涉及分担集合的正规族
The Normal Families of Meromorphic Functions Which Share Set

作者: 蔡金华 , 党国强 :广州大学数学与信息科学学院,广东 广州;

关键词: 亚纯函数正规族分担集合Meromorphic Functions Normality Shared Set

摘要:
使用Nevanlinna值分布理论和Zalcman-Pang方法讨论了涉及分担集合的亚纯函数的正规性,主要结果为:设F是区域D内的一族亚纯函数,S1=﹛a1,a2﹜,S2=﹛b1,b2﹜,S1和S2是由有限复数组成的集合,k(≥2)和q都是正整数。若对任意的f∈F,满足:1) f-ai的零点重级≥k,i=1,2;2),则F在D内正规。

Abstract: In this paper, it investigates the normality of a family of meromorphic functions sharing a set with their derivatives by using the Nevanlinna's value distribution theory and the method of Zalcman-Pang, and obtains the following main result: Let   be a family of meromorphic functions in a domain D,S1=﹛a1,a2﹜,S2=﹛b1,b2﹜, where S1 and S2 are made up of finite complex numbers, k(≥2) and q be two positive integers. Suppose that for each f∈F , 1) every zero of f-ai is of multiplicities at least k, where i=1,2 ; 2) , then   is normal in D.

1. 引言

定义D为一个区域,假设 F 为D内的一族亚纯函数,若对于 F 的任一函数序列 { g n } 均可选出子序列 { g n k } 在D内按球面距离内闭一致收敛于一个亚纯函数,或者 ,则称 F 在D内正规(详见 [1] - [7] )。

a是复平面 上的一个复数,f和g是区域D内的两个亚纯函数,如果 f ( z ) a g ( z ) a 在D内有相同的零点,则称f和g在D内IM分担a;若 f ( z ) a g ( z ) a 在D有相同的零点,且所有的零点重级也相等,则称f和g在D内CM分担a。

1996年,方明亮 [8] 提出了分担集合的概念。

f和g是区域D内的两个亚纯函数, S = { a 1 , a 2 , a 3 } ,S是一个由三个有限复数组成的集合。定义

E ¯ ( S , f ) = a i S { z D | f ( z ) a i = 0 } ,其中 i = 1 , 2 , 3 。如果 ,则称f和g分担集合S。

F 为区域D内的一族亚纯函数,我们称 F 在D内一点 z 0 正规,如果存在 z 0 的一个领域 Δ ( z 0 ) ,使 F Δ ( z 0 ) 内正规。

1992年,Schwick [9] 最早研究与分担值相关的亚纯函数族的正规性,证明了

定理A 设 F 为D上的一族亚纯函数, a 1 , a 2 , a 3 是三个不同的有限复数。若对任意的 f F f ( z ) = a i f ( z ) = a i ,其中 i = 1 , 2 , 3 中, F 在D内正规。

2000年,庞学诚和Zalcman [10] 改进了Schwick [9] 的结果,证明了

定理B 设 F 为D上的一族亚纯函数,a,b,c和d是有穷复数,且 c a d b 。若对任意的 f F ,1) f ( z ) = a f ( z ) = b ;2) f ( z ) = c f ( z ) = d ,则 F 在D内正规。

如果 a 1 , a 2 , a 3 (定理A)替换成 S = { a 1 , a 2 , a 3 } ,是否能得到相同的结论。在这个方面,在2007年,刘晓俊与庞学诚 [11] 证明了以下的结果。

定理C 设 F 为D上的一族亚纯函数, a 1 , a 2 , a 3 是三个不同的有限复数。若对任意的 f F E ¯ ( S , f ) = E ¯ ( S , f ) ,其中 S = { a 1 , a 2 , a 3 } ,则 F 在D内正规。

