PSL(2,2n)与单纯3-(2n + 1,2ld + 1,λ)设计(l为奇数,d|(2n - 1)且d ≥ 3)
PSL(2,2n) and Simple 3-(2n + 1,2ld + 1,λ) Designs Where l Is Odd, d|(2n - 1) and d ≥ 3

作者: 魏乐乐 , 李伟霞 :青岛大学数学与统计学院,山东 青岛;

关键词: 单纯t-设计射影特殊线性群自同构群Simple t-Designs Projective Special Linear Group Automorphism Group

摘要:
令X=GF(q)∪{∞}是射影直线。设l为奇数,d为满足d丨(2n-1)且d ≥ 3的正整数。本文确定了以PSL(2,2n)为自同构群,区组长度为2ld + 1,初始区组的稳定子群中含有d阶元的单纯3-设计的参数,并计算了构成这一参数的轨道的条数。利用PSL(2,2n)在X上作用的轨道,得到如下结论:这类单纯3-设计的参数为3-(2n + 1,2ld + 1,2l2ld-1)(2ld+1)),构成这一设计的轨道的条数为

Abstract: Let X=GF(q)∪{∞} be the projective line. Let l be an odd integer. The integer d satisfies d丨(2n-1) and d ≥ 3. In this paper, we determined the parameter set of simple 3-designs from PSL(2,2n) with block size 2ld + 1 where the stabilizer of the initial block contains order d element of PSL(2,2n) and calculated the number of the orbits which form the simple 3-design with that pa-rameter set. By using the orbits of PSL(2,2n) on the X, the results show that the number of the orbits is which forms the simple 3-(2n + 1,2ld + 1,2l2ld-1)(2ld+1)) design.

1. 引言

1.1. 研究背景

参数为 t - ( v , k , λ ) 的一个设计,简称t-设计,定义为符合以下条件的一对符号 ( X , B )

1) X是一个v-集合;

2) B 是X的一组k-子集;

3) X的任意给定的t-子集都恰好含于 B λ 个成员之中。

X的元素称为点, B 的成员称为区组。若一个 t - ( v , k , λ ) 设计不包含重复的区组,则称这个设计为单纯的。在本文中我们只考虑单纯t-设计。

G s y m ( X ) ,则对于任意的 g G S g = { x g : x S } S G = { S g : g G } 称为S的轨道, G S = { g G : S g = S } 称为S的稳定子群,且 | G | = | S G | | G S | ( X , B ) 的一个自同构是指具有下述性质的X的置换g:如果 B B ,则 B g B 。G是 (X, B ) 的自同构群当且仅当区组集 B 是G作用下X的k-子集的轨道的并。

令q为素数幂, X = G F ( q ) { } 为射影直线。对任意的 a , b , c , d G F ( q ) ,定义 a / 0 = + a = a + = ( a + b ) / ( c + d ) = a / c 。所有行列式为非零平方元的线性分式的集合构成线性分式群 L F ( 2 , q ) ,它同构于 P S L ( 2 , q ) 。即

L F ( 2 , q ) = { f | f : X X , x f = a x + b c x + d , a d b c } .

q = p n ,其中p为素数。利用 P S L ( 2 , q ) 为设计的自同构群来研究t-设计是一个可行的方法。特别的,文献 [1] 已完整解决了以 P S L ( 2 , q ) 为自同构群,区组长度为k的3-设计的存在性问题,其中 k 0 , 1 ( mod p ) 。文献 [2] [3] [4] [5] 完整讨论了以 P S L ( 2 , 2 n ) 为自同构群,区组长度为k ( 4 k 8 )的单纯3-设计的存在性问题。文献 [6] [7] 介绍了以 P S L ( 2 , 2 n ) 为自同构群,区组长度为d和的单纯3-设计的有关结果,这里 d | ( 2 n 1 ) 。文献 [8] - [13] 找到了一些 t 4 时的t-设计存在的例子。

注意到当 q = 2 n 时,对于任意的区组长度k总满足 k 0 , 1 ( mod 2 ) 。又 P S L ( 2 , 2 n ) = P G L ( 2 , 2 n ) 在X上的作用是精确3重传递的,故任意不相交的k-子集的轨道的并可构成单纯 3 ( 2 n + 1 , k , λ ) 设计,其中 λ 为正整数。

本文只考虑 q = 2 n 的情形。用表示 P S L ( 2 , 2 n ) ,用 表示射影直线。总假设l为奇数,d为满足 d | ( 2 n 1 ) d 3 的整数。利用 P S L ( 2 , 2 n ) 在X上作用的轨道,确定了以 P S L ( 2 , 2 n ) 为自同构群,区组长度为 2 l d + 1 ,初始区组的稳定子群中含有d阶元的单纯3-设计的参数,并计算了满足这一参数的轨道的条数。得到了如下结果:

定理:令B为 G 中一个d阶元的2l个d圈及其一个不动点所构成的X的 2 l d + 1 -子集,则 ( X , B G ) 构成一个 3 - ( 2 n + 1 , 2 l d + 1 , 2 l ( 2 l d 1 ) ( 2 l d + 1 ) ) 设计。构成这一设计的轨道的条数为 1 2 l i = 1 2 l 1 2 n 1 i d d

