亚纯函数分担集合的正规定则
Normality Concerning Meromorphic Functions and Shared Set

作者: 蔡金华 , 党国强 :广州大学数学与信息科学学院,广东 广州;

关键词: 亚纯函数正规族分担集合Meromorphic Functions Normality Shared Set

摘要:
讨论了亚纯函数分担集合的正规定则,主要结果为:设是区域D内的一族亚纯函数,a,b和c是三个有限复数,且a≠b,k和q是两个正整数,令S=﹛a,b﹜。若对任意的f∈ ,满足:1) ∀z∈D,h(f(k)(z))∈S⇒f(z)∈S,其中ai(z)(i=1,2,…,q-1)是全纯函数,
h(f(k)(z))=(f(k)(z))q+aq-1(z)(f(k)(z))q-1+…+a1(z)f(k)(z);2) f-c的零点重级至少为k+1,则 在D内正规。

Abstract: The normal family of meromorphic functions concerning shared set was studied. The following result was proved: Let be a family of meromorphic functions in a domain D, a, b and c be three finite complex numbers, where a≠b, k and q be two positive integers, let S=﹛a,b﹜. If for each f∈, 1) z∈D,h(f(k)(z))∈S⇒f(z)∈S,  where ai(z)(i=1,2,…,q-1) is holomorphic function and h(f(k)(z))=(f(k)(z))q+aq-1(z)(f(k)(z))q-1+…+a1(z)f(k)(z); 2)f-c have zeros with multiplicities at least k+1, then is normal in D.

1. 引言及主要结果

F 为区域D内的一族亚纯函数,如果对于 F 的任一函数序列 { f n ( z ) } 均可选出一个子序列 { f n j ( z ) } 在区域D上按球距内闭一致收敛,则称 F 在D内正规。

设f和g是区域D内的两个亚纯函数,a是一个复数。若 f ( z ) a g ( z ) a 在D有相同的零点,则称f与g在区域D内分担a或称IM分担a;若 f ( z ) a g ( z ) a 在D有相同的零点并且所有零点的重级也相同,则称f与g在区域D内CM分担a。

用记号 f ( z ) = a g ( z ) = a 来表示若 f ( z ) = a g ( z ) = a ,如果 f ( z ) = a g ( z ) = a g ( z ) = a f ( z ) = a ,我们记为 f ( z ) = a g ( z ) = a 。如果把复数a替换为集合S,我们记为 f ( z ) S g ( z ) S

1992年,Schwick [1] 首次把亚纯函数正规族与分担值联系起来,证明了

定理A设 F 为区域D上的非常数亚纯函数, a 1 a 2 a 3 是三个互相判别的有穷复数。若对任意的 f F ,f与 f 分担 a i i = 1 , 2 , 3 ,则 F 在D内正规。

此后,与分担值结合的亚纯函数正规定则在文 [2] [3] [4] 中得到进一步研究。自然地,人们会问:如果将分担三个复数 a 1 , a 2 , a 3 替换为分担集合 S = { a 1 , a 2 , a 3 } ,相应的结论是否成立?2007年,刘晓俊和庞学诚 [5] 考虑亚纯函数及其一阶导数分担一个集合的正规性问题,证明了?

定理B设 F 为区域D内的一族亚纯函数, a 1 a 2 a 3 是三个互相判别的有限复数, S = { a 1 , a 2 , a 3 } ,若对任意的 f F f ( z ) S f ( z ) S ,其中 z D ,则 F 在D内正规。

一个自然的问题是将定理B中的 f 改为 f ( k ) ,结论是否仍然成立。2011年,张汉等人 [6] 探究f和 f ( k ) 分担一个集合的正规性,证明了

定理C设 F 为区域D内的一族亚纯函数, a 1 a 2 a 3 为三个互相判别的有限复数, S = { a 1 , a 2 , a 3 } k ( > 2 ) 是一个正整数,a为任意有限复数。若对任意的 f F f a 的零点和极点重级都 k ,且 f ( z ) S f ( k ) ( z ) S ,其中 z D ,则 F 在D内正规。

2008年,韩明华和顾永兴 [7] 探讨 f ( k ) 和f分担两个值的情形,证明了

定理D设 F 为区域D内的一族亚纯函数, a 1 a 2 和c是三个有限复数且 a 1 a 2 。若对任意的 f F ,满足,1) f c 的零点重级均 k + 1 ;2) f ( k ) ( z ) = a i f ( z ) = a i ,其中 i = 1 , 2 z D ,那么 F 在D内正规。

