场代数弱局部性与商空间的研究
On the Weak Locality of a Field Algebra and Its Quotient Space

作者: 陈晓培 , 王宪栋 :青岛大学数学与统计学院,山东 青岛;

关键词: 场代数顶点代数弱局部性双边理想商空间Field Algebra Vertex Algebra Weak Locality Bilateral Ideals Quotient Space

摘要:

本文对场代数的弱局部性进行了研究,给出了一个具体的例子,用于比较算子的弱局部性与非局部性。对场代数关于其双边理想做商得到商空间,并探究了场代数商空间的若干基本性质。

Abstract: In this paper, we investigate the weak locality of a field algebra and give a concrete example which relates to weak locality and non-locality. The quotient space of a field algebra is obtained by its bilateral ideals. Finally, some theorems on the quotient space of a field algebra are explored.

1. 引言

场代数是顶点代数概念的“非局部性”推广。在顶点代数的定义中,局部性是一个基本的条件,把它换成较弱的结合性条件,将得到一个新的代数结构——场代数。由于场代数与顶点代数之间有着如此密切的联系,对场代数的研究将有助于更好的理解顶点代数及其相关领域。

在文献 [1] 中,作者系统讨论了态场对应、场代数的定义及初等性质,并且研究了场代数和顶点代数之间的关系,研究了态场对应的弱局部性和莱布尼兹共形代数上的张量代数等等。文献 [2] 研究了场代数的结合性,文献 [3] 和 [4] 分别引进了局部共形场代数和全场代数。本文将在上述文献给出的基本概念的基础上,探讨弱局部性与非局部性之间的关系,并给出具体实例加以说明。另外,本文对场代数的商空间也进行了描述,并讨论了一些基本性质。

本文假设所讨论的向量空间与各种代数结构都是指某个固定的域F上的,F可以是一般的域,必要时还可以假定它是复数域,从而保障线性变换特征值与特征向量的存在性。关于顶点代数的系统讨论,以及本文用到的一些术语与记号,参见文献 [5] [6] [7] [8] [9]。

设V是一个向量空间, 0 | 0 V ,若有线性映射:

Y : V g l f ( V ) = { a ( z ) = n Z a n z n 1 ; a n E n d V , n Z } a Y ( a , z )

及自同态 T E n d V ,使得下列条件成立:

1) 真空性 Y ( | 0 , z ) = I V Y ( a , z ) | 0 = a + T ( a ) z + V z ,其中 I V ( E n d V ) 是恒等变换;

2) 平移不变性 [ T , Y ( a , z ) ] = Y ( T a , z ) = z Y ( a , z ) (称T是V上的平移算子);

则称三元组 ( V , | 0 , Y ) 是态场对应。

进一步,若态场对应 ( V , | 0 , Y ) 满足结合性公理:对 a , b , c V ,有

( z w ) N Y ( Y ( a , z ) b , w ) c = ( z w ) N i z , w Y ( a , z w ) Y ( b , w ) c , N 0

则称三元组 ( V , | 0 , Y ) 为场代数。

2. 预备知识

定义2.1 [1]:对 a ( z ) , b ( z ) g l f ( V ) ,若有正整数N,使得 Re s z ( z w ) [ a ( z ) , b ( w ) ] N = 0 ,则称二元对 ( a ( z ) , b ( z ) ) 是N-弱局部的。若对充分大的N,总有 Re s z ( z w ) [ a ( z ) , b ( w ) ] N = 0 ,则称二元对 ( a ( z ) , b ( z ) ) 是弱局部的。

定义2.2 [5]:(局部性)对 a ( z ) , b ( z ) g l f ( V ) ,若存在自然数 N Ν ,使得下列等式成立:

( z w ) N [ Y ( a , z ) , Y ( b , w ) ] = 0

其中 [ Y ( a , z ) , Y ( b , w ) ] = n , m Z [ a n , b m ] z n 1 w m 1 ,则称 ( a ( z ) , b ( z ) ) 是相互局部的。

