某类顶点拟本原和二部拟本原的3度对称图的分类
A Classification on a Class of Vertex Quasiprimitive and Bi-Quasiprimitive Cubic Symmetric Graphs

作者: 黄俊杰 :云南财经大学统计与数学学院,云南 昆明;

关键词: 对称图拟本原群二部拟本原群几乎单群Symmetric Graph Quasiprimitive Group Bi-Quasiprimitive Group Almost Simple Group

摘要: 设Γ是一个图,G≤AutΓ,则称Γ是一个G-基图,如果G在顶点集V Γ上是拟本原的或者二部拟本原的。在这篇文章中,我们将分类阶为2pmqn的3度对称G-基图,其中p<q为素数,m,n≥1。

Abstract: Let Γ be a graph and G≤AutΓ. Then Γ is called a G-basic graph, if G is quasiprimitive or bi-quasiprimitive on vertex set V Γ. In this paper, we classify cubic symmetric G-basic graphs of order 2pmqn, where p<q are primes, and m,n≥1.

1. 引言

对于一个图 Γ ,我们设 V Γ E Γ A Γ 分别表示 Γ 的顶点集,边集和弧集, Aut Γ 表示 Γ 的全自同构群; | V Γ | 称为图 Γ 的阶。如果群 G Aut Γ 作用在 V Γ E Γ A Γ 上传递,则分别称 Γ 为G-点传递图,G-边传递图或G-弧传递图。特别地,弧传递图也称为对称图。对任意的 u V Γ ,定义 Γ ( u ) = { u V Γ | { u , v } E Γ } 为点u的邻域,称 | Γ ( u ) | 为点u的度数,记为 | Γ ( u ) | 。如果对任意的 u , v V Γ ,u和v的度数相等,则称 为正则图, | Γ ( u ) | 为图 Γ 的度数,记作 val ( Γ ) = val ( u ) 。给定一个正整数s和 V Γ 上的 s + 1 个点 u 0 , u 1 , , u s ,称 ( u 0 , u 1 , , u s ) 是一条s-弧,如果 u i 1 u i + 1 ( i = 1 , 2 , , s 1 ) ,且 u j 1 u j ( j = 1 , 2 , , s ) 是邻接的。若 G Aut Γ Γ 的s-弧集上传递,则称 Γ ( G , s ) -弧传递图;如果 Γ ( G , s ) -弧传递图但不是 ( G , s + 1 ) -弧传递图,则称 Γ ( G , s ) -传递图。特别地,一个 ( Aut Γ , s ) -传递图可简单的称为s-传递图。

在代数图论中,阶数特定的对称图受到了国内外学者的广泛关注。例如:文献( [1] )给出了不大于768个点的三度图的分类。设 p , q 为素数,在文献( [2] [3] [4] )中,作者分别分类了p,2p,3p阶的对称图;之后,Praeger等在( [5] )和( [6] )中分别将其推广到pq阶的对称图。1947年,Tutte在文献( [7] )中确定了3度图的点稳定子群的结构,在此之后的几十年里,3度对称图引起了大量学者的研究,他们给出了3度对称图的各种构造方法及其分类。例如,Du和Wang在文献( [8] )中考虑了单群 PSL ( 2 , r ) 上的3度Cayley图,其中r为一个素数的方幂;Feng等在( [9] )中分类了阶为8p和8p2的3度对称图;Zhou和Feng在( [10] )中对2pq阶的3度对称图进行了分类。

X Sym ( Ω ) 是一个传递置换群,则称X是拟本原的,如果X的每个极小正规子群都在 Ω 上传递;称X是二部拟本原的,如果X的每个极小正规子群在 Ω 上至多有两个轨道并且存在一个极小正规子群作用在 Ω 上恰有两个轨道。给定一个图 Γ G Aut Γ ,称 Γ 是一个G-基图,如果G在顶点集 V Γ 上是拟本原的或者二部拟本原的。研究对称图的一般分为以下两步:

第一步,研究对称图的基图;

