证明垂心四面体的内切球、4面和6棱旁切球半径坐标的算法——四维体积勾股定理的应用(公式五)
Algorithm for Proving the Radius Coordinates of the Inscribed Sphere and 4-Surfaces and 6-Edge Line Escribed Spheres of the Orthocentric Tetrahedron—Application of Pythagorean Theorem of Four-Dimensional Volume (Formula 5)

作者: 蔡国伟 :上海汇美房产有限公司,上海;

关键词: 体积勾股定理垂心四面体内切球外接球面旁切球棱旁切球算法Volume Pythagorean Theorem Orthocentric Tetrahedron Inscribed Sphere Circumscribed Sphere Escribed Sphere Escribed Sphere of 2-Plane Algorithm

摘要:

正交4球心组成的垂心四面体,在欧氏3D坐标系中,仅用四球半径,计算内切球、4面6棱10个旁切球半径和球心坐标的同构公式,同时得出内切球球心与外接球球心的间距公式。

Abstract: The orthocentric tetrahedron composed of orthogonal 4 spheres, in the Euclidean 3D coordinate system, uses only the radius of four spheres to calculate the isomorphic formula of the radius of the inscribed sphere and radius of the ten escribed spheres composed of the 4-surfaces and 6-edge line and the spheres center coordinates. The formula for the distance between the inscribed sphere center and the circumscribed sphere center is also got.

1. 引言

4球正交,球心间的垂心四面体 [1] 的内切球 [2]、4面旁切球 [2]、6棱旁切球半径以及坐标关系如何?是否有同构的公式可循?内切球与外接球 [3] 球心间距关系如何?

2. 证明正交4球球心间的垂心四面体内切球、旁切球、仅变换旁切面为负号的同构半径公式、及其球心坐标公式

2.1. 约定符号

2.1.1. 设正交4球球心A,B,C,D及坐标

设:正交4球半径分别为;依次对应球心坐标为

这里:系数;体积元

2.1.2. 正交4球球心构成的垂心四面体的4面的面积元

设:4球心A,B,C,D的对平面为1,2,3,4:设4个面积元为:

2.1.3. 设内切球、4面旁切球、6棱旁切球半径及其球心坐标符号

设:内切球半径为,其球心坐标

4个面旁切球半径及其球心坐标为:

A球心对平面的旁切球半径:,球心坐标

B球心对平面的旁切球半径:,球心坐标

C球心对平面的旁切球半径:,球心坐标

D球心对平面的旁切球半径:,球心坐标

6个棱旁切球半径及其球心坐标为:

AB棱旁切C,D对平面的旁切球半径:,球心坐标

AC棱旁切B,D对平面的旁切球半径:,球心坐标

BC棱旁切A,D对平面的旁切球半径:,球心坐标

AD棱旁切B,C对平面的旁切球半径:,球心坐标

BD棱旁切A,C对平面的旁切球半径:,球心坐标

CD棱旁切A,B对平面的旁切球半径:,球心坐标

2.2. 内切球和10个旁切球半径及其球心坐标的同构公式,以及内切球与外接球球心间距公式

4球正交构成的垂心四面体的1个内切球,4个面旁切球和6条棱旁切球。共11个内旁切球的半径及其球心坐标仅区别于相关面的正负号的同构公式。

2.2.1. 内切球和10个旁切球半径公式

正交4球形成垂心四面体的内切球,4个面旁切球、6个棱旁切球的同构半径公式。

定义:内切球和10个旁切球半径:等于3倍的垂心四面体体积与其表面积的商减去2倍的旁切面面积元:同构公式(1)为:

(1)

这里r代表半径,下标为或,I为内切,E为旁切;1,2,3,4为4球心A,B,C,D的对平面。为2倍的旁切面的面积元之和。

2.2.2.以内切球球心坐标为基准的10个旁切球球心坐标:

旁切球球心坐标定义:以内切球球心坐标为基准,4面旁切球坐标、6棱旁切球(也可称:与该棱共线2面的旁切球)的坐标,等于内切球球心坐标为基准,对应旁切面面积元前变更为负号。

以内旁切球球心坐标为基准:

(2)

2.2.3. 内切球球心与外接球球心间距公式:

定义:外接球心O与内切球心I距离的平方等于外接球半径平方与3倍的内切球半径平方之和减去内切球半径与垂心至4球心距离和的积。公式为:

(3)

例:各内旁切球的半径及其球心坐标为:

· 内切球半径,因无旁切面,

公式(1)其半径为:

(4)

其球心坐标为基准坐标:即为:公式(2)

(5)

· A球心对平面BCD面为1面的旁切球半径为:(将旁切面代入公式(1)的)

(6)

其球心坐标在内切球基准坐标公式(2)中将前变更为负号:

(7)

· AB棱旁切球(即旁切2个面)半径为:(将旁切面代入公式(1))

