Qp×Qp上仿射映射的动力学性质
On Dynamics of Affine Map on Qp×Qp

作者: 肖云鹏 :上海大学理学院数学系,上海;

关键词: 极小分解仿射映射非阿基米德域Minimal Decomposition Affine Map Non-Archimedean Field

摘要:
本文研究了仿射映射TA,b(X)=AX+b在二维非阿基米德空间Qp×Qp上仿射动力学的性质。主要包括对于不同类型的A,该动力系统的极小集,轨迹闭包等。

Abstract: The dynamical structure of affine map TA,b(X)=AX+b  on Qp×Qp is described in this paper. We mainly discuss minimal sets and orbit closure.

1. 引言

p 2 是一个素数, Q p 是p-adic数域且 Z p 是p-adic整数环。 Q p 中任意点x可以表示为 i m p i u i ,其中 u i F = { 0 , 1 , 2 , , p 1 } m Z u m F * = { 1 , 2 , p 1 } 。非零元素x的赋值为 v p ( x ) = m x 0 的绝对赋值是 | x | p = p v p ( x ) 且若 x = 0 ,设 | x | p = 0 。赋予了绝对值 | | p Q p 是一个非阿基米德空间。

Oselies和Zieschang在1975年在 Z p 上研究了仿射动力系统,具体地,他们研究形如 M a ( x ) = a x (其中 )的映射在 Z p * 动力学性质 [1] 。2006年,Fan,Li,Yao和Zhou对p-adic整数系数仿射映射 f = α x + β ,(其中 α , β , x Z p )在 Z p 上的极小分解与唯一遍历性进行了研究并发表了文章 [2] 。2011年,Fan和Fares研究了系数在 Q p 上的仿射映射的遍历性分解 [3] 。2011年,Fan和Liao研究了p-adic多项式动力系统的极小分解 [4] 。2014年,Fan,Liao和Wang发表了关于p-adic分式变换的动力系统的极小分解的研究成果 [5] 。

我们在本文中讨论二维的仿射映射

T A , b ( X ) = A X + b (1.1)

Q p × Q p 上的动力学性质,其中 A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) b = ( b 1 b 2 ) X = ( x 1 x 2 ) 且所有的元素都在 Q p 中。

m > 1 Z * , n Z 对于二次同余式

x 2 n mod m , ( n , m ) = 1 (1.2)

若式(1.2)有解,则称n为模m的二次剩余;若无解,则称n为模m的二次非剩余。

M , N 都是2阶方阵,若存在2阶可逆矩阵P,使得 P 1 M P = N ,则称M与N相似,P称为相似变换阵。

Δ = ( a 11 a 22 ) 2 + 4 a 12 a 21 ,则

1) 如果 Δ 0 是模p的二次剩余,那么A与 ( λ 1 0 0 λ 2 ) 相似。

2) 如果 Δ = 0 ,那么A与 ( λ 1 0 λ ) 相似,其中 v p ( λ ) = 0

3) 如果 Δ 是模p的二次非剩余。

注:本文研究情况1)和2)中 | λ | p 1 | λ | p = 1 的情况。

对应于式子(1.1)中不同类型的A,根据上述中1) 2),我们得到与 T A , b 共轭的仿射映射,分别是:

类型1 T B , b ( x ) = ( λ 1 0 0 λ 2 ) ( x 1 x 2 ) + ( β 1 β 2 ) ,其中 β 1 , β 2 Q p

类型2 T B , b ( x ) = ( λ 1 0 λ ) ( x 1 x 2 ) + ( β 1 β 2 ) ,其中 β 1 , β 2 Q p

我们得出以下结果:

定理1. 针对类型1中仿射映射 T B , b ( X ) ,动力系统 ( Q p × Q p , T B , b ( X ) ) 分解成:

Q p × Q p = P M H ,

其中P代表 的吸引域, M = i M i 是所有(至少可数多个)闭开集 M i 的并,其中 M i 是有限个圆盘的并而且子系统 T B , b : M i M i 是极小的。H中的点最终会落在P与M中。

具体分解如下:

1) 如果 λ 1 = λ 2 = 1 ,则有 D v p ( β 1 ) ( 0 ) × D v p ( β 2 ) ( 0 ) 包含于M。根据 r i < v p ( β i ) 时, S r i ( 0 ) p v p ( β i ) r 1 ( p 1 ) ( i = 1 , 2 ) 个极小集组成。此时 Q p × Q p 包含于M, P = H =

2) 如果 | λ 1 | p > 1 | λ 2 | p > 1 P = { } × { } { β 1 1 λ 1 } × { β 2 1 λ 2 } { β 1 1 λ 1 } × { } { } × { β 2 1 λ 2 } M = H = Q p × Q p \ { { } × { } { β 1 1 λ 1 } × { β 2 1 λ 2 } { β 1 1 λ 1 } × { } }

