Ore扩张剩余类环的忠实平坦性质
The Faithfully Flat Property of the Residue Rings of Ore Extension Rings

作者: 龚朝庆 , 欧阳伦群 :湖南科技大学,数学与计算科学学院,湖南 湘潭;

关键词: (&alpha&delta)-相容理想平坦模忠实平坦模(&alpha&delta)-Compatible Ideal Flat Module Faithfully Flat Module

摘要:

设α是环R的自同构,δ是环R的α -导子,f(x)是Ore扩张环R[x;α,δ]中的一个斜多项式。通过讨论f(x)的系数与R[x;α,δ]/(f(x))的忠实平坦性质之间的关系,得到了R[x;α,δ]/(f(x))是忠实平坦R-模时应满足的几个充分条件。

Abstract: Let α be an automorphism and δ an α-derivation of a ring R, f(x) be a skew polynomial in the Ore extension ring R[x;α,δ]. We mainly investigate the relations between the coefficients of f(x) and the faithfully flat property of [x;α,δ]/(f(x)), and obtain some sufficient conditions for [x;α,δ]/(f(x)) being a faithfully flat R-module.

1. 前言

设R是有单位元1的交换环, α 是环R上的一个自同构, δ 是环R上的一个 α -导子,即 δ 是环R的保持加法运算的映射,并且对任意 a , b R ,有 δ ( a b ) = δ ( a ) b + α ( a ) δ ( b ) 。记

R [ x ; α , δ ] = { i = 0 n a i x i | a i R , n N } ,其中加法运算为普通的多项式加法,乘法运算为满足下列关系式的乘

法运算:对于任意 a R x a = α ( a ) x + δ ( a ) ,则 R [ x ; α , δ ] 按上述运算构成一个环,称为环R的Ore扩张环。

设I是环R的理想,如果对任意 a , b R a b I a α ( b ) I ,则称I是环R的 α -相容理想;如果对任意 a , b R a b I a δ ( b ) I ,则称I是环R的 δ -相容理想;如果理想I既是环R的 α -相容理想,又是环R的 δ -相容理想,则称I是环R的 ( α , δ ) -相容理想。如果环R的任意理想都是 α -相容理想,则称环R是 α -相容环;如果环R的任意理想都是 δ -相容理想,则称环R是 δ -相容环;如果环R的任意理想都是 ( α , δ ) -相容理想,则称环R是 ( α , δ ) -相容环。

α 是环R的自同构, δ 是环R的 α -导子, α 1 α 的逆自同构。对于任意整数 i , j 0 i j ,用 f i j 表示i个 α j i δ 组成的各种各样可能的乘积的和。例如: f j j = α j f 0 j = δ j f j 1 j = α j 1 δ + α j 2 δ α + + δ α j 1 。则由文献 [1] 知,对任意正整数n,任意 r R ,有 x n r = i = 0 n f i n ( r ) x i 。令 α = α 1 δ = δ α 1 ,仿照 f i j 的表示方法,用 g i j 表示i个 α j i δ 组成的各种各样可能的乘积的和。则由文献 [2] 知,对任意正整数n,任意 b R ,有 b x n = i = 0 n x i g i n ( b )

2. 预备知识

引理1:设R是有单位元1的结合环, α 是环R的自同构, δ 是环R的 α -导子,I是环R的 ( α , δ ) -相容理想,则对任意 a , b R ,下列结论成立:

1) 若 a b I ,则对任意正整数n,有 a α n ( b ) I α n ( a ) b I ;反过来,若存在正整数n,使得 a α n ( b ) I α n ( a ) b I ,则必有 a b I

2) 若 a b I ,则对任意正整数m、n,有 α m ( a ) δ n ( b ) I δ n ( a ) α m ( b ) I

证明:1) 若 a b I ,则有 a α ( α 1 ( b ) ) I 。于是由 α -相容理想的定义可得 a α 1 ( b ) I ,再由 a α 1 ( b ) I 可推出 a α ( α 2 ( b ) ) I ,从而同样可推出 a α 2 ( b ) I 。依此类推可得对任意正整数n,有 a α n ( b ) I

a b I ,则有 α n ( α n ( a ) α n ( b ) ) = 1 α n ( α n ( a ) α n ( b ) ) I ,其中n是正整数,于是由上面的证明可得 1 α n ( α n ( α n ( a ) α n ( b ) ) ) = α n ( a ) α n ( b ) I 。由于I是环R的 α -相容理想,于是可得 α n ( a ) α n + 1 ( b ) I ,依此类推可得 α n ( a ) b I

