无穷维Hamilton算子辛自伴延拓的存在性与唯一性研究
Research on Existence and Uniqueness of Symplectic Self-Adjoint Extension of Infinite Dimensional Hamiltonian Operator

作者: 王 梅 , 吴德玉 :内蒙古大学数学科学学院,内蒙古 呼和浩特;

关键词: 无穷维Hamilton算子辛自伴延拓Dimensional Hamiltonian Infinite Operator Symplectic Self-Adjoint Extension

摘要:
本文研究了无穷维Hamilton算子的辛自伴延拓问题,利用空间分解的方法,给出了Hamilton算子存在辛自伴延拓的条件,还给出了辛自伴延拓唯一的条件。

Abstract:
In this paper, the symplectic self-adjoint extension problem of infinite dimensional Hamiltonian operator is studied. By using the method of space decomposition, the condition of dimensional Hamiltonian Infinite operator exists symplectic self-adjoint extension is given, and the conditions of symplectic self-adjoint extension which is unique are given.

1. 引言

无穷维Hamilton算子是形如

H = ( A B C A * )

的稠定分块算子矩阵,其中B,C是自伴算子, A * 是A的共轭算子。一般情况下无穷维Hamilton算子是非自伴算子,且与J-自伴算子U-标算子等几类非自伴算子比较而言,它的谱要复杂得多。因为无穷维算Hamilton子的剩余谱不一定是空集,比如令无穷维Hamilton算子

H = ( A 0 0 A * )

其中 X = L 2 [ 0 , + ) , A = d d t , D ( A ) = { x X : x , x X , x ( 0 ) = 0 }

经计算得剩余谱非空(见文献 [1] 的例4.1.6).值得注意的是无穷维Hamilton算子在钟万勰院士创立的弹性力学求解新体系中有重要的应用(见文献 [2] ),其理论基础是无穷维Hamilton算子的辛自伴性问题(见文献 [3] )。刘景麟作者给出了J对称算子的J自伴延拓的问题(见文献 [4] ),一般情况下无穷维Hamilton算子是辛对称算子,不一定辛自伴,所以为了解决何时为辛自伴的问题,需要解决无穷维Hamilton算子辛自伴延拓的存在性和唯一性问题。据我们所知,一般对称算子的自伴延拓是不一定存在的,比如,令

X = l 2 , D ( A ) = { a X : N Ν , m = 0 n a m = 0 , n > N , a n = 0 }

a D ( A ) , A a X 定义为

( A a ) n = i [ m = 0 n 1 a m + m = 0 n a m ]

则A是对称算子,A没有自伴延拓(见文献 [5] )。即使存在,也不一定唯一。比如,令 T = i d d t ,其中

D ( T ) = { x ( t ) : x ( t ) A C [ 0 , 1 ] , x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 }

则易得T是对称算子。对任意 α C , | α | = 1 ,定义算子 T α = i d d t ,其中

D ( T α ) = { x ( t ) : x ( t ) A C [ 0 , 1 ] , x ( 0 ) = α x ( 1 ) }

则每个 T α 都是T的自伴延拓(见文献 [5] )。因此自然产生一个疑问,无穷维Hamilton算子的辛自伴延拓也是否会不应定存在呢?如果存在,何时唯一呢?本文利用空间分解的方法,引入全新的内积和正交结构,给出了无穷维Hamilton算子满足一些条件时,则存在辛自伴延拓的结论,进而给出了辛自伴延拓唯一的条件。

2. 无穷维Hamilton算子辛自伴延拓的存在性

本节利用空间分解的方法,引入全新的内积和正交结构,给出了闭的辛对称算子满足一定的条件时,存在辛自伴延拓。

2.1. 预备知识

定义2.1.1.设J是定义在Hilbert空间上的线性映射满足 ( J x , J y ) = ( x , y ) , J 2 x = x 。上述定义的算子能诱导辛结构,所以也称辛算子。

定义2.1.2.设H是稠定的线性算子,定义域为 D ( H ) ,对任意 x , y D ( H ) ,如果 ( H x , J y ) = ( x , J H y ) 则称H为辛对称。