2002年,方明亮和Zalcman [12] 考虑了f和 f ( k ) 分担一个值的情形,证明了

定理D 设 F 为D上的一族亚纯函数,a和b是两个非零有限复数,k是一个正整数。若对任意的 f F ,1) f ( z ) = a f ( k ) ( z ) = b ;2) f的零点重级均 k + 1 ,则 F 在D内正规。

如果我们把 f (定理C)改为 f ( k ) ,自然地,我们会问是否存在相关的正规定则。在这个方面,在2011年,张汉等人 [13] 证明了以下的结果。

定理E 设 F 为D上的一族亚纯函数, S 1 = { a 1 , a 2 , a 3 } a i ( i = 1 , 2 , 3 ) 是三个不同的有限复数, k ( > 2 ) 是一个正整数,a为任意一个有限复数。若对任意的 f F ,1) E ¯ ( S , f ) = E ¯ ( S , f ( k ) ) ;2) f a 的零点与极点重级均 k

2016年,徐焱与仇惠玲 [14] 考虑f与 f 分担两个集合的亚纯函数的正规性,证明了

定理F 设 F 为单位圆盘 Δ 上的一族亚纯函数, S 1 = { a 1 , a 2 } S 2 = { b 1 , b 2 , b 3 } ,其中 a i ( i = 1 , 2 ) , b j ( j = 1 , 2 , 3 ) 都是有限复数且 a 1 a 2 0 。若对任意的 f F ,1) E ¯ ( S 1 , f ) = E ¯ ( S 2 , f ) ;2) 存在一个正整数M,若 f ( z ) = 0 ,则 | f ( z ) | M ,则 F Δ 内正规。

2014年,李效敏 [15] 等人考虑f和 f ( k ) 分担集合的情形,证明了

定理G 设 F 为D上的一族亚纯函数, k ( 2 ) 是一个正整数, S 1 = { a 1 , a 2 } S 2 = { b 1 , b 2 } 都是由有限复数组成的集合。若对任意的 f F ,1) E ¯ ( S 1 , f ) = E ¯ ( S 2 , f ( k ) ) ;2) f a i ( i = 1 , 2 ) 的零点重级均 k ,则 F 在D内正规。

本文推广了李效敏 [15] 等人的结果,证明了

定理1 设 F 为D上的一族亚纯函数, k ( 2 ) 和q是一个正整数, S 1 = { a 1 , a 2 } S 2 = { b 1 , b 2 } 都是由

有限复数组成的集合。若对任意的 f F ,1) E ¯ ( S 1 , f ) = E ¯ ( S 2 , ( f ( k ) ) q ) ;2) f a i ( i = 1 , 2 ) 的零点重级

k ,则 F 在D内正规。

以下的例子(张汉等人 [13] )说明定理1中关于零点重级的限制是必要的。

例 设 F = { f n } 为定义在单位圆盘 Δ 上的亚纯函数族,其中 f n = n ( e w 1 z e w 2 z ) n = 1 , 2 , w 1 w 2

k 2 和q是正整数。显然,对于 f F ,有 f = f ( k ) ,而 | f ( 0 ) | 1 + | f ( 0 ) | 2 = n ( w 1 w 2 )

根据Marty正规定则,可知 F Δ 上不正规。

2. 引言

为了证明定理1,需要下列引理。

引理1 (Zalcman-Pang引理) [16] 设 F 为单位圆 Δ 内的一族亚纯函数,k和p均为正整数,如果对于 f F f a 的零点重级 k ,极点重级 p ,且存在一个正数 A ( > 1 ) ,若 f ( z ) = 0 ,必有 | f ( k ) ( z ) | A 。那么,若 F 在单位圆内不正规,则对于每个 α p < α k ,存在

1) 函数列 f n F

2) 点列 z n Δ , z n z 0

3) 正数列

4) 实数r, 0 < r < 1

使得函数 g n ( ξ ) = ρ n α f n ( z n + ρ n ξ ) 在复平面 上按球面距离内闭一致收敛于一个非常数亚纯函数

g ( ξ ) ,并且 g ( ξ ) 的零点重级 k ,极点重级 p ,它的级至多为2, g # ( ξ ) = | g ( ξ ) | 1 + | g ( ξ ) | 2 g # ( 0 ) = k A + 1

