4pqⁿ阶3度对称图的分类
A Classification on Cubic Symmetric Graphs of Order 4pqⁿ

1. 引言

本文中所考虑的图都是连通的，无向的，无自环且无重边的。对于一个图 $\Gamma$，我们用 $V\text{Γ}$， $A\text{Γ}$ 和 $\text{Aut}\left(\text{Γ}\right)$ 分别表示其顶点集，弧集和全自同构群。 $\left|V\text{Γ}\right|$ 表示图 $\Gamma$ 的阶(即 $\Gamma$ 顶点的个数)。如果 $\text{Aut}\left(\text{Γ}\right)$ 的一个子群G作用在 $V\text{Γ}$ ( $A\text{Γ}$ )是传递的，则称 $\Gamma$ 是G-点传递的(G-弧传递的)。一个弧传递图也称为对称图。对一个正整数s， $V\text{Γ}$ 中 $s+1$ 个点 ${\alpha }_0,{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$ 满足 ${\alpha }_{i-1}$ 与 ${\alpha }_i$ ( $1\le i\le s$ )邻接且 ${\alpha }_{i-1}\ne {\alpha }_{i+1}$ ( $1\le i\le s-1$ )，我们称 $\left({\alpha }_0,{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s\right)$ 为 $\Gamma$ 的一条s-弧。如果 $G\le \text{Aut}\left(\text{Γ}\right)$ 在s-弧集上是传递的，则称 $\Gamma$ 是 $\left(G,s\right)$ -弧传递的。进一步，如果 $G\le \text{Aut}\left(\text{Γ}\right)$ 在s-弧集上传递，在 $s+1$ -弧集上不传递，那么 $\Gamma$ 叫作 $\left(G,s\right)$ -传递。

对阶数固定的对称图的研究一直是代数图论领域一个很热门的课题，例如，文献( [1] [2] [3] )分别分类了阶为p，2p和3p的对称图。对于一些小度数的图也有很多学者研究，更多文献可参考( [4] - [9] )。1947年，Tutte在文献( [10] )中给出了3度图的点稳定子结构。此后，3度对称图得到了很多学者的关注，例如：Feng等在文献( [4] )中刻画了两倍素数幂的3度对称图；Lu等在文献( [8] )中研究了阶为6p²的3度对称图；Zhou和Feng在( [11] )中分类了2pq阶的3度对称图。

设 $G\le \text{Sym}\left(\Omega \right)$ 是一个传递置换群，如果G的每个极小正规子群在 $\Omega$ 上都是传递的，则称G是拟本原的；如果G的每个极小正规子群在 $\Omega$ 上至多有两个轨道且存在一个极小正规子群在 $\Omega$ 上恰好有两个轨道，则称G是二部拟本原的。对于一个图 $\text{Γ}$， $G\le \text{Aut}\left(\text{Γ}\right)$，如果G在顶点集 $V\text{Γ}$ 上是拟本原或二部拟本原的，则称 $\text{Γ}$ 是一个G-基图。研究对称图的方法分为以下两步：

第一步，刻画基对称图；

第二步，研究基图的正规覆盖。

上述步骤我们可以看出对基图的刻画是研究对称图的基础，它对作基图的覆盖具有重要的参考作用。设 $\text{Γ}$ 是阶为 $4p{q}^n$ ( $n\ge 1$ )的3度G-弧传递图，本文中我们刻画 $\text{Γ}$ 的基图，其中p，q为素数且 $3\le p<q$，。主要结论如下：

定理1.1 设 $\text{Γ}$ 是阶为 $4p{q}^n$ ()的3度G-弧传递图，其中p，q为素数且 $3\le p<q$，设 $G\le \text{Aut}\left(\text{Γ}\right)$ 在 $V\text{Γ}$ 上是拟本原或二部拟本原的， $\alpha \in V\text{Γ}$，则 $\left(\Gamma ,\text{Aut}\left(\text{Γ}\right),G,s\right)$ 满足表1。

关于本文中所使用的群论和图论的相关符号都是标准的，可参考文献( [12] [13] [14] )。例如：我们用， ${\text{A}}_n$ 和 ${\text{S}}_n$ 分别表示n阶循环群，交错群和对称群。对于一个单群T，我们用 $\pi \left(T\right)$ 表示 $\left|T\right|$ 的素因子集合。

