基于DP曲线构建PH样条
Construction of PH Splines Based on DP Curves

作者: 段娇娇 , 程晓旭 , 张 娜 , 李尚蔚 , 彭兴璇 :辽宁师范大学数学学院,辽宁 大连;

关键词: PH曲线DP曲线DP-PH曲线几何特征PH Curve DP Curve DP-PH Curve Geometrical Feature

摘要:
PH曲线是一类特殊的多项式参数曲线,其最显著的优点是弧长函数为多项式,其等距线可由兼容于CAD系统的有理多项式曲线表示。鉴于此,基于三次DP曲线,从平面PH曲线的定义出发,给出了三次DP曲线为PH曲线时其控制多边形满足的充分必要条件,得到了关于控制多边形的边长和夹角的几何特征条件,给出DP-PH曲线的定义。通过DP-PH控制多边形几何特征条件,给出可以先通过构造控制多边形进而构造出三次DP-PH曲线的几何构造方法。进一步分析了DP曲线和DP-PH曲线的误差。

Abstract: The PH curve is a special kind of polynomial parameter curve. The most significant advantage is that the arc length function is a polynomial. And the equidistant line can be represented by a rational polynomial curve, which is compatible with the CAD system. Based on the DP curve, a necessary and sufficient condition for a cubic plane DP curve to be a PH curve is obtained. The geometrical characteristics of the edge length and the angle of the control polygon are obtained and the definition of the DP-PH curve is obtained. The geometric feature condition of polygon is controlled by DP-PH. We describe the construction of a control polygon for a cubic DP-PH curve from geometric construction method, based on the procedure for a DP curve. Then the errors between DP curve and DP-PH curve are analyzed.

1. 引言

在计算机辅助几何设计中,非均匀有理B样条(NURBS)方法发展比较成熟,成为现代曲线曲面设计中最为广泛流行的技术,但是仍然存在不足:不能准确表示摆线、螺旋线、圆锥、圆弧曲线等工程问题中经常用到的超越曲线曲面。近年来,学者们不仅在非多项式空间构造出了新型曲线,而且在多项式空间也构造出了新型曲线。Delgado和Peña [1] 提出了新型参数曲线,称为DP曲线,该曲线不但在数值计算上具有稳定性、在算法上具有线性的计算时间复杂度,而且是由具有曲线保形性的全正基(NTP基)生成的 [2] [3] [4] [5]。

在CAD的很多领域涉及到曲线弧长和等距线的计算问题,例如铁路与公路的设计、机械零件的设计以及半智能机器人运动轨迹生成等,往往需要多项式曲线的弧长和等距线具备有理形式。为此,FAROUKI和SAKKALIS [6] 引入毕达哥拉斯速端(Pythagorean Hodograph, PH)曲线,具有多项式形式的弧长和有理形式的等距线。到目前为止,对PH曲线的研究过多地侧重于代数结构方面,在几何方面的研究成果很匮乏。众所周知,对于给定Bézier曲线的控制多边形,其相关边长和内角不依赖于坐标选择的固有内在几何参量,具体数据可由实际测量得。因此,从控制多边形的长度和角度来讨论PH曲线的几何性质无论在理论上还是实际应用中都具有重要意义。Farouki和Sakalis [6] 给出具有不同控制顶点的3次Bézier曲线为PH曲线分离形式的边长约束条件和角的约束条件。此外,五次PH曲线的几何特征条件也被确立,但对于边长和角度来说这个条件不是分离形式的。近年来,四次 [7]、五次 [8] 和六次 [9] PH曲线的充分必要的几何特征条件被确定。

对于基于三次DP曲线构造PH曲线的问题,本文给出了三次PH-DP曲线的定义,DP曲线成为PH曲线的充分必要条件,关于控制多边形的边长和夹角的几何特征条件,并且是边角完全分离的条件。通过DP-PH控制多边形几何特征条件,我们给出可以先通过构造控制多边形进而构造出三次DP-PH曲线的几何构造方法。最后,分析了DP曲线和DP-PH曲线的误差,给出数值例子。

2. 三次DP-PH曲线的构造

本章基于DP曲线,构造PH曲线(DP-PH曲线),并给出三次DP曲线成为PH曲线的几何特征条件。

2.1. 三次DP曲线

给定控制点 P k ,对于 t [ 0 , 1 ] ,定义三次DP曲线:

P ( t ) = i 3 p i D i , 3 (t)

其中三次DP曲线基函数为:

[ D 0 , 3 ( t ) , D 1 , 3 ( t ) , D 2 , 3 ( t ) , D 3 , 3 ( t ) ] = [ ( 1 t ) 3 , t ( 1 t ) ( 2 t ) , t ( 1 t ) ( 1 + t ) , t 3 ]

2.2. PH曲线

定义1 [6] :给定平面参数多项式曲线 q ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) ,如果存在多项式 δ ( t ) ,使得,即 δ ( t ) = x 2 ( t ) + y 2 ( t ) 是勾股数,称平面参数多项式曲线 q ( t ) 为Pythagorean-hodograph曲线,简称PH曲线。