引理2.1.1. H为辛对称的充要条件是 J H J H *

证明:当H为辛对称算子时,对于任意 u D ( J H J ) ,任意 x D ( H )

( H x , u ) = ( H x , J 2 u ) = ( x , J H J u )

所以 u D ( H * ) J H J u = H * u ,即 J H J H *

J H J H * 时,对于任意 x , y D ( H )

( H x , J y ) = ( x , H * J y ) = ( x , J H J J y ) = ( x , J H y )

所以H为辛对称。

引理2.1.2. H为辛对称的充要条件是 H J H * J

证明:当H为辛对称算子时,对于任意 x , y D ( H ) ,因为H为辛对称,所以

( H x , y ) = ( H x , J 2 y ) = ( x , J H J y ) = ( x , H * y ) = ( J 2 x , H * y ) = ( J H * J x , y )

所以 x D ( J H * J ) ,且 J H * J x = H x ,所以 H J H * J

H J H * J 时,对于任意 x D ( J H J ) J x D ( H ) ,所以 J x D ( J H * J ) x D ( H * ) ,且

J H J x = J ( J H * J ) J x = H * x

所以 J H J H * ,即为H辛对称。

引理2.1.3. J H * J 是闭线性算子。

证明:由 H * 是闭算子且J是可逆算子;结论易证。

推论1.如果H是辛对称,则H的闭包 H ¯ 也是辛对称的。

证明:因为H是辛对称,所以 H J H * J ,所以 H ¯ J H * J ¯ = J H * J = J H ¯ * J 。以下讨论中,假设所考虑的辛对称算子是闭的。如果B是H的辛对称延拓,则 H B , B J B * J 。由于 B * H * ,所以 H B J B * J J H * J

因此H的辛对称延拓是 J H * J 在某个含 D ( H ) D ( J H * J ) 的字空间上的限制,我们在 D ( J H * J ) 上引进内积

( x , y ) * = ( x , y ) + ( J H * J x , J H * J y ) , x , y D ( J H * J )

不难证明 ( D ( J H * J ) , ( . , . ) * ) 是个Hilbert空间,考虑到 J H * J 是闭算子,其中 * * ( . , . ) * 内积意义下的直和与正交,于是 D ( J H * J ) = D ( H ) * D ( H ) *

引理2.1.4.设H是闭的辛对称算子, D ( H ) * = K e r ( H * J H * J + I )

证明:对于任意 x D ( H ) y D ( H ) * ,有 ( x , y ) * = 0 ,即

0 = ( x , y ) * = ( x , y ) + ( J H * J x , J H * J y ) = ( x , y ) + ( H x , J H * J y )

所以 ( H x , J H * J y ) = ( x , y ) ,由共轭算子的定义, J H * J y D ( H * ) H * J H * J y = y ,即 D ( H ) * K e r ( H * J H * J + I )

对于任意 x D ( H ) z K e r ( H * J H * J + I )

( x , z ) * = ( x , z ) + ( J H * J x , J H * J z ) = ( x , z ) + ( x , H * J H * J z ) = ( x , z ) + ( x , z ) = 0

所以 x D ( H ) * ,综上所述 D ( H ) * = K e r ( H * J H * J + I )

定义2.1.3.记 x , y = ( H * J x , y ) ( x , H * J y ) , x , y D ( J H * J )

引理2.1.5.H为辛对称的充要条件 x , y = 0 , x , y D ( H )

证明:H为辛对称,所以

( H x , J y ) = ( x , J H y ) ( J H * J x , J y ) = ( x , J 2 H * J y ) ( H * J x , y ) = ( x , H * J y )

所以 x , y = ( H * J x , y ) ( x , H * J y ) = 0

引理2.1.6.设H是辛对称闭算子,则 x D ( H ) 的充要条件是 x D ( J H * J ) ,且 x , y = 0 ,对于任意 y D ( J H * J )