2. 预备知识

在本节中，我们给出一些与本文相关的定理和例子。首先是Tutte在1947年确定的3度对称图的点稳定子的结构，它是我们研究3度图的基础。

定理2.1 ( [10] ) 设 $\Gamma$ 是一个连通的3度 $\left(G,s\right)$ -弧传递图，则 $s\le 5$，则 $\left(G_{\alpha },s\right)$ 满足表2，其中 $\alpha \in V\Gamma$。

对于一个图 $\text{Γ}$，如果点稳定子 $\text{Aut}{\left(\text{Γ}\right)}_{\alpha }$ 在 $\alpha$ 的邻域 $\text{Γ}\left(\alpha \right)$ 上是本原的，则称 $\text{Γ}$ 为局部本原的，由于素

数度的弧传递图是局部本原的，因此下面的结论( [15]，引理2.5)提供了研究局部本原图的基本方法，这个结论对Praeger的结果( [16]，定理4.1)进行了改进。

定理2.2 ( [15] ) 设 $\text{Γ}$ 是一个连通的奇素数度的G-弧传递图， $G\le \text{Aut}\left(\text{Γ}\right)$ 有一个非传递正规子群N在 $V\Gamma$ 上至少有三个轨道。则下列事实之一成立：

1) N在 $V\Gamma$ 上半正则， $G/N\le \text{Aut}\left({\Gamma }_N\right)$， ${\Gamma }_N$ 是 $G/N$ -弧传递的且 $\text{Γ}$ 是 ${\Gamma }_N$ 的正规N-覆盖；

2) $\text{Γ}$ 是 $\left(G,s\right)$ -弧传递的当且仅当 $\left(G/N,s\right)$ -弧传递的，其中 $1\le s\le 5$ 或 $s=7$ ；

3) $G_{\alpha }\cong {\left(G/N\right)}_{\delta }$，其中 $\alpha \in V\text{Γ}$， $\delta \in V{\Gamma }_N$。

在文献( [16] )中，Praeger将拟本原置换群分为八类，我们将其称为O’Nan-Scott-praeger定理。下面我们简述O’Nan-Scott-praeger定理。

定理2.3 ( [16] )拟本原置换群可以分为以下八类：

HA (仿射型)： $\text{soc}\left(X\right)$ 是交换的，，其中p是素数，。

HS (全形单型)：，其中 $N\cong M\cong T^{}$。

HC (复合全型)： $\text{soc}\left(X\right)=M\times N$，其中 $N\cong M\cong T^k$。

AS (几乎单型)： $\text{soc}\left(X\right)=T$ 是非交换单群， $T⊲X\le \text{Aut}\left(T\right)\le T.\text{Out}\left(T\right)$。

TW (扭圈积型)：在 $\Omega$ 上正则， $\left|\Omega \right|={\left|T\right|}^k$，其中 $d\ge 2$。

SD (单对角型)： $\text{soc}\left(X\right)=T^k$， $\text{soc}{\left(X\right)}_{\alpha }=T$， $\left|\Omega \right|={\left|T\right|}^{k-1}$，其中 $d\ge 2$， $\alpha \in \Omega$。

CD (复合对角型)： $\text{soc}\left(X\right)=T^k$， $\text{soc}{\left(X\right)}_{\alpha }=T^l$， $\left|\Omega \right|={\left|T\right|}^{k-l}$，其中， $l|k$， $\alpha \in \Omega$。

PA (乘积作用型)： $\text{soc}\left(X\right)=T^r$， $\text{soc}{\left(X\right)}_{\alpha }\ne 1$，其中， $\alpha \in \Omega$。

对于以下较小的群G，我们可以利用Magma ( [17] )确定所有同构意义下的弧传递图，并且得到下面的几个例子。

例2.4 (1) $G=\text{PSL}\left(\text{2},\text{11}\right)$，则G存在子群同构于 ${\mathbb{Z}}_3$，此时存在一个阶为220阶的3度对称图，记为 ${\mathcal{G}}_{220}^1$。。

(2) $G=\text{PSL}\left(\text{2},\text{11}\right)$，则G存在子群同构于 ${\text{S}}_3$，此时存在一个阶为220阶的3度对称图，记为。 $\text{Aut}\left(\text{Γ}\right)\cong \text{PSL}\left(2,11\right)$。