引理2 [1] [17] [18] 设f为有穷级的超越亚纯函数,b是一个非零复数,k为正整数,则f或者 f ( k ) b 有无穷多个零点。

引理3 [19] 设f为有理函数,则f能取任意复数,至多有一个Picard例外值,并且f有且仅有一个亏值。

引理4 [20] 设 k ( 2 ) 是一个正整数,f是复平面上的一个有穷级的亚纯函数,且 f ( k ) 的零点个数是有限的,则f的极点个数是有限个。

3. 定理1的证明

证明:假设 F 在D内不正规,则存在一点 z 0 D ,使 F z 0 处不正规则。由引理1,可知存在函数列 f n F ,点列 z n D , z n z 0 ,正数列 ρ n 0 ,使得函数

f n ( z n + ρ n ζ ) a 1 = g n ( ζ ) g ( ζ ) (1)

f n ( z n + ρ n ζ ) a 2 = g n ( ζ ) + a 1 a 2 g ( ζ ) + a 1 a 2 (2)

在复平面 上按球面距离内闭一致收敛,其中 g ( ζ ) 是一个非常数亚纯函数, g ( ζ ) g ( ζ ) + a 1 a 2 的级至多为2,且它们的零点重级均 k ( 2 )

下面我们分两种情形进行讨论。

情形1。存在 ζ 0 ,使 g ( ζ 0 ) = 0 g ( ζ 0 ) + a 1 a 2 0 g ( ζ 0 ) + a 1 a 2 = 0 g ( ζ 0 ) 0 ,不失一般性,我们假设 g ( ζ 0 ) = 0 , g ( ζ 0 ) + a 1 a 2 0

G n ( ζ ) = ρ n k ( f n ( z n + ρ n ζ ) a 1 ) 。根据已知条件,可知 G n ( ζ ) 的零点重级至少为k。取 δ ( ζ 0 ) > 0 ,使 G n ( ζ ) 在邻域 Δ = { ζ : | ζ ζ 0 | < δ ( ζ 0 ) } 内是全纯的,否则, { G n ( ζ n ) } Δ ( ζ 0 , δ ) 上内闭一致收敛于全纯函数 G ( ζ ) 。接下来我们证明 { G n ( ζ ) } ζ 0 处不正规。因为 g ( ζ ) 是一个非常数亚纯函数,所以 g ( ζ ) 0 ,则存在一点 ζ 0 ,使 g ( ζ 0 ) = 0 。根据Hurwitz定理,可知存在一个点列 { ζ n } Δ ζ n ζ 0 ,使 g n ( ζ n ) = f n ( z n + ρ n ζ n ) a 1 = 0 。当 ζ Δ = { ζ : 0 < | ζ ζ 0 | < δ } 时, g ( ζ ) 0 。故对任一 ζ Δ ,存在一个正数 ε 0 ,使 | g n ( ζ ) | > ε 0 。从而

G ( ζ ) = lim n f n ( z n + ρ n ζ ) a 1 ρ n k lim n ε 0 ρ n k =

矛盾。

如果 G n ( ζ ) = 0 ,也就是说 f n ( z n + ρ n ζ ) = a 1 。根据条件,可得 ( f n ( k ) ( z n + ρ n ζ ) ) q = ( G n ( k ) ( ζ ) ) q S 2

则存在 b i S 2 ( i = 1 , 2 ) ,使得 ( G n ( k ) ( ζ ) ) q = b i ,由此可知,若 G n ( ζ ) = 0 ,则 | G n ( k ) ( ζ ) | i = 1 2 | b i | q + k 。假设 A = i = 1 2 | b i | q + k

