一类泛函集值随机微分方程的解
The Solution of a Type of Functional Set-Valued Stochastic Differential Equation

作者: 李俊刚 , 薛 竹 :北方工业大学理学院,北京;

关键词: 泛函集值方程存在性唯一性Functional Set-Valued Equation Solution Existence Uniqueness

摘要:
本文介绍了集值及其性质,泛函集值随机微分方程,在给定初值的情况下,给出了一类泛函集值随机微分方程的强解的存在性和唯一性的证明。

Abstract: In this paper, we shall introduce set-valued and its properties, and discuss the functional set-valued stochastic differential equation. When the initial value is given, we shall prove the existence and uniqueness of solution of the type of functional set-valued stochastic differential equation.

1. 前言及基础不等式

在许多金融、医学、控制等实际问题中,随机微分方程有着广泛的应用 [1] [2] [3]。

本文给出 K ( d ) 表示d-维欧氏空间的闭子集, K k ( d ) 表示d-维欧氏空间的紧子集。Hausdorff距离定义如下:

d H ( A , B ) = max { sup a A d ( a , B ) , sup b B d ( b , A ) }

其性质(见 [4] 引理1.1.11)

d H ( A + B , C + D ) d H ( A , C ) + d H ( B , D ) (1)

更多的记号详见 [4]。

关于集值Lebesgue积分的不等式(见 [5] 定理5),

d H 2 ( 0 t F ( s , ω ) d s , 0 t G ( s , ω ) d s ) t 0 t d H 2 ( F ( s , ω ) , G ( s , ω ) ) d s (2)

τ > 0 C ( [ τ , 0 ] ; K ( d ) ) 是所有的从 [ τ , 0 ] K ( d ) 的Hausdorff距离连续的集值映射的全体。集值泛函随机微分方程

d F ( t ) = b ( t , F t ) d t + σ ( t , F t ) d G ( t ) , t I

其中, F t = { F ( t + θ ) : τ θ 0 } C ( [ τ , 0 ] ; K ( d ) ) -值随机过程,映射 b : I × C ( [ τ , 0 ] ; K ( d ) ) K ( d ) 是可测的集值随机过程,映射 σ : I × C ( [ τ , 0 ] ; K ( d ) ) d m 是有界可料可测的随机过程, G ( t ) 是集值平方可积鞅(见 [6] )。

2. 初值问题

不同于一般的随机微分方程,它应该是包含 F ( t ) [ τ , 0 ] 的所有信息,而不是只有 F ( 0 ) 是已知的,因此假设:

F ( 0 ) = ξ = { ξ ( θ ) : τ θ 0 } A 0 可测的 C ( [ τ , 0 ] ; K ( d ) ) -值的随机映射,且满足 E ( sup θ [ τ , 0 ] ξ K 2 ) <

3. 方程解的存在唯一性证明

F ( t ) = ξ ( 0 ) + ( L ) 0 t b ( s , F s ) d s + ( M ) 0 t σ ( s , F s ) d G ( s ) , t I

在集值泛函随机积分方程中,第一部分积分 ( L ) 0 t b ( s , F s ) d s 是集值随机Lebesgue积分;第二部分积分 ( M ) 0 t σ ( s , F s ) d G ( s ) 是随机过程关于集值平方可积鞅的随机积分(见 [6] )。为简化,在本文中我们省去了集值随机Lebesgue积分前的“(L)”及关于集值平方可积鞅的随机积分前的“(M)”。

1) 线性增长条件:对 φ C ( [ τ , 0 ] ; K k ( d ) ) 常数a,s.t.对 t I

b ( t , φ ) K 2 + σ ( t , φ ) 2 a 2 ( 1 + sup θ [ τ , 0 ] φ ( θ ) K 2 )

2) Lipschitz连续条件:对 φ , ϕ C ( [ τ , 0 ] ; K k ( d ) ) 常数 a ¯ ,s.t.对 t I

d H 2 ( b ( t , φ ) , b ( t , ϕ ) ) + σ ( t , φ ) σ ( t , ϕ ) 2 a ¯ 2 sup θ [ τ , 0 ] d H 2 ( φ ( θ ) , ϕ (θ) )

3) 集值积分不等式:

E d H 2 ( 0 t σ ( s , φ ) d G s , 0 t σ ( s , ϕ ) d G s ) E 0 t sup θ [ τ , 0 ] d H 2 ( φ ( θ ) , ϕ ( θ ) ) d s

对于任意满足条件且为紧集值的初值 F 0 (即 F 0 C ( [ τ , 0 ] ; K k ( d ) ) 值映射),集值泛函微分方程存在唯一强解。

证明:

存在性

定义 F 0 0 = ξ , F 0 ( t ) = ξ ( 0 ) , t I ,并且令,利用Picard迭代,对任意,定义

由(1)式,Hausdorff距离的性质,

由Cauchy-Schwarz不等式和集值积分不等式,

由线性增长条件,可知

由(2)式,闭集值Lebesgue积分的不等式和集值积分不等式可得

由Lipschitz连续条件,可得

定义,因此有

故有为完备距离空间,则存在,使得,

容易证明满足集值泛函随机微分方程且为连续适应的。

唯一性

采用反证法,假设存在均为集值泛函随机微分方程的强解,,记

利用上面同样的方法,得

由Gronwall不等式,有,即唯一性成立。

文章引用: 李俊刚 , 薛 竹 (2019) 一类泛函集值随机微分方程的解。 应用数学进展, 8, 1881-1884. doi: 10.12677/AAM.2019.812218

参考文献

[1] 蒲兴成, 张毅. 随机微分方程及其在数理金融中的应用[M]. 北京: 科学出版社, 2010.

[2] 厄克森达尔, 刘金山, 吴付科. 随机微分方程导论与应用[M]. 北京: 科学出版社, 2012.

[3] Mao, X.R. (2003) Numerical Solutions of Stochastic Functional Differential Equations. Journal of Computation and Mathematics, 6, 141-161.
https://doi.org/10.1112/S1461157000000425

[4] Li, S.M., Ogura, Y. and Kreinovich, V. (2002) Limit Theorems and Applications of Set-Valued and Fuzzy Set-Valued Random Variables. Springer, Dordrecht.
https://doi.org/10.1007/978-94-015-9932-0

[5] Li, J.G. and Li, S.M. (2009) Ito Type Set-Valued Stochastic Differential Equation. Journal of Uncertain Systems, 3, 52-63.

[6] Li, S.M., Li, J.G. and Li, X.H. (2010) Stochastic Integral with Respect to Set-Valued Square Integrable Martingales. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 370, 659-671.
https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2010.04.040

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