例2.5 (1) $G=\text{PSL}\left(2,13\right)$，则G存在子群同构于 ${\mathbb{Z}}_3$，此时存在一个阶为364阶的3度对称图，记为 ${\mathcal{G}}_{364}^1$。 $\text{Aut}\left(\text{Γ}\right)\cong \text{PSL}\left(2,13\right)$。

(2) $G=\text{PSL}\left(2,13\right)$，则G存在子群同构于 ${\text{S}}_3$，此时存在一个阶为364阶的3度对称图，记为 ${\mathcal{G}}_{364}^2$。 $\text{Aut}\left(\text{Γ}\right)\cong \text{PSL}\left(2,13\right)$。

例2.6 $G=\text{PSL}\left(2,23\right)$，则G存在子群同构于，此时存在一个阶为1012阶的3度对称图，记为 ${\mathcal{G}}_{1012}^1$。 $\text{Aut}\left(\text{Γ}\right)\cong \text{PSL}\left(2,23\right)$。

例2.7 $G=\text{PSL}\left(2,47\right)$，则G存在子群同构于 ${\text{S}}_4\times {\mathbb{Z}}_2$，此时存在一个阶为4324阶的3度对称图，记为 ${\mathcal{G}}_{4324}^1$。。

3. 定理1.1的证明

本节中，我们分以下三个引理来完成定理1.1的证明。

引理3.1 设T是一个非交换单群， $\left|T\right||2^6\cdot 3\cdot r\cdot s^l$，且 $3r{s}^l|\left|T\right|$，其中 $3\le r<s$ 为素数。则 $T\cong {\text{A}}_6$， $\text{PSL}\left(2,8\right)$， $\text{PSL}\left(2,11\right)$， $\text{PSL}\left(2,13\right)$， $\text{PSL}\left(2,16\right)$， $\text{PSL}\left(2,17\right)$，， $\text{PSL}\left(2,31\right)$， $\text{PSL}\left(2,32\right)$， $\text{PSL}\left(2,47\right)$，或 $\text{PSL}\left(2,193\right)$。

证明：由于有限p-群和 $m^a{n}^b$ (m，n为素数，a，b为正整数)阶群都可解，而可解单群必为素数阶循环群，所以 $\left|\pi \left(T\right)\right|\ne 1$ 或2，因此 $\left|\pi \left(T\right)\right|=3$ 或4。如果 $\left|\pi \left(T\right)\right|=3$，由文献( [12]，定理1)，T同构于( [12]，表1)中的八个群之一，又因为 $3r{s}^l|\left|T\right|$ 通过检查群的阶，满足条件的群只有 ${\text{A}}_6$， $\text{PSL}\left(2,8\right)$，或 $\text{PSL}\left(2,17\right)$。

假设 $\left|\pi \left(T\right)\right|=4$。则 $5\le r<s$ 且 $\left|T\right||2^6\cdot 3\cdot r\cdot s^l$。由此可知

$2^7\nmid \left|T\right|,3^2\nmid \left|T\right|,r^2\nmid \left|T\right|$。 (1)

由文献( [12]，定理1)，T同构于( [12]，表3)中的某个群或 $\text{PSL}\left(2,q\right)$，其中q是一个素数幂。对于前一种情况，由于 $3r{s}^l|\left|T\right|$，由( [12]，表3)查得不存在满足条件的群。

如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,q\right)$，则有 $\left|T\right|=\frac{1}{2}q\left(q-1\right)\left(q+1\right)|2^6\cdot 3\cdot r\cdot s^l$ 且 $\left|\pi \left(q^2-1\right)\right|=3$，因此 $q=t^e$，其中 $e\ge 1$ 且 $t\in \left\{2,3,5,s\right\}$。如果 $t\in \left\{2,3,5\right\}$，由式子(1)和 $\left|\pi \left(q^2-1\right)\right|=3$ 可知， $q=2^4$ 或2⁵，即 $T\cong \text{PSL}\left(2,16\right)$，或 $\text{PSL}\left(2,32\right)$，如果 $t=s$，此时有

$\frac{1}{2}\left(q-1\right)\left(q+1\right)|2^6\cdot 3\cdot r$，

即

$\frac{q-1}{2}\cdot \frac{q+1}{2}|2^5\cdot 3\cdot r$。

我们注意到 $\left(\frac{q-1}{2},\frac{q+1}{2}\right)=1$，于是 $\frac{q-1}{2}|2^5\cdot 3$ 或 $\frac{q+1}{2}|2^5\cdot 3$，因此q = 11，13，23，31，47，49，97或193。通过检查群的阶可得， $T\cong \text{PSL}\left(2,11\right)$， $\text{PSL}\left(2,13\right)$， $\text{PSL}\left(2,23\right)$， $\text{PSL}\left(2,31\right)$， $\text{PSL}\left(2,47\right)$ 或。

