具有一个冷储备两单元串联可修复系统的指数性
Exponential Stability of a Repairable System with Cold Storage Units in Series

作者: 李治光 , 原文志 :太原师范学院数学系,山西 榆次;

关键词: 可修复系统抽象Cauchy问题指数稳定性Repairable System Abstract Cauchy Problem Exponential Stability

摘要:

本文论述具有一个冷储备串联系统的指数稳定性,运用随机过程理论和增补变量法建立了一个可修复系统的数学模型,利用C0半群理论研究了系统算子的指数稳定性。

Abstract: In this paper, the exponential stability of a cold storage series system is discussed. A mathematical model of repairable system is established by using stochastic process theory and supplementary variable method. The exponential stability of system operators is studied by using C0 semigroup theory.

1. 引言

随着科学技术的发展,系统的可靠性、稳定性分析变得越来越重要。从数学的角度,对系统的稳定性进行定量和定性的分析,从而给出系统性能的判断,无论在实际上还是在理论上都具有很重要的意义。近代以来,可靠性理论得到了系统、规范的发展,显现得日益成熟,特别是一系列太空计划的实施,使得可靠性理论得到了更大推广,目前已经发展为一门独立的工程基础研究。

2. 系统模型的建立 [1] [2] [3] [4] [5]

本文研究的是两个单元串联,且第二个单元具有冷储备单元的系统适定性。系统实际上有三个单元组成,分别记为①,②,③,其中③为冷储备单元,为了对系统建立模型,做出如下几组描述:

1) 初始状态处于良好状态;2) 系统遵循先故障先修理原则;3) 储备系统只有系统②故障才工作,储备期间不发生故障;4) 系统修复后完好如初;5) 系统①的故障率为常数 λ 1 ,修复率为非常数 u 1 ( x ) ,且 λ 1 > 0 u 1 ( x ) > 0 ;6) 系统②,③的故障率均为常数 λ 2 ,修复率均为 u 2 ( x ) ,且有 λ 2 > 0 u 2 ( x ) > 0 ;7) 修复率 u i ( x ) ( i = 1 , 2 ) 为非负可测函数,且 0 u i ( x ) = ( i = 1 , 2 ) ;8) 三个单元寿命均服从一般分布 F ( t ) = 1 e λ t , t 0 , λ > 0 ;9) 三个单元修复时间服从一般分布 G ( t ) = 1 e 0 u ( x ) , u ( x ) > 0 , t 0

以S(t)表示系统在t时刻所处的状态,则系统在t时刻所处的状态可划分以下几种情况:1) S ( t ) = 0 ,单元①,②,③均完好,系统正常工作;2) S ( t ) = 1 , 1 故障在修,②,③完好,系统停止工作;3) S ( t ) = 2 ,②故障在修,③开始工作,系统工作;4) S ( t ) = 3 , 3 故障在修,②正常工作,系统正常工作;5) S ( t ) = 4 ,②故障在修,③故障待修,系统停止工作;6) S ( t ) = 5 ,②故障在修,①故障待修,③停止工作,系统停止工作;7) ③故障在修,①故障待修, 2 停止工作,系统停止工作。

可得系统方程组如下:

d d t P 0 ( t ) = ( λ 1 + λ 2 ) P 0 ( t ) + 0 u 1 ( x ) P 1 ( t , x ) d x + 0 u 2 ( x ) ( P 2 ( t , x ) + P 3 ( t , x ) ) d x

t P 1 ( t , x ) + x P 1 ( t , x ) = u 1 ( x ) P 1 ( t , x )

t P 2 ( t , x ) + x P 2 ( t , x ) = ( λ 1 + λ 2 + u 2 ( x ) ) P 2 ( t , x )

t P 3 ( t , x ) + x P 3 ( t , x ) = ( λ 1 + u 2 ( x ) ) P 3 ( t , x )

t P 4 ( t , x ) + x P 4 ( t , x ) = u 2 ( x ) P 4 ( t , x ) + λ 2 P 2 ( t , x )

t P 5 ( t , x ) + x P 5 ( t , x ) = u 2 ( x ) P 5 ( t , x ) + λ 1 P 2 ( t , x )

t P 6 ( t , x ) + x P 6 ( t , x ) = u 2 ( x ) P 6 ( t , x ) + λ 1 P 3 ( t , x )

P 1 ( t , 0 ) = λ 1 P 0 ( t ) + 0 ( P 5 ( t , x ) + P 6 ( t , x ) ) u 2 ( x ) d x

P 2 ( t , 0 ) = λ 2 P 0 ( t ) ; P 3 ( t , 0 ) = P 4 ( t , 0 ) = P 5 ( t , 0 ) = P 6 ( t , 0 ) = 0 ; P 0 ( 0 ) = 1 , P i ( 0 , x ) = 0 , ( i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 )

