一个新的Grüss型不等式
A New Grüss Type Inequality

作者: 崔晓雪 , 梁永顺 , 肖 伟 :南京理工大学理学院,江苏 南京;

关键词: Grüss不等式Riemann-Liouville分数阶积分分数阶积分Grüss Inequality Riemann-Liouville Fractional Integral Fractional Integral

摘要:
基于分形分析应用需要,本文讨论了Riemann-Liouville分数阶积分的Grüss型不等式,得到了一个改进的结果。文章最后还证明了[1]中的定理2和[2]中的定理9是本文所得结论的特殊形式。

Abstract: Based on the application of fractal analysis, this paper discusses the Grüss type inequalities in-cluding the Riemann-Liouville fractional integral and obtains an improved result. In the end, this paper also proves that Theorem 2 of [1] and Theorem 9 of [2] are a special form of the conclusion of this paper.

1. 引言

积分不等式在研究积分与微分方程中起着非常重要的作用。本文讨论Grüss不等式。

1935年,G. Grüss [3] 提出了Grüss不等式:

命题1.1 [3] :设 f ( t ) g ( t ) [ a , b ] 上两个可积函数。若存在 m , M , n , N ,使得当 t [ a , b ] 时,有 m f ( t ) M , n g ( t ) N ,则

| 1 b a a b f ( t ) g ( t ) d t 1 ( b a ) 2 a b f ( t ) d t a b g ( t ) d t | 1 4 ( M m ) ( N n ) . (1.1)

Grüss不等式在1935年提出后备受关注。学者们基于经典Grüss不等式(即1.1式)建立了大量的Grüss型不等式,并将其应用于一些分析问题中。

1993年,Mitrinovic [4] 考察了Grüss不等式的离散形式以及行列式形式,并将其用于估计集合 A = { f ( t ) | f ( t ) A C [ a , b ] , f ( t ) L 2 [ a , b ] } ( A C [ a , b ] 表示区间 [ a , b ] 上的绝对连续函数)中元素的范数。1998年,Dragomir [5] 将经典Grüss不等式中的积分推广到加权积分,得到了一个Grüss型不等式。然后又讨论被积函数 f ( t ) g ( t ) 是否满足Lipschitz条件和Hölder条件,从而给出一系列Grüss型不等式。1999年,Dragomir [6] 将Grüss不等式应用于内积空间,从而得到了一个新的Grüss型不等式。2002年,Dragomir [7] 将Grüss型不等式 [5] 中的加权积分推广为Riemann-Stieltjes积分,并讨论被积函数的各种情形,从而得到一系列新的Grüss型不等式。2010年,Moslehian [8] 将Grüss不等式推广到了线性算子空间。

Grüss不等式在发展初期,人们主要考虑在不同空间中的Grüss型不等式。而随着空间理论的成熟,人们开始将关注点转向Grüss不等式中积分(整数阶积分)的变化。例:1998年,Dragomir [5] 将经典Grüss不等式中的积分推广到加权积分;2002年,Dragomir [7] 将Grüss型不等式 [5] 中的加权积分推广为Riemann-Stieltjes积分等。随着积分理论的发展,一些学者开始考虑分数阶积分与不等式的结合,例 [9] [10] [11] 。Grüss不等式主要考虑与Riemann-Liouville分数阶积分结合。

2010年,Dahmani [12] 第一次将Riemann-Liouville分数阶积分与Grüss不等式结合在一起得到了分数阶积分不等式:

命题1.2:(见 [12] 的定理3.1)设 f ( t ) g ( t ) [ 0 , ) 上两个可积函数。若存在常数 m , M , n , N ,使得 f ( t ) g ( t ) 满足 m f ( t ) M , n g ( t ) N , t [ 0 , ) 。那么当 t > 0 , α > 0 时,有

| t α Γ ( α + 1 ) J α f ( t ) g ( t ) J α f ( t ) J α g ( t ) | ( t α 2 Γ ( α + 1 ) ) 2 ( M m ) ( N n ) , (1.2)

这里 J α f ( t ) f ( t ) 的Riemann-Liouville分数阶积分(将在第二部分给出它的定义)。2016年,Erden [1] 建立一个新的分数阶积分,并得到一个与此积分有关的Grüss型不等式:

命题1.3:(见 [1] 的定理2)设 h ( t ) : [ 0 , ) ( 0 , ) [ 0 , ) 上的单调增函数并在 ( 0 , ) 上有连续导函数 h ( t ) 。若 f ( t ) g ( t ) [ 0 , ) 上两个可积函数并且满足

m f ( t ) M , n g ( t ) N ; m , M , n , N , t [ 0 , ) .