证明:当H为辛对称, x D ( H ) 时,对于任意 y D ( J H * J )

x , y = ( H * J x , y ) ( x , H * J y ) = ( J H * J x , J y ) ( H x , J y ) = ( H x , J y ) ( H x , J y ) = 0

x D ( J H * J ) ,且对于任意的 y D ( J H * J ) ,有 x , y = 0

( x , H * J y ) = ( H * J x , y ) = ( J H * J x , J y )

x D ( H ) H x = J H * J x

引理2.1.7.设B是辛对称闭算子H的延拓,满足 H B J H * J ,则存在唯一的子空间 K K e r ( H * J H * J + I ) ,使得 D ( B ) = D ( H ) * K

证明:记 K = { z K e r ( H * J H * J + I ) | x D ( B ) , y D ( H ) , 使 x = y + z } ,则K是 D ( B ) 的一个线性子空间,所以 D ( H ) * K D ( B )

另外,对于任意 x D ( B ) ,由直和分解

x = x 1 + x 2 , x 1 D ( H ) , x 2 K e r ( H * J H * J + I )

x 2 K ,所以 D ( B ) D ( H ) * K ,即 D ( B ) = D ( H ) * K

定义2.1.4.设子空间 K K e r ( H * J H * J + I ) ,则称 K * = { u K e r ( H * J H * J + I ) | u , v = 0 , v K }

K的辛共轭子空间。若 K K * ,则称K为辛对称的。若 K = K * ,则称K为辛自伴的。

定义2.1.5.辛对称算子H成为辛自伴的,如果 H = J H * J

引理2.1.8.设B辛对称算子H的延拓,满足 H B J H * J D ( B ) D ( H ) * K ,则

(i) B为辛对称 K为辛对称;

(ii) B为辛自伴 K为辛自伴。

证明(i)当B为辛对称时,对于任意 u , v K ,有 u , v D ( B ) ,故 u , v = 0 ,所以 K K * ,即K为辛对称。当K为辛对称时,对于任意 x + u , y + v D ( B ) ,其中 x , y D ( H ) u , v K ,则

x + u , y + v = x , y + x , u + u , y + u , v = 0

故B为辛对称。

(ii)当B为辛自伴时, K K * ,所以对于任意 v K * u K ,有 u , v = 0 。对任意 x + u D ( B ) x D ( H ) ,由B是辛自伴可知 x + u , v = 0 ,即

( H * J ( x + u ) , v ) = ( x + u , H * J v ) ( J H * J ( x + u ) , J v ) = ( x + u , H * J v ) ( B ( x + u ) , J v ) = ( x + u , H * J v )

H * J v = B * J v v D ( J B * J ) = D ( B ) = D ( H ) * K ,因此 v K ,所以 K = K * ,即K为辛自伴。

因为 D ( B ) D ( J B * J ) ,对于任意 z D ( J B * J ) D ( J H * J ) ,令 z = y + v y D ( H ) v K e r ( H * J H * J + I ) ,对于任意 x + u D ( B ) x D ( H ) u K

( B ( x + u ) , J z ) = ( x + u , B * J z ) = ( J ( x + u ) , J B * J z ) = ( J ( x + u ) , J H * J z ) = ( x + u , H * J z )

因为B为辛对称,所以 ( B ( x + u ) , J z ) = ( J B * J ( x + u ) , J z ) = ( J H * J ( x + u ) , J z ) = ( H * J ( x + u ) , z ) ,所以 x + u , z = ( H * J ( x + u ) , z ) ( x + u , H * J z ) = 0 ,即 x + u , y + v = 0 ,所以 u , v = 0 ,所以 v K * = K ,所以 z = y + v D ( B ) ,所以 D ( J B * J ) D ( B ) ,所以B为辛自伴。

2.2. 主要结果及证明

定理2.2.1. H为闭的辛对称算子,如果 K e r ( H * J H * J + I ) M ,则H有辛自伴延拓,其中 M = { u K e r ( H * J H * J + I ) | u , u = 0 }

证明:我们只要证明 K e r ( H * J H * J + I ) 存在辛自伴的子空间K即可,取 0 x K e r ( H * J H * J + I ) , K 0 = s p a n { x } ,因为 x , x = 0 ,所以 K 0 为辛对称,考虑所有含 K 0 K e r ( H * J H * J + I ) 的辛对称子空间按集合包含关系组成的偏序集,显然它的任一个全序子集都有上界,由Zorn引理,此偏序集合有最大元K。

