亚纯函数涉及分担值集的一个结果
A Result of Meromorphic Functions Involving Sharing Value Sets

作者: 赖 铭 , 李荣慧 :云南师范大学数学学院,云南 昆明;

关键词: 亚纯函数分担值集特征函数Meromorphic Function Shared Value Set Characteristic Function

摘要:

本文证明了若两个非常数亚纯函数f和g满足Θ(∞,f)>1/2,Θ(∞,g)>1/2,则一定存在含6个元素的集合S⊂C,只要E(S,f)=E(S,g),就有T(r,f)∼T(r,g)。

Abstract: This paper proves that if two nonconstant meromorphic functions f and g satisfy Θ(∞,f)>1/2, Θ(∞,g)>1/2, there must exist a set S⊂C with 6 elements, and if E(S,f)=E(S,g), there is T(r,f)∼T(r,g).

1. 引言及主要结果

本文中的亚纯函数都是定义在复平面C上的,且文中的符号采用的是Nevanlinna值分布论中的基本符号及结果,如: m ( r , f ) N ( r , f ) T ( r , f ) S ( r , f )

f ( z ) 为非常数亚纯函数,S为一个非空集合。令 E ( S , f ) = a S { z | f ( z ) a = 0 } ,这里m重零点在 E ( S , f ) 中重复m次,则称 E ( S , f ) 为f下S的原象集合。

若两个非常数亚纯函数 f ( z ) g ( z ) 满足 E ( S , f ) = E ( S , g ) ,其中S为一个非空集合,则称S为 f ( z ) g ( z ) 的CM分担值集。

1968年,F. Gross [1] 研究了将公共值推广到公共值集的一个一般性的情况,如下所示:

定理A:设 S j ( j = 1 , 2 , 3 ) 是三个元素不全相同的有限点集,且每一个点集都不包含另外两个点集的并集。设 T j ( j = 1 , 2 , 3 ) 为与相对应的点集 S j ( j = 1 , 2 , 3 ) 具有相同元素个数的任一点集。令 T 4 = S 4 = { } ,若非常数亚纯函数 f ( z ) g ( z ) 满足 E ( S j , f ) = E ( T j , g ) ( j = 1 , 2 , 3 , 4 ) ,则 f ( z ) g ( z ) 代数相关。

1976年,F. Gross [2] 提出了这样一个问题:

问题1:是否存在两个最好是一个有限集合 S j ( j = 1 , 2 ) ,对任意的两个非常数亚纯函数f和g,只要 E ( S j , f ) = E ( T j , g ) ( j = 1 , 2 ) ,就有 f g

1993年,仪洪勋 [3] 对上述问题的结论进行了弱化并得到了如下结论:

定理B:设 S = { a + b , a + b w , , a + b w n 1 } ,其中 b 0 w = exp ( 2 π i / n ) n > 8 。若复平面C中的两个非常数亚纯函数 f ( z ) g ( z ) 满足 E ( S , f ) = E ( S , g ) ,则 ( g a ) = t ( f a ) ,其中 t n = 1 ( f a ) ( g a ) s ,其中 s n = b 2 n

此定理详细证明过程可参见文献 [4]。

定理B中我们可以得知存在一个元素个数大于8的集合,当两个非常数亚纯函数CM分担这个集合的时候,这两个亚纯函数互为分式线性变换。那么,是否存在一个元素个数小于8的集合,我们能得到同样的结论。本文在加入一些限定条件后,给予了肯定的回答。定理如下:

定理1:设n为不小于6的整数,若非常数亚纯函数 f ( z ) g ( z ) S = { w | w n = 1 } 为CM分担值集,且 Θ ( , f ) > 1 / 2 Θ ( , g ) > 1 / 2 ,则 T ( r , f ) T ( r , g ) ( r E , r , m e s E < + )

2. 引理

引理1:若两个非常数亚纯函数 f ( z ) g ( z ) 以1为CM分担值,则必有以下结论之一发生:

(i) g ( z ) f ( z ) 的分式线性变换;