那么当 α > 0 时,有

| ( h ( t ) h ) ( 0 ) α Γ ( α + 1 ) J h α f ( t ) g ( t ) J h α f ( t ) J h α g ( t ) | ( ( h ( t ) h ( 0 ) ) α 2 Γ ( α + 1 ) ) 2 ( M m ) ( N n ) , (1.3)

这里 J h α f ( t ) f ( t ) 推广的Riemann-Liouville分数阶积分(将在第二部分给出其定义)。

在过去的几年中,人们只考虑Grüss型不等式中被积函数的限制条件是常数的情况。而近些年,人们开始关注其限制条件是可积函数的情形。2014年,Tariboon [2] 将 [12] 中被积函数 f ( t ) , g ( t ) 的四个常边界 m , M , n , N 用四个可积函数 φ 1 ( t ) , φ 2 ( t ) , ψ 1 ( t ) , ψ 2 ( t ) 取代,从而得到新的Grüss型不等式:

命题1.4:(见 [2] 的定理9)设 f ( t ) , g ( t ) [ 0 , ) 上两个可积函数。若

(C1) 在 [ 0 , ) 上存在两个可积函数 φ 1 ( t ) , φ 2 ( t ) 且满足

φ 1 ( t ) f ( t ) φ 2 ( t ) , t [ 0 , ) . (1.4)

(C2) 在 [ 0 , ) 上存在两个可积函数 ψ 1 ( t ) , ψ 2 ( t ) 且满足

ψ 1 ( t ) g ( t ) ψ 2 ( t ) , t [ 0 , ) . (1.5)

那么当 t > 0 , α > 0 时,有

| t α Γ ( α + 1 ) J α f ( t ) g ( t ) J α f ( t ) J α g ( t ) | S ( f , φ 1 , φ 2 ) S ( g , ψ 1 , ψ 2 ) , (1.6)

这里

S ( x , y , z ) = ( J α z ( t ) J α x ( t ) ) ( J α x ( t ) J α y ( t ) ) + t α Γ ( α + 1 ) J α y ( t ) x ( t ) J α y ( t ) J α x ( t ) + t α Γ ( α + 1 ) J α z ( t ) x ( t ) J α z ( t ) J α x ( t ) t α Γ ( α + 1 ) J α y ( t ) z ( t ) + J α y ( t ) J α z ( t ) (1.7)

从Grüss不等式的发展历程来看,我们可从两个方面来研究它。一方面,我们考虑在Grüss不等式中使用何种类型的分数阶积分。另一方面,考虑不等式中被积函数的限制条件。由于Rieamm-Liouville分数阶积分在分形分析和相关理论中有着广泛的应用,例 [13] [14] 。因此本文讨论有关推广的Riemann-Liouville分数阶积分 J h α 的Grüss型不等式。而从命题1.3和命题1.4中,我们又可以将被积函数的限制条件推广到函数的情形。以上就是本文研究的主要内容。

我们将在第二部分给出本文必要的定义及引理,在第三部分给出本文结论。最后可以看出本文结论是新的。并且本文结论可以用于无界函数(将在例子中展出)。

2. 定义和引理

定义2.1 [1] :设 f ( t ) L 1 ( 0 , ) ,则 f ( t ) α 0 阶Riemann-Liouville分数阶积分是

J α f ( t ) = 1 Γ ( α ) 0 t ( t s ) α 1 f ( s ) d s , t > 0 , (2.1)

这里 Γ ( α ) = 0 u α 1 e u d u

定义2.2 [1] :设 h ( t ) : [ 0 , ) ( 0 , ) [ 0 , ) 上的单调增函数并在 [ 0 , ) 上有连续导函数 h ( t ) 。若 f ( t ) [ 0 , ) 上可积函数,则 f ( t ) α 0 阶推广的Riemann-Liouville分数阶积分是

J h α f ( t ) = 1 Γ ( α ) 0 t h ( s ) ( h ( t ) h ( s ) ) 1 α f ( s ) d s , t > 0 , (2.2)