根据引理1,则存在正数列 η n 0 ;复数列 ζ n ζ 0 ;子序列 { G n } ;使 F n ( ξ ) = η n k G n ( ζ n + η n ξ ) 上按球面距离内闭一致收敛到非常数亚纯函数 F ( ξ ) ,其中 F ( ξ ) 的零点重级均 k ,级至多为2,且

我们断言:

1) 在复平面 F ( ξ ) 的零点个数是有限的;

2) F ( ξ ) = 0 ( F ( k ) ( ξ ) ) q S 2

ζ 0 g ( ζ ) 的l重零点。若 F ( ξ ) 零点个数是无穷多个,可取 F ( ξ ) l + 1 个互不相同的零点 ξ 1 , ξ 2 , , ξ l + 1 。由于 F ( ξ ) 0 ,根据Hurwitz定理,可得存在 ξ n j ξ j ( j = 1 , 2 , , l + 1 ) ,使得 F n ( ξ n j ) = 0 ,也就是说,当 ζ n + η n ξ n j ζ 0 时, f n ( z n + ρ n ( ζ n + η n ξ n j ) ) a 1 = 0 。根据Hurwitz定理, ζ 0 g ( ζ ) 的至少 l + 1 重零点,矛盾。故断言1)成立。

F ( ξ 0 ) = 0 ,由Hurwitz定理,可知存在一点列 ξ n ξ 0 ,使得 f n ( z n + ρ n ( ζ n + η n ξ n ) ) = a 1 。由条件可得

( F n ( k ) ( ξ n ) ) q = ( f n ( k ) ( z n + ρ n ( ζ n + η n ξ n ) ) ) q S 2

lim n ( F n ( k ) ( ξ n ) ) q = ( F ( k ) ( ξ 0 ) ) q S 2 。因此证明了 F ( ξ ) = 0 ( F ( k ) ( ξ ) ) q S 2

如果,也就是说,存在某个 b i S 2 ,使 ( F ( k ) ( ξ 0 ) ) q = b i 。可证 ( F ( k ) ( ξ ) ) q b i ,否则,

( F ( k ) ( ξ ) ) q b i ,则 F ( ξ ) 是一个次数至多为k的多项式。因为 F ( ξ ) 的零点重级 k ,可得 F ( ξ ) 是一个

次数为k的多项式,令 F ( ξ ) = ( k ! ) 1 b i q ( ξ ξ 0 ) k

b i 0 ( i = 1 , 2 ) 时,

F # ( 0 ) = | F ( 0 ) | 1 + | F ( 0 ) | 2 = | b i | q ( k 1 ) ! | ξ 0 | k 1 1 + ( | b i | q ) 2 ( k ! ) 2 | ξ 0 | 2 k

F # ( 0 ) { | b i | q ( k 1 ) ! | ξ 0 | k 1 | b i | q 2 , | ξ 0 | < 1 | b i | q ( k 1 ) ! | ξ 0 | k 1 2 | b i | q k ! | ξ 0 | k k 2 , | ξ 0 | 1

这说明 F # ( 0 ) | b i | q 2 + k 2 。如果 b i = 0 ( i = 1 , 2 ) ,可得 F # ( 0 ) = 0 ,上面不等式也成立。与 F # ( 0 ) = k A + 1

盾。因为 ( F ( k ) ( ξ ) ) q b i ,根据Hurwitz定理,可知存在一点列 ξ n ξ n ξ 0 ,使得

( F n ( k ) ( ξ n ) ) q = ( f n ( k ) ( z n + ρ n ( ζ n + η n ξ n ) ) ) q = b i 。根据条件可得,。可证,当 n

时, f n ( z n + ρ n ( ζ n + η n ξ n ) ) = a 1 。否则, f n ( z n + ρ n ( ζ n + η n ξ n ) ) = a 2 。于是,

F ( ξ 0 ) = lim n ρ n k η n k ( f n ( z n + ρ n ( ζ n + η n ξ n ) ) a 1 ) = lim n ρ n k η n k ( a 2 a 1 ) =