之后，我们总假设 $\Gamma$ 是一个阶为 $4p{q}^n$ ( $3\le p<q,n\ge 1$ )的连通G-弧传递3度图，且G在 $V\text{Γ}$ 上是拟本原或二部拟本原的，其中 $G\le \text{Aut}\left(\text{Γ}\right)$。令 $\alpha \in V\text{Γ}$。

引理3.2 假设G在 $V\text{Γ}$ 上是拟本原的，则 $\text{Γ}\cong \text{F}084$， ${\mathcal{G}}_{220}^1$， ${\mathcal{G}}_{364}^1$， ${\mathcal{G}}_{1012}^1$， ${\mathcal{G}}_{620}^1$ 或 ${\mathcal{G}}_{4324}^1$。

证明：设N是G的一个极小正规子群。则N为同构单群的直积，即 $N=T^d=T_1\times T_2\times \cdots \times T_d$，其中 $T_i\cong T$ ( $i=1,\cdots ,d$ )是一个单群。因为G在 $V\text{Γ}$ 上拟本原，所以N在 $V\text{Γ}$ 上是传递的。如果N是交换的，则N在 $V\text{Γ}$ 上半正则，于是 ${\left|T\right|}^d=\left|N\right||4p{q}^n$，这是不可能的，故N是非交换的。首先我们断言 $d=1$。事实上，由 $\text{Γ}$ 的连通性及，我们可知 $\text{Γ}$ 是N-弧传递的。此时，如果 $T_1$ 在 $V\text{Γ}$ 上传递，由( [14]，定理4.2A)可知 $T_1$ 的中心化子 $C_N\left(T_1\right)$ (即 $T_2$ )是半正则的，与 $\left|T_2\right|\nmid 4p{q}^n$ 矛盾。如果在 $V\text{Γ}$ 上至少有三个轨道，则由定理2.2可知 $T_1$ 是半正则的，同样是一个矛盾。从而 $T_1$ 在 $V\text{Γ}$ 上恰好有两个轨道U和W。又因为 $T_1⊲N$，因此U和W构成 $V\text{Γ}$ 上一个N-不变划分，这就意味着集合稳定子 $N_U$ 在N中的指数为2，而 $N=T^d$ 中没有指数为2子群，矛盾。于是 $N=T$。

因此 $\text{Γ}$ 是T-弧传递的，故 $T_{\alpha }$ 满足定理2.1。于是由T的传递性可以得到， $\left|V\text{Γ}\right|\cdot \left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right||2^6\cdot 3\cdot p\cdot q^n$。又因为 $\text{Γ}$ 是T-弧传递的，故 $3|\left|T_{\alpha }\right|$，从而 $3p{q}^n|\left|T\right|$，即T满足引理3.1。

假设，则T和如表3所示。

如果 $T\cong {\text{A}}_6$，则 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V\text{Γ}\right|=6$，即 $T_{\alpha }\cong {\text{S}}_3$。由Magma ( [17] )计算可得，满足条件的图不存在。如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,8\right)$，则 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V\text{Γ}\right|=6$，即 $T_{\alpha }\cong {\text{S}}_3$。由文献( [18] )可知 $\text{Γ}\cong \text{F}084$，如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,17\right)$，则 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V\text{Γ}\right|=12$ ，即 $T_{\alpha }\cong {\text{S}}_3\times {\mathbb{Z}}_2$。但是 $\text{PSL}\left(2,17\right)$ 中没有子群同构于 ${\text{S}}_3\times {\mathbb{Z}}_2$，这是不可能的。

