与差分相关的整函数周期性问题
Periodicity of Entire Functions Concerning Difference

作者: 邓炳茂 :广东金融学院,金融数学与统计学院,广东 广州; 杨世伟 :华南农业大学,应用数学研究所,广东 广州;

关键词: 整函数Picard例外值周期函数Entire Function Picard Exceptional Value Periodic Function

摘要:

本文主要研究了有穷级整函数与差分相关的周期性问题,主要证明了:如果f(z)是有穷级超越整函数,d是f(z)的一个Picard例外值,如果f(z)Δcf(z)是周期函数,则f(z)也是周期函数。

Abstract: This paper studied the periodicity of entire functions with its difference, and proved: Let f(z) be a transcendental entire function of finite order, and d be a Picard exceptional value of f(z). If f(z)Δcf(z) is a periodic function, then f(z) is also a periodic function.

1. 引言及主要结果

假设读者熟悉亚纯函数Nevanlinna值分布理论的基本内容及相关标准符号(见参考文献 [1] [2] [3])。特别的, ρ ( f ) 表示整函数f的级,当 ρ ( f ) < 时,称f为有穷级整函数。

是复平面上的整函数,定义其差分算子为

Δ c f ( z ) = f ( z + c ) f ( z ) , Δ c n f ( z ) = Δ c ( Δ c n 1 f ( z ) ) .

2018年,王琼、扈培础 [4] 研究了杨重俊提出的如下猜想:

猜想1:如果 f ( z ) 是超越整函数,对某个正整数k,如果是周期函数,则 f ( z ) 也是周期函数。

王琼、扈培础 [4] 证明了以下特殊情形,猜想1是正确的,他们证明了:

定理1:如果是超越整函数,对某个正整数k,如果 ( f 2 ( z ) ) ( k ) 是周期函数,则也是周期

函数。

注1:显然 ( f 2 ( z ) ) = 2 f ( z ) f ( z ) ,即定理1说明猜想1当 k = 1 时是正确的。

2019年,刘凯等人 [5] 研究了在有非零Picard例外值的情形,猜想1是正确的。

定理2:如果 f ( z ) 是超越整函数, d 0 f ( z ) 的一个Picard例外值,对某个正整数k,如果 f ( z ) f ( k ) ( z ) 是周期函数,则 f ( z ) 也是周期函数。

对于定理2,要求 d 0 ,自然会问,当 d = 0 时,定理2结论是否成立?本文研究了该问题,证明了以下结论。

定理3:如果 f ( z ) 是有穷级超越整函数,0是 f ( z ) 的一个Picard例外值,对某个正整数k,如果是以c为周期的函数,则,其中 a 0 , b 是两个常数,并且 e 2 a c = 1 ,即 f ( z ) 是以

2c周期的周期函数。

另外,我们将定理2中的导数替换成差分,证明了如下结论。

定理4:如果是有穷级超越整函数,d是的一个Picard例外值,如果 f ( z ) Δ c f ( z ) 是周期函数,则 f ( z ) 也是周期函数。

2. 一些引理

引理2.1 ( [6])设是一个有穷级亚纯函数,c是非零常数,则有

.

引理2.2 ( [2])设 f i ( z ) ( 1 i n ) ( n 3 ) f n 之外是非常值亚纯函数,并且满足,和存在一个常数 λ < 1 ,对任意的, 1 k n 时,均有

i = 1 n N ( r , 1 f j ) + ( n 1 ) i = 1 n N ¯ ( r , f j ) < ( λ + o ( 1 ) ) T ( r , f k ) , , r E ,

其中 E ( 1 , ) 是测度有穷的集合。

f n ( z ) 1

3. 定理3的证明

由0是 f ( z ) 的Picard例外值,且 f ( z ) 是有穷级超越整函数,因此存在非常数多项式 p ( z ) ,使得 f ( z ) = e p ( z ) ,显然 T ( r , p ) = S ( r , f ) 。经简单计算,可得,其中是关于的微分多项式。显然 H ( p ( z ) ) 0 ,否则 f ( k ) ( z ) 0 ,得 f ( z ) 是一个次数不超过 k 1 的多项式,这与 f ( z ) 是超越整函数矛盾。引理2.1可得 T ( r , H ( p ( z ) ) ) = S ( r , f )

另外,因为 f f ( k ) 是周期函数,不妨设其周期为c,则有

.(1)

代入(1)式,可得

H ( p ( z ) ) e 2 p ( z ) = H ( p ( z + c ) ) e 2 p ( z + c ) .

从而有

e 2 Δ c p ( z ) = H ( p ( z ) ) H ( p ( z + c ) ) .

时, deg Δ c p ( z ) = deg p ( z ) 1 1 .