这与 ( F ( k ) ( ξ 0 ) ) q = b i 矛盾,这暗示了,若 ( F ( k ) ( ξ ) ) q S 2 ,则 F ( ξ ) = 0

根据断言1)和引理2,可知 F ( ξ ) 不是超越亚纯函数。

情形1.1 F ( ξ ) 是一个非常数的多项式。

根据Nevanlinna第二基本定理和断言2),可知

T ( r , ( F ( k ) ) q ) i = 1 2 N ¯ ( r , 1 ( F ( k ) ) q b i ) + N ¯ ( r , F ) + O ( 1 ) N ¯ ( r , 1 F ) + O ( 1 ) (3)

显然,

T ( r , ( F ( k ) ) q ) = q ( deg ( F ) k ) log r + O ( 1 ) (4)

因为F的零点重级至少为k,可知

N ¯ ( r , 1 F ) N ( r , 1 F ) k = T ( r , F ) + O ( 1 ) k = deg ( F ) k log r + O ( 1 ) (5)

由F的零点重级至少为 k ( 2 ) ,(3),(4)和(5),可得

(6)

k deg ( F ) q k 2 q k 1 2 k (7)

由于 F ( ξ ) 的零点重级均 k ,可知 F ( ξ ) 仅有一个零点或者仅有两个不同的零点。

情形1.1.1 F ( ξ ) 仅有一个零点。

F ( ξ ) = c 0 ( ξ ξ 1 ) deg ( F ) ,其中 c 0 为非零常数,对任意的 i ( i = 1 , 2 ) ( F ( k ) ( ξ ) ) q b i 至少有一个零点。根据断言2),可知 F ( ξ ) 至少有两个不同的零点。

情形 1.1.2 F ( ξ ) 仅有两个不同的零点。

根据 F ( ξ ) 的零点重级均和(6),可知 2 k ( q k 1 ) q k 2 ,从而 2 2 q q k 2 。因此 k = 2 q = 1 ,由此可知 F ( ξ ) 是一个次数为4~的多项式,且 F ( ξ ) 的两个不同零点的重级都为2。可证 b i 0 i = 1 , 2 。由断言2),如果 F ( 2 ) ( ξ 0 ) = b i = 0 i = 1 , 2 ,这说明 ξ 0 不是 F ( ξ ) 的重级为2的零点,矛盾。根据 b 1 b 2 F ( ξ ) 仅有两个不同的零点,可知 ( F ( 2 ) b 1 ) ( F ( 2 ) b 2 ) 的每个零点重级为2。

显然, F ( 3 ) 0 ,令

P = F F ( 3 ) ( F ( 2 ) b 1 ) ( F ( 2 ) b 2 ) (8)

显然, P ( 0 ) 是有理函数,它的极点来自于 F ( 2 ) b i 零点, i = 1 , 2 。如果 ξ 0 F ( 2 ) b i 的二~重零点,则 ξ 0 F ( 3 ) 的一重零点,也是 F ( ξ ) 的二重零点,这意味着 F ( 2 ) b i 零点也是P的零点,所以P没有极点,且P是多项式。由(8),可知 P ( F ( 2 ) b 1 ) ( F ( 2 ) b 2 ) = F F ( 3 ) ,经过简单的计算,可得 deg P = 1 ,所以P仅有一个零点。对于任一 i ( i = 1 , 2 ) ,若 ,则 P ( ξ 0 ) = 0 ,这说明P至少有两个不同的零点,矛盾。

情形1.2 F ( ξ ) 不是多项式的非常数有理函数。

F ( ξ ) = a m ξ m + a m 1 ξ m 1 + + a 1 ξ + a 0 + P 1 ( ξ ) P 2 ( ξ ) (9)

其中 a m , a m 1 , , a 1 , a 0 是复数,m是一个正整数, P 1 P 2 是互素的两个多项式,且 deg ( P 1 ) < deg ( P 2 )

