广义Loop-Witt代数的2-局部齐次导子
2-Local Homogeneous Derivations of Generalized Loop-Witt Algebras

作者: 黄 杰 , 王宪栋 :青岛大学数学与统计学院,山东 青岛;

关键词: 广义的Loop-Witt代数导子2-局部导子2-局部齐次导子Generalized Loop-Witt Algebras Derivation 2-Local Derivation 2-Local Homogeneous Derivation

摘要:

讨论了广义Loop-Witt代数WL(Γ)的2-局部导子的结构;给出了2-局部齐次导子的概念,并研究了它们的性质;证明了Γ当是整数加法群或有理数加法群时,广义Loop-Witt代数上的所有2-局部齐次导子均为导子。

Abstract: In the present paper, 2-local derivations of the generalized Loop-Witt algebra were discussed. The concept of a 2-local homogeneous derivation was given and their properties were obtained. Finally, all the 2-local homogeneous derivations are determined to be derivations in case of the additive group of integers or additive group of rationals.

1. 引言

众所周知,Virasoro代数是一类非常重要的无限维李代数,它在数学、物理等众多领域有着重要应用,曾有大量文献对Virasoro代数及其广义、超代数(N = 1共形代数)情形,类似及其中间序列模等进行研究 [1] - [6]。同时,也存在不同的广义(无中心)的Virasoro代数 [7] [8],文 [7] 研究了Loop-Virasoro代数,给出了在Loop-Virasoro代数上不可约Harish-Chandra模的分类。文 [8] 研究了广义Loop无中心的Virasoro代数的导子代数,自同构群和第二同调群。对李代数导子的研究是李理论中一个重要的课题,李代数的导子结构是李代数结构研究方向之一,对无限维Virasoro代数的导子也是如此,本文主要研究特征为零的代数闭域上广义Loop-Witt代数上的2-局部齐次导子的性质。

A 是结合环或结合代数, δ : A A 是线性映射,若对任意的 x , y A δ ( x y ) = δ ( x ) y + x δ ( y ) ,则称 δ A 的导子;如果存在 x A 使得对任意的 y A δ ( x y ) = x y y x ,则称 δ 为代数 A 上的内导子,记为 δ = a d x 。另外,许多代数存在着不是内导子的导子,一些与导子相关的线性映射被发现,1990年,Kadison (分别地,Larson和Sourour)在文 [9] 中引入了一类重要的映射——局部导子, A 上的线性映射 T : A A 称为局部导子,如果对给定的 x A ,有 A 的导子 δ x (这里 δ x 依赖于x)使得 T ( x ) = δ x ( x ) 。通过对局部导子的研究,相应的给出2-局部导子的概念,1997年,Semrl在文 [10] 中将局部导子定义中的线性去掉,最先给出2-局部导子的定义。称 φ : A A (这里 φ 不一定是线性的),如果对任意的 x , y A ,存在一个导子 φ x , y : A A (这里 φ x , y 依赖于x和y),使得 φ ( x ) = φ x , y ( x ) φ ( y ) = φ x , y ( y ) ,则称 φ A 上的2-局部导子。

近几年,2-局部导子的讨论是代数中比较活跃的研究领域,对2-局部导子的研究主要集中在局部导子是否是导子 [11] [12]。文 [11] 证明了特征为零代数闭域上有限维半单李代数的2-局部导子都是导子,并且给出了维数大于3的幂零李代数不是导子的2-局部导子的例子,文 [12] 得到了无限维Witt代数上的2-局部导子都是导子的结论,并给出无限维李代数2-局部导子不是导子的例子。本文将研究在特征为零的代数闭域上无限维广义Loop-Witt代数上定义的2-局部齐次导子是否为导子的问题。

本文的第1部分给出了Loop-Witt代数的定义、符号和一些基本结果;第2部分证明在Loop-Witt代数上定义的每一个2-局部齐次导子都是导子。

2. 预备知识

F 是特征为零的代数闭域, Γ 是域 F 的加法子群,且有 1 Γ F [ Γ ] 是可换群 Γ 的群代数,它带有一组无限基 { d α | α Γ } ,也记为 W L ( Γ ) F [ t , t 1 ] 是域 F 上所有Laurent多项式构成的交换代数。

定义2.1:令 W L ( Γ ) = W ( Γ ) F [ t , t 1 ] = S p a n F { d α t i | α Γ , i } ,称其为 F 上的广义Loop-Witt代数;它是 Γ -阶化的李代数: W L ( Γ ) = α Γ W L ( Γ ) α ,其中子空间 W L ( Γ ) α = s p a n { d α t i = d α t i | i }

并带有如下括积运算:

[ d α t i , d β t j ] = ( β α ) d α + β t i + j , α , β Γ , i , j .