T ( r , e Δ c p ( z ) ) = T ( r , H ( p ( z ) ) H ( p ( z + c ) ) ) = S ( r , e Δ c p ( z ) ) ,

矛盾。

所以 deg p ( z ) = 1 ,令 p ( z ) = a z + b ,其中 a 0 . 则 f ( z ) = e a z + b f ( k ) ( z ) = a k e a z + b ,代入(1)式,可得,所以 e 2 a c = 1 ,即得

定理3证明完毕。

4. 定理4的证明

由d是 的Picard例外值,且是有穷级超越整函数,因此存在非常数多项式 p ( z ) ,使得 f ( z ) = d + e p ( z ) ,显然 T ( r , p ) = S ( r , f ) 。经简单计算,可得 Δ c f ( z ) = e p ( z + c ) e p ( z ) ,若 Δ c f ( z ) 0 ,则显然 f ( z ) 是以c为周期的周期函数,以下考虑 Δ c f ( z ) 0 的情形。

另一方面,因为 f ( z ) Δ c f ( z ) 是周期函数,不访设其周期为 η ,则有

f ( z ) Δ c f ( z ) = f ( z + η ) Δ c f ( z + η ) .(2)

f ( z ) = d + e p ( z ) Δ c f ( z ) = e p ( z + c ) e p ( z ) 代入(2)式,

c + η 0 时,有

d ( e Δ c p 1 e Δ c + η p + e Δ η p ) e p + ( e Δ c p 1 e Δ η p + Δ c + η p + e 2 Δ η p ) e 2 p 0 . (3)

可断言:

d ( e Δ c p 1 e Δ c + η p + e Δ η p ) 0 , (4)

. (5)

若不然,由(3)式及引理2.1,引理2.2,可得

T ( r , e p ) = T ( r , d ( e Δ c p 1 e Δ c + η p + e Δ η p ) e Δ c p 1 e Δ η p + Δ c + η p + e 2 Δ η p ) = S ( r , e p ) .

矛盾。

p ( z ) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0 n 1 a n 0

情形1。 n 2 。则 Δ c p ( z ) = n a n c z n 1 + P 1 ( z ) 。其中是次数不超过的多项式。可知 Δ c p , Δ η p + Δ c + η p , Δ η p 均是次数为 n 1 的多项式。由(5)式及引理2.2,可得 e Δ c p 1 ,或者 e Δ η p + Δ c + η p 1 ,或者 e 2 Δ η p 1 ,矛盾。

情形2。 n = 1 。则 p ( z ) = a 1 z + a 0 Δ c + η p ( z ) = a 1 ( c + η ) ,代入(5)式,可得

,即 ( e a 1 c 1 ) ( 1 e 2 a 1 η ) 0 解方程,有 e a 1 c = 1 ,或 e 2 a 1 η = 1 。即 f ( z ) 是以c或 2 η 为周期的周期函数。进一步的,若 d 0 ,结合(4)式,可得,或 e a 1 η = 1 ,即 f ( z ) 是以c或 η 为周期的周期函数。

c + η = 0 时,有

d ( e Δ c p 2 + e Δ η p ) e p + ( e Δ c p 1 e Δ η p + e 2 Δ η p ) e 2 p 0 . (6)

与上述讨论类似,可得 f ( z ) 是以c或 η 为周期的周期函数。

定理4证明完毕。

基金项目

国家自然科学基金青年资助项目(11901119, 11701188);广东教育厅科研项目(2017KTECX130)。

文章引用: 邓炳茂 , 杨世伟 (2020) 与差分相关的整函数周期性问题。 理论数学, 10, 96-99. doi: 10.12677/PM.2020.102015

参考文献

[1] 杨乐. 值分布及其新研究[M]. 北京: 科学出版社, 1982: 5-13.

[2] Yang, C.C. and Yi, H.X. (2003) Uniqueness Theory of Meromorphic Functions. Science Press, Beijing, 1-13.
https://doi.org/10.1007/978-94-017-3626-8_1

[3] Hayman, W.K. (1964) Mermorphic Functions. Clarendon Press, Oxford, 4-10.

[4] 王琼, 扈培础. 关于整函数零点和周期性的研究[J]. 数学物理学报, 2018, 38(2): 209-204.

[5] Liu, K. and Yu, P.Y. (2019) A Note on the Periodicity of Entire Functions. Bulletin of the Australian Mathematical Society, 100, 290-296.
https://doi.org/10.1017/S0004972719000030

[6] Chiang, Y.M. and Feng, S.J. (2008) On the Nevanlinna Characteristic of f(z+η) and Difference Equations in the Complex Plane. The Ramanujan Journal, 16, 105-129.
https://doi.org/10.1007/s11139-007-9101-1

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