将以上问题转化为抽象柯西问题:

取空间 X = R × ( L 1 [ 0 , ) ) 2 ,对任意 P = ( P 0 , P 1 ( x ) , , P 6 ( x ) ) X

定义范数 P = P 0 + P 1 ( x ) L 1 [ 0 , ) + + P 6 ( x ) L 1 [ 0 , ) ,则 ( X , . ) 是一个Banach空间。

引入算子A,B,C及其定义域如下:

A = ( A 1 0 0 0 0 0 0 A 7 ) 其中, A 1 = λ 1 λ 2 A 2 = d d x u 1 ( x ) A 3 = d d x ( λ 1 + λ 2 + u 2 (x)) )

A 4 = d d x ( λ 1 + u 2 ( x ) ) A 5 = A 6 = A 7 = d d x u 2 ( x )

D ( A ) = { P X | d d x p i ( x ) L 1 [ 0 , ) , p i ( x ) ( i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) P 1 ( t , 0 ) = λ 1 P 0 ( t ) + 0 ( P 5 ( t , x ) + P 6 ( t , x ) ) u 2 ( x ) d x , P 2 ( t , 0 ) = λ 2 P 0 ( t ) , P 3 ( t , 0 ) = P 4 ( t , 0 ) = P 5 ( t , 0 ) = P 6 ( t , 0 ) = 0 }

B = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ 2 0 0 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 ]

C = [ 0 0 u 1 ( x ) P 1 ( t , x ) d x 0 u 2 ( x ) P 2 ( t , x ) d x 0 u 3 ( x ) P 3 ( t , x ) d x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]

D ( B ) = D ( C ) = X

则上述问题可表示为Banach空间上的抽象柯西问题:

{ d d t P ( t ) = ( A + B + C ) P ( t ) , t 0 P ( 0 ) = ( 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) P ( t ) = ( P 0 ( t ) , P 1 ( t , x ) , P 2 ( t , x ) , , P 6 ( t , x ) ) T (2)

3. 可修复系统动态解的存在唯一性 [1] [6] [7]

命题1:当 α > 0 时, α ρ ( A ) ,并且 ( α I A ) 1 < 1 α

命题2:算子A是闭稠定算子。

命题3:A为耗散算子。

命题4:算子 A + B + C 生成正压缩 C 0 半群。

命题5:抽象柯西问题(2)存在唯一的非负解 P ( t , x ) 且满足 P ( t , . ) = 1 t 0

4. 系统的指数稳定性 [1] [6] [8]

命题1:0是算子 A + B + C 的简单本征值。

证:取 P = ( P 0 , P 1 ( X ) , , P 6 ( X ) ) ,考虑 ( A + B + C ) P = 0 ,其解析形式为

( λ 1 + λ 2 ) + 0 u 1 ( x ) P 1 ( x ) d x + 0 ( u 2 ( x ) P 2 ( x ) + u 2 ( x ) P 3 ( x ) ) d x = 0

d d x P 1 ( x ) u 1 ( x ) P 1 ( x ) = 0 d d x P 2 ( x ) ( λ 1 + λ 2 + u 2 ( x ) ) P 2 ( x ) = 0

d d x P 3 ( x ) ( λ 1 + u 2 ( x ) ) P 3 ( x ) = 0 d d x P 4 ( x ) u 2 ( x ) P 4 ( x ) + λ 2 P 2 ( x ) = 0

d d x P 5 ( x ) u 2 ( x ) P 5 ( x ) + λ 1 P 2 ( x ) = 0 d d x P 6 ( x ) u 2 ( x ) P 6 ( x ) + λ 1 P 3 ( x ) = 0

P 1 ( 0 ) = λ 1 P 0 P 2 ( 0 ) = λ 2 P 0 P 3 ( 0 ) = P 4 ( 0 ) = P 5 ( 0 ) = P 6 ( 0 ) = 0 ,解得

P 1 ( x ) = λ 1 P 0 e 0 x u 1 ( ξ ) d ξ P 2 ( x ) = λ 2 P 0 e 0 x ( λ 1 + λ 2 + u 2 ( ξ ) ) d ξ P 3 ( x ) = 0

P 4 ( x ) = λ 2 2 P 0 0 x e 0 t ( λ 1 + λ 2 + u 2 ( ξ ) ) d ξ e t x u 2 ( ξ ) d ξ d t P 5 ( x ) = λ 1 λ 2 P 0 0 x e 0 t ( λ 1 + λ 2 + u 2 ( ξ ) ) d ξ e t x u 2 ( ξ ) d ξ d t P 6 ( x ) = 0