反过来,若存在正整数n,使得 a α n ( b ) I α n ( a ) b I ,则由文献 [3] 中的命题2.3可得 a α n ( α n ( b ) ) = a b I α n ( α n ( a ) ) b = a b I

2) 若 a b I ,则由(1)可得 α m ( a ) b I ,又由于I是环R的 δ -相容理想,于是可得 α m ( a ) δ ( b ) I ,从而可得 α m ( a ) δ n ( b ) I

a b I ,则由文献 [3] 中的命题2.3可得 α ( a ) b I ,由于I是环R的 δ -相容理想,于是有 α ( a ) δ ( b ) I ,又由于 1 a b = a b I ,I是环R的 δ -相容理想,于是有 1 δ ( a b ) = δ ( a b ) I ,从而有 δ ( a ) b = δ ( a b ) α ( a ) δ ( b ) I

δ ( a ) b I ,类似可得 δ 2 ( a ) b I ,从而可得 δ n ( a ) b I ,再由(1)可得 δ n ( a ) α m ( b ) I

推论1:设R是有单位元1的结合环, α 是环R的自同构, δ 是环R的 α -导子,I是环R的 ( α , δ ) -相容理想,则对任意 a , b R ,下列结论成立:

1) 若 a b I ,则对任意非零整数n,有 a α n ( b ) I α n ( a ) b I ;反过来,若存在非零整数n,使得 a α n ( b ) I α n ( a ) b I ,则必有 a b I

2) 若 a b I ,则对任意整数m及正整数n,有 α m ( a ) δ n ( b ) I δ n ( a ) α m ( b ) I

3) 若 a b I ,则 a f i j ( b ) I ,其中 i < j ;若 b I ,则 g i j ( b ) I ,其中 i j

证明:由引理1及文献 [3] 中的命题2.3可知上述结论(1)和(2)成立;由上述结论(1)和(2)成立易知结论(3)成立。

引理2:设R是有单位元1的结合环, α 是环R的自同构, δ 是环R的 α -导子,I是环R的 ( α , δ ) -相容理想, f ( x ) = j = 0 m a j x j R [ x ; α , δ ] 。则对任意正整数n,任意 b I ,有 f ( x ) b I [ x ; α , δ ] f ( x ) b x n ( f ( x ) ) I

证明:由于 f ( x ) b = ( j = 0 m a j x j ) b = j = 0 m a j ( i = 0 j f i j ( b ) x i ) = j = 0 m i = 0 j a j f i j ( b ) x i ,由 b I 可得对任意 0 j m a j b I ,于是由推论1得 a j f i j ( b ) I ,故 f ( x ) b I [ x ; α , δ ]

由于 f ( x ) b x n = f ( x ) ( i = 0 n x i g i n ( b ) ) = i = 0 n f ( x ) x i g i n ( b ) ,由于 b I ,于是由推论1可得 g i n ( b ) I ,故 f ( x ) b x n ( f ( x ) ) I

3. 主要结果

定理1:设R是有单位元1的交换环, α 是环R的自同构, δ 是环R的 α -导子,I是环R的 ( α , δ ) -相容理想, f ( x ) = a 0 + a 1 x + + a n x n R [ x ; α , δ ] g ( x ) = b 0 + b 1 x + + b m x m R [ x ; α , δ ] F ( x ) = f ( x ) g ( x ) ,如果存在正整数 k ( 0 < k < n ) ,使得 a n ( a n 0 ) , a n 1 , , a n k + 1 都是幂等元,,且 F ( x ) x l ( n k l n + m ) 的系数都在I中,则必有 b j I j = 0 , 1 , , m