定理1 [6] :设 u ( t ) , v ( t ) , w ( t ) 为非常数的实多项式且 ( u ( t ) , v ( t ) ) = 1 ,则导数具有如下形式:

x ( t ) = w ( t ) ( u 2 ( t ) v 2 ( t ) ) , y ( t ) = 2 w ( t ) u ( t ) v (t)

的平面参数曲线 q ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) 为PH曲线。

2.3. DP-PH曲线几何特征条件

下面推导DP曲线成为PH曲线的条件。

给定两个线性多项式 a ( t ) b ( t )

a ( t ) = a 0 D 0 1 ( t ) + a D 1 1 (t)

b ( t ) = b 0 D 0 1 ( t ) + b D 1 1 (t)

假设 a 0 : a 1 b 0 : b 1 的比率不等,利用三次DP基函数 [ D 0 , 3 ( t ) , D 1 , 3 ( t ) , D 2 , 3 ( t ) , D 3 , 3 ( t ) ] = [ ( 1 t ) 3 , t ( 1 t ) ( 2 t ) , t ( 1 t ) ( 1 + t ) , t 3 ] ,求得:

a ( t ) 2 b ( t ) 2 = 2 ( a 0 2 b 0 2 ) D 0 2 ( t ) + 3 ( a 0 a 1 b 0 b 1 ) D 1 2 ( t ) + 2 ( a 1 2 b 1 2 ) D 2 2 (t)

2 a ( t ) b ( t ) = 4 a 0 b 0 D 0 2 ( t ) + 3 ( a 0 b 1 + a 1 b 0 ) D 1 2 ( t ) + 4 a 1 b 1 D 2 2 (t)

x ( t ) = 0 t a ( t ) 2 b ( t ) 2 d t = k = 0 3 x k D k 3 (t)

y ( t ) = 0 t 2 a ( t ) b ( t ) d t = k = 0 3 y k D k 3 (t)

所以PH-DP曲线的控制点为 p k = ( x k , y k )

{ p 1 = p 0 + 1 3 ( 2 ( a 0 2 b 0 2 ) , 4 a 0 b 0 ) p 2 = p 1 + 1 3 ( 3 ( a 0 a 1 b 0 b 1 ) , 3 ( a 0 a 1 + b 0 b 1 ) ) p 3 = p 2 + 1 3 ( 2 ( a 1 2 b 1 2 ) , 4 a 1 b 1 )

其中 p 0 是任意给定的。进一步的,给出上述条件公式(2.1)的几何解释,即DP-PH曲线几何特征条件。

定理2:对于任意给定的一个三次DP曲线 q ( t ) ,其控制顶点 p k ( k = 0 , 1 , 2 , 3 ) ,控制多边形的各边长为 L 1 , L 2 , L 3 d j , k 表示 p k 和之间的距离, ( j k ) L 1 = d 01 , L 2 = d 12 , L 3 = d 23 , L = d 02 顶点 p 1 , p 2 对应的角为 θ 1 , θ 2 若满足条件

2 L = 3 L 1 L 3 θ 1 = θ 2

q ( t ) 就是PH-DP曲线。

证明

q ( t ) 满足PH曲线的条件公式(2.1),可以得到:

{ d 01 = 2 ( a 0 2 + b 0 2 ) 3 d 12 = 2 ( a 0 2 a 1 2 + b 0 2 b 1 2 ) d 23 = 2 ( a 1 2 + b 1 2 ) 3

Figure 1. The geometric form of the cubic DP-PH curve

图1. 三次DP-PH曲线控制多边形

图1可以得出:

cos θ 1 = d 01 2 + d 12 2 d 02 2 2 d 12 d 23

cos θ 2 = d 12 2 + d 23 2 d 13 2 2 d 12 d 23

根据公式(2.1)给出 d 02 , d 13 ,则

d 02 2 = 4 9 ( a 0 2 + b 0 2 ) [ 9 ( a 0 + a 1 ) 2 + 9 ( b 0 + b 1 ) 2 ]

d 13 2 = 4 9 ( a 1 2 + b 1 2 ) [ 9 ( a 0 + a 1 ) 2 + 9 ( b 0 + b 1 ) 2 ]