这里 Γ ( α ) = 0 u α 1 e u d u

下面给出一个基本引理,以便后面的应用。

引理2.3:设 h ( t ) : [ 0 , ) ( 0 , ) [ 0 , ) 上的单调增函数并在 ( 0 , ) 上有连续导函数 h ( t ) 。若 f ( t ) [ 0 , ) 上可积函数并满足条件(C1)。那么当 t > 0 , α > 0 时,有

( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α f 2 ( t ) ( J h α f ( t ) ) 2 = ( J h α φ 2 ( t ) J h α f ( t ) ) ( J h α f ( t ) J h α φ 1 ( t ) ) ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( φ 2 ( t ) f ( t ) ) ( f ( t ) φ 1 ( t ) ) + ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( φ 1 ( t ) f ( t ) ) J h α φ 1 ( t ) J h α f ( t ) + ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( φ 2 ( t ) f ( t ) ) J h α φ 2 ( t ) J h α f ( t ) ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( φ 1 ( t ) φ 2 ( t ) ) + J h α φ 1 ( t ) J h α φ 2 ( t ) (2.3)

证:当 x > 0 , y > 0 时,有

( φ 2 ( y ) f ( y ) ) ( f ( x ) φ 1 ( x ) ) + ( φ 2 ( x ) f ( x ) ) ( f ( y ) φ 1 ( y ) ) ( φ 2 ( x ) f ( x ) ) ( f ( x ) φ 1 ( x ) ) ( φ 2 ( y ) f ( y ) ) ( f ( y ) φ 1 ( y ) ) = f 2 ( x ) + f 2 ( y ) 2 f ( x ) f ( y ) + f ( x ) φ 2 ( y ) + φ 1 ( x ) f ( y ) φ 1 ( x ) φ 2 ( y ) + φ 2 ( x ) f ( y ) + f ( x ) φ 1 ( y ) φ 2 ( x ) φ 1 ( y ) φ 2 ( x ) f ( x ) + φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) φ 1 ( x ) f ( x ) φ 2 ( y ) f ( y ) φ 1 ( y ) f ( y ) + φ 1 ( y ) φ 2 (y)

上式两边同乘以

h ( x ) Γ ( α ) ( h ( t ) h ( x ) ) 1 α , x ( 0 , t ) , t > 0

并对等式两边关于x在 ( 0 , t ) 上积分,得到

( φ 2 ( y ) f ( y ) ) ( J h α f ( t ) J h α φ 1 ( t ) ) + ( J h α φ 2 ( t ) J h α f ( t ) ) ( f ( y ) φ 1 ( y ) ) ( J h α φ 2 ( t ) f ( t ) ) ( f ( t ) φ 1 ( t ) ) ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) ( φ 2 ( y ) f ( y ) ) ( f ( y ) φ 1 ( y ) ) = J h α f 2 ( t ) + ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) f 2 ( y ) 2 f ( y ) J h α f ( t ) + φ 2 ( y ) J h α f ( t ) φ 2 ( y ) J h α φ 1 ( t ) + f ( y ) J h α φ 2 ( t ) + f ( y ) J h α φ 1 ( t ) + φ 1 ( y ) J h α f ( t ) φ 1 ( y ) J h α φ 2 ( t ) J h α ( φ 2 ( t ) f ( t ) ) + J h α ( φ 1 ( t ) φ 2 ( t ) ) J h α ( φ 1 ( t ) f ( t ) ) ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) φ 2 ( y ) f ( y ) + ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) φ 1 ( y ) φ 2 ( y ) ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) φ 1 ( y ) f (y)

再对上式两边同乘上 h ( y ) / ( Γ ( α ) ( h ( t ) h ( y ) ) 1 α ) , y ( 0 , t ) , t > 0 ,并对y在 ( 0 , t ) 上积分就可以得到(2.3)。

3. 定理及证明

现给出有关推广的Riemann-Liouville分数阶积分 J h α 的Grüss型不等式。

定理3.1:设 h ( t ) : [ 0 , ) ( 0 , ) [ 0 , ) 上的单调增函数并在 ( 0 , ) 上有连续导函数 h ( t ) 。若 f ( t ) g ( t ) [ 0 , ) 上两个可积函数并满足条件(C1)和(C2)。那么当 t > 0 , α > 0 时,可以得到

| ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α f ( t ) g ( t ) J h α f ( t ) J h α g ( t ) | S * ( f , φ 1 , φ 2 ) S * ( g , ψ 1 , ψ 2 ) , (3.1)