定义2.2:设有线性映射 D : W L ( Γ ) W L ( Γ ) ,如果对任意的 x , y W L ( Γ ) ,都有 D ( [ x , y ] ) = [ D ( x ) , y ] + [ x , D ( y ) ] ,则称D为导子,所有导子构成的集合记为 D e r W L ( Γ ) ;对 z W L ( Γ ) ,线性映射 a d z : W L ( Γ ) W L ( Γ ) x a d z ( x ) = [ z , x ] 是一个导子,称为内导子,所有内导子构成的集合记为 a d W L ( Γ )

定义2.3:李代数 W L ( Γ ) 到其自身的映射T (这里T不必是线性的)称为 W L ( Γ ) 的一个2-局部导子,如果对任意的 x , y W L ( Γ ) ,都存在导子 D x , y (只与 x , y 有关),使得 T ( x ) = D x , y ( x ) T ( y ) = D x , y ( y )

根据文献 [8] 中给出的结果,有以下引理:

引理2.1:对阶化李代数 W L ( Γ ) ,有 D e r W L ( Γ ) = α Γ ( D e r W L ( Γ ) ) α ,其中 ( D e r W L ( Γ ) ) α = { D D e r W L ( Γ ) | D ( W L ( Γ ) β ) W ( Γ ) α + β ; β Γ }

特别,当 α 0 时,有包含关系: ( D e r W L ( Γ ) ) α a d W L ( Γ )

α = 0 时,有 ( D e r W L ( Γ ) ) 0 H o m ( Γ , F [ t , t 1 ] ) F [ t , t 1 ] d d t

为了研究阶化李代数 W L ( Γ ) 的2-局部导子,我们引入下列定义:

定义2.4:对 n Γ ,称李代数 W L ( Γ ) 到其自身的映射 Δ (不一定是线性的)为2-局部n次齐次导子,如果对任意的 x , y W L ( Γ ) 都能找到 D x , y D e r ( W L ( Γ ) ) n ,使得 Δ ( x ) = D x , y ( x ) Δ ( y ) = D x , y ( y )

由引理2.1可知,当 n 0 时,广义Loop-Witt代数的导子都是内导子,从而 W L ( Γ ) 的2-局部n次齐次导子( n 0 ) Δ 可以描述为:对任意的 x , y W L ( Γ ) ,必存在元素 a x , y W L ( Γ ) n (依赖于 x , y ),使得

Δ ( x ) = [ a x , y , x ] , Δ ( y ) = [ a x , y , y ] .

n = 0 时,广义Loop-Witt代数 W L ( Γ ) 的零次导子都可以通过向量空间 H o m ( Γ , F [ t , t 1 ] ) F [ t , t 1 ] d d t 中的元素所诱导(见文献 [8])。特别,对任意群同态 ϕ H o m ( Γ , F [ t , t 1 ] ) , 定义相应的I-型零次导子:

D ϕ : W L ( Γ ) W L ( Γ ) , d α t i D ϕ ( d α t i ) = ϕ ( α ) d α t i , α Γ , i .

对任意导子 ρ F [ t , t 1 ] d d t ,定义II-型零次导子:

D ρ : W L ( Γ ) W L ( Γ ) , d α t i D ρ ( d α t i ) = d α ρ ( t i ) , α Γ , i .

3. 主要结果

现在给出本文的主要结果:广义Loop-Witt代数 W L ( Γ ) 的任何2-局部齐次导子都是导子,其证明分两种情形进行讨论如下:

引理3.1:设 Δ W L ( Γ ) 的2-局部n次齐次导子,且 n 0 。如果对某个单项式元素 d 0 t i W L ( Γ ) , i ,有 Δ ( d 0 t i ) = 0 ,那么,映射 Δ 0

证明:任取元素 x = α , i k α , i d α t i ,根据2-局部n次齐次导子( n 0 )的定义,必存在元素 a d 0 t i , x ( W L ( Γ ) ) n ,使得

Δ ( d 0 t i ) = [ a d 0 t i , x , d 0 t i ] , Δ ( x ) = [ a d 0 t i , x , x ] .