下面证明K是辛自伴的,若不然,设 x 0 K * \ K ,令 K ˜ = K * s p a n { x 0 } ,对任意 k 1 + α x 0 , k 2 + β x 0 K ˜ , k 1 , k 2 K ,有

k 1 + α x 0 , k 2 + β x 0 = k 1 , k 2 + α x 0 , k 2 + β ¯ k 1 , x 0 + α β ¯ x 0 , x 0 = 0

所以 K ˜ 为辛对称与K是最大元矛盾,所以K为辛自伴。

推论2. H是闭的辛对称算子,如果 H * J H * J + I 是单射,则H存在辛自伴延拓

3. 无穷维Hamilton算子辛自伴延拓的唯一性

上节得出了闭的辛对称算子满足一定的条件时有辛自伴延拓,但是否唯一不得而知。本节讨论一类

特殊的辛对称算子—无穷维Hamilton算子,并规定 J = ( 0 I I 0 ) ,其中I为单位算子。显然满足

( J x , J y ) = ( x , y ) , J 2 = I 。当无穷维Hamilton算子H是闭算子时,JH是闭的辛对称算子,故在一定条件下存在辛自伴延拓,本节得出了辛自伴延拓唯一的条件。

3.1. 预备知识

定义3.1.1.如果无穷维Hamilton算子 H = ( A B C A * ) 满足 ( J H ) * = ( J H ) ,其中 J = ( 0 I I 0 ) ,则称辛

自伴无穷维Hamilton算子。

引理3.1.1.设 T , S 是Hilbert空间X中的稠定线性算子,当 ρ ( T ) 时, ( T λ ) 1 S 有界当且仅当 D ( T * ) D ( S * ) ,则 S * ( T * λ ¯ ) 1 有界且 ( S * ( T * λ ¯ ) 1 ) * ( T λ ) 1 S ,于是 ( T λ ) 1 S 。反之,如果 ( T λ ) 1 S D ( S ) 上有界,则 ( T λ ) 1 S ¯ 是全空间上定义的有界算子,而且有 ( S * ( T * λ ¯ ) 1 ) * ( T λ ) 1 S ¯ ,因此 D ( T * ) D ( S * )

3.2. 主要结果及证明

定理3.2.1.设 H = ( A B C A * ) : D ( H ) X × X X × X 是无穷维Hamilton算子,如果 D ( C ) D ( A )

B + A ( C i I ) 1 A * 是自伴算子时,H存在唯一的辛自伴延拓。

证明:考虑到 D ( C ) D ( A ) ,易得

H = R T L + ( 0 0 i I 0 )

又因为算子 R = ( I A ( C i I ) 1 0 I ) L = ( I ( C i I ) 1 ¯ A * 0 I ) 有界且在全空间上可逆,算子 T = ( 0 B + A ( C i I ) 1 A * C i I 0 ) 。当 B + A ( C i I ) 1 A * 是自伴算子时,

H * = ( R T L ) * + ( 0 0 i I 0 ) * = ( A * C B A )

所以 ( J H ) = ( J H ) * ,因此H存在唯一的辛自伴延拓。

推论3. 设 H = ( A B C A * ) : D ( H ) X × X X × X 是无穷维Hamilton算子,如果 D ( B ) D ( A * )

C + A * ( B i I ) 1 A 是自伴算子时,H存在唯一的辛自伴延拓。

定理3.2.2. 设 H = ( A B C A * ) : D ( H ) X × X X × X 是无穷维Hamilton算子,当 0 ρ ( B ) ρ ( C ) 时,

无穷维Hamilton算子存在辛自伴延拓;进一步,当满足下列条件之一:

(i) D ( B ) D ( A * ) D ( C ) D ( A ) A * B 1 A C 1 < 1

(ii) D ( B ) D ( A * ) D ( C ) D ( A ) A C 1 A * B 1 < 1 时,则H的辛自伴延拓唯一。

证明:首先证明 0 Γ ( H ) ,假定H不存在有界逆,则存在正交化序列 { x n = ( x n ( 1 ) x n ( 2 ) ) } n = 1 , ( x n = 1 , n = 1 , 2 , )