定义2.3 [1]:设V是场代数,I是V的子空间,且 T I I 。若有 a n b I n Ζ , a V , b I ,则称I是V的一个左理想。如果有 a n b I n Ζ , b V , a I ,则称I是V的一个右理想。若I既是左理想又是右理想,则I是V的一个双边理想。

3. 主要结果及证明过程

设V是域F上的向量空间,定义V上的算子向量空间

g l f ( V ) = { a ( x ) = n Z a n x n 1 | a n E n d V ; v V , a n v = 0 , n > > 0 }

其加法和数乘运算都是自然定义的。称 g l f ( V ) 是向量空间V上的场空间,其中的元素 a ( x ) 为V上的场或算子。定义 g l f ( V ) 上的双线性n-运算如下:

n : g l f ( V ) × g l f ( V ) g l f ( V ) ( a ( x ) , b ( x ) ) a ( x ) n b (x)

a ( x ) n b ( x ) = Re s x 1 { ( x 1 x ) n a ( x 1 ) b ( x ) ( x + x 1 ) n b ( x ) a ( x 1 ) }

此时, g l f ( V ) 是F上的非结合代数,其中的算子也称为是下方截断的,见文献 [1]。

引理3.1:定义算子 a ( z ) E n d V z , z 1 ,使得 a ( z ) 的系数 a 0 , a 1 , , a N b ( z ) 的任何系数可交换,则有 Re s ( z w ) N [ a ( z ) , b ( w ) ] = 0 。此时,算子 ( a ( z ) , b ( z ) ) 是N-弱局部的。

进一步,若还有 a N + j = 0 , j 1 ,则算子 ( a ( z ) , b ( z ) ) 是弱局部的。

证明:设 a ( z ) = n Z a n z n 1 , b ( z ) = m Z b m z m 1 ,其中 a n , b m E n d V , n , m Z 。根据引理的条件,有下列等式:

Re s z ( z w ) N [ a ( z ) , b ( w ) ] = Re s z [ i = 0 N ( 1 ) i z N i w i n , m Z [ a n , b m ] z n 1 w m 1 ] = Re s z [ i = 0 N ( 1 ) i n , m Z [ a n , b m ] z N i n 1 w i m 1 ] = Re s z [ i = 0 N ( 1 ) i n , m Z [ a N + n i , b m + i ] z n 1 w m 1 ] = i = 0 N ( 1 ) i m Z [ a N i , b m + i ] w m 1 = 0

即,等式 Re s z ( z w ) N [ a ( z ) , b ( w ) ] = 0 成立,算子 ( a ( z ) , b ( z ) ) 是N-弱局部的。

定理3.2:设算子 a ( z ) b ( z ) 如上,且 b ( z ) 是下方截断的。若有正整数 N 1 使得 b N 1 0 , b N 1 + j = 0 j = 1 , 2 , ,且算子 a ( z ) 满足条件:对任意的正整数 N 2 ,存在非负整数n,使得系数 a N 2 + n b N 1 不可交换,则 ( a ( z ) , b ( z ) ) 不是局部的。

证明:对任意正整数 N 2 ,要证明 ( z w ) N 2 [ a ( z ) , b ( w ) ] 0 。根据前面的计算式,只要证明

i = 0 N 2 ( 1 ) i [ a N 2 + n i , b m + i ] 0 , n , m Z

选取 m = N 1 ,上述不等式化简为 [ a N 2 + n , b N 1 ] 0 。再根据定理条件: a N 2 + n b N 1 不可交换,前面的不等式确实成立,从而算子 ( a ( z ) , b ( z ) ) 不是局部的。

注记:上述定理中的 a ( z ) 不具有下方截断性。若要求 a ( z ) 满足下方截断性,可选取正整数 K > N 1 ,使得 a K 0 ,且 a K + j = 0 , j 1 。此时,对任意的正整数 N 2 及整数k,满足: 0 k N 2 ,使得 a N 2 + n k 0 ,且 a N 2 + n k + j = 0 , j 1 ,这里 n = k N 2 + K 。取 b N 1 ,使它与 a K 不可交换。再令 m = N 1 k ,则有下列式子:

[ a N 2 + n k , b m + k ] = [ a N 2 + n k , b N 1 ] 0 ,

从而有

i = 0 N 2 ( 1 ) i [ a N 2 + n i , b m + i ] = [ a N 2 + n k , b m + k ] 0.