第二步,刻画对称图的基图的正规覆盖。

基图的分类是研究对称图的基础,它不仅可以为学习对称图提供一些图例,而且对于后续研究基图的覆盖有着重要的参考作用。设 Γ 是一个阶为 2 p m q n 的3度对称图,本文将分类 Γ 的G-基图,其中 p < q 为素数, G Aut Γ m , n 1 ,所得主要结论如下:

定理1.1:设 p < q 为素数, Γ 是一个阶为 2 p m q n 的3度G-基对称图,其中 G Aut Γ m , n 1 ,则 Γ 满足表1

2. 预备知识

本文所考虑的所有图均为有限的、非空的、无向的、连通的、以及没有圈和重边的正则图。关于本文所使用的群论和图论的符号和基本概念都是标准的,可以参看学者们的著作( [11] [12] [13] [14] )等。例如:

Table 1. 3 degree G-based symmetry diagram of order 2 p m q n

表1. 阶为 2 p m q n 的3度G-基对称图

我们用 n 表示n阶循环群, A n S n 分别表示交错群和对称群。

本节的主要内容是给出一些重要的结论和例子。首先我们给出由Tutte于1947年确定的3度对称图的点稳定子群的结构,它为我们研究3度对称图奠定了基础。

引理2.1 ( [7] ):设 Γ 是一个连通的3度 ( G , s ) -弧传递图。则 s 5 ,并且 ( G α , | G α | , s ) 满足表2,其中α∈VΓ。

Table 2. Point-stabilized subgroups of 3-degree symmetry maps

表2. 3度对称图的点稳定子群

设G是一个有限群,H是G的子群。令D为H在G中的若干个形如 H x H ( x H ) 的双陪集之并。定义群G上关于H和D的陪集(有向)图 Γ = Cos ( G , H , D ) 如下:顶点集 V Γ = [ G : H ] ,即H在G中的所有右陪集之并,边集 E Γ = { { H a , H d a } | a G , d D } 。陪集图有如下的性质。

引理2.2 ( [14] ):设 Γ = Cos ( G , H , D ) 是群G关于H和D的陪集有向图,则

1) Γ 是点传递图,并且 val ( Γ ) = | D | / | H |

2) Γ 是连通图当且仅当 G = D

3) Γ 是无向图当且仅当 D = D 1

4) Γ 是G-弧传递的当且仅当 D = H x i H ( x i H ) 是一个单个的双陪集。

陪集图通常用于构造一些图例,下面的4个例子是根据3度图的点稳定子群的结构以及陪集图的性质构造而成,可参看文献( [1] )和( [10] )。

例2.3:1) 设 G = PSL ( 2 , 13 ) ,则G有一个子群 H S 3 ,且存在一个对合x使得 | H x H | / | H | = 3 H , x = G 。于是由引理2.2知陪集图 Cos ( G , H , H x H ) 是一个阶为182的3度对称图,记为 N C 182 1 ,且 Aut ( N C 182 1 ) PSL ( 2 , 13 )

2) 设 G = PGL ( 2 , 13 ) ,则G有一个子群 H S 3 × S 2 ,且存在一个对合x使得 | H x H | / | H | = 3 H , x = G 。于是由引理2.2知陪集图 Cos ( G , H , H x H ) 是一个阶为182的3度对称图,记为 N C 182 2 ,且

例2.4:1) 设 G = PSL ( 2 , 23 ) ,则G有一个子群 H S 3 × S 2 ,且存在和一个对合x使得 | H x H | / | H | = 3 H , x = G 。于是由引理2.2知陪集图 Cos ( G , H , H x H ) 是一个阶为506的3度对称图,记为 N C 506 ,且 Aut ( N C 506 ) PSL ( 2 , 23 )

2) 设 G = PGL ( 2 , 23 ) ,则G有一个子群 H S 4 ,且存在和一个对合x使得 | H x H | / | H | = 3 H , x = G 。于是由引理2.2知陪集图 Cos ( G , H , H x H ) 是一个阶为506的3度对称图,记为 C 506 ,且 Aut ( C 506 ) PGL ( 2 , 23 )