(ii) ( 1 o ( 1 ) ) T ( r ) N 2 ( r , 1 f ) + N 2 ( r , 1 g ) + 2 N ¯ ( r , f ) + 2 N ¯ ( r , g ) + S ( r , f ) + S ( r , g ) , (1)

其中 T ( r ) = max { T ( r , f ) , T ( r , g ) } ( r E , r , m e s E < + )

证明:

H = { f f 2 f f 1 } { g g 2 g g 1 } , (2)

H 0 ,则

f f 2 f f 1 g g 2 g g 1 , (3)

对上式左右两边分别积分两次得 g ( z ) f ( z ) 的分式线性变换,结论(i)成立。

H 0 ,则由对数导数引理知:

m ( r , H ) = S ( r , f ) + S ( r , g ) , (4)

而H的极点为单极点,且仅来自于f,g的极点处或 f g 的零点但非 ( f 1 ) ( g 1 ) 的零点处。兹用 N ¯ 0 ( r , 1 f ) 表示 f 的零点但非 f ( f 1 ) 的零点者所成精简密指量, N ¯ 0 ( r , 1 g ) 作类似表示。则有

N ( r , H ) N ¯ ( r , f ) + N ¯ ( r , g ) + N ¯ ( 2 ( r , 1 f ) + N ¯ ( 2 ( r , 1 g ) + N ¯ 0 ( r , 1 f ) + N ¯ 0 ( r , 1 g ) + S ( r , f ) + S ( r , g ) , (5)

于是

T ( r , H ) N ¯ ( r , f ) + N ¯ ( r , g ) + N ¯ ( 2 ( r , 1 f ) + N ¯ ( 2 ( r , 1 g ) + N ¯ 0 ( r , 1 f ) + N ¯ 0 ( r , 1 g ) + S ( r , f ) + S ( r , g ) , (6)

因f与g公共1值点处H取零值,于是

N ¯ 1 ) ( r , 1 f 1 ) = N ¯ 1 ) ( r , 1 g 1 ) N ( r , 1 H ) T ( r , H ) + O ( 1 ) N ¯ ( r , f ) + N ¯ ( r , g ) + N ¯ ( 2 ( r , 1 f ) + N ¯ ( 2 ( r , 1 g ) + N ¯ 0 ( r , 1 f ) + N ¯ 0 ( r , 1 g ) + S ( r , f ) + S ( r , g ) , (7)

由Nevanlinna第二基本定理知:

T ( r , f ) + T ( r , g ) N ¯ ( r , f ) + N ¯ ( r , g ) + N ¯ ( r , 1 f ) + N ¯ ( r , 1 g ) + N ¯ ( r , 1 f 1 ) + N ¯ ( r , 1 g 1 ) N ¯ 0 ( r , 1 f ) N ¯ 0 ( r , 1 g ) + S ( r , f ) + S ( r , g ) , (8)

注意到

N ¯ ( r , 1 f 1 ) + N ¯ ( r , 1 g 1 ) = 2 N ¯ ( r , 1 f 1 ) N ¯ 1 ) ( r , 1 f 1 ) + N ( r , 1 f 1 ) N ( r , 1 f 1 ) + N ¯ ( r , f ) + N ¯ ( r , g ) + N ¯ ( 2 ( r , 1 f ) + N ¯ ( 2 ( r , 1 g ) + N ¯ 0 ( r , 1 f ) + N ¯ 0 ( r , 1 g ) + S ( r , f ) + S ( r , g ) , (9)

由(8),(9)式有

T ( r , f ) + T ( r , g ) N 2 ( r , 1 f ) + N 2 ( r , 1 g ) + 2 N ¯ ( r , f ) + 2 N ¯ ( r , g ) + N ( r , 1 f 1 ) + S ( r , f ) + S ( r , g ) , (10)

因为

N ( r , 1 f 1 ) T ( r , f ) + O ( 1 ) , (11)

N ( r , 1 f 1 ) = N ( r , 1 g 1 ) T ( r , g ) + O ( 1 ) , (12)