因此,算子 ( a ( z ) , b ( z ) ) 不是局部的。

下面我们以二阶矩阵为例,给出一个具体的例子。

例3.3:1) 构造算子 a ( z ) :当 s < 0 时, a s 为任意矩阵。当 0 s N 1 时,令 a s = ( b s 0 0 b s ) , b s F 。当 N 1 + 1 s K ,令 a s = ( s s 0 s ) 。当 s K + 1 ,令 a s = 0 。2) 构造算子 b ( z ) :当 s < N 1 时, b s 为任意矩阵。当 s = N 1 时, b N 1 = ( b 11 b 12 b 21 b 22 ) b 21 0 或者 b 12 b 22 。当 s > N 1 时, b N 1 + j = 0 , j 1 。此时, ( s s 0 s ) ( b 11 b 12 b 21 b 22 ) ( b 11 b 12 b 21 b 22 ) ( s s 0 s ) 。因此, ( a ( z ) , b ( z ) ) N 1 -弱局部的,但是它们不是局部的。

讨论算子的弱局部性是为了构造场代数,而局部性的研究是顶点代数要面临的问题。下面的例子给出了一些说明,其详细讨论见文献 [1] 和文献 [8]。

例3.4:设子空间W是向量空间 g l f ( V ) 的一个弱局部子空间,它包含恒等变换 I ( x ) = I d V ,且对n运算封闭,则 ( W , Y , I ( x ) ) 是一个态场对应。这里线性映射 Y : W E n d W z , z 1 定义如下:

Y ( a ( x ) , z ) = n Z a ( x ) n z n 1 ,

其中 a ( x ) n b ( x ) 定义如上。若 ( W , Y , I ( x ) ) 满足结合性公理,则它是场代数。若还满足弱局部性,则它是强场代数。

引理3.5:设 ( V , | 0 , Y ) 是场代数,I是V的T不变的双边真理想,则 ( V / I , [ | 0 ] , Y ˜ ) 也是一个场代数。相应的线性映射可以如下给出:

Y ˜ : V / I E n d ( V / I ) z , z 1 [ u ] Y ( [ u ] , z ) = n Ζ [ u ] n z n 1 , n Z , u V

证明:1) 合理性:商空间 V / I 中的n运算定义为: [ u ] n [ v ] = [ u n v ] , u , v V 。若 [ a ] = [ b ] [ u ] = [ w ] ,则 a b I , u w I ,I是V的双边理想,必有 ( a b ) n u I , b n ( u w ) I

a n u b n w = a n u b n u + b n u b n w = ( a b ) n u + b n ( u w ) I ,

于是, [ a n u ] = [ b n w ] ,运算的定义是合理的。

2) 真空性: Y ( [ | 0 ] , z ) = I V / I Y ( [ a ] , z ) | 0 = [ a ] + T ( [ a ] ) z + V / I z ,其中 I v E n d V 是恒等变换。

3) 平移不变性: [ T , Y ( [ a ] , z ) ] = Y ( T [ a ] , z ) = z Y ( [ a ] , z ) ,T是 V / I 上的平移算子。

4) 因为 ( V , | 0 , Y ) 是场代数,对所有的 a , b , c V ,有下列结合性等式:

( z w ) N Y ( Y ( a , z ) b , w ) c = ( z w ) N i z , w Y ( a , z w ) Y ( b , w ) c , N 0

( z w ) N Y ( n Z a n b z n 1 , w ) c = ( z w ) N i z , w m Z a m ( z w ) m 1 k Z b k c ( w ) k 1

将上式变形,得到下列等式:

( z w ) N s , n Z ( a n b ) s c z n 1 ( w ) s 1 = ( z w ) N i z , w m , k Z a m ( b k c ) ( z w ) m 1 ( w ) k 1 .