例2.5:设 G = PSL ( 2 , 47 ) ,则G有一个子群 H S 4 和一个对合x使得 | H x H | / | H | = 3 H , x = G 。于是由引理2.2知陪集图 Cos ( G , H , H x H ) 是一个阶为2162的3度对称图,记为 N C 2162 ,且其全自同构群为 PSL ( 2 , 23 )

例2.6:1) Levi图 N C 30 是唯一的一个阶为30的3度对称图,它是5-正则的二部图且 Aut ( N C 30 ) S 6 . 2

2) Smith-Biggs图 N C 102 是唯一的一个阶为102的3度对称图,且 Aut ( N C 102 ) PSL ( 2 , 17 )

3) Coxter-Frucht图 C 110 是唯一的一个阶为110的3度对称图,且 Aut ( C 110 ) PGL ( 2 , 11 )

对于给定的较小群G,利用Magma ( [15] )软件计算包可以确定所有同构意义下的G-弧传递图。通过Magma ( [15] )直接计算,我们可得以下的5个例子。值得注意的是,在例子中所出现图,它们在同构意义下都是唯一的。

例2.7:1) 设 G = A 5 ,则G有一个子群 H 3 ,由Magma ( [15] )可知,存在一个阶为20的3度对称图,记为 G 20 1 ,且 Aut ( G 20 1 ) S 5

2) 设 G = S 5 ,则G有一个子群,于是通过Magma ( [15] )计算,存在一个阶为20的3度对称图,记为 G 20 2 ,且 Aut ( G 20 2 ) S 5 × 2

例2.8:设 G = PSL ( 2 , 7 ) ,则G有一个子群 H S 3 3 ,于是存在两个3度对称图,分别记为 G 28 1 G 56 1 ,它们的阶分别为28和56,且 Aut ( G 28 1 ) PGL ( 2 , 7 ) Aut ( G 56 1 ) PGL ( 2 , 7 )

例2.9:设 G = PGL ( 2 , 7 ) ,则G有一个子群 H S 3 × S 2 S 3 。通过Magma ( [15] )计算可得:

1) 如果 H S 3 × S 2 ,则存在一个阶为28的3度对称图,记为 G 28 2 ,且 Aut ( G 28 2 ) PGL ( 2 , 7 )

2) 如果 H S 3 ,则存在两个阶为56的3度对称图,分别记为 G 56 2 G 56 3 ,且 Aut ( G 56 2 ) PGL ( 2 , 7 ) Aut ( G 56 3 ) PGL ( 2 , 7 ) × 2

例2.10:1) 设 G = PGL ( 2 , 25 ) ,则G有一个子群 H S 4 ,通过Magma ( [15] )计算,存在一个阶为650的3度对称图,记为 G 650 1 ,且 Aut ( G 650 1 ) Aut ( PSL ( 2 , 25 ) )

2) 设 G = Aut ( PSL ( 2 , 25 ) ) ,则G有一个子群 H S 4 × S 2 ,由Magma ( [15] )可知,存在一个阶为650的3度对称图,记为 G 650 2 ,且 Aut ( G 650 2 ) Aut ( PSL ( 2 , 25 ) )

例2.11:1) 设 G = PSL ( 3 , 3 ) ,则G有一个子群 H S 4 ,存在一个阶为234的3度对称图,记为 G 234 1 ,且 Aut ( G 234 1 ) Aut ( PSL ( 3 , 3 ) )

2) 设 G = Aut ( PSL ( 3 , 3 ) ) ,则G有一个子群 H S 4 × S 2 ,故由Magma ( [15] )计算,存在一个阶为234的3度对称图,记为 G 234 2 ,且 Aut ( G 234 2 ) Aut ( PSL ( 3 , 3 ) )

下面的引理是( [16],引理2.5])的一个特例,它略微改进了Praeger的结论( [17],定理4.1])。

引理2.12 ( [16] ):设 Γ 是一个连通的奇素数度的G-弧传递图, G Aut Γ 有一个非传递的正规子群N在上至少有两个轨道。则下面的陈述成立:

1) N在 V Γ 上半正则, G / N Aut ( Γ N ) Γ N 是G/N-弧传递的,并且 Γ Γ N 的正规N-覆盖。

2) Γ ( G , s ) -弧传递的当且仅当 Γ N ( G / N , s ) -弧传递的,其中 1 s 5 s = 7

3) G α ( G / N ) δ ,其中 α V Γ δ V Γ N

3. 定理1.1的证明

为了完整的证明定理1.1,我们先证明以下两个引理,第一个引理分类了一类单群。

引理3.1:设T是一个非交换单群且满足 | T | | 2 5 3 r m s n ,且 3 r m s n | | T | ,其中 r < s 为素数, m , n 1 。则下列之一成立,其中 | π ( T ) | 表示 | T | 的所有素因子的个数。

1) 如果 | π ( T ) | = 3 ,则 ( T , | T | ) 满足表3

Table 3. Single group T with 3 prime factors

表3. 含有3个素因子的单群T

2) 如果 | π ( T ) | = 4 ,则 ( T , | T | ) 满足表4

Table 4. Single group T with 4 prime factors

表4. 含有4个素因子的单群T

证明:因为 3 r m s n | | T | ,所以 3 | π ( T ) | 4 ,因此T满足( [18],定理I)。

如果 | π ( T ) | = 3 ,则 r = 2 或3, s 5 ,因此T是一个 { 2 , 3 , s } -群。如果 r = 2 ,则 | T | | 2 5 + m 3 s n ,于是 3 2 | T | ,故由( [18],表1)可知: T A 5 PSL ( 2 , 7 ) ,此时, | T | = 2 2 × 3 × 5 2 3 × 3 × 7 。如果 r = 3 ,则 | T | | 2 5 3 m + 1 s n ,故 2 6 | T | 。再由( [18],表1)可得: T A 5 A 6 PSL ( 2 , 7 ) PSL ( 2 , 8 ) PSU ( 3 , 3 ) PSL ( 3 , 3 ) PSL ( 2 , 17 )

如果 | π ( T ) | = 4 ,由 | T | | 2 5 3 r m s n 可知 3 < r < s ,因此T是一个 { 2 , 3 , r , s } -群,于是由( [18],定理I)可知:T满足( [18],表2)或者T同构于单群 PSL ( 2 , q ) ,其中 q > 3 为一个素数的方幂。如果T满足( [18],表2),则通过检查它们的阶可得: T PSL ( 3 , 5 ) ,此时 | T | = 2 5 3 5 3 31 。如果 T PSL ( 2 , q ) ,则由( [18],定理3.2和引理3.4(2),3.5(2))可知:要么 q { 5 2 , 7 2 , 2 4 , 2 5 } ,要么 q 11 是一个素数。

假设 T PSL ( 2 , q ) ,其中 q 11 是一个素数,则 | T | = 1 2 q ( q + 1 ) ( q 1 ) 。注意到,,因此,

1 2 ( q + 1 ) ( q 1 ) | 2 5 3 r m ,

q + 1 2 q 1 2 | 2 4 3 r m .

因为 ( q + 1 2 , q 1 2 ) = 1 ,所以 q + 1 2 | r m q 1 2 | r m ,即 q 1 2 | 2 4 3 q + 1 2 | 2 4 3 。由此可得: q = 11 ,13,17,23,31,47或97。通过检查它们对应单群 PSL ( 2 , q ) 的阶可知:满足条件的q为11,13,23,31,47,97。□

假设 p < q 为素数, Γ 是一个连通的阶为 2 p m q n 的3度G-弧传递图,其中 G Aut Γ m , n 1 。设N是 的一个极小正规子群,则 N = T d ,其中T是一个单群且。令 α V Γ

引理3.2:应用上面的符号说明。如果N是非交换的,则 d = 1

证明:反证法。假设 d 2 ,则由 N = T d 可知: | N | 2 p m q n 。如果N在 V Γ 上至少有3个轨道,则由引理2.12可知,N在 V Γ 上半正则,于是 | N | | | V Γ | ,注意到 | V Γ | = 2 p m q n ,矛盾。故N在 V Γ 上至多有2个轨道。令 N = T 1 × T 2 × × T d ,其中 T i T ( i = 1 , 2 , , d )

