Orbifold丛与陈特征
Orbifold Bundle and Chern Character

作者: 林奕武 :广东金融学院,广东 广州;

关键词: Orbifold群胚Orbifold丛联络Orbifold陈特征

摘要:
重新描述orbifold和orbifold丛的定义,并且提出了orbifold丛上联络的定义,从而诱导orbifold陈特征等概念。

Abstract: In this paper, we reformulate the notion of orbifolds and orbifold bundles, and then define the connection, with which we construct orbifold chern character.

1. 引言

Orbifold最早产生于代数几何领域,带有奇性的簇被视为最早出现的orbifold。到了上世纪50年代,Satake [1] [2] 首次在拓扑学和微分几何领域引入orbifold的概念。在微分几何中,orbifold被视为光滑流形的推广,当时被称为V-流形,即是带有奇点的“流形”。类似于光滑流形,orbifold是一个拓扑空间,其上加以一个orbifold结构。orbifold结构也是由空间的一个开覆盖构成,每张局部卡为 R n 中的连通开集,模以一个有限子群得到的商集。orbifold结构刻画了orbifold的局部奇性,但是缺乏局部相容性,所以不能很好的展现其整体结构。Haefliger [3] 利用群胚的语言来表述orbifold。群胚有良好的整体性,使若干代数拓扑的概念得以推广到orbifold领域中来。由于群胚的语言比较抽象,其几何直观性有所欠缺。

本文结合局部卡和群胚的语言。重新表述orbifold的概念。新的表述保留了orbifold结构,再利用群胚来规范局部卡之间的相容性。这种定义下的orbifold可以理解为对群胚的像空间进行加细,从而揉进了局部卡构成的开覆盖。新的表述既保留了原来局部奇性的刻画,同时也兼顾整体性,使很多微分几何的概念在orbifold领域得以推广。首先,我们重新描述orbifold丛,把orbifold X上的orbifold丛定义为一个orbifold E,和一个丛投射 p : E X ,使得在局部上,对于X的每一张orbifold卡 ( V α , G α , π α ) U α = V α / G α 上的纤维为 ( R n × V α ) / G α 。这种描述本质上与Ruan [4] 的orbifold丛定义是等价的。

由于orbifold丛新的描述保留了过渡矩阵等语言,我们可以参考微分几何的技巧,通过构造曲率方阵,在orbifold丛上定义联络,使得向量场的微分并不会受到局部奇性的影响。即是对向量场的微分与局部群的作用可以交换。类似于微分几何,本文还进一步定义了orbifold丛的陈特征。

2. Orbifold

纸型

Orbifold的定义可以用两种语言来描述。一种是局部卡的语言,另一种是群胚的语言。本节先简要介绍这两种语言,然后结合这两种语言,我们对orbifold的定义重新描述。

局部卡的语言首先是Satake [1] [2] 提出来的,但本节引用了Ruan [4] 的表述方式。

定义1.1 [4] :设X为一个仿紧的Hausdorff拓扑空间, n > 0

1) X上一个n维orbifold卡,是指一个三元组 ( V , G , π ) 。其中V为 R n 中的连通开子集,G为 d i f f ( V ) 的有限子群, π : V X 是一个G不变的映射,并且诱导同胚 V / G π ( V ) X

2) 如果光滑嵌入 λ : V 1 V 2 满足 π 1 = π 2 λ ,则称 λ 为两个orbifold卡 ( V 1 , G 1 , π 1 ) , ( V 2 , G 2 , π 2 ) 之间的嵌入。

3) 对于一族orbifold卡 Γ = { ( V α , G α , π α ) } α ,如果 Γ 局部相容,并且 { π α ( G α ) } α 覆盖X,则称 Γ = { ( V α , G α , π α ) } α 为X的一个orbifold卡册。

4) 对于X的两个orbifold卡册 Γ 1 , Γ 2 ,如果 Γ 1 中的每一张orbifold卡都能嵌入到 Γ 2 中的某一张orbifold卡,则称 Γ 1 Γ 2 的一个加细。如果两个orbifold卡册有一个共同的加细,则称它们是等价的。

局部卡定义的局部相容缺乏整体性。为此Haefliger [3] 提出了群胚的语言。群胚是指一个小范畴,其所有的态射都是等价。

定义1.2 [5] :一个群胚 G = ( G 0 , G 1 ) 称为李群胚,如果其像空间 G 0 和态空间 G 1 都是光滑流形,5个结构映射都光滑,且满足以下性质:

1) 源映射 s : G 1 G 0 为淹没映射;

2) 靶映射 t : G 1 G 0 也为淹没映射;

3) 复合映射 m : G 1 s × t G 1 G 1 g h : = m ( g , h ) ,满足结合律,其中 G 1 s × t G 1 = { ( h , g ) G 1 × G 1 | s ( h ) = t ( g ) }