假设 $\left|\pi \left(T\right)\right|=4$，则T和 $\left(p,q^n\right)$ 如表4所示。

如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,11\right)$，则 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V\text{Γ}\right|=3$，即 $T_{\alpha }\cong {\mathbb{Z}}_3$，由例2.4可知 $\text{Γ}\cong {\mathcal{G}}_{220}^1$。如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,13\right)$，则 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V\text{Γ}\right|=3$，即 $T_{\alpha }\cong {\mathbb{Z}}_3$。由例2.5可知 $\text{Γ}\cong {\mathcal{G}}_{364}^1$。如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,2^4\right)$，则 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V\text{Γ}\right|=12$，即 $T_{\alpha }\cong {\text{S}}_3\times {\mathbb{Z}}_2$，但 $\text{PSL}\left(2,2^4\right)$ 中没有同构于 ${\text{S}}_3\times {\mathbb{Z}}_2$ 的12阶子群。如果，则 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V\text{Γ}\right|=6$，即，由例2.6可知 $\text{Γ}\cong {\mathcal{G}}_{1012}^1$。如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,31\right)$，则 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V\text{Γ}\right|=24$，即 $T_{\alpha }\cong {\text{S}}_4$，由文献( [18] )可知 $\text{Γ}\cong \text{F}{620}^{*}$。同样地，由例2.7可以得到 $\text{Γ}\cong {\mathcal{G}}_{4324}^1$，此时 $T\cong \text{PSL}\left(2,47\right)$， $T_{\alpha }\cong {\text{S}}_3\times {\mathbb{Z}}_2$。而对于 $T\cong \text{PSL}\left(2,2^5\right)$ 和 $T\cong \text{PSL}\left(2,193\right)$，有 $T_{\alpha }\cong {\text{S}}_4$ 和 ${\text{S}}_4\times {\mathbb{Z}}_2$，但是对应的T都没有子群同构于和 ${\text{S}}_4\times {\mathbb{Z}}_2$。

引理3.3 G在 $V\text{Γ}$ 上是二部拟本原的，则 $\text{Γ}\cong {\mathcal{G}}_{220}^2$，或 ${\mathcal{G}}_{364}^2$。

证明：因为G在 $V\text{Γ}$ 上二部拟本原，所以G存在极小正规子群 $N=T^d$ 在 $V\text{Γ}$ 上恰好有两个轨道 ${\Delta }_1$ 和 ${\Delta }_2$，那么 $\text{Γ}$ 就是一个二部图。令 $G^{+}=G_{{\Delta }_1}=G_{{\Delta }_2}$，则有 $N\le G^{+}$， $\left|G:G^{+}\right|=2$ 且 $G_{\alpha }=G_{\alpha }^{+}$。假设 $G^{+}$ 作用在 ${\Delta }_1$ 上是不忠实的，由( [19]，引理5.2)，是一个完全二部图，又因为 $\text{Γ}$ 为3度图，则 $\text{Γ}\cong {\text{K}}_{3,3}$，即 $\left|V\Gamma \right|=6$，与 $\left|V\Gamma \right|=4p{q}^n$ 矛盾。从而 $G^{+}$ 作用在 ${\Delta }_i$ ( $i=1,2$ )上忠实，由( [20]，定理1.5)可知，下述之一成立：

1) $G^{+}$ 在 ${\Delta }_i$ 上是拟本原的；或

2) $G^{+}$ 中存在两个正规子群 $M_1$ 和，使得 $M_1\cong M_2$ 且在 $V\Gamma$ 上半正则。进一步地，有群 $M=M_1\times M_2$ 在 ${\Delta }_i$ 上是正则的。

对于(2)，我们可以得到 $\left|M\right|={\left|M_1\right|}^2=2p{q}^n$，这是不可能的。

故(1)成立，因为 $\left|{\text{Δ}}_i\right|=2p{q}^n$，由定理2.3可知， $G^{+}$ 是几乎单或乘积作用型。设 $N=\text{soc}\left(G^{+}\right)=T^d$ 是 $G^{+}$ 的基柱。其中T是非交换单群且。

假设 $G^{+}$ 是几乎单的，因此 $\text{soc}\left({\text{G}}^{+}\right)=T$。进一步地，如果T不是G唯一的极小正规子群，由于 $G=G^{+}.{\mathbb{Z}}_2$，我们很容易可以得到 $G=G^{+}\times {\mathbb{Z}}_2$，也就是说G有正规子群 ${\mathbb{Z}}_2$ 在 $V\text{Γ}$ 上有 $2p{q}^n$ 个轨道，与G的二部拟本原性矛盾。从而G是几乎单的，设 $\text{soc}\left(G\right)=T$。因此我们可以令 $G=T.o$， $G^{+}=T.o^{\prime }$，其中且 $\left|o:o^{\prime }\right|=2$。

