一类泛函集值随机微分方程的解
The Solution of a Type of Functional Set-Valued Stochastic Differential Equation

本文介绍了集值及其性质，泛函集值随机微分方程，在给定初值的情况下，给出了一类泛函集值随机微分方程的强解的存在性和唯一性的证明。

Abstract: In this paper, we shall introduce set-valued and its properties, and discuss the functional set-valued stochastic differential equation. When the initial value is given, we shall prove the existence and uniqueness of solution of the type of functional set-valued stochastic differential equation.

1. 前言及基础不等式

在许多金融、医学、控制等实际问题中，随机微分方程有着广泛的应用 [1] [2] [3]。

本文给出 $K\left({ℝ}^d\right)$ 表示d-维欧氏空间的闭子集， $K_k\left({ℝ}^d\right)$ 表示d-维欧氏空间的紧子集。Hausdorff距离定义如下：

$d_H\left(A,B\right)=\max \left\{{\sup }_{a\in A}d\left(a,B\right),{\sup }_{b\in B}d\left(b,A\right)\right\}$

其性质(见 [4] 引理1.1.11)

$d_H\left(A+B,C+D\right)\le d_H\left(A,C\right)+d_H\left(B,D\right)$ (1)

更多的记号详见 [4]。

关于集值Lebesgue积分的不等式(见 [5] 定理5)，

$d_H^2\left({\displaystyle {\int }_0^{t}F\left(s,\omega \right)\text{d}s},{\displaystyle {\int }_0^{t}G\left(s,\omega \right)\text{d}s}\right)\le t{\displaystyle {\int }_0^t{d}_H^2\left(F\left(s,\omega \right),G\left(s,\omega \right)\right)\text{d}s}$ (2)

令 $\tau >0$， $C\left(\left[-\tau ,0\right];K\left({ℝ}^d\right)\right)$ 是所有的从 $\left[-\tau ,0\right]$ 到 $K\left({ℝ}^d\right)$ 的Hausdorff距离连续的集值映射的全体。集值泛函随机微分方程

$\text{d}F\left(t\right)=b\left(t,F_t\right)\text{d}t+\sigma \left(t,F_t\right)\text{d}G\left(t\right),t\in I$

其中， $F_t=\left\{F\left(t+\theta \right):-\tau \le \theta \le 0\right\}$ 是 $C\left(\left[-\tau ,0\right];K\left({ℝ}^d\right)\right)$ -值随机过程，映射 $b:I\times C\left(\left[-\tau ,0\right];K\left({ℝ}^d\right)\right)\to K\left({ℝ}^d\right)$ 是可测的集值随机过程，映射 $\sigma :I\times C\left(\left[-\tau ,0\right];K\left({ℝ}^d\right)\right)\to {ℝ}^d\otimes {ℝ}^m$ 是有界可料可测的随机过程， $G\left(t\right)$ 是集值平方可积鞅(见 [6] )。

2. 初值问题

不同于一般的随机微分方程，它应该是包含 $F\left(t\right)$ 在 $\left[-\tau ,0\right]$ 的所有信息，而不是只有 $F\left(0\right)$ 是已知的，因此假设：

$F\left(0\right)=\xi =\left\{\xi \left(\theta \right):-\tau \le \theta \le 0\right\}$ 是 ${\mathcal{A}}_0$ 可测的 $C\left(\left[-\tau ,0\right];K\left({ℝ}^d\right)\right)$ -值的随机映射，且满足 $\mathbb{E}\left({\sup }_{\theta \in \left[-\tau ,0\right]}{\Vert \xi \Vert }_K^2\right)<\infty$。

3. 方程解的存在唯一性证明

$F\left(t\right)=\xi \left(0\right)+\left(L\right){\displaystyle {\int }_0^{t}b\left(s,F_s\right)\text{d}s}+\left(M\right){\displaystyle {\int }_0^t\sigma \left(s,F_s\right)\text{d}G\left(s\right)},t\in I$