对商空间 V / I 中的任意元素 [ a ] , [ b ] , [ c ] ,必有

( z w ) N s , n Z ( [ a ] n [ b ] ) s [ c ] z n 1 ( w ) s 1 = ( z w ) N i z , w m , k Z [ a ] m ( [ b ] k [ c ] ) ( z w ) m 1 ( w ) k 1

( z w ) N Y ( Y ( [ a ] , z ) [ b ] , w ) [ c ] = ( z w ) N i z , w Y ( [ a ] , z w ) Y ( [ b ] , w ) [ c ] , N 0

( V / I [ | 0 ] , Y ) 也是一个场代数。

可以按照通常的方式定义场代数的同态,并且同态的核是理想,同态的像是场代数。

引理3.6:场代数的同态基本定理:设 f : V W 是场代数 V , W 之间的同态,I是V的一个理想,并且 I ker f ,则有唯一的场代数同态 f ˜ : V / I W ,使得 f ˜ π = f 。这里 π : V V / I , a [ a ] 是典范同态,而 f ˜ ( [ a ] ) = f ˜ π ( a ) = f ( a ) , a V

特别,若 I = ker f ,则 f ˜ 是单射,此时 f ˜ : V / I Im f 是同构。

证明:

1) 令 f ˜ ( [ x ] ) = f ( x ) , x V 。映射 f ˜ 定义合理:若 [ a 1 ] = [ a 2 ] ,即 a 1 ~ a 2 a 1 a 2 I ker f ,有

f ( a 1 a 2 ) = 0 f ( a 1 ) = f ( a 2 ) f ˜ ( [ a 1 ] ) = f ˜ ( [ a 2 ] )

2) f ˜ 是同态: V / I W 。首先,它是向量空间的线性映。另外,它保持n运算:

f ˜ ( [ | 0 ] ) = | 0 , f ˜ ( [ a ] n [ b ] ) = f ( a n b ) = f ( a ) n f ( b ) = f ˜ ( [ a ] ) n f ˜ ( [ b ] ) .

3) 由 f ˜ 的定义直接看出: f ˜ π = f

4) 唯一性:若还有另外一个同态 g : V / I W ,使得 g π = f 。则 ( g π ) ( x ) = f ( x ) , x V 。即 g ( [ x ] ) = f ( x ) , [ x ] V / I 。由此可知, g = f ˜

5) f ˜ : V / I Im f 是双射:由定义直接看出。因此, f ˜ : V / I Im f 是场代数的同构映射。

引理3.7:设 ( V , | 0 , Y ) 是场代数,I是V的真理想,则商代数 V / I 的理想构成的集合B与V包含I的理想构成的集合A之间有一一对应。特别地, V / I 的理想形如 L / I ,这里L是V的包含I的理想。

证明:考虑典范态场对应同态 π : V V / I , a [ a ] ,由此定义集合之间的映射

σ : A B , L π ( L ) = L / I .

1) σ 是单射:设理想 L 1 , L 2 A ,且 L 1 / I = L 2 / I a L 1 ,必有。故存在,使得。于是,从而,同理可得,则

2)是满射:设,令,现证。从而,则,同理可证。因此,L是V的理想。另外,L是V的包含I的理想,即。最后由于典范映射是满射,必有,即是满射。

因此,是双射,引理结论成立。

引理3.8:设是场代数,其中I,J为场代数的两个双边真理想,且有理想的包含关系:,则有场代数之间的同构映射:

证明:由双边理想的定义可以验证的双边理想,利用同态基本定理可以验证引理的结论成立。

文章引用: 陈晓培 , 王宪栋 (2019) 场代数弱局部性与商空间的研究。 理论数学, 9, 1108-1113. doi: 10.12677/PM.2019.99136

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