2018年,陈鸿辉等人 [8] 考虑 ( f ( k ) ) q 和f分担一个集合S的情况,证明了

定理E设 F 为区域D内的一族亚纯函数,a,b和c是三个判别的有限复数且 a b ,k是正整数,令 S = { a , b } 。若对任意的 f F ,满足,1) f c 的零点重级均 k + 1 ;2) ( f ( k ) ( z ) ) q S f ( z ) S ,其中 z D ,则 F 在D内正规。

本文推广了定理E,证明了

定理1设 F 是区域D内的一族亚纯函数,a,b和c是三个有限复数,且 a b k 和q是两个正整数,令 S = { a , b } 。若对任意的 f F ,满足,1) f c 的零点重级 k + 1 ;2) h ( f ( k ) ( z ) ) S f ( z ) S ,其中 z D a 1 , , a q 1 是全纯函数,且 h ( f ( k ) ( z ) ) = ( f ( k ) ( z ) ) q + a q 1 ( z ) ( f ( k ) ( z ) ) q 1 + + a 1 ( z ) f ( k ) ( z ) ,则 F 在D内正规。

下面的例子说明定理1中的条件“ f c 的零点重级 k + 1 ”是必须的。

例1令 D = { z : | z | < 1 } ,k和q是两个正整数, S = { 1 , 1 } q = 1 c = 0 f F = { f n ( z ) } ,其中 f n ( z ) = n z k n = 2 , 3 , 。显然 ( f ( k ) ( z ) ) q S f ( z ) S 。但是, F 在D上不正规。

2. 引理

定理的证明需要下列引理。

引理1 (Zalcman-Pang引理) [9] 设 F 为区域D内的一族亚纯函数,k为正整数, F 中的每个函数的零点重级至少为k,且存在一个正数A,若 f ( z ) = 0 ,必有 | f ( k ) ( z ) | A 。那么,若 F 在D内不正规,则对于每一个 α 0 α k ,存在

1) 函数列 f n F

2) 点列 z n D z n z 0

3) 正数列 ρ n 0

4) 实数r, 0 < r < 1

使得函数 g n ( ξ ) = f n ( z n + ρ n ξ ) ρ n α 在复平面C上按球面距离内闭一致收敛于一个非常数亚纯函数 g ( ξ ) ,并且 g ( ξ ) 的零点重级均 k ,它的级至多为2。

引理2 [10] 设 f ( z ) 为复平面上的一个超越亚纯函数,k为一个正整数,b为非零有限复数,则f或者 f ( k ) b 有无穷多个零点。

引理3 [11] 设 f ( z ) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 0 + q ( z ) p ( z ) a 0 , a 1 , , a n ( 0 ) 是常数。 q ( z ) p ( z ) 是两个互素的多项式,且 deg q ( z ) < deg p ( z ) = m ,k是正整数。若 f ( k ) 1 ,则有

1) n = k , n ! a n = 1

2) f ( z ) = z k k ! + + a 1 + a 0 + 1 ( a z + b ) m ,其中 a ( 0 ) 和b是常数;

3) 若 f ( z ) 的零点重级均 k + 1 ,则结论2) 中 m = 1 ,且 f ( z ) = ( c z + d ) k + 1 a z + b ,其中 a ( 0 ) , b 和d是常数。

引理4 [12] 设k是一个正整数,f是一个有穷级的亚纯函数,且零点重级至少为k。设a是一个非零复数,若 f ( z ) f ( k ) ( z ) 分担0,且 f ( k ) ( z ) a ,则f是一个常数。

3. 定理1的证明

假设 F 在D内不正规,则 F z 0 D 内不正规。由引理1,可知存在函数列 f n F ,点列 z n D z n z 0 ,正数列 ρ n 0 ,使得函数 g n ( ξ ) = f n ( z n + ρ n ξ ) c ρ n α 在复平面C上按球面距离内闭一致收敛于一个非常数亚纯函数 g ( ξ ) ,且 g ( ξ ) 的级至多为2,零点重级均 k + 1

下面我们分两种情形进行讨论。

情形1 c S 。即 a c b c 。为了明确起见,不妨假设 a 0

我们断言

1) h ( g ( k ) ( ξ ) ) a

2) h ( g ( k ) ( ξ ) ) b

下面我们证明断言1),因为

g n ( ξ ) = f n ( z n + ρ n ξ ) c ρ n k g (ξ)

g n ( k ) ( ξ ) = f n ( k ) ( z n + ρ n ξ ) g ( k ) (ξ)