3) 当 | λ 1 | p < 1 | λ 2 | p < 1 ,则 P = { β 1 1 λ 1 } × { β 2 1 λ 2 } M = H = Q p × Q p \ { β 1 1 λ 1 } × { β 2 1 λ 2 }

4) 若 λ 1 , λ 2 1 ,且存在 d i 2 使得 。则对于任意的 X Q p × Q p T B , b n ( X ) [ d 1 , d 2 ] -周期的( [ d 1 , d 2 ] 代表 d 1 d 2 的最小公倍数)。此时 P = Q p × Q p M = H =

5) 如果 | λ 1 | p = 1 | λ 2 | p = 1 ,且 λ i V ,则对于 r i Z S r i ( β i 1 λ i ) p v 0 ( λ i ) ( p 1 ) δ i 个极小集组成,其中 δ i λ i 在群 ( Z p / p v 0 ( λ i ) Z p ) * ( i = 1 , 2 ) 的阶。此时 S r i ( β i 1 λ i ) × S r i ( β i 1 λ i ) 包含在M中。所以 M Q p × Q p P = H =

对于类型2中仿射映射 T B , b ,其在 Q p × Q p 上的一些动力学性质如下结果给出。

定理2. 如果 λ = 1 ,则 T B , b ( x ) = ( λ 1 0 λ ) ( x 1 x 2 ) + ( β 1 β 2 ) 以初始点为 { x 1 } × { x 2 } Q p × Q p 中轨迹有以下性质:

1) 当 p > 2 且p是素数时,

a) 如果 β 2 = 0 { T B , b n : n 0 } ¯ = { x 1 + p v p ( x 2 ) Z p } × { x 2 }

b) 如果 v p ( β 2 ) = s 0 ,且 β 2 2 = p s u ,其中 u Z p * ,则当 v p ( x 2 ) s { T B , b n : n 0 } ¯ = { D } × { D } ,其中 D = j = 1 p 1 2 i = 0 p 2 i ( a j + p Z p ) D = x 1 ( 2 x 2 β 2 ) 2 8 β 2 j = 1 p 1 2 u D j

D j = i = 0 p 2 i + s ( b j + p Z p ) a j b j 是模p的二次剩余。

2) 当 p = 2 时,

a) 如果 β 2 = 0 { T B , b n : n 0 } ¯ = { x 1 + p v p ( x 2 ) Z p } × { x 2 }

b) 如果 β 2 0 ,令 v 2 ( β 2 ) = t β 2 2 = 2 t 1 w ,其中 w Z 2 * ,我们得到当 v 2 ( x 2 ) = t 1 v 2 ( 2 x 2 β 2 ) 0 { T B , b n : n 0 } ¯ = { D } × { D v 2 ( β 2 ) } ,其中 D = x 1 ( 2 x 2 β 2 ) 2 8 β 2 w D D = i = 0 ( 2 2 i + t ( 1 + 8 Z 2 ) )

定理2的结论有助于得到系统极小分解的相关内容。

2. 预备知识

我们首先介绍有关p-adic数域 Q p 的一些基本性质以及本文所需的一些基本概念。

Q p = { n v p ( x ) x n p n : x n { 0 , 1 , 2 , , p 1 } , n v p ( x ) } .

Z p 为N关于 | | p 的闭包,则 Z p = { n = 0 x n p n : 0 x n < p } = { x Q p : | x | p 1 }

Z p 是个局部环。对任意 x Q p 可以分解为 x = p n u ,其中 n Z , u Z p *

令X是紧度量空间,且 T : X X 是一个连续映射。对于任意的 x X ,我们称 { T n x : n 0 } 为x在T下的轨迹。其闭包表示为 { T n x : n 0 } ¯ 。如果对于所有的 x X ,都有 X = { T n x : n 0 } ¯ ,则称系统 ( X , T ) 是极小的。

对于 x Q p r Z ,我们令

D r ( x ) = { y Q p : v p ( y x ) r } ;

S r ( x ) = { y Q p : v ( y x ) = r } ;

V = { x Q p : x p 1 = 1 } .

p 3 时, s p = 1 p = 2 时, s p = 2 。对于在 Z p 中的单位a,令

δ = δ ( a ) = inf { n 1 , v p ( a n 1 ) s p } ;

v 0 = v 0 ( a ) = v p ( a δ 1 ) .