1.2. 预备知识

引理1 [14] :设 g G ,g的阶为h且 h > 1 ,则g有a个不动点和 b = ( 2 n + 1 a ) / h 个h圈。其中当 h = 2 时, a = 1 ;当 h | ( 2 n - 1 ) 时, a = 2 ;当 h | ( 2 n + 1 ) 时, a = 0

注:由引理1易知若B为X的一个k-子集, g G B 当且仅当B由g的q个h圈和r个不动点构成,其中 k = h q + r 0 r < h

引理2 [14] : G 的一个非平凡子群必为下列之一:

1)阶初等Abel群,其中 h n

2) d阶循环群,其中 d | ( 2 n 1 )

3) 二面体群 D 2 d ,其中 d | ( 2 n 1 )

4) 2 h 阶的初等Abel群和d阶循环群的半直积,其中 d | ( 2 n 1 )

5) P S L ( 2 , 2 k ) ,其中 k | n

6) 交错群 A 4

引理3 [6] :类型(4)的子群不可能是2d阶的。

引理4 [14] :所有二面体群 D 2 d G 中共轭。

以下总假设 d | ( 2 n 1 ) d 3 α G F ( 2 n ) 中的一个d阶元, x f 1 = α x x f 2 = 1 x G = f 1 , f 2 ,m为任意正整数,l为任意奇数。

引理5 [6] : G = f 1 , f 2 为一个二面体群 D 2 d

引理6 [7] :若S为一个 d + 1 -子集,则无二面体群 D 2 d 包含在 G S 中。

由引理6易得下面的推论。

推论1:若S为一个 m d + 1 -子集,则无二面体群 D 2 d 包含在 G S 中。

证明:若存在一个二面体群 D 2 d S ,由引理4及引理5知存在 g G ,使得 g 1 D 2 d g = G G S g 。由引理1知 S g f 1 的m个d圈和1个不动点构成,则 S g 中恰包含0和 中的一个元素。又因为 f 2 G G S g ,由此推得若 0 S g 必有 S g ,产生矛盾。证毕。

引理7 [6] :若S为X的k-子集,则 ( X , S G ) 是一个单纯 3 - ( 2 n + 1 , k , λ ) 设计,其中 λ = k ( k 1 ) ( k 2 ) | G S |

2 定理的证明

引理8:令B为 G 中一个d阶元的2l个d圈及其一个不动点所构成的X的 2 l d + 1 -子集,则 ( X , B G ) 构成一个 3 - ( 2 n + 1 , 2 l d + 1 , 2 l ( 2 l d 1 ) ( 2 l d + 1 ) ) 设计。

证明:由于 G B 中有d阶元,由引理2知 G B 不为类型(1)。由推论1知 G B 不为类型(3)。进一步的 G B 不为类型(5),否则存在一个二面体群 D 2 d 包含在 G B 中,与推论1矛盾。又类型(6)是类型(4)的一种情形,综上述 G B 只能为类型(2)或类型(4)的子群。可设 | G B | = 2 h d ,其中h为非负整数。由引理7知 λ = ( 2 l d + 1 ) 2 l d ( 2 l d 1 ) 2 h d 为整数,又l是奇数,故 h = 0 或1。再由引理3知 h = 0 。故 ( X , B G ) 构成一个 3 - ( 2 n + 1 , 2 l d + 1 , 2 l ( 2 l d 1 ) ( 2 l d + 1 ) ) 设计。

推论2:令S为X的 2 l d + 1 -子集,若 G S 中有d阶元,则 G S 为d阶循环群。

引理9:设S是X的 m d + 1 -子集,若 G S 中有d阶元,则轨道 S G 中包含形如 { 1 , α , , α d 1 , β 1 , β 1 α , , β 1 α d 1 , , β m 1 , β m 1 α , , β m 1 α d 1 , } 的区组。其中 α G F * ( 2 n ) 中的一个d阶元, β i G F * ( 2 n ) i = 1 , 2 , , m 1 )。

引理10:若 ( X , Γ ) 是一个 3 - ( 2 n + 1 , m d + 1 , m ( m d 1 ) ( m d + 1 ) ) 设计,则轨道 Γ 中包含m个形如 { 1 , α , , α d 1 , β 1 , β 1 α , , β 1 α d 1 , , β m 1 , β m 1 α , , β m 1 α d 1 , } 的区组。其中 α G F * ( 2 n ) 中的一个d阶元, β i G F * ( 2 n ) ( i = 1 , 2 , , m 1 )。

证明:设S为轨道 Γ 中的一个区组。由引理7得 | G S | = d ,即d阶循环群。由引理9可设

S = { 1 , α , , α d 1 , β 1 , β 1 α , , β 1 α d 1 , , β m 1 , β m 1 α , , β m 1 α d 1 , } .