0 u 1 ( x ) P 1 ( x ) d x = 0 u 1 ( x ) λ 1 P 0 e 0 x u 1 ( ξ ) d ξ d x = λ 1 P 0 0 u 1 ( x ) e 0 x u 1 ( ξ ) d ξ d x = λ 1 P 0 [ 0 d ( e 0 x u 1 ( ξ ) d ξ ) ] = λ 1 P 0

同理得, 0 ( u 2 ( x ) P 2 ( x ) + u 2 ( x ) P 3 ( x ) ) d x = 0 u 2 ( x ) λ 2 P 0 e 0 x ( λ 1 + λ 2 + u 2 ( ξ ) ) d ξ d x = λ 2 P 0 λ 1 + λ 2

代入 ( λ 2 λ 1 + λ 2 + λ 1 ( λ 1 + λ 2 ) ) P 0 = 0 = ( λ 2 λ 1 + λ 2 λ 2 ) P 0 = ( λ 2 ( 1 ( λ 1 + λ 2 ) ) λ 1 + λ 2 ) P 0 λ 2 2 P 0 ,得 P 0 0

易知, P i ( x ) L 1 [ 0 , ) , i = 1 , 2 , , 6 P = ( P 0 , P 1 , , P 6 ) T ,0对应于算子 A + B + C 的本征向量,取 Q = ( 1 , 1 ( x ) , , 1 ( x ) ) ,则 P , Q = P 0 + 0 P 1 ( x ) d x + 0 P 2 ( x ) d x + + 0 P 6 ( x ) d x > 0 ,且对任意 P D ( A + B + C ) ,有 ( A + B + C ) P , Q = 0 ,即 ( A + B + C ) Q = 0 ,即0是算子 A + B + C 的简单本征值。

命题2:若存在正数a使得 a = min { C i , λ 1 , λ 2 } ,则当 Re γ > C 时, γ ρ ( A ) ,且 ( γ I A ) 1 1 Re γ + C

证:当 Re γ > C 时,对任意 η = ( η 0 , η 1 ( x ) , , η 6 ( x ) ) X ,考虑 ( γ I A ) P = η

P = ( P 0 , P 1 ( x ) , , P 6 ( x ) ) ,则有 ( γ + λ 1 + λ 2 ) P 0 = η 0

d d x P 1 ( x ) + ( γ + u 1 ( x ) ) P 1 ( x ) = η 1 (x)

d d x P 2 ( x ) + ( γ + λ 1 + λ 2 + u 2 ( x ) ) P 2 ( x ) = η 2 (x)

d d x P 3 ( x ) + ( γ + λ 1 + u 2 ( x ) ) P 3 ( x ) = η 3 (x)

d d x P 4 ( x ) + ( γ + u 2 ( x ) ) P 4 ( x ) = η 4 (x)

d d x P 5 ( x ) + ( γ + u 2 ( x ) ) P 5 ( x ) = η 5 (x)

d d x P 6 ( x ) + ( γ + u 2 ( x ) ) P 6 ( x ) = η 6 ( x ) P 1 ( 0 ) = λ 1 P 0 P 2 ( 0 ) = λ 2 P 0 P 3 ( 0 ) = P 4 ( 0 ) = P 5 ( 0 ) = P 6 ( 0 ) = 0

Re γ > C 时,有 γ ( λ 1 + λ 2 ) ,解上述方程组得 P 0 = η 0 γ + λ 1 + λ 2

P 1 ( x ) = λ 1 η 0 γ + λ 1 + λ 2 e γ x 0 x u 1 ( ξ ) d ξ + 0 x e γ ( x t ) t x u 1 ( ξ ) d ξ η 1 ( t ) d t

P 2 ( x ) = λ 2 η 0 γ + λ 1 + λ 2 e ( γ + λ 1 + λ 2 ) x 0 x u 2 ( ξ ) d ξ 0 x e ( γ + λ 1 + λ 2 ) ( x t ) t x u 2 ( ξ ) d ξ η 2 ( t ) d t

P 3 ( x ) = 0 x e ( γ + λ 1 ) ( x t ) t x u 2 ( ξ ) d ξ η 3 ( t ) d t P 4 ( x ) = 0 x e γ ( x t ) t x u 2 ( ξ ) d ξ η 4 ( t ) d t

P 5 ( x ) = 0 x e γ ( x t ) t x u 2 ( ξ ) d ξ η 5 ( t ) d t P 6 ( x ) = 0 x e γ ( x t ) t x u 2 ( ξ ) d ξ η 6 ( t ) d t