引理1 [3] . 令 φ ( x ) = x + b ( b 0 ) 是在 Q p 上的平移变换。则有

1) 圆盘 D v p ( b ) ( 0 ) 是极小的。

2) 对于任意的整数 r < v p ( b ) ,圆周 S r ( 0 ) 包含 p v ( b ) r 1 ( p 1 ) 个极小集。

引理2 [3] . 考虑在 Q p 上的仿射映射 φ ( x ) = a x + b 。假设 v p ( a ) = 0 且a不是单位元的根.令 x 0 φ ( x ) 的唯一不动点。

1) 对于 x , y Q p ,我们有 O ( x ) ¯ = O ( y ) ¯ 当且仅当 v p ( y x 0 ) = v p ( x x 0 ) y x 0 x x 0 是在由a生成的 ( Z / p v 0 ) * 的子群中。

2) 对于 r Z ,球体 S r ( x 0 ) 包含 p v 0 ( p 1 ) δ 个极小集,其中 δ 是a在群 ( Z p / p v 0 Z p ) * 的阶。

引理3 [4] . 令 F ( x ) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + + c n x n 是一个系数是p-adic整数的多项式。令 F ( x ) = c 1 + 2 c 2 x + + n c n x n 1 F ( x ) 的导函数。假设 a ¯ 0 是满足 F ( a ¯ 0 ) 0 ( mod p ) F ( a ¯ 0 ) 0 ( mod p ) 的p-adic整数。

引理4 [6] . 一个不被p整除的整数a在 Z p ( p 2 ) 有平方根当且仅当a是模p的二次剩余。

引理5. 对于素数 p 3 ,可得 { n 2 : n 0 } ¯ = j = 1 p 1 2 D j ,其中 D j = i = 0 p 2 i ( a j + p Z p ) a j 是模p的二次剩余。

证明:考虑二次多项式 P ( x ) = x 2 a = 0 ,其中a是一个p-adic整数。上述 P ( x ) = 0 Z p 上有根仅当 v p ( a ) = v p ( x 2 ) = 2 v p ( x ) 是偶数,设为2m,其中 m Z 。进而 v p ( a p 2 m ) = 0 ,故不妨设 v p ( a ) = 0 ,我们知道在循环群 F p * 中,平方将其分为秩为2的子群。假设 a 1 = 1 , a 2 = 2 2 p , a 3 = 3 2 p , , a p 1 2 = p 1 2 p 是模p的二次剩余,其中 a i , i = 1 , 2 , 3 , , p 1 2 是有理整数,根据引理4可得 D j = i = 0 p 2 i ( a j + p Z p ) j = 1 , 2 , 3 , , p 1 2 ,在 Z p 上有二次根,结论得证。

引理6. 对于 p = 2 ,有 { n 2 : n 0 } ¯ = i = 1 ( 2 2 i ( 1 + 8 Z 2 ) )

证明:由 [7] 可得 a Z 2 * 是平方数当且仅当 a 1 + 8 Z 2 ,由此可知若 a Z 2 * { n 2 : n 0 } ¯ ,则 a 1 + 8 Z 2 。同时可知 2 2 m ( 1 + 8 Z 2 ) { n 2 : n 0 } ¯ , m = 1 , 2 , 3 , 。相反的,每一个 a 2 2 m ( 1 + 8 Z 2 ) m = 1 , 2 , 3 , ,在 Q p 中有平方根。

引理7 [2] . 对于任意 x Z p ,有 O T 1 , 1 ( x ) = x + N Z p 中稠密。

3. 定理的证明

定理1的证明:

1) 我们有

T B , b ( X ) = ( λ 1 0 0 λ 2 ) ( x 1 x 2 ) + ( β 1 β 2 ) = ( λ 1 x 1 + β 1 λ 2 x 2 + β 2 ) = ( δ 1 ( X ) δ 2 ( X ) ) .

根据引理1, D v p ( β 1 ) ( 0 ) × D v p ( β 2 ) ( 0 ) 是极小集,因此包含于M。同时 r i < v p ( β i ) 时, S r i ( 0 ) 是由 p v p ( β i ) r 1 ( p 1 ) ( i = 1 , 2 ) 个极小集组成。因此 S r 1 ( 0 ) × S r 2 ( 0 ) 包含于M。故(1)成立。

2) | λ 1 | p > 1 , | λ 2 | p > 1 时,任意 x Q p \ β i 1 λ i ,都有 lim n δ i n ( x ) = ,因此 Q p \ β i 1 λ i 的吸引域内,而 β i 1 λ i , i = 1 , 2 δ i ( X ) 的不动点,所以结论得证。

3) | λ 1 | p < 1 , | λ 2 | p < 1 时, β i 1 λ i , i = 1 , 2 δ i ( X ) 的唯一不动点,当 x Q p \ β i 1 λ i 时, lim n δ i n ( x ) = β i 1 λ i , i = 1 , 2 ,所以任意 x Q p \ β i 1 λ i β i 1 λ i 的吸引域内,结论得证。