再由(10)式得

( 1 o ( 1 ) ) T ( r ) N 2 ( r , 1 f ) + N 2 ( r , 1 g ) + 2 N ¯ ( r , f ) + 2 N ¯ ( r , g ) + S ( r , f ) + S ( r , g ) , (13)

( r E , r , m e s E < + )

结论(ii)成立。

3. 定理1的证明

证明:

P ( w ) = w n 1 , (14)

P ( w ) = n w n 1 , P ( 0 ) = 1 , (15)

因此, P ( w ) 无重零点。

F = f n , G = g n , (16)

由于f和g以S为CM分担值集,故F和G以1为CM分担值。故

T ( r , f ) = 1 n T ( r , F ) + S ( r , F ) , (17)

T ( r , g ) = 1 n T ( r , G ) + S ( r , G ) , (18)

兹对F和G应用引理知:(i)或(ii)成立。

若(i)成立,则G为F的分式线性变换,因此

T ( r , F ) T ( r , G ) , ( r E , r , m e s E < + ) (19)

再由(17),(18)式有

T ( r , f ) T ( r , g ) , ( r E , r , m e s E < + ) (20)

若(ii)成立,则由(16),(17)式,已知条件及Nevanlinna第一基本定理得

N ¯ ( r , F ) = N ¯ ( r , f ) 1 2 n T ( r , F ) + S ( r , F ) , (21)

N 2 ( r , 1 F ) = 2 N ¯ ( r , 1 f ) 2 n T ( r , F ) + S ( r , F ) , (22)

类似地,有

N ¯ ( r , G ) = N ¯ ( r , g ) 1 2 n T ( r , G ) + S ( r , G ) , (23)

N 2 ( r , 1 G ) = 2 N ¯ ( r , 1 g ) 2 n T ( r , G ) + S ( r , G ) , (24)

T ( r ) = max { T ( r , F ) , T ( r , G ) } , (25)

再由(21),(22),(23),(24)式有

N 2 ( r , 1 F ) + N 2 ( r , 1 G ) + 2 N ¯ ( r , F ) + 2 N ¯ ( r , G ) ( 6 n + o ( 1 ) ) T ( r ) , (26)

由已知条件知 6 n 1 ,故

N 2 ( r , 1 F ) + N 2 ( r , 1 G ) + 2 N ¯ ( r , F ) + 2 N ¯ ( r , G ) ( 1 + o ( 1 ) ) T ( r ) , (27)

又由(1)式知

N 2 ( r , 1 F ) + N 2 ( r , 1 G ) + 2 N ¯ ( r , F ) + 2 N ¯ ( r , G ) ( 1 o ( 1 ) ) T ( r ) , (28)

由(27),(28)式得

( 1 o ( 1 ) ) T ( r ) ( 1 + o ( 1 ) ) T ( r ) , (29)

因此

T ( r , F ) T ( r , G ) , ( r E , r , m e s E < + ) (30)

再由(17),(18)式有

T ( r , f ) T ( r , g ) , ( r E , r , m e s E < + ) (31)

定理1得证。

文章引用: 赖 铭 , 李荣慧 (2020) 亚纯函数涉及分担值集的一个结果。 理论数学, 10, 38-42. doi: 10.12677/PM.2020.101007

参考文献

[1] Gross, F. (1968) On the Distribution of Values of Meromorphic Functions. Transactions of the American Mathematical Society, 131, 199-214.
https://doi.org/10.1090/s0002-9947-1968-0220938-4

[2] Gross, F. (1977) Factorization of Meromorphic Functions and Some Open Problems. In: Complex Analysis, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 599, Springer, 51-69.
https://doi.org/10.1007/bfb0096825

[3] 仪洪勋, 杨重骏. 亚纯函数唯一性理论[M]. 北京: 科学出版社, 1995

[4] 仪洪勋. 亚纯函数的唯一性和Gross的一个问题[J]. 中国科学(A), 1994, 24(5): 241-246.

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