(8)

(当时成立)。

其球心坐标在内切球基准坐标公式(2)中将前变更为负号:

(9)

其余单面旁切球、2面(棱)旁切球半径,及其球心坐标详见表1

2.3. 验证公式(1)、公式(2)、公式(3)

分别验证内切球,4个面旁切球和6条棱(与棱共线的2面旁切)旁切球3类半径及其球心坐标。

2.3.1. 验证内切球半径及其球心坐标,计算内切球与外接球球心间距公式

即:验证公式(3)、公式(4)、公式(5)。

Table 1. List of radius and center coordinates of inscribed sphere and escribed sphere of orthocentric tetrahedron

表1. 垂心四面体的内切球和旁切球半径及球心坐标一览表

· 根据正交4球球心,可以列出4组3球心组成的4个平面方程为:

BCD球心为的平面方程:

(10)

ACD球心为的平面方程:

(11)

ABD球心为的平面方程:

(12)

ABC球心为的平面方程:

(13)

· 根据点到平面距离D的联立方程为:

(14)

· 解方程求得内切球球心坐标为:

· 将上述坐标代入公式(14)得内切球半径

经验证:内切球半径公式(4)、球心坐标公式(5)成立。

· 再根据外接球和内切球2球心坐标验证公式(3)

将外接球和内切球2球心坐标代入:

整理上式得:

命题得证:公式(3)成立。

因此公式(3)、公式(4)、公式(5)均验证成立。

2.3.2. 验证面旁切球半径及其球心坐标公式

即:验证公式(6)、公式(7)。

验证A球心对平面BCD面为面的旁切球半径及其球心坐标。

面的平面方程乘以负号:

(15)

将公式(15)代入点到平面距离公式(14)第1行为:

(16)

解方程求得面BCD旁切球球心坐标为:

将上述坐标代入公式(16)得1面BCD旁切球半径为

因此公式(6)、公式(7)验证成立。

同理:可验证:旁切平面、旁切平面、旁切平面的旁切球心坐标及其半径。它们的半径及其球心坐标见表1

2.3.3. 验证棱(双面)旁切球半径及其球心坐标公式

即:验证公式(8)、公式(9)。

· 验证AB棱旁切球(即旁切2个面)半径及其球心坐标。

将ABD球心的面,和ABC球心的面的2个平面方程公式(12)、公式(13)均乘以负号:

ABD球心为的平面方程公式(12)乘以负号为:

(17)

ABC球心为的平面方程公式(12)乘以负号为:

(18)

将公式(17),公式(18)代入点到平面距离公式(14)第3行和第4行为:

(19)

解方程求得旁切AB棱(即旁切面,面的旁切球球心坐标为:

将上述坐标代入公式(19)得旁切面,面的旁切球半径为

(19)

(当时公式成立)。

同理可验证:旁切平面、旁切平面、旁切平面、旁切平面、旁切平面的5个棱旁切球心坐标及其半径时公式成立。它们的半径及其球心坐标见表1

· 说明:6个棱旁切球的半径必须大于零时,棱旁切球才成立。

当正交4球半径均相等时:

∵ 此时6个棱旁切球半径分母都等于零,

∴ 6个棱旁切球都不存在。

当正交4球半径均不相等时:

∵ 此时6个棱旁切球半径:其中:与最小球心相连的3棱旁切球半径大于零,与最小球心对平面相交的3棱旁切球半径小于零。

∴ 6个棱旁切球仅与最小球心相连的3棱旁切球半径大于零。

例:

正交4球半径分别为:时:6棱旁切球半径分别为:

因此公式(8)、公式(9)验证成立(当时公式成立)。

3. 总结

1) 以内切球的半径为基准,所有10个旁切球半径仅变更旁切面积元为负。公式(1)成立。

2) 以内切球心坐标公式(2)为基准,所有10个旁切球心坐标仅变更旁切面积元为负。

3) 内切球心与外接球心间距公式(3)成立。

4) 内切球和4面旁切球任何情况均成立。

5) 6棱旁切球:当:正交4球心均相等时没有棱旁切球;正交4球心不等时,仅见3个与最小球心相连的3棱旁切球,而与最小球心对平面3棱的旁切球不存在。

参考文献

文章引用: 蔡国伟 (2019) 证明垂心四面体的内切球、4面和6棱旁切球半径坐标的算法——四维体积勾股定理的应用(公式五)。 理论数学, 9, 1148-1158. doi: 10.12677/PM.2019.910141

参考文献

[1] 蔡国伟. 体积勾股定理的证明[J]. 理论数学, 2019, 9(6):723-729.

[2] 顾云良. 几道内切外切球的典型例题[J]. 中学生数学, 2004(12s): 5-6.

[3] 李晶, 张国坤. 探寻四面体外接球球心位置[J]. 上海中学数学, 2014(9): 22-24.

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