4) 若 λ 1 , λ 2 1 ,但存在 d i 2 ,使得 λ i d i = 1 ( i = 1 , 2 ) ,对于任意的 x Q p \ β i 1 λ i 时, δ i n ( x ) d i -周期的,因此 X Q p × Q p T B , b n ( X ) [ d 1 , d 2 ] -周期的( [ d 1 , d 2 ] 代表 d 1 d 2 的最小公倍数),结论得证。

5) 如果 | λ 1 | p = 1 , | λ 2 | p = 1 λ i V ,则由引理2知,对于 r i Z S r i ( β i 1 λ i ) p v 0 ( λ i ) ( p 1 ) δ i 个极小集组成,其中 δ i λ i 在群 ( Z p / p v 0 ( λ i ) Z p ) * ( i = 1 , 2 ) 的阶。此时 S r i ( β i 1 λ i ) × S r i ( β i 1 λ i ) 包含在M中。结论得证。

为了证明2,我们需要以下两个引理。

引理8. 当p是素数且 p > 2 β 2 2 = p s u ,其中 u Z p * n N *

{ x 1 ( 2 x 2 β 2 ) 2 8 β 2 + β 2 2 ( n + 2 x 2 β 2 2 β 2 ) 2 : n 0 } ¯

如下给出:

v p ( x ) s , { x 1 ( 2 x 2 β 2 ) 2 8 β 2 + β 2 2 ( n + 2 x 2 β 2 2 β 2 ) 2 : n 0 } ¯ = x 1 ( 2 x 2 β 2 ) 2 8 β 2 + j = 1 p 1 2 u B j ,

其中 D j = i = 0 p 2 i + s ( a j + p Z p ) a j 是模p的二次剩余。

证明: v p ( x ) s ,则 v p ( 2 x 2 β 2 2 β 2 ) 0 { x 1 ( 2 x 2 β 2 ) 2 8 β 2 + β 2 2 ( n + 2 x 2 β 2 2 β 2 ) 2 : n 0 } ¯ = { x 1 ( 2 x 2 β 2 ) 2 8 β 2 + β 2 2 n 2 : n 0 } ¯ ,因为由引理7知, { ( n + 2 x 2 β 2 2 β 2 ) 2 : n 0 } ¯ = { n 2 : n 0 } ¯ 。设 β 2 2 = p s u ,其中 u Z p * ,则由引理5知, { β 2 2 ( n + 2 x 2 β 2 2 β 2 ) 2 : n 0 } ¯ = j = 1 p 1 2 u D j ,其中 D j = i = 0 p 2 i + s ( a j + p Z p ) a j 是模p的二次剩余。

引理9. 当 p = 2 β 2 2 = 2 t 1 w ,其中 w Z 2 * ,我们得到当 v 2 ( x 2 ) = t 1 v 2 ( 2 x 2 β 2 ) 1 + t ,则

{ x 1 ( 2 x 2 β 2 ) 2 8 β 2 + β 2 2 ( n + 2 x 2 β 2 2 β 2 ) 2 : n 0 } ¯ = x 1 ( 2 x 2 β 2 ) 2 8 β 2 + w D ,

其中 D = i = 0 ( 2 2 i + t ( 1 + 8 Z 2 ) )

证明:类似于引理8的证明。

定理2的证明:

λ = 1 时, T B , b ( x ) = ( 1 1 0 1 ) ( x 1 x 2 ) + ( β 1 β 2 ) 。因为 T 0 , C T B , b ( X ) = T B , b T 0 , C ( X ) ,其中 T 0 , C = X + ( 0 β 2 ) ,则 T B , b ( x ) T B , b ( x ) = ( 1 1 0 1 ) ( x 1 x 2 ) + ( 0 β 2 ) 共轭。

T B , b n ( X ) = ( x 1 + n x 2 + ( n 1 ) n 2 β 2 x 2 + n β 2 ) .

首先,考虑 x 1 + n x 2 + ( n 1 ) n 2 β 2 ,则当 β 2 = 0 v p ( x 2 ) = s 时, { x 1 + n x 2 : n 0 } ¯ = x 1 + p s Z p ,而当 β 2 0 ,上式变形为 x 1 ( 2 x 2 β 2 ) 2 8 β 2 + β 2 2 ( n + 2 x 2 β 2 2 β 2 ) 2 ,由引理8与引理9,结论得证。对 x 2 + n β 2 ,当 β 2 = 0 x 2 + n β 2 = x 2 。而当 β 2 0 ,根据引理1,结论得证。

文章引用: 肖云鹏 (2019) Qp×Qp上仿射映射的动力学性质。 理论数学, 9, 533-539. doi: 10.12677/PM.2019.94070

参考文献

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[3] Fan, A. and Liao, L. (2011) On Minimal Decomposition of p-Adic Polynomial Dynamical Systems. Advances in Mathematics, 228, 2116--2144.
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