这里

S * ( x , y , z ) = ( J h α z ( t ) J h α x ( t ) ) ( J h α x ( t ) J h α y ( t ) ) + ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α y ( t ) x ( t ) J h α y ( t ) J h α x ( t ) + ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α z ( t ) x ( t ) J h α z ( t ) J h α x ( t ) ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α y ( t ) z ( t ) + J h α y ( t ) J h α z ( t ) (3.2)

证:令

T ( x , y ) = ( f ( x ) f ( y ) ) ( g ( x ) g ( y ) ) = f ( x ) g ( x ) + f ( y ) g ( y ) f ( x ) g ( y ) f ( y ) g ( x ) , x , y ( 0 , t ) , t > 0 (3.3)

对上式两边同乘以

h ( x ) h ( y ) 2 Γ 2 ( α ) ( h ( t ) h ( x ) ) 1 α ( h ( t ) h ( y ) ) 1 α

并分别对x和y在 ( 0 , t ) 上积分,有

1 2 Γ 2 ( α ) 0 t 0 t h ( x ) h ( y ) ( h ( t ) h ( x ) ) 1 α ( h ( t ) h ( y ) ) 1 α T ( x , y ) d x d y = ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α f ( t ) g ( t ) J h α f ( t ) J h α g ( t ) (3.4)

现在将(3.3)式中的 T ( x , y ) 代入(3.4)的左边,从而由Cauchy-Schwarz不等式,有

( 1 2 Γ 2 ( α ) 0 t 0 t h ( x ) h ( y ) ( h ( t ) h ( x ) ) 1 α ( h ( t ) h ( y ) ) 1 α T ( x , y ) d x d y ) 2 1 2 Γ 2 ( α ) 0 t 0 t h ( x ) h ( y ) ( h ( t ) h ( x ) ) 1 α ( h ( t ) h ( y ) ) 1 α ( f ( x ) f ( y ) ) 2 d x d y × 1 2 Γ 2 ( α ) 0 t 0 t h ( x ) h ( y ) ( h ( t ) h ( x ) ) 1 α ( h ( t ) h ( y ) ) 1 α ( g ( x ) g ( y ) ) 2 d x d y = ( ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α f 2 ( t ) ( J h α f ( t ) ) 2 ) ( ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α g 2 ( t ) ( J h α g ( t ) ) 2 ) (3.5)

再将(3.4)式代入(3.5)有

( ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α f ( t ) g ( t ) J h α f ( t ) J h α g ( t ) ) 2 ( ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α f 2 ( t ) ( J h α f ( t ) ) 2 ) × ( ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α g 2 ( t ) ( J h α g ( t ) ) 2 ) (3.6)

因为 f ( t ) g ( t ) 是两个在 [ 0 , ) 上满足条件(C1)和(C2)的可积函数,

所以有

( ψ 2 ( t ) g ( t ) ) ( g ( t ) ψ 1 ( t ) ) 0 , t 0

( φ 2 ( t ) f ( t ) ) ( f ( t ) φ 1 ( t ) ) 0 , t 0

从而

( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( ψ 2 ( t ) g ( t ) ) ( g ( t ) ψ 1 ( t ) ) 0

( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( φ 2 ( t ) f ( t ) ) ( f ( t ) φ 1 ( t ) ) 0

因此由引理2.3,有

( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α g 2 ( t ) ( J h α g ( t ) ) 2 ( J h α ψ 2 ( t ) J h α f ( t ) ) ( J h α f ( t ) J h α ψ 1 ( t ) ) + ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( ψ 1 ( t ) f ( t ) ) J h α ψ 1 ( t ) J h α f ( t ) + ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( ψ 2 ( t ) f ( t ) ) J h α ψ 2 ( t ) J h α f ( t ) ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( ψ 1 ( t ) ψ 2 ( t ) ) + J h α ψ 1 ( t ) J h α ψ 2 ( t ) = S * ( g , ψ 1 , ψ 2 ) (3.7)

( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α f 2 ( t ) ( J h α f ( t ) ) 2 = ( J h α φ 2 ( t ) J h α f ( t ) ) ( J h α f ( t ) J h α φ 1 ( t ) ) + ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( φ 1 ( t ) f ( t ) ) J h α φ 1 ( t ) J h α f ( t ) + ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( φ 2 ( t ) f ( t ) ) J h α φ 2 ( t ) J h α f ( t ) ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( φ 1 ( t ) φ 2 ( t ) ) + J h α φ 1 ( t ) J h α φ 2 ( t ) = S * ( f , φ 1 , φ 2 ) (3.8)

由(3.6),(3.7)和(3.8),(3.1)得证。

由下面给出的推论得到命题1.3和命题1.4是本文的一个特例。

推论3.2:若 S * ( f , φ 1 , φ 2 ) = S * ( f , m , M ) S * ( g , ψ 1 , ψ 2 ) = S * ( g , n , N ) ,那么有

| ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α f ( t ) g ( t ) J h α f ( t ) J h α g ( t ) | ( ( h ( t ) h ( 0 ) ) α 2 Γ ( α + 1 ) ) 2 ( M m ) ( N n ) . (3.9)

这里的推论3.2就是命题1.3。

推论3.3:若 h ( t ) = t (即 J h α = J α ),那么有

| t α Γ ( α + 1 ) J α f ( t ) g ( t ) J α f ( t ) J α g ( t ) | S ( f , φ 1 , φ 2 ) S ( g , ψ 1 , ψ 2 ) . (3.10)

这里的推论3.3就是命题1.4。

对于一个无界函数来说,无法用常数来限制其边界但是可以用两个函数来限制其边界。因而积分不等式(1.2)和(1.3)对于无界函数不成立,但在一定的条件下积分不等式(3.1)对于无界函数是成立的。

例3.3:设 h ( t ) : [ 0 , ) ( 0 , ) [ 0 , ) 上的单调增函数并在 ( 0 , ) 上有连续导函数 h ( t ) 。若 f ( t ) g ( t ) [ 0 , ) 上两个可积函数并满足 h ( t ) 1 f ( t ) h ( t ) h ( t ) g ( t ) h ( t ) + 1 。那么当 t > 0 , α > 0 时,有

| ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α f ( t ) g ( t ) J h α f ( t ) J h α g ( t ) | S * ( f , h ( t ) 1 , h ( t ) ) S * ( g , h ( t ) , h ( t ) + 1 ) ,

这里

S * ( f , h 1 , h ) = ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( h ( t ) 1 ) f ( t ) ( ( h ( t ) h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) ) J h α f ( t ) ( ( h ( t ) h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) 2 + h 2 ( t ) + α h 2 ( 0 ) Γ ( α + 3 ) ( h ( t ) h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) ) × ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) + ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α h ( t ) f ( t ) ( h ( t ) h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) J h α f (t)

+ ( ( h ( t ) h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) ) ( h ( t ) h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) + ( J h α f ( t ) ( h ( t ) h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) + ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) ) × ( ( h ( t ) h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) J h α f (t) )

S * ( g , h , h + 1 ) = ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( h ( t ) + 1 ) g ( t ) ( ( h ( t ) h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) ) J h α g ( t ) ( ( h ( t ) h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) 2 + h 2 ( t ) + α h 2 ( 0 ) Γ ( α + 3 ) + ( h ( t ) h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) ) × ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) + ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α h ( t ) g ( t ) ( h ( t ) h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) J h α g (t)

+ ( ( h ( t ) h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) + ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) ) ( h ( t ) h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) + ( ( h ( t ) h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) + ( h ( t ) h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α g ( t ) ) × ( J h α g ( t ) ( h ( t ) h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) )

4. 结论

本文主要是命题1.3和命题1.4的推广。从积分形式上看,本文是将命题1.4中的Riemann-Liouville分数阶积分 J α 推广为Riemann-Liouville型分数阶积分 J h α 。而从被积函数的限制条件上看,本文是将命题1.3中被积函数的常数边界推广到函数边界的情形。

文章引用: 崔晓雪 , 梁永顺 , 肖 伟 (2019) 一个新的Grüss型不等式。 应用数学进展, 8, 998-1006. doi: 10.12677/AAM.2019.85114

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