S = { 1 , α , , α d 1 , β 1 , β 1 α , , β 1 α d 1 , , β m 1 , β m 1 α , , β m 1 α d 1 , }

与S位于同一条轨道,则存在 G 中的一个线性分式 f ,使得 S f = S 。设 x f = a x + b c x + d x f 1 = α x 。由于 | G S | = | G S | = d f 1 G S G S ,从而 G S = G S = f 1 。又 G S = f 1 G S f ,由此可得 f G S = G S f 。即 { f , f f 1 , , f f 1 d 1 } = { f , f 1 f , , f 1 d 1 f } 。对于 1 i d 1 ,若 f f 1 = f 1 i f ,则对任意的 x X ,有 x f f 1 = x f 1 i f 。即

a α x + b α c x + d = a α i x + b c α i x + d .

由上述等式知存在 u G F ( 2 n ) ,使得

[ a α b α c d ] = u [ a α i b c α i d ] .

故只能 u = 1 b = c = 0 i = 1 。即 f f 1 = f 1 f 。可令 x f = r x ,其中 r = a d 。因此

S = S f = { r , r α , , r α d 1 , r β 1 , r β 1 α , , r β 1 α d 1 , , r β m 1 , r β m 1 α , , r β m 1 α d 1 , } .

S = { 1 , α , , α d 1 , β 1 , β 1 α , , β 1 α d 1 , , β m 1 , β m 1 α , , β m 1 α d 1 , } ,令 H = α ,从而 r H r β j H ,其中 1 j m 1 。下分两种情况讨论:

1) 若 r H ,从而 S = S

2) 若 r β 1 H ,不失一般性,可令 r β 1 H ,从而

S = { β 1 , β 1 α , , β 1 α d 1 , β 1 β 1 , β 1 β 1 α , , β 1 β 1 α d 1 , , β 1 β m 1 , β 1 β m 1 α , , β 1 β m 1 α d 1 , } .

故对于 1 ≤ k ≤ m−1,必存在 β 1 β k H 。即

S = { β k 1 , β k 1 α β k 1 α d 1 , β k 1 β 1 , β k 1 β 1 α , , β k 1 β 1 α d 1 , , β k 1 β m 1 , β k 1 β m 1 α , , β k 1 β m 1 α d 1 , } .

x g k = β k 1 x Math_207#,其中 β 0 = 1 ,则上述 S = S g k 。综上述若 S S G 当且仅当 S = S g k Math_212#。

下证 S , S g 1 , S g 2 , , S g m 1 互不相同。由此说明 Γ 中包含m个形如 { 1 , α , , α d 1 , β 1 , β 1 α , , β 1 α d 1 , , β m 1 , β m 1 α , , β m 1 α d 1 , } 的区组。对于任意的 0 s , t m 1 ,若 S g s = S g t ,则 g s g t 1 G S = f 1 ,即 β s 1 β t H 。从而 β s 1 β t { 1 , α , , α d 1 } = { 1 , α , , α d 1 } ,即

{ β t , β t α , , β t α d 1 } = { β s , β s α , , β s α d 1 } .

这是不可能的。

引理11:构成 3 - ( 2 n + 1 , 2 l d + 1 , 2 l ( 2 l d 1 ) ( 2 l d + 1 ) ) 设计的轨道的条数为 1 2 l i = 1 2 l 1 2 n 1 i d d

证明:设l为奇数, α G F * ( 2 n ) 中的一个d阶元, β i G F * ( 2 n ) ( i = 1 , 2 , , 2 l 1 )。令 B = { S | S = { 1 , α , , α d 1 , β 1 , β 1 α , , β 1 α d 1 , , β 2 l 1 , β 2 l 1 α , , β 2 l 1 α d 1 , } } ,易得 B 中元素的个数为。再由引理10可得构成 3 - ( 2 n + 1 , 2 l d + 1 , 2 l ( 2 l d 1 ) ( 2 l d + 1 ) ) 设计的轨道条数为 1 2 l i = 1 2 l 1 2 n 1 i d d

定理:令B为 G 中一个d阶元的2l个d圈及其一个不动点所构成的X的 2 l d + 1 -子集,则 ( X , B G ) 构成一个 3 - ( 2 n + 1 , 2 l d + 1 , 2 l ( 2 l d 1 ) ( 2 l d + 1 ) ) 设计。构成这一设计的轨道的条数为 1 2 l i = 1 2 l 1 2 n 1 i d d

证明:利用引理8和引理11可以得到定理。

推论3:令B为 G 中一个d阶元的2l个d圈及其一个不动点所构成的X的 2 l d + 1 -子集,则对于任意的正整数t,其中 1 t 1 2 l i = 1 2 l 1 2 n 1 i d d ,可构造出单纯 3 - ( 2 n + 1 , 2 l d + 1 , 2 l ( 2 l d 1 ) ( 2 l d + 1 ) ) 设计。

致谢

衷心感谢导师李伟霞在本文写作过程中的悉心指导!

NOTES

*通讯作者。

文章引用: 魏乐乐 , 李伟霞 (2019) PSL(2,2n)与单纯3-(2n + 1,2ld + 1,λ)设计(l为奇数,d|(2n - 1)且d ≥ 3)。 理论数学, 9, 540-545. doi: 10.12677/PM.2019.94071

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