( g n ( k ) ( ξ ) ) q = ( f n ( k ) ( z n + ρ n ξ ) ) q ( g ( k ) ( ξ ) ) q

其中 ξ { ξ : g ( ξ ) }

可证 h ( g ( k ) ( ξ ) ) a ,否则, h ( g ( k ) ( ξ ) ) a ,由 h ( f ( k ) ( ξ ) ) 的定义,可找到一个非零常数w,使 g ( k ) ( ξ ) w ,进而可知 g ( ξ ) 是一个次数为k次的多项式。由于 g ( ξ ) 的零点重级均 k + 1 ,则 g ( ξ ) 为常数。矛盾。假设存在一点 ξ 0 ,使得 h ( g ( k ) ( ξ 0 ) ) = a ,故 ξ 0 不是 g ( ξ ) 的极点。取 δ ( ξ 0 ) > 0 ,使 g ( ξ ) Δ = { ξ : | ξ ξ 0 | < δ } 内是全纯的,因此在 Δ 内有

h ( f n ( k ) ( z n + ρ n ξ ) ) a = ( f ( k ) ( z n + ρ n ξ ) ) q + a q 1 ( z n + ρ n ξ ) ( f ( k ) ( z n + ρ n ξ ) ) q 1 + + a 1 ( z n + ρ n ξ ) f ( k ) ( z n + ρ n ξ ) a = ( g ( k ) ( z n + ρ n ξ ) ) q + a q 1 ( z n + ρ n ξ ) ( g ( k ) ( z n + ρ n ξ ) ) q 1 + + a 1 ( z n + ρ n ξ ) g ( k ) ( z n + ρ n ξ ) a = h ( g n ( k ) ( z n + ρ n ξ ) ) a

由Hurwitz定理,可找到一个点列 { ξ n } Δ ξ n ξ 0 ,使 h ( g n ( k ) ( z n + ρ n ξ n ) ) a = 0 。由条件可知, f n ( z n + ρ n ξ ) = a 或者 f n ( z n + ρ n ξ ) = b

如果 f n ( z n + ρ n ξ ) = a ,可得 g ( ξ 0 ) = lim n f n ( z n + ρ n ξ ) c ρ n k = lim n a c ρ n k =

如果 f n ( z n + ρ n ξ ) = b ,可得 g ( ξ 0 ) = lim n f n ( z n + ρ n ξ ) c ρ n k = lim n b c ρ n k =

因此 ξ 0 g ( ξ ) 的极点,矛盾。所以断言1)成立。同理可证断言2)也成立。

因为 h ( g ( k ) ( ξ ) ) a ,根据 h ( f ( k ) ( ξ ) ) 的定义,可找到一个非零常数w,使 g ( k ) ( ξ ) w 。根据引理2,可得 g ( ξ ) 是超越亚纯函数。因为 g ( ξ ) 的零点重级均 k + 1 g ( k ) ( ξ ) w ,则 g ( ξ ) 不是多项式。根据引理3,令 g ( ξ ) = w ξ k k ! + + a 0 + 1 A ξ + B ,其中 A ( 0 ) , B , a 0 , 是常数。由于 h ( g ( k ) ( ξ ) ) b ,由 h ( f ( k ) ( ξ ) ) 的定义,可找到一个常数d,使 g ( k ) d ,其中 d = 0 或者 d 0 。经过简单的计算,可得 g ( k ) = w + ( 1 ) ( k ) k ! A k ( A ξ + B ) k + 1 ,所以 g ( k ) = d 有解,进而 h ( g ( k ) ( ξ ) ) = b 有解,与断言2)矛盾。

情形2 c S ,即 a = c b = c 。不妨假设 a = c

可断言

3) h ( g ( k ) ( ξ ) ) = a g ( ξ ) = 0

4) h ( g ( k ) ( ξ ) ) = b g ( ξ ) = 0

下面我们证明断言3),使用情形1的方法,可找到一个点列 { ξ n } Δ ξ n ξ 0 ,使 h ( g n ( k ) ( z n + ρ n ξ n ) ) a = 0 ,由条件可知, f n ( z n + ρ n ξ ) = a 或者 f n ( z n + ρ n ξ ) = b

假设 f n ( z n + ρ n ξ ) = a ,可得 g ( ξ 0 ) = lim n f n ( z n + ρ n ξ ) c ρ n k = lim n a c ρ n k = 0

假设 f n ( z n + ρ n ξ ) = b ,可得 g ( ξ 0 ) = lim n f n ( z n + ρ n ξ ) c ρ n k = lim n b c ρ n k = ,此时 ξ 0 g ( ξ ) 的极点,这与 h ( g ( k ) ( z n + ρ n ξ ) ) = a 矛盾,故这种情况不成立。

所以断言3)成立,同理可证断言4)成立。

子情形2.1 h ( g ( k ) ( ξ ) ) a h ( g ( k ) ( ξ ) ) b

根据情形1的表述,可知这种情况不成立。

子情形2.2 h ( g ( k ) ( ξ ) ) a h ( g ( k ) ( ξ ) ) = b h ( g ( k ) ( ξ ) ) = a h ( g ( k ) ( ξ ) ) b