使得 H x n 0 , n ,进而得

A x n ( 1 ) + B x n ( 2 ) 0 , C x n ( 1 ) A * x n ( 2 ) 0

第一式与 x n ( 2 ) 作内积,第二式与 x n ( 1 ) 作内积后两式相加得

( C x n ( 1 ) , x n ( 1 ) ) + ( B x n ( 2 ) , x n ( 2 ) ) 0

由于 B , C 是非负算子,从而有

( B x n ( 2 ) , x n ( 2 ) ) 0 , ( C x n ( 1 ) , x n ( 1 ) ) 0

由于 B , C 是自伴且非负算子。故存在唯一的平方根算子 B 1 2 C 1 2 进而得

B 1 2 x n ( 2 ) 0 , C 1 2 x n ( 1 ) 0

0 ρ ( B ) ρ ( C ) 时, B 1 C 1 的平方根算子分别记为 B 1 2 C 1 2

B 1 2 ( B 1 2 x n ( 2 ) ) = x n ( 2 ) 0 , C 1 2 ( C 1 2 x n ( 1 ) ) = x n ( 1 ) 0

这与 x n = 1 , ( n = 1 , 2 , ) 矛盾,因此H下方有界,于是由 [6] 的定理8.8可知,H存在辛自伴延拓。

其次证明 R ( H ) = X × X

(ⅰ)当 D ( B ) D ( A * ) D ( C ) D ( A ) A * B 1 A C 1 < 1 时, ( I + A * B 1 A C 1 ) 可逆,于是对于任意

( f g ) X × X ,取

( x y ) = ( C 1 ( I + A * B 1 A C 1 ) 1 ( g + A * B 1 f ) B * f B 1 A C 1 ( I + A * B 1 A C 1 ) 1 ( g + A * B 1 f ) ) ,则有 ( A B C A * ) ( x y ) = ( f g )

所以 R ( H ) = X × X ,即H是辛自伴,因此H的辛自伴延拓唯一。

同理可证当 D ( B ) D ( A * ) D ( C ) D ( A ) A C 1 A * B 1 < 1 时,H的辛自伴延拓唯一。

同理可证如下结论

定理3.2.2. 设 H = ( A B C A * ) : D ( H ) X × X X × X 是无穷维Hamilton算子,当 0 ρ ( A ) 时,

无穷维Hamilton算子H存在辛自伴延拓;进一步,当满足下列条件之一:

(i) D ( A ) D ( C ) D ( A * ) D ( B ) A 1 B , ( A * ) 1 C 是有界线性算子, C A 1 B ( A * ) 1 < 1

(ii) D ( B ) D ( A * ) D ( C ) D ( A ) A 1 B , ( A * ) 1 C 是有界线性算子, B ( A * ) 1 C A 1 < 1 时,则H的辛自伴延拓唯一。

基金项目

国家自然科学基金(11561048, 11371185);内蒙古自然科学基金(2015MS0116)。

文章引用: 王 梅 , 吴德玉 (2019) 无穷维Hamilton算子辛自伴延拓的存在性与唯一性研究。 应用数学进展, 8, 1094-1100. doi: 10.12677/AAM.2019.86126

参考文献

[1] 吴德玉, 阿拉坦仓. 分块算子矩阵谱理论及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2013.

[2] 钟万勰. 弹性力学求解新体系[M]. 大连: 大连理工大学出版社, 1995.

[3] Chen, A., Jin, G.H. and Wu, D.Y. (2015) On Symplectic Self-Adjointness of Hamiltonianperator Matrices. Science China, 58, 821-828.
https://doi.org/10.1007/s11425-014-4876-1

[4] 刘景麟. 关于J对称算子的J自伴延拓[J]. 内蒙古大学学报(自然科学版), 1992, 23(3): 312-316.

[5] Reed, M. and Simon, B. (1978) Methods of Modern Mathematical Physics 1. Analysis of Operators. Academic Press, London.

[6] Weidmann, J. (1980) Linear Operators in Hilbert Spaces. Springer-Verlag, New York.
https://doi.org/10.1007/978-1-4612-6027-1

分享
Top