证明:我们有

F ( x ) = f ( x ) g ( x ) = l = 0 n + m ( s + t = l ( i = s n a i f s i ( b t ) ) ) x l = l = 0 n + m Δ l x l ,

其中 Δ l = s + t = l ( i = s n a i f s i ( b t ) ) F ( x ) x l 项的系数。由已知条件知,当 n k l n + m 时, Δ l I 。为了表达方便起见,下面假设当 j < 0 时,约定 b j = 0 。现在我们构造一个表(表1),将能从引理的已知条件及 Δ l I ( n k l n + m ) 的表达式中可证明出属于I的那些 a i b j ( n k i n ) 放入表中。

l = n + m 时,有 Δ n + m = a n α n ( b m ) I ,由于I是 ( α , δ ) -相容理想,故由推论1可得 a n b m I 。将 a n b m 放入表1的第一行;

l = n + m 1 时,我们有

Δ n + m 1 = a n α n ( b m 1 ) + a n 1 α n 1 ( b m ) + a n f n 1 n ( b m ) . (1)

由于 a n 是幂等元,故将方程(1)两边同时乘以 a n

a n α n ( b m 1 ) = a n Δ n + m 1 a n 1 a n α n 1 ( b m ) a n f n 1 n ( b m ) .

由于I是 ( α , δ ) -相容理想且 a n b m I ,于是由推论1可得 a n α n 1 ( b m ) I a n f n 1 n ( b m ) I ,从而有 a n α n ( b m 1 ) I ,再由推论1得 a n b m 1 I 。由引理的已知条件及上面的证明过程可知,在方程(1)中,我们有 Δ n + m 1 I a n α n ( b m 1 ) I a n f n 1 n ( b m ) I ,故我们有

a n 1 α n 1 ( b m ) = Δ n + m 1 a n α n ( b m 1 ) a n f n 1 n ( b m ) I .

于是由推论1可得 a n 1 b m I 。将 a n b m 1 a n 1 b m 放入表1的第二行;

l = n + m 2 时,我们有

Δ n + m 2 = a n α n ( b m 2 ) + a n 1 α n 1 ( b m 1 ) + a n f n 1 n ( b m 1 ) + a n 2 α n 2 ( b m ) + a n 1 f n 2 n 1 ( b m ) + a n f n 2 n ( b m ) (2)

将方程(2)两边同时乘以 a n

a n α n ( b m 2 ) = a n Δ n + m 2 a n 1 a n α n 1 ( b m 1 ) a n f n 1 n ( b m 1 ) a n 2 a n α n 2 ( b m ) a n 1 a n f n 2 n 1 ( b m ) a n f n 2 n ( b m ) .

由于 Δ n + m 2 I a n b m I a n 1 b m I a n b m 1 I ,故由推论1可得 a n α n 1 ( b m 1 ) I a n f n 1 n ( b m 1 ) I a n α n 2 ( b m ) I a n f n 2 n 1 ( b m ) I a n f n 2 n ( b m ) I ,从而可得 a n α n ( b m 2 ) I ,再利用推论1可得 a n b m 2 I

再将方程(2)两边同时乘以 a n 1

a n 1 α n 1 ( b m 1 ) = a n 1 Δ n + m 2 a n 1 a n α n ( b m 2 ) a n 1 a n f n 1 n ( b m 1 ) a n 2 a n 1 α n 2 ( b m ) a n 1 f n 2 n 1 ( b m ) a n 1 a n f n 2 n (bm)

利用 a n b m I a n 1 b m I a n b m 1 I a n b m 2 I 这些上面已经证明了的条件及推论1,我们可得 a n 1 α n 1 ( b m 1 ) I ,从而有 a n 1 b m 1 I 。由方程(2),我们有

a n 2 α n 2 ( b m ) = Δ n + m 2 a n α n ( b m 2 ) a n 1 α n 1 ( b m 1 ) a n f n 1 n ( b m 1 ) a n 1 f n 2 n 1 ( b m ) a n f n 2 n ( b m ) .

