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] ,( i , j 为正整数),则有下列等式成立:

B n 1 n 2 ( e 00 ; x , y ) = e 00 ( x , y ) ; B n 1 n 2 ( e 10 ; x , y ) = e 10 ( x , y ) ; B n 1 n 2 ( e 01 ; x , y ) = e 01 ( x , y ) ; B n 1 n 2 ( e 11 ; x , y ) = e 11 ( x , y ) ; B n 1 n 2 ( e 20 ; x , y ) = e 20 ( x , y ) + p 1 n 1 1 x ( 1 x ) [ n 1 ] p 1 , q 1 ; e n 1 n 2 ( e 02 ; x , y ) = e 02 ( x , y ) + p 2 n 2 1 y ( 1 y ) [ n 2 ] p 2 , q 2 .

证明:根据算子定义式与引理1,计算可得

B n 1 n 2 ( e 00 ; x , y ) = 1 p 1 n 1 ( n 1 1 ) 2 1 p n 2 ( n 2 1 ) 2 k 1 = 0 n 1 k 2 = 0 n 2 [ n 1 k 1 ] p 1 , q 1 [ n 2 k 2 ] p 2 , q 2 p 1 k 1 ( k 1 1 ) 2 p 2 k 2 ( k 2 1 ) 2 x k 1 y k 2 × s = 0 n 1 k 1 1 ( p 1 s q 1 s x ) s = 0 n 2 k 2 1 ( p 2 s q 2 s y ) = 1 p 1 n 1 ( n 1 1 ) 2 k 1 = 0 n 1 [ n 1 k 1 ] p 1 , q 1 p k 1 ( k 1 1 ) 2 x k 1 s = 0 n 1 k 1 1 ( p 1 s q 1 s x ) × 1 p 2 n 2 ( n 2 1 ) 2 k 2 = 0 n 2 [ n 2 k 2 ] p 2 , q 2 p k 2 ( k 2 1 ) 2 y k 2 s = 0 n 2 k 2 1 ( p 2 s q 2 s y ) = B n 1 ( e 0 ; x ) B n 2 ( e 0 ; y ) = e 00 ( x , y ) ,

B n 1 n 2 ( e 10 ; x , y ) = 1 p n 1 ( n 1 1 ) 2 1 p n 2 ( n 2 1 ) 2 k 1 = 0 n 1 k 2 = 0 n 2 [ n 1 k 1 ] p 1 , q 1 [ n 2 k 2 ] p 2 , q 2 p k 1 ( k 1 1 ) 2 p k 2 ( k 2 1 ) 2 x k 1 y k 2 × s = 0 n 1 k 1 1 ( p 1 s q 1 s x ) s = 0 n 2 k 2 1 ( p 2 s q 2 s y ) [ k 1 ] p 1 , q 1 p 1 k 1 n 1 [ n 1 ] p 1 , q 1 = 1 p n 1 ( n 1 1 ) 2 1 p n 2 ( n 2 1 ) 2 k 1 = 0 n 1 [ n 1 k 1 ] p 1 , q 1 p 1 k 1 ( k 1 1 ) 2 x k 1 s = 0 n 1 k 1 1 ( p 1 s q 1 s x ) [ k 1 ] p 1 , q 1 p 1 k 1 n 1 [ n 1 ] p 1 , q 1 × k 2 = 0 n 2 [ n 2 k 2 ] p 2 , q 2 p k 2 ( k 2 1 ) 2 y k 2 s = 0 n 2 k 2 1 ( p 2 s q 2 s y ) = B n 1 ( e 1 ; x ) B n 2 ( e 0 , y ) = e 10 ( x , y )

B n 1 n 2 ( e 11 ; x , y ) = 1 p n 1 ( n 1 1 ) 2 1 p n 2 ( n 2 1 ) 2 k 1 = 0 n 1 k 2 = 0 n 2 [ n 1 k 1 ] p 1 , q 1 [ n 2 k 2 ] p 2 , q 2 p 1 k 1 ( k 1 1 ) 2 p 2 k 2 ( k 2 1 ) 2 x k 1 y k 2 × s = 0 n 1 k 1 1 ( p 1 s q 1 s x ) s = 0 n 2 k 2 1 ( p 2 s q 2 s y ) [ k 1 ] p 1 , q 1 p 1 k 1 n 1 [ n 1 ] p 1 , q 1 [ k 2 ] p 2 , q 2 p 2 k 2 n 2 [ n 2 ] p 2 , q 2 = 1 p 1 n 1 ( n 1 1 ) 2 k 1 = 0 n 1 [ n 1 k 1 ] p 1 , q 1 p 1 k 1 ( k 1 1 ) 2 x k 1 s = 0 n 1 k 1 1 ( p 1 s q 1 s x ) [ k 1 ] p 1 , q 1 p 1 k 1 n 1 [ n 1 ] p 1 , q 1 × 1 p 1 n 2 ( n 2 1 ) 2 k 2 = 0 n 2 [ n 2 k 2 ] p 2 , q 2 p 2 k 2 ( k 2 1 ) 2 y k 2 s = 0 n 2 k 2 1 ( p 2 s q 2 s y ) [ k 2 ] p 2 , q 2 p 2 k 2 n 2 [ n 2 ] p 2 , q 2 = B n 1 ( e 1 , x ) B n 2 ( e 1 , y ) = e 11 ( x , y )