假设N在 V Γ 上传递。由 1 N α G α Γ 是连通图可得: 1 N α Γ ( α ) G α Γ ( α ) 。因此, N α Γ ( α ) 是传递的且 Γ 是N-弧传递的。如果 T 1 V Γ 上传递,则由( [12],定理4.2A)可知:中心化子 C N ( T 1 ) V Γ 上半正则,从而 T 2 V Γ 上半正则,这与 | T 2 | 不能整除 | V Γ | = 2 p m q n 相矛盾。如果 T 1 V Γ 上至少有3个轨道,则由引理2.12可知: T 1 V Γ 上半正则,矛盾。因此, T 1 V Γ 上恰好有2个轨道,记为U和W。因为 T 1 N ,故U和W构成 V Γ 上的一个N-不变块系,于是 N U 在N中的指数为2。但是, N = T d 没有指数为2的子群,矛盾。

假设N在 V Γ 上恰有两个轨道,记为 Δ 1 , Δ 2 。此时, Γ 是一个二部图,其二部分别为 Δ 1 Δ 2 。令 G + = G Δ 1 = G Δ 2 。如果 G + 作用在 Δ 1 上是非忠实的,则由( [19],引理5.2)可知:是一个完全二部图,于是 Γ = K 3 , 3 ,因此, | V Γ | = 6 ,矛盾。如果 G + 作用在 Δ 1 上是忠实的,则 N G + 可以看作 Δ 1 上的一个传递置换群。如果 T 1 Δ 1 上传递,则由( [12],定理4.2A)可知: T 2 Δ 1 上半正则,故 | T 2 | | p m q n ,矛盾。因此, T 1 Δ 1 上至少有2个轨道,故由( [20],引理3.2)可知: T 1 Δ 1 上半正则,矛盾。□

下面给出定理1.1的完整证明。

定理1.1的证明:设 Γ 是一个连通的阶为 2 p m q n 的3度对称G-基图,则G在 V Γ 上是拟本原的或者二部拟本原的,其中 p < q 为素数, G Aut Γ m , n 1 。设N是G的一个极小正规子群,则 N = T d ,其中T是一个单群且 d 1 。令 α V Γ ,下面我们分两种情形来完成定理1.1的证明。

情形1:假设G在 V Γ 上是拟本原的。

此时N在 V Γ 上是传递的。如果N是一个交换群,则N在 V Γ 上正则,从而 | T | d = | N | = 2 p m q n ,矛盾。因此N是非交换的,于是由引理3.2可知: d = 1 ,从而 N = T 。进一步,由于 T α 1 ,则 Γ 是T-弧传递的,因此 T α 满足引理2.1,于是 | T α | | 48 。由T的传递性可得: | T | = | V Γ | | T α | 整除 2 5 3 p m q n 。另一方面,由于 Γ 是T-弧传递的,则 3 | | T α | ,于是 3 p m q n | | T | 。故T满足引理3.1。

假设 | π ( T ) | = 3 ,则T和 ( p m , q n ) 满足下表5

Table 5. Single group T with three prime factors and its corresponding ( p m , q n )

表5. 含有3个素因子的单群T及其对应的 ( p m , q n )

如果 T A 5 ,则 | T α | = | T | / | V Γ | = 3 ,从而 T α 3 ,故由例2.7可知 Γ G 20 1 。如果 T A 6 PSL ( 2 , 8 ) PSL ( 2 , 17 ) ,则 | V Γ | = 2 p q ,从而由( [10] )可知:只有当 T PSL ( 2 , 17 ) 时才存在满足条件的图 Γ ,此时T有一个子群 T α S 4 。由例2.6可知 Γ N C 102 。如果 T PSL ( 2 , 7 ) ,且 ( p m , q n ) = ( 2 , 7 ) ( 2 2 , 7 ) ,则 | T α | = 6 或3,从而由引理2.1可得, T α S 3 3 。由例2.8可知 Γ G 28 1 G 56 1 。如果 T PSU ( 3 , 3 ) ,则 | T α | = 2 4 3 ,但是, PSU ( 3 , 3 ) 没有子群同构于 S 4 × S 2 ,这与引理2.1相矛盾。如果 T PSL ( 3 , 3 ) ,则 | T α | = 2 3 3 T α S 4 。由例2.11可知: Γ G 234 1