由于 Δ n + m 2 I a n b m I a n 1 b m I a n b m 1 I a n 1 b m 1 I a n b m 2 I ,故由推论1得 a n 2 α n 2 ( b m ) I ,从而有 a n 2 b m I 。将 a n b m 2 a n 1 b m 1 a n 2 b m 放入表1的第三行;

Table 1. aibj (n − k ≤ i ≤ n) belongs to I

表1. 属于I的aibj (n − k ≤ i ≤ n)

依此类推,假设当 l = n + m k + 1 时,由对应的系数

Δ n + m k + 1 = a n α n ( b m k + 1 ) + i = n 1 n a i f n 1 i ( b m k + 2 ) + + i = n k + 1 n a i f n k + 1 i ( b m ) I

可得 a n b m k + 1 a n 1 b m k + 2 a n k + 1 b m 都属于I,并将其放入表1的第k行。

l = n + m k 时,我们有

Δ n + m k = a n α n ( b m k ) + i = n 1 n a i f n 1 i ( b m k + 1 ) + + i = n k n a i f n k i ( b m ) I . (3)

依次将方程(3)两边分别乘以 a n a n 1 a n k + 1 ,再运用上述类似的方法可依次得到 a n b m k a n 1 b m k + 1 a n k b m 都属于I,将其放入表1的第 k + 1 行。

由于 ( a n , a n 1 , , a n k ) = R ,于是存在 r 0 , r 1 , , r k R ,使得 r 0 a n + r 1 a n 1 + + r k a n k = 1 ,因此由表1的第一列可得

r 0 a n b m + r 1 a n 1 b m + + r k a n k b m = b m I .

接下来再看 x n + m k 1 的系数,即当 l = n + m k 1 时,有

Δ n + m k 1 = a n α n ( b m k 1 ) + i = n 1 n a i f n 1 i ( b m k ) + + i = n k 1 n a i f n k 1 i ( b m ) I ,

由于 b m I ,则可得 a n α n ( b m k 1 ) + i = n 1 n a i f n 1 i ( b m k ) + + i = n k n a i f n k i ( b m 1 ) I ,将该式依次分别乘以 a n a n 1 a n k + 1 ,可以推出 a n b m k 1 a n 1 b m k a n k b m 1 都属于I,将其放入表1的第 k + 2 行。

表1的第二列可得

r 0 a n b m 1 + r 1 a n 1 b m 1 + + r k a n k b m 1 = b m 1 I .

重复此过程,于是可得表1中的每一项都属于I,并且分别由表1的每一列还可以得到 b m b m 1 b 1 b 0 都属于I。

定理2:设R是有单位元1的 ( α , δ ) -相容的交换环, α 是环R的自同构, δ 是环R的 α -导子, f ( x ) = a 0 + a 1 x + + a n x n R [ x ; α , δ ] ,如果存在正整数 k ( 0 < k < n ) ,使得 a n ( a n 0 ) , a n 1 , , a n k + 1 都是幂等元, ( a n , a n 1 , , a n k ) = R ,则 A = R [ x ; α , δ ] / ( f ( x ) ) 是忠实平坦的右R-模。

证明:首先证明A的平坦性。在R-模正合列

0 ( f ( x ) ) R [ x ; α , δ ] A 0

中, R [ x ; α , δ ] R 是平坦右R-模,故由文献 [4] 知A是平坦右R-模的充要条件是对R中任意有限生成的左理想I,有

( f ( x ) ) R [ x ; α , δ ] I = ( f ( x ) ) I .

显然 ( f ( x ) ) I ( f ( x ) ) R [ x ; α , δ ] I ,下证 ( f ( x ) ) R [ x ; α , δ ] I ( f ( x ) ) I 成立。

F ( x ) ( f ( x ) ) R [ x ; α , δ ] I ,则存在 g ( x ) = b 0 + b 1 x + + b m x m R [ x ; α , δ ] ,使得 F ( x ) = f ( x ) g ( x ) R [ x ; α , δ ] I I [ x ; α , δ ] ,于是 F ( x ) = f ( x ) g ( x ) 的所有系数都属于I,从而由定理1可得 b i I i = 0 , 1 , , m ,因此由引理2可得