4) 单位映射 u : G 0 G 1 , x 1 x ,使得对任意 h s 1 ( x ) , g t 1 ( x ) ,有

5) 逆映射 i : G 1 G 1 , g g 1 ,使得对任意 g G 1 ,有 g g 1 = 1 x

定义1.3 [5] :设 G = ( G 0 , G 1 ) 为一个李群胚,如果 ( s , t ) : G 1 G 0 × G 0 为一个proper映射,且 s , t 都是局部微分同胚,则称为一个orbifold群胚。

Orbifold之间的映射由群胚同态来描述。

定义1.4 [5] :设 G = ( G 0 , G 1 ) , H = ( H 0 , H 1 ) 为李群胚。若 ϕ 0 : G 0 H 0 , ϕ 1 : G 1 H 1 和是光滑映射,并且与G和H所有的结构映射都可以交换,则称 ϕ = ( ϕ 0 , ϕ 1 ) : G H 为群胚同态。

定义1.5 [4] :设X为一个仿紧的Hausdorff拓扑空间, n > 0 。若赋予X一个orbifold群胚 G = ( G 0 , G 1 ) ,使得,则 X G 0 / G 1 Χ = ( X , G ) 为一个n维orbifold。

群胚的语言比较抽象,并不能很清晰的体现orbifold的几何性质。因此,我们结合局部卡和群胚两种语言,重新描述orbifold的定义。

定义1.6:设X为一个仿紧的Hausdorff拓扑空间, n > 0 。X上的一个orbifold结构为一个

orbifold卡册 Γ = { ( V α , G α , π α ) } α 和一个orbifold群胚 G = ( G 0 , G 1 ) ,使得

G 0 = α V α ,且 X G 0 / G 1

对于orbifold我们记为 ( X , Γ , G ) ,有时简记为 ( X , G )

3. Orbifold丛和的Rham上同调

Orbifold丛最早是由Satake [1] [2] 提出来的。其定义的缺陷,就是丛的不再是丛。为此,Ruan [4] 用群胚语言定义了orbifold的概念。

定义2.1 [4] :设 G = ( G 0 , G 1 ) 为一个orbifold群胚, p : E 0 G 0 为平常的纤维从,若存在 G 1 E 0 的作用 μ : G 1 × G 0 E 0 E 0 ,使得 G 1 作用在每个纤维上都是线性的,则称 E 0 为orbifold ( G 0 / G 1 , G ) 上的一个orbifold丛。

为了定义orbifold丛上联络的概念,我们利用定义1.6的语言,重新描述orbifold丛的定义。

定义2.2:设 ( X , G ) ( E , H ) 为两个orbifold, ( p 0 , p 1 ) : ( H 0 , H 1 ) ( G 0 , G 1 ) 为群胚同态。若以下条件成立,

1) H 0 G 0 × R n , H 1 G 1 × R n G 1 × G 0 H 0

2) G 1 H 0 的每个纤维上的作用都是线性的,

则称 ( E , H ) ( X , G ) 上的一个orbifold丛, ( p 0 , p 1 ) : ( H 0 , H 1 ) ( G 0 , G 1 ) 为丛投射。

定义2.2与定义2.1本质上是等价的。若 E 0 是定义2.1中的orbifold丛。令 H 1 = G 1 × G 0 E 0 ,则 H = ( H 0 , H 1 ) 是一个orbifold群胚,并且 ( H 0 / H 1 , H ) 是定义2.2中的orbifold丛。反之,若 ( E , H ) 是定义3。2中的orbifold丛。令 E 0 = H 0 即可的定义2.1。

注2.3:把定义2.2中的 R n 换成 C n ,我们可以得到orbifold复丛的定义。

( p 0 , p 1 ) : ( H 0 , H 1 ) ( G 0 , G 1 ) 为一个orbifold复丛投射。对任意 g G 1 ,g在纤维上的作用相当于乘上一个方阵。因此,我们得到一个映射,

ϕ : G 1 G L ( n , C )

显然, ϕ 满足cocycle条件,即是对任意 g 1 , g 2 G 1 ϕ ( g 1 g 2 ) = ϕ ( g 1 ) ϕ ( g 2 ) 。称 ϕ 为纤维丛 ( E , H ) 的过渡函数。我们有以下性质。

定理2.4: ( X , G ) 上所有n维orbifold丛构成的集合与所有满足n维cocycle条件过渡函数构成的集合,即

{ ϕ : G 1 G L ( n , C ) | ϕ ( g 1 g 2 ) = ϕ ( g 1 ) ϕ ( g 2 ) , g 1 , g 2 G 1 }

之间存在一一对应。

证明:由前面的分析知道每个orbifold丛对应着一个过渡函数。

反之,设 ϕ : G 1 G L ( n , C ) 满足cocycle条件。令

H 0 G 0 × R n , H 1 G 1 × R n G 1 × G 0 H 0 .