B n 1 n 2 ( e 02 ; x , y ) = 1 p 1 n 1 ( n 1 1 ) 2 1 p 2 n 2 ( n 2 1 ) 2 k 1 = 0 n 1 k 2 = 0 n 2 [ n 1 k 1 ] p 1 , q 1 [ n 2 k 2 ] p 2 , q 2 p 1 k 1 ( k 1 1 ) 2 p 2 k 2 ( k 2 1 ) 2 x k 1 y k 2 × s = 0 n 1 k 1 1 ( p 1 s q 1 s x ) s = 0 n 2 k 2 1 ( p 2 s q 2 s y ) [ k 2 ] p 2 , q 2 2 p 2 2 k 2 2 n 2 [ n 2 ] p 2 , q 2 2 = y 2 + ( q 2 [ n 2 1 ] p 2 , q 2 [ n 2 ] p 2 , q 2 ) y 2 + p 2 n 2 1 y [ n 2 ] p 2 , q 2 = y 2 + p 2 n 2 1 y ( 1 y ) [ n 2 ] p 2 , q 2 = B n 1 ( e 0 , x ) B n 2 ( e 2 , y ) = e 02 ( x , y ) + p 2 n 2 1 y ( 1 y ) [ n 2 ] p 2 , q 2 .

同理可证出 B n 1 n 2 ( e 01 ; x , y ) = e 01 ( x , y ) B n 1 , n 2 ( e 20 , x , y ) = e 20 ( x , y ) + p 1 n 1 1 x ( 1 x ) [ n 1 ] p 1 , q 1 ,故引理成立。

引理3:设 0 < q 1 < p 1 1 , 0 < q 2 < p 2 1 x [ 0 , 1 ] ,则有下列等式成立:

B n 1 n 2 ( e 10 x ; x , y ) = 0 ; B n 1 n 2 ( e 01 x ; x , y ) = 0 ; B n 1 n 2 ( ( e 10 x ) 2 ; x , y ) = p 1 n 1 1 x ( 1 x ) [ n 1 ] p 1 , q 1 ; B n 1 n 2 ( ( e 01 x ) 2 ; x , y ) = p 2 n 2 1 y ( 1 y ) [ n 2 ] p 2 , q 2 .

证明:根据引理2与算子的线性性质易得结论。

3. 主要结果

首先介绍一些记号:设 δ 1 > 0 , δ 2 > 0 f C ( I 2 ) I 2 = [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] ,则关于f的连续性模可以表示为:

ω ( f : δ 1 , δ 2 ) = sup { | f ( t , s ) f ( x , y ) | : ( t , s ) ( x , y ) ( I 1 × I 2 ) , | t x | δ 1 , | s y | δ 2 }

并且 ω ( f : δ 1 , δ 2 ) 满足以下性质:

( i ) ω ( f : δ 1 , δ 2 ) 0 , δ 1 , δ 2 0 ( ii ) f ( t , s ) f ( x , y ) ω ( f : δ 1 , δ 2 ) ( 1 + | t x | δ 1 ) ( 1 + | s y | δ 2 )

α 1 , α 2 阶Lipschitz条件的二元函数f:对于 ( t , s ) , ( x , y ) I 2 f C ( I 2 ) 0 < α 1 1 , 0 < α 2 1 ,则存在常数 M > 0 ,使得 | f ( t , s ) f ( x , y ) | M | t x | α 1 | s y | α 2 ;记为 f L i p M ( α 1 , α 2 )

定理1:若 p 1 = p n 1 , p 2 = p n 2 , q 1 = q n 1 , q 2 = q n 2 ,且 q 1 ( 0 , 1 ) , p 1 ( q 1 , 1 ] , q 2 ( 0 , 1 ) , p 2 ( q 2 , 1 ] lim n p n 1 = 1 , lim n p n 2 = 1 , lim n q n 1 = 1 , lim n q n 2 = 1 ,则对于 f C ( I 2 ) ,都有 lim n 1 , n 2 B n 1 , n 2 ( f ; x ) f ( x ) = 0

证明:根据引理2得到

B n 1 n 2 ( e 00 : x , y ) e 00 = 0 ; B n 1 n 2 ( e 10 : x , y ) e 10 = 0 ; B n 1 n 2 ( e 01 : x , y ) e 01 = 0 ;

又因为当时,

故根据Volkov定理的内容可以得到

定理2:若,有不等式

其中

证明:根据二元函数连续模的性质,则有

又利用Cauchy-Schwarz不等式与引理3,有

因此,得到

,即成立。

定理3:设,则有

其中

证明:因为,可得

又因为

利用算子作用与柯西–施瓦茨不等式计算有

定理4:若,则存在一个常数,有下式成立:

其中

证明:由,计算可得

利用Hölder不等式,取

即定理成立。

致谢

本文的写作感谢查星星老师的指导。

基金项目

巢湖学院国家级大学生创新创业训练计划资助项目(201910380035),巢湖学院省级大学生创新创业训练计划资助项目(S201910380068)。

文章引用: 高 盼 , 刘辉辉 , 冷献祥 (2020) 二元(p, q)-Bernstein算子的逼近性质。 应用数学进展, 9, 244-250. doi: 10.12677/AAM.2020.92028

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