为了明确起见,不妨设 h ( g ( k ) ( ξ ) ) a ,则有 h ( g ( k ) ( ξ ) ) = b g ( ξ ) = 0 。可证 b = 0 ,否则 b 0 。存在 ξ 0 ,使 h ( g ( k ) ( ξ 0 ) ) = b g ( ξ 0 ) = 0 。即 ξ 0 g ( ξ ) 的零点。因为 g ( ξ ) 的零点重级均 k + 1 ,所以 ξ 0 也是 g ( k ) ( ξ ) 的零点。即 b = 0 ,矛盾。所以有 g ( k ) ( ξ ) = 0 g ( ξ ) = 0 。由于 g ( ξ ) 的零点重级均 k + 1 ,可得 g ( ξ ) = 0 g ( k ) ( ξ ) = 0 。因此 g ( ξ ) g ( k ) ( ξ ) 分担0。因为 h ( g ( k ) ( ξ ) ) a a b ,再根据 h ( f ( k ) ( ξ ) ) 的定义和情形1的表述,可知存在一个非零常数w,使 g ( k ) w ,由引理4,可知 g ( ξ ) 是一个常数,矛盾。

子情形2.3 h ( g ( k ) ( ξ ) ) = a h ( g ( k ) ( ξ ) ) = b ,即断言3)和断言4)同时成立。

因为 h ( g ( k ) ( ξ ) ) = a g ( ξ 0 ) = 0 ,显然 a = 0 。否则 a 0 ,存在 ξ 0 ,使 h ( g ( k ) ( ξ 0 ) ) = a g ( ξ 0 ) = 0 ,故 ξ 0 g ( ξ ) 的零点。由条件,可知 ξ 0 也是 g ( k ) ( ξ ) 的零点,即 a = 0 。同理可得 b = 0 ,这与 a b 矛盾。

综上所述, F 在D内正规。定理1证毕。

基金项目

国家自然科学基金(编号:11271090),广东省自然科学基金(编号:2016A030310257、2015A030313346)},广州大学研究生创新能力培养资助计划(2018GDJC-D28)资助。

文章引用: 蔡金华 , 党国强 (2019) 亚纯函数分担集合的正规定则。 理论数学, 9, 527-532. doi: 10.12677/PM.2019.94069

参考文献

[1] Schwick, W.K. (1992) Sharing Values and Normality. Archiv der Mathematik, 59, 50-54.
https://doi.org/10.1007/BF01199014

[2] Fang, M.L. and Zalcman, L. (2004) A Note on Normality and Shared Values. Journal of the Australian Mathematical Society, 76, 141-150.
https://doi.org/10.1017/S1446788700008752

[3] Fang, M.L. and Zalcman, L. (2002) Normal Families and Shared Values of Meromorphic Function III. Computational Methods and Function Theory, 2, 385-395.
https://doi.org/10.1007/BF03321856

[4] Pang, X.C. and Zalcman, L. (2000) Normality and Shared Values. Arkiv för Matematik, 38, 171-182.
https://doi.org/10.1007/BF02384496

[5] 刘晓俊, 庞学诚. 分担值与正规族[J]. 数学学报, 2007, 52(2): 409-412.

[6] 张汉, 谢东, 张庆德. 涉及分担集的亚纯函数的正规定则[J]. 数学物理学报, 2011, 31(5): 1290-1294.

[7] Han, M.H. and Gu, Y.X. (2008) The Normal Family of Mermorphic Functions. Acta Mathematica Scientia, 28, 759-762.
https://doi.org/10.1016/S0252-9602(08)60076-4

[8] 陈鸿辉, 蔡金华, 袁文俊. 涉及分担集合的亚纯函数正规定则[J]. 嘉应学院学报(自然科学), 2018, 36(11): 5-8.

[9] Zalcman, L. (1998) Normal Families: New Perspec-tives. Bulletin of the American Mathematical Society, 35, 215-230.
https://doi.org/10.1090/S0273-0979-98-00755-1

[10] Bergweiler, W. and Eremanko, A. (1995) On the Singularities of the Inverse to a Meromorphic Functions of Finite Order. Revista Matemática Iberoamericana, 11, 355-373.
https://doi.org/10.4171/RMI/176

[11] 顾永兴, 庞学诚, 方明亮. 正规族理论及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2007: 62-64.

[12] Fang, M.L. and Zalcman, L. (2003) Normal Families and Shared Values of Meromorphic Functions. An-nales Polonici Mathematici, 80, 137-141.
https://doi.org/10.4064/ap80-0-11

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