定义结构映射

s : H 1 H 0 ( g , v ) ( s ( g ) , v ) t : H 1 H 0 ( g , v ) ( t ( g ) , ϕ ( g ) v )

和投射

( p 0 , p 1 ) : ( H 0 , H 1 ) ( G 0 , G 1 ) ,

其中

p 0 : H 0 G 0 ( x , v ) x p 1 : H 1 G 1 ( g , v ) g

是一个orbifold群胚,并且 ( p 0 , p 1 ) : ( H 0 , H 1 ) ( G 0 , G 1 )

是一个从 ( H 0 / H 1 , H ) ( X , G ) 的丛投射。

对于orbifold ( X , G ) ,定义 ( X , G ) 上的de Rham复型为

A p ( G ) = { ω Ω p ( G 0 ) | s ω = t ω }

由[ALR]知, d A p ( G ) A p + 1 ( G ) 。定义 ( X , G ) 上的de Rham上同调为

H ( G ) H ( A p + 1 ( G ) , d ) .

4. 联络

首先介绍单位分解。

定义3.1:设 ( X , G ) 为orbifold, { ρ i } i 为X上一族非负函数。若以下条件成立,

1) 对任意i, 0 ρ i 1 sup p p ρ i 紧并且存在 α ,使得 sup p p ρ i π α ( V α )

2) 对任意 p X i ρ i ( p ) 是一个有限和。

3) i ρ i 1

4) 对任意i, ρ i π α V α 上光滑函数。

则称为 { ρ i } i 为X上一个从属于 G 的单位分解。

利用微分几何的方法,容易验证任何orbifold上都有单位分解。

下面定义orbifold丛上的联络,并且证明所有orbifold丛都有联络。

定义3.2:设 ( p 0 , p 1 ) : ( H 0 , H 1 ) ( G 0 , G 1 ) 为从 ( E , H ) ( X , G ) 的丛投射。 ( E , H ) 上的联络定义为丛 p 0 : H 0 G 0 上的平常联络 D : Γ ( H 0 ) Γ ( T G 0 H 0 ) ,使得对任意

σ 1 , σ 2 Γ ( H 0 ) ,若 s σ 1 = t σ 2 ,则有 s D σ 1 = t D σ 2

对于的 G 0 每一个分支 V α ,取丛 H 0 | V α 的一个基底 S α A α β 为过渡矩阵,即 S α = A α β S β { ρ i } i 为X上一个从属于 G 的单位分解。构造联络方阵

ω α = i 1 | G β | ( t 1 ) ( ρ i π β s ) d A β α ( A β α ) 1 .

其中, sup p p ρ i π β ( V β ) 。令 D : Γ ( H 0 ) Γ ( T G 0 H 0 )

D S α = ω α S α ,

可以验证联络方阵满足

A α β s ω α ( A α β ) 1 + d A α β ( A α β ) 1 = t ω β , (3.1)

则D为orbifold丛 ( E , H ) 上的一个联络。

下面利用联络D构造陈特征。考虑曲率矩阵

Ω α = d ω α ω α ω α .

由(3.1)知 A α β s Ω α = t Ω β A α β 。即是 A α β s Ω α ( A α β ) 1 = t Ω β 。类似于光滑的情形,对任意 α ,我们可以构造

b i ( Ω α ) = t r ( 1 2 π Ω α ) i .

并且 s b i ( Ω α ) = t b i ( Ω β ) 。构造 b i ( Ω ) ,使得 b i ( Ω ) | V α = b i ( Ω α ) 。于是, b i ( Ω ) A p ( G ) 。称 b i ( Ω ) 为丛 ( E , H ) 的第i个chern特征。

文章引用: 林奕武 (2019) Orbifold丛与陈特征。 理论数学, 9, 627-631. doi: 10.12677/PM.2019.95083

参考文献

[1] Satake, I. (1957) On a Generalization of Manifold. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 42, 359-363.
https://doi.org/10.1073/pnas.42.6.359

[2] Satake, I. (1956) The Gauss-Bonnet Theorem of V-Manifold. Journal of the Mathematical Society of Japan, 9, 464-492.
https://doi.org/10.2969/jmsj/00940464

[3] Haefliger, A. (2001) Groupoids and Foliations. In: Ramsay, A. and Renault, J., Eds., Groupoid in Analysis, Geometry and Physics, American Mathematical Society, Providence, RI, 83-100.

[4] Adem, A., Leida, J. and Ruan, Y. (2007) Orbifolds and Stringy Topology. In: Cambridge Tracts in Mathematrics, Cambridge University Press, Cambridge, 1-56.
https://doi.org/10.1017/CBO9780511543081

[5] Moerdijk, I. (2002) Orbifolds as Groupoids: An Introduction. In: Adem, A., Ed., Orbifolds in Mathematics and Physics, American Mathematical Society, Providence, RI, 205-222.

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