假设 | π ( T ) | = 4 ,则T和 ( p m , q n ) 满足下表6

Table 6. Single group T with four prime factors and their corresponding ( p m , q n )

表6. 含有4个素因子的单群T及其对应的 ( p m , q n )

如果 T PSL ( 2 , q ) ,其中,则 | V Γ | = 2 p q ,由( [10] )可知,只有当 q = 13 ,23或47时才存在满足条件的图 Γ ,进一步,由例2.3,2.4和2.5可得, Γ N C 182 1 N C 506 N C 2162 。如果 T PSL ( 2 , 97 ) PSL ( 3 , 5 ) ,则 | T α | = 2 4 3 。但是, PSL ( 2 , 97 ) PSL ( 3 , 5 ) 都没有子群同构于 S 4 × S 2 ,这与引理2.1相矛盾。如果 T PSL ( 2 , 25 ) PSL ( 2 , 49 ) ,则 | T α | = 2 2 3 2 3 3 ,此时 T α S 3 × S 2 S 4 ,由Magma ( [15] )计算可知,此时不存在满足条件的图 Γ

情形2:假设G在 V Γ 上是二部拟本原的。

此时,G有一个极小正规子群 N = T d V Γ 上恰有两个轨道,分别记为 Δ 1 Δ 2 。于是, Γ 是一个二部图,并且其二部分别为 Δ 1 Δ 2 。令 G + = G Δ 1 = G Δ 2 ,则 N G + | G : G + | = 2 G α = G α + 。如果N是交换的,则N在 Δ 1 上正则,从而 | T | d = | N | = p m q n ,矛盾。因此N是非交换的。由引理3.2可知: N = T 是一个非交换单群。如果 G + 作用在 Δ 1 Δ 2 上是非忠实的,则由( [19],引理5.2)可知: Γ 是一个完全二部图,于是 Γ = K 3 , 3 。故, | V Γ | = 6 ,矛盾。假设 G + 作用在 Δ 1 Δ 2 上是忠实的,则由( [21],定理1.5)可知下列之一成立:

(a) G + Δ i ( i = 1 , 2 ) 上是拟本原的;

(b) G + 有两个正规子群 M 1 M 2 满足 M 1 M 2 且它们在 V Γ 半正则。进一步,群 M 1 × M 2 Δ i 上正则。

对于情形(b),有: | M 1 | 2 = | Δ i | = p m q n ,矛盾。下面考虑情形(a)。假设 G + Δ i 上是拟本原的,则 G + 有一个极小正规子群T且T是一个单群,于是由O’Nan-Scott-Praeger定理( [17] )可知: soc ( G + ) = T T 2 。如果 soc ( G + ) = T 2 ,则 G + 是全形单型,且T在 Δ i 上正则。因此,矛盾。故 soc ( G + ) = T 。进一步,如果T不是G的唯一极小正规子群,则由 G = G + . 2 可知 G = G + × 2 ,于是G的正规子群 V Γ 上有 p m q n 个轨道,这与G在 V Γ 上是二部拟本原的相矛盾。故,T是G的唯一极小正规子群,即G是几乎单的且其基柱 soc ( G ) = T 。令 G = T . o ,其中 2 o Out ( T ) | o : o | = 2 。由于 T α G α ,于是由引理2.1可知,因此 | T | = | Δ 1 | | T α | 整除 2 5 3 p m q n 。另一方面,由于 T α 1 ,则 3 | | T α | 3 p m q n | | T | 。故T满足引理3.1。