由于

P = | P 0 | + i = 1 6 P i | η 0 γ + λ 1 + λ 2 | + | λ 1 η 0 γ + λ 1 + λ 2 | 0 e ( Re γ + C ) x d x + 0 | η 1 ( t ) | d t t e ( Re γ + C ) ( x t ) d x + | λ 2 η 0 γ + λ 1 + λ 2 | 0 e ( Re γ + C ) x d x + 0 | η 2 ( t ) | d t t e ( Re γ + C ) ( x t ) d x + 0 | η 3 ( t ) | d t t e ( Re γ + C ) ( x t ) d x + 0 | η 4 ( t ) | d t t e ( Re γ + C ) ( x t ) d x + 0 | η 5 ( t ) | d t t e ( Re γ + C ) ( x t ) d x + 0 | η 6 ( t ) | d t t e ( Re γ + C ) ( x t ) d x

= | η 0 γ + λ 1 + λ 2 | + | ( λ 1 + λ 2 ) η 0 γ + λ 1 + λ 2 | 0 e ( Re γ + C ) x d x + i = 1 6 η i t e ( Re γ + C ) ( x t ) d x 1 Re γ + C ( η 0 + i = 1 6 η i ) = 1 Re γ + C η

P 1 Re γ + C η 。这表明当 Re γ + C > 0 时, ( γ I A ) 1 : X x 是有界的,所以 γ ρ ( A ) ,并且 ( γ I A ) 1 1 Re γ + C 。由Lumer-Phillips半群生成定理得以下推论:

推论:算子A生成的压缩半群S(t)是指数衰减的,即对任意 0 < ω < C S ( t ) e ω t t 0

注意到B和C是有限秩算子,所以B和C是紧算子,由算子半群的扰动定理以及算子半群的紧扰动得以下结果:

命题3:算子 A + B + C 生成的压缩 C 0 半群T(t)有以下性质:

1) 对任意 γ C Re γ + C > 0 γ σ ( A ) 的充要条件是 D ( r ) = 0

2) 设 γ 0 = 0 ,对任意 γ k σ ( A ) { γ C | Re γ C , D ( r ) = 0 } γ k γ 0 k = 0 , 1 , 2 , , 6 ,其中 γ k 按严格实部递减排序, Re γ ( k + 1 ) Re γ k k = 1 , 2 , , 6 ,即 γ 0 = 0 是严格占优本征值。

3) 设 P ^ = ( P ^ 0 , P ^ 1 ( x ) , , P ^ 6 ( x ) ) 是系统的稳态解,满足 P ^ , Q = 1 ,设 Re γ 1 < ω < γ 0 ,那么对任意的 P X Q = ( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ) T ( t ) P P , Q P ^ e ω t P t 0

证:1) 当 Re γ > C 时,由前一命题, γ ρ ( A ) ,则 ( γ I ( A + B + C ) ) = ( γ A ) ( I R ( γ , A ) ( B + C ) ) ,注意到B和C是有限秩算子,那么 R ( γ , A ) ( B + C ) 是紧算子,从而 γ ρ ( A + B + C ) 充要条件是:1是 R ( γ , A ) ( B + C ) 的本征值,因此对 Re γ + C > 0 γ ρ ( A ) 的充要条件是 D ( r ) = 0

2) 当 Re γ > C 时, D ( r ) 是解析函数,至多有可数个零点,设 γ 0 = 0 ,对其他本征值按实部递减排序 Re γ ( k + 1 ) Re γ k k = 0 , 1 , 2 , , 6 ,则 γ k σ ( A ) { γ C | Re γ C , D ( r ) = 0 } γ k γ 0 ,由本征值离散及本节命题1得 Re γ k Re γ 0 k = 1 , 2 , , 6 ,因 γ 0 对应的本征函数是正的,所以 γ 0 = 0 是严格占优本征值。

3) 由半群扰动定理,紧扰动不改变半群的本质谱界,算子 A + B + C 生成的半群T(t)与算子A生成的半群S(t)有同样本质谱界,即T(t)本质谱界 ω ( A + B + C ) ω 0 ( A ) 。设 P ^ = ( P ^ 0 , P ^ 1 ( x ) , , P ^ 6 ( x ) ) 是系统稳态解, Re γ 1 < ω < γ 0 ,则由算子半群展开定理可得对任意 P X Q = ( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ) T ( t ) P P , Q P ^ e ω t P t 0

综上,在一定条件下,系统的动态解以指数形式收敛于系统的稳态解。

文章引用: 李治光 , 原文志 (2019) 具有一个冷储备两单元串联可修复系统的指数性。 理论数学, 9, 1195-1200. doi: 10.12677/PM.2019.910146

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