因为 $T_{\alpha }⊴G_{\alpha }$，由定理2.1可知 $\left|T_{\alpha }\right||2^4\cdot 3$，因此。另一方面，由于 $T_{\alpha }\ne 1$，我们可以得到 ，从而 $3p{q}^n|\left|T\right|$，故T满足引理3.1且 $\left|\pi \left(T\right)\right|=3$ 或4。

当 $\left|\pi \left(T\right)\right|=3$ 时，则T和 $\left(p,q^n\right)$ 满足表3。如果，则 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|{\Delta }_i\right|=12$。因为 $\text{Out}\left({\text{A}}_6\right)={\mathbb{Z}}_2^2$，所以 $o={\mathbb{Z}}_2$， $o^{\prime }=1$ 或 $o={\mathbb{Z}}_2^2$， $o^{\prime }={\mathbb{Z}}_2$。故 $\left|G_{\alpha }\right|=\left|G_{\alpha }^{+}\right|=\left|T_{\alpha }\right|\cdot \left|o^{\prime }\right|=12$ 或 ， $\text{G}\cong {\text{S}}_6$ 或 $\text{Aut}\left({\text{A}}_6\right)$。由Magma ( [17] )，这两种情况下都没有图存在。如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,8\right)$，因为 $\text{Out}\left(\text{PSL}\left(2,8\right)\right)={\mathbb{Z}}_3$ 没有指数为2的子群，与 $\left|o:o^{\prime }\right|=2$ 矛盾。如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,17\right)$，因为 $\text{Out}\left(\text{PSL}\left(2,17\right)\right)={\mathbb{Z}}_2$， $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|{\Delta }_i\right|=24$，所以 $\left|G_{\alpha }\right|=\left|G_{\alpha }^{+}\right|=\left|T_{\alpha }\right|\cdot \left|o^{\prime }\right|=24$， $G\cong \text{PSL}\left(2,17\right).{\mathbb{Z}}_2=\text{PGL}\left(2,17\right)$，由Magma ( [17] )，不存在满足条件的图 $\Gamma$。

当 $\left|\pi \left(T\right)\right|=4$ 时， $\left(T,p,q^n\right)$ 满足表4。如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,193\right)$，则 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|{\Delta }_i\right|=96$，从而。这与定理2.1矛盾。如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,32\right)$，则 $\text{Out}\left(T\right)={\mathbb{Z}}_5$，因为 $\left|o:o^{\prime }\right|=2$，矛盾。如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,2^4\right)$，则 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|{\Delta }_i\right|=24$。因为，故 $G\cong \text{PGL}\left(2,16\right)$ 或 $\text{Aut}\left(\text{PSL}\left(2,16\right)\right)$，且对应的 $G_{\alpha }$ 分别为或 ${\text{S}}_4\times {\mathbb{Z}}_2$，由Magma ( [17] )可知 $\text{PGL}\left(2,2^4\right)$ 中没有24阶子群，中没有同构于 ${\text{S}}_4\times {\mathbb{Z}}_2$ 的48阶子群，矛盾。如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,31\right)$，则 $\left|T_{\alpha }\right|=48$。又因为 $\text{Out}\left(\text{PSL}\left(2,31\right)\right)={\mathbb{Z}}_2$，所以 $G\cong \text{PGL}\left(2,31\right)$ 且。与 $\text{PGL}\left(2,31\right)$ 中没有48阶子群矛盾。若 $T\cong \text{PSL}\left(2,23\right)$ 或时，由Magma ( [17] )，不存在这样的3度对称图。若 $T\cong \text{PSL}\left(2,11\right)$ 或 $\text{PSL}\left(2,13\right)$，由例2.4和2.5可知， $\text{Γ}\cong {\mathcal{G}}_{220}^2$ 或 ${\mathcal{G}}_{364}^2$。

假设 $G^{+}$ 是乘积作用型的，则 $N=T^d=T_1\times T_2\times \cdots \times T_d\left(d\ge 2\right)$，其中 ( $i=1,\cdots ,d$ )是一个单群。如果在上是传递的，由( [14]，定理4.2A)可知 $T_2$ 是半正则的，故 $\left|T_2\right||2p{q}^n$，矛盾。从而 $T_1$ 在 ${\text{Δ}}_1$ 和上都不传递，由( [8]，引理3.2)可知 $T_1$ 是半正则的，同样可以推出矛盾。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(80031010061)资助。

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