假设

P 2 ( ξ ) = μ ( ξ ξ 1 ) m 1 ( ξ ξ 2 ) m 2 ( ξ ξ t ) m t (10)

其中 μ ( 0 ) 是一个常数,t是一个正整数, m 1 , m 2 , , m t 是t个正整数, ξ 1 , ξ 2 , , ξ t 是t个不同的有限复数, w = m 1 + m 2 + + m t 。由(9)和(10),可得到

N ( r , ( F ( k ) ) q ) = q ( w + k t ) log r + O ( 1 ) (11)

N ¯ ( r , F ) = N ¯ ( r , ( F ( k ) ) q ) = t log r + O ( 1 ) (12)

情形1.2.1 假设 m k

由Nevanlinna第二基本定理,断言1)和断言2),可知

T ( r , ( F ( k ) ) q ) N ¯ ( r , F ) + N ¯ ( r , 1 F ) + O ( 1 ) q ( N ¯ ( r , F ) + N ¯ ( r , 1 F ) ) + O ( 1 ) (13)

由(9),(10)和 F ( ξ ) 的零点重级均 k ( 2 ) ,可得

N ¯ ( r , 1 F ) 1 k N ( r , 1 F ) = m + w k log r + O ( 1 ) m + w 2 log r + O ( 1 ) (14)

T ( r , ( F ( k ) ) q ) = N ( r , 1 ( F ( k ) ) q ) + O ( 1 ) = q [ ( m k ) + ( w + k t ) ] log r + O ( 1 ) = q [ m + w + ( t 1 ) k ] log r + O ( 1 ) (15)

结合(12)~(15),可得 q [ ( m + w ) + ( t 1 ) k ] log r q ( m + w 2 + t ) log r + O ( 1 ) 。经过简单的计算,获知

m + w 2 k ( t 1 ) + t 2 t . (16)

由于m,w和t都是正整数,根据(16),可知 m = w = t = 1 ,与 m k 2 矛盾。

情形1.2.2 假设 m < k

从(9)~(14)可知

T ( r , ( F ( k ) ) q ) = N ( r , ( F ( k ) ) q ) + O ( 1 ) = q ( w + k t ) log r + O (1)

q ( w + k t ) log r q ( t + m + w k ) log r + O ( 1 ) ,因此 k < ( k 1 ) w + ( k 1 ) k t m < k 矛盾。

情形2 g ( ζ ) 0 g ( ζ ) + a 1 a 2 0

根据引理3,可断言g是超越亚纯函数。从(1)和(2),获知

(17)

在复平面 上内闭一致收敛。可证 ( g ( k ) ( ζ ) ) q 0 。如果 ( g ( k ) ( ζ ) ) q 0 ,可知 g ( ζ ) 是一个次数至多为 k 1

这与 g ( ζ ) 是超越亚纯函数矛盾。结合 E ¯ ( S 1 , f ) = E ¯ ( S 2 , ( f ( k ) ) q ) ,(1),(2),(17), g ( ζ ) 0

g ( ζ ) + a 1 a 2 0 ,可得 ( g ( k ) ( ζ ) ) q 0 ,即 g ( k ) ( ζ ) 0

根据g的级至多为2和引理4,可知,在复平面 上,g极点个数是有限的。由Nevanlinna第二基本定理,获知

T ( r , g ) = N ¯ ( r , g ) + N ¯ ( r , 1 g ) + N ¯ ( r , 1 g + a 1 a 2 ) + O ( log r ) < O ( log r ) (18)

从(18)可知,g是一个有理函数。矛盾。

综上所述, F 在D内正规,定理1证毕。

基金项目

国家自然科学基金(编号:11271090),广东省自然科学基金(编号:2016A030310257、2015A030313346),广州大学研究生创新能力培养资助计划(2018GDJC-D28)资助。

文章引用: 蔡金华 , 党国强 (2019) 涉及分担集合的正规族。 理论数学, 9, 686-693. doi: 10.12677/PM.2019.96091

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