不妨设 a d 0 t i , x = j k j d n t j ,根据给定的条件得到

0 = Δ ( d 0 t i ) = [ j k j d n t j , d 0 t i ] = j k j ( n ) d n t i + j ,

从而有 k j = 0 j ,于是 a d 0 t i , x = j k j d n t j = 0 。因此,有

Δ ( x ) = [ a d 0 t i , x , x ] = [ j k n , j d n t j , x ] = 0 ,

由于元素 x = α , i k α , i d α t i 是任意的,必有 Δ 0

定理3.2:设 Δ 是广义Loop-Witt代数 W L ( Γ ) 的2-局部n次齐次导子( n 0 ),则存在元素 x W L ( Γ ) ,使得 Δ = a d x

证明:根据2-局部n次齐次导子的定义,对 d 0 t i , d α t j W L ( Γ ) ,能找到相应的元素 D d 0 t i , d α t j D e r ( W L ( Γ ) ) n ,使得

Δ ( d 0 t i ) = D d 0 t i , d α t j ( d 0 t i ) , Δ ( d α t j ) = D d 0 t i , d α t j ( d α t j ) .

Δ 1 = Δ D d 0 t i , d α t j ,则 Δ 1 也是一个2-局部n次齐次导子,且有

Δ 1 ( d 0 t i ) = Δ 1 ( d α t j ) = 0 ,

应用引理3.1,直接推出: Δ 1 0 。因此, Δ = D d 0 t i , d α t j 是一个导子且为内导子。即存在元素 x W L ( Γ ) ,使得 Δ = a d x

引理3.3:设 Δ W L ( Γ ) 的2-局部零次齐次导子, Γ 是由1生成的加法子群.如果对某个 α Γ { 0 } j { 0 } ,有 Δ ( d α t j ) = 0 ,则 Δ 0

证明:任取元素 x = n , i k n , i d n t i , d α t j W L ( Γ ) , j { 0 } ,若存在Ⅰ-型零次齐次导子 D ϕ ,它只与 d α t j x 有关,使得下式成立:

Δ ( d α t j ) = D ϕ ( d α t j ) , Δ ( x ) = D ϕ ( x ) .

根据给定的条件,有

0 = Δ ( d α t j ) = D ϕ ( d α t j ) = ϕ ( α ) d α t j ,

必有, ϕ ( α ) = 0 。再根据引理的条件,对任意的 n Γ ,有 ϕ ( n ) = 0 ,从而

Δ ( x ) = D ϕ ( n , i k n , i d n t i ) = n , i ϕ ( n ) k n , i d n t i = 0 . (3.1)

若存在II-型零次齐次导子 D ρ ,它只与 d α t j 和x有关,使得

Δ ( d α t j ) = D ρ ( d α t j ) , Δ ( x ) = D ρ ( x ) ,

ρ = t f ( t ) d d t D e r ( F [ t , t 1 ] ) ,根据给定的条件,有

0 = Δ ( d α t j ) = D ρ ( d α t j ) = d α ρ ( t j ) = f ( t ) j d α t j .

因为 j 0 ,必有 f ( t ) = 0 。从而有下列式子:

Δ ( x ) = D ρ ( n , i k n , i d n t i ) = n , i k n , i f ( t ) i d n t i = 0 . (3.2)

由(3.1)和(3.2)可知,不管是哪种情况,总有 Δ 0

定理3.4:设 Δ W L ( Γ ) 的2-局部零次齐次导子, Γ 是由1生成的加法子群,则存在导子 D D e r ( W L ( Γ ) ) 0 ,使得 Δ = D

证明:根据2-局部零次齐次导子的定义,对 d α t j , d β t k W L ( Γ ) , α 0 , j 0 ,可以找到相应的零次导子 D D e r ( W L ( Γ ) ) 0 ,使得

Δ ( d α t j ) = D ( d α t j ) , Δ ( d β t k ) = D ( d β t k ) .

Δ 1 = Δ D ,则 Δ 1 也是一个2-局部零次齐次导子,且有

Δ 1 ( d α t j ) = Δ 1 ( d β t k ) = 0 .

应用引理3.3,直接推出: Δ 1 0 。因此, Δ = D 是一个零次导子。

注记3.5:在定理3.4中,当 Γ 是整数加法群时,条件自动成立。此时,广义Loop-Witt代数 W L ( Γ ) 的任何2-局部齐次导子都是导子;类似可说明,对有理数加法群,此结论同样成立。

致谢

本论文是在王宪栋教授的悉心指导下完成的,感谢王老师一直以来的培养和教诲。王老师对学科前沿敏锐的洞察力和渊博的学识给我留下了深刻的印象,此外,他严谨的教学态度、一丝不苟的作风和踏踏实实的精神深深影响了我,这些都使我终身受益。

我还要感谢所有关心我、支持我和帮助过我的同学、老师和亲人。

最后,我要感谢国家自然科学基金项目的资助。

基金项目

本文受到国家自然科学基金项目(11472144)资助。

文章引用: 黄 杰 , 王宪栋 (2020) 广义Loop-Witt代数的2-局部齐次导子。 理论数学, 10, 43-48. doi: 10.12677/PM.2020.102008

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