在集值泛函随机积分方程中，第一部分积分 $\left(L\right){\displaystyle {\int }_0^{t}b\left(s,F_s\right)\text{d}s}$ 是集值随机Lebesgue积分；第二部分积分 $\left(M\right){\displaystyle {\int }_0^t\sigma \left(s,F_s\right)\text{d}G\left(s\right)}$ 是随机过程关于集值平方可积鞅的随机积分(见 [6] )。为简化，在本文中我们省去了集值随机Lebesgue积分前的“(L)”及关于集值平方可积鞅的随机积分前的“(M)”。

1) 线性增长条件：对 $\forall \phi \in C\left(\left[-\tau ,0\right];K_k\left({ℝ}^d\right)\right)$， $\exists$ 常数a，s.t.对 $\forall t\in I$

${\Vert b\left(t,\phi \right)\Vert }_K^2+{\Vert \sigma \left(t,\phi \right)\Vert }^2\le a^2\left(1+\underset{\theta \in \left[-\tau ,0\right]}{\sup }{\Vert \phi \left(\theta \right)\Vert }_K^2\right)$

2) Lipschitz连续条件：对 $\forall \phi ,\varphi \in C\left(\left[-\tau ,0\right];K_k\left({ℝ}^d\right)\right)$， $\exists$ 常数 $\bar{a}$，s.t.对 $\forall t\in I$

$d_H^2\left(b\left(t,\phi \right),b\left(t,\varphi \right)\right)+{\Vert \sigma \left(t,\phi \right)-\sigma \left(t,\varphi \right)\Vert }^2\le {\bar{a}}^2\underset{\theta \in \left[-\tau ,0\right]}{\sup }{d}_H^2\left(\phi \left(\theta \right),\varphi (\theta )\right)$

3) 集值积分不等式：

$E{d}_H^2\left({\displaystyle {\int }_0^t\sigma \left(s,\phi \right)\text{d}{G}_s},{\displaystyle {\int }_0^t\sigma \left(s,\varphi \right)\text{d}{G}_s}\right)\le E{\displaystyle {\int }_0^t\underset{\theta \in \left[-\tau ,0\right]}{\text{sup}}{d}_H^2\left(\phi \left(\theta \right),\varphi \left(\theta \right)\right)\text{d}s}$

对于任意满足条件且为紧集值的初值 $F_0$ (即 $F_0$ 为 $C\left(\left[-\tau ,0\right];K_k\left({ℝ}^d\right)\right)$ 值映射)，集值泛函微分方程存在唯一强解。

证明：

存在性

定义 $F_0^0=\xi ,F^0\left(t\right)=\xi \left(0\right),\forall t\in I$，并且令，利用Picard迭代，对任意，定义

由(1)式，Hausdorff距离的性质，

由Cauchy-Schwarz不等式和集值积分不等式，

由线性增长条件，可知

由(2)式，闭集值Lebesgue积分的不等式和集值积分不等式可得

由Lipschitz连续条件，可得

定义，因此有

故有且为完备距离空间，则存在，使得，

容易证明满足集值泛函随机微分方程且为连续适应的。

唯一性

采用反证法，假设存在均为集值泛函随机微分方程的强解，，记

利用上面同样的方法，得

由Gronwall不等式，有，即唯一性成立。

[1] 蒲兴成, 张毅. 随机微分方程及其在数理金融中的应用[M]. 北京: 科学出版社, 2010.

[2] 厄克森达尔, 刘金山, 吴付科. 随机微分方程导论与应用[M]. 北京: 科学出版社, 2012.

[3] Mao, X.R. (2003) Numerical Solutions of Stochastic Functional Differential Equations. Journal of Computation and Mathematics, 6, 141-161.
https://doi.org/10.1112/S1461157000000425

[4] Li, S.M., Ogura, Y. and Kreinovich, V. (2002) Limit Theorems and Applications of Set-Valued and Fuzzy Set-Valued Random Variables. Springer, Dordrecht.
https://doi.org/10.1007/978-94-015-9932-0

[5] Li, J.G. and Li, S.M. (2009) Ito Type Set-Valued Stochastic Differential Equation. Journal of Uncertain Systems, 3, 52-63.

[6] Li, S.M., Li, J.G. and Li, X.H. (2010) Stochastic Integral with Respect to Set-Valued Square Integrable Martingales. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 370, 659-671.
https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2010.04.040