F ( x ) = f ( x ) g ( x ) = i = 0 m f ( x ) b i x i ( f ( x ) ) I ,

所以有 ( f ( x ) ) R [ x ; α , δ ] I ( f ( x ) ) I ,故A是平坦右R-模。

下证A是忠实平坦的右R-模。根据文献 [5],只要证对于R的任意有限生成的真左理想I, I R ,一定有 A I A ,则可得A是忠实平坦的右R-模。所以我们只需证明A中的单位元不在AI中。

反设A中的单位元 1 + ( f ( x ) ) A I ,则存在 h i ( x ) R [ x ; α , δ ] d i I ,使得

1 + ( f ( x ) ) = ( h i ( x ) + ( f ( x ) ) ) d i = h i ( x ) d i + ( f ( x ) ) .

由于 h i ( x ) R [ x ; α , δ ] d i I ,于是由引理2知 h i ( x ) d i I [ x ; α , δ ] ,故存在 g ( x ) = b 0 + b 1 x + + b m x m R [ x ; α , δ ] ,使得

1 + f ( x ) g ( x ) = 1 + k = 0 n + m ( s + t = k ( i = s n a i f s i ( b t ) ) ) x k I [ x ; α , δ ] .

由于 f ( x ) g ( x ) 中除了常数项以外的项的系数都属于I,因此由定理1可得 b 0 , b 1 , , b m 都属于I,于是有 a i b 0 I i = 0 , 1 , , n ,于是由推论1可得 i = 0 n a i f 0 i ( b 0 ) I 。从而由 1 + i = 0 n a i f 0 i ( b 0 ) I 可得 1 I ,这与假设 I R 相矛盾,故 A I A

推论2:设R是有单位元1的 α -相容的交换环, α 是环R的自同构, f ( x ) = a 0 + a 1 x + + a n x n R [ x ; α ] ,如果存在正整数 k ( 0 < k < n ) ,使得 a n ( a n 0 ) , a n 1 , , a n k + 1 都是幂等元, ( a n , a n 1 , , a n k ) = R ,则 R [ x ; α ] / ( f ( x ) ) 是忠实平坦的右R-模。

证明:在 R [ x ; α , δ ] 中,令 δ = 0 ,则有 R [ x ; α , δ ] R [ x ; α ] ,故由定理2知推论成立。

推论3:设R是有单位元1的 δ -相容的交换环, δ 是环R的导子, f ( x ) = a 0 + a 1 x + + a n x n R [ x ; α ] ,如果存在正整数 k ( 0 < k < n ) ,使得 a n ( a n 0 ) , a n 1 , , a n k + 1 都是幂等元, ( a n , a n 1 , , a n k ) = R ,则 R [ x ; δ ] / ( f ( x ) ) 是忠实平坦的右R-模。

证明:在 R [ x ; α , δ ] 中,令 α = 1 ,则有 R [ x ; α , δ ] R [ x ; δ ] ,故由定理2知推论成立。

推论4:设R是有单位元1的交换环, f ( x ) = a 0 + a 1 x + + a n x n R [ x ] ,如果存在正整数 k ( 0 < k < n ) ,使得 a n ( a n 0 ) , a n 1 , , a n k + 1 都是幂等元, ( a n , a n 1 , , a n k ) = R ,则 R [ x ] / ( f ( x ) ) 是忠实平坦的右R-模。

证明:在 R [ x ; α , δ ] 中,令 α = 1 δ = 0 ,则有 R [ x ; α , δ ] R [ x ] ,故由定理2知推论成立。

文章引用: 龚朝庆 , 欧阳伦群 (2020) Ore扩张剩余类环的忠实平坦性质。 理论数学, 10, 11-16. doi: 10.12677/PM.2020.101003

参考文献

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[2] Peter, S. and Otmar, V. (2006) On the Codimension of Modules over Skew Power Series Rings with Applications to Iwasawa Algebras. Journal of Pure and Applied Algebra, 204, 349-367.
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[4] 周伯曛. 同调代数[M]. 北京: 科技出版社, 1983: 144-153.

[5] 杨静化. 关于R[X]的剩余类环的同调维数[J]. 南京大学数学半年刊, 1998, 15(2): 251-256.

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