cos θ 1 = cos θ 2 = 4 ( a 0 a 1 + b 0 b 1 ) 3 a 0 2 a 1 2 + b 0 2 b 1 2

可以推得 θ 1 = θ 2 θ 2 = 2 π θ 1 ,进而比较与 sin θ 1 sin θ 2 ,计算两个角的正弦值,即

sin θ 1 = ( Δ p 1 × Δ p 0 ) z d 12 d 01

sin θ 2 = ( Δ p 2 × Δ p 1 ) z d 23 d 12

其中z是与 q ( t ) 平面正交的单位向量,将上述带入,可得到

sin θ 1 = sin θ 2 = 4 ( a 1 b 0 a 0 b 1 ) 3 a 0 2 a 1 2 + b 0 2 b 1 2

由此得出 θ 1 = θ 2

并且根据条件公式(2.1)可得控制多边形边长之间的关系满足 2 L = 3 L 1 L 3

证毕。

3. 三次DP-PH曲线的几何构造方法

通过DP-PH控制多边形几何特征条件,我们给出可以先通过构造控制多边形进而构造出三次DP-PH曲线的几何构造方法。

给定始末控制顶点 P 0 , P 3 和任意点O,依次连接给定的三点,并且令 O P 3 P 0 O = ρ 1 ,角的范围为 π > P 0 O P 3 = θ > 0 。在边 P 0 O O P 3 分别取点 P 1 , P 2 。设单位向量 e 1 = O P 0 e 2 = P 3 O 。得到 P 1 , P 2 坐标为:

{ P 1 = λ e 1 + P 0 P 2 = P 3 μ e 2 (3.1)

0 λ , μ 1

以点O为原点, P 0 O 为x轴建立直角坐标系。令 P 1 = ( 1 , 0 ) e 1 = ( 1 , 0 ) e 2 = ρ ( cos θ , sin θ ) ,代入式(3.1)得到四个控制顶点的坐标为

{ P 0 = ( 1 , 0 ) P 1 = ( 1 λ , 0 ) P 2 = ( 1 μ ) ρ ( cos θ , sin θ ) P 3 = ρ ( cos θ , sin θ ) (3.2)

通过定理2中边 P 0 O O P 3 关系之比和推导出的控制多边形几何特征条件可以得出DP曲线控制顶点的中间两点 D 1 , D 2 ,并得到如下关系式:

D 2 D 1 P 0 = P 3 D 2 D 1 4 | D 1 D 2 | 2 = 9 | D 1 P 0 | | P 3 D 2 |

O P 3 P 0 O = ρ 1 得到 λ , μ 表达关系式如下:

1 λ = ρ ( 1 μ ) (3.3)

{ | D 1 P 0 | = λ | P 3 D 2 | = ρ + λ + 1 | D 1 D 2 | 2 = 2 ( 1 λ ) 2 ( 1 cos θ ) (3.4)

由式(4),得到关于参数 λ 的方程

( 1 + 8 cos θ ) λ 2 + ( 7 + 9 ρ 16 cos θ ) λ + ( 8 cos θ 8 ) = 0 (3.5)

式(3.4)存在解

λ = ( 16 cos θ 7 9 ρ ) ± 81 ( 1 + ρ ) 2 36 ρ ( 8 cos θ + 1 ) 2 ( 1 + 8 cos θ ) (3.6)

θ = π 3 ρ = 1 由式(3.3)得到 λ = μ = 2 5 ,把式(3.3)和(3.6)代入式(3.2)中,从而得出 D 1 = ( 3 5 , 0 ) D 2 = ( 1 5 , 3 5 ) ,取点 p 0 , D 1 , D 2 , P 3 ,画图如图2图3

Figure 2. DP curve

图2. DP曲线

Figure 3. DP-PH curve

图3. DP-PH曲线

4. 误差分析和举例

定义2:设 P ( t ) D ( t ) 是两条三次曲线,这两条曲线误差定义如下:

ε = max t D P ( t ) D ( t ) , P ( t ) D ( t ) (4.1)

给定控制顶点 P i , D i

定义三次DP-PH曲线为:

D ( t ) = i = 0 3 D i u i , 3 (t)

则DP曲线和DP-PH曲线的误差表示如下:

ε = 0 a i = 0 3 P i u i , 3 ( t ) i = 0 3 D i u i , 3 ( t ) 2 d t a max i = 0 , 1 , 2 P i D i

n = i = 0 3 P i u i , 3 ( t ) i = 0 3 D i u i , 3 ( t ) 2 ,则

n = ( t 2 2 t 3 + t 4 ) ( ( 3 + 3 ) 2 400 3 5 + ( 3 3 ) 2 400 t 2 )

从而

ε = 6 3 3 1400 a 7 2 3 200 a 6 + 27 250 a 5 126 + 3 3 400 a 4 19 100 a 3

m = a max t D = 3 + 8 60 a

a < 0 , ε < 0 ,当 0 < a < 1 , ε < m ,当 a > 1 , ε < m ,则得出两条曲线之间误差较小。

利用定理2中通过控制多边形几何特征条件求出的DP-PH曲线更逼近其控制多边形,具有更好的逼近效果。

基金项目

国家自然科学基金(61702244,61502217);辽宁省教育厅项目(901132)。

文章引用: 段娇娇 , 程晓旭 , 张 娜 , 李尚蔚 , 彭兴璇 (2019) 基于DP曲线构建PH样条。 应用数学进展, 8, 1986-1992. doi: 10.12677/AAM.2019.812228

参考文献

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