假设 | π ( T ) | = 3 。此时T和 ( p m , q n ) 满足表5。如果 T A 5 ,则由Altas ( [22] )可知 Out ( A 5 ) = 2 。因此 G + = A 5 G = S 5 ,且,于是由引理2.1可知, G α S 3 。故由例2.7可知 Γ G 20 2 。如果 T A 6 ,则 Out ( A 6 ) = 2 2 ,于是 G = S 6 S 6 . 2 。若 G = S 6 ,则 | G α | = 24 ,于是 G α S 4 ,由Magma ( [15] )计算可知:此时不存在满足条件的图 Γ 。若 G = S 6 . 2 ,则 | G α | = 48 ,于是 G α S 4 × S 2 ,由例2.6可知 Γ N C 30 。如果 T PSL ( 2 , 7 ) ,则 Out ( PSL ( 2 , 7 ) ) = 2 ,且 ( p m , q n ) = ( 2 , 7 ) ( 2 2 , 7 ) 。于是 G = PGL ( 2 , 7 ) ,并且G有两个子群分别同构于 S 3 × S 2 S 3 。故由例2.9可知: Γ G 28 2 G 56 2 ,或 G 56 3 。如果 T PSL ( 2 , 8 ) ,则由Altas ( [6] )可知 Out ( T ) = 3 ,此时与 2 o Out ( T ) | o : o | = 2 相矛盾。如果 T PSU ( 3 , 3 ) ,则 Out ( T ) = 2 ,于是 G = Aut ( PSU ( 3 , 3 ) ) ,此时 | G α | = 2 5 3 ,这与引理2.1相矛盾。如果 T PSL ( 3 , 3 ) ,则 Out ( T ) = 2 ,从而 G = Aut ( PSL ( 3 , 3 ) ) ,此时 G α S 4 × S 2 ,由例2.11可知 Γ G 234 2 。如果 T PSL ( 2 , 17 ) ,则 Out ( T ) = 2 ,故 G = PGL ( 2 , 17 ) ,此时 | G α | = 48 ,但是, PGL ( 2 , 17 ) 不存在48阶的子群,矛盾。

假设 | π ( T ) | = 4 。此时T和 ( p m , q n ) 满足表6。如果 T PSL ( 2 , 31 ) PSL ( 2 , 97 ) PSL ( 3 , 5 ) ,则 Out ( T ) = 2 ,于是 G = PGL ( 2 , 31 ) PGL ( 2 , 97 ) PGL ( 3 , 5 ) 。此时, | G α | = | G | / | V Γ | = 2 5 3 ,这与引理2.1相矛盾。如果 T PSL ( 2 , 32 ) ,则 Out ( PSL ( 2 , 32 ) ) = 5 ,此时与 2 o Out ( T ) | o : o | = 2 相矛盾。如果 T PSL ( 2 , 16 ) PSL ( 2 , 49 ) ,则 Out ( T ) = 2 2 ,于是 G = T . 2 Aut ( T ) 。若 G = T . 2 ,则 | G α | = 2 4 3 ,但是,G没有子群同构于 S 4 × S 2 ,这与引理2.1相矛盾。若 G = Aut ( T ) ,则 | G α | = 2 5 3 ,这与引理2.1相矛盾。如果 T PSL ( 2 , 47 ) ,则 Out ( T ) = 2 ,于是 G = PGL ( 2 , 47 ) | G α | = 2 4 3 ,然而,G没有子群同构于 S 4 × S 2 ,矛盾。如果 T PSL ( 2 , 11 ) PSL ( 2 , 13 ) PSL ( 2 , 23 ) ,则 Out ( T ) = 2 ,故 G = PGL ( 2 , 11 ) PGL ( 2 , 13 ) PGL ( 2 , 23 ) ,进一步可得, G α S 3 × S 2 S 4 。故由例2.3,2.4和2.6可知: Γ C 110 N C 182 2 C 506 。如果 T PSL ( 2 , 25 ) ,则 Out ( PSL ( 2 , 25 ) ) = 2 2 ,于是 G = T . 2 P G L ( 2 , 25 ) Aut ( T ) 。因此, G α = S 4 S 4 × S 2 。由例2.10可知 Γ G 650 1 G 650 2 。□

基金项目

国家自然科学基金资助项目(80031010061)资助。

文章引用: 黄俊杰 (2019) 某类顶点拟本原和二部拟本原的3度对称图的分类。 理论数学, 9, 989-997. doi: 10.12677/PM.2019.99125

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