关于欧氏平面ℝ²中三角形的John定理
The John Theorem for Triangles in 2-Dimension Euclidean Space ℝ²

作者: 马统一 :河西学院数学与统计学院,甘肃 张掖; 肖 添 :海南大学数学系信息与计算科学2016级1班,海南 海口;

关键词: 三角形Hohn椭圆John定理重心坐标Triangle John Theorem John Ellipse Barycentric Coordinates

摘要:
本文利用著名的John定理研究三角形的极值性质,刻画了正三角形的John接触点的特征,证明了任意一个三角形的John椭圆是圆当且仅当该三角形是正三角形。

Abstract: In this paper, a description of the John contact points of a regular triangle was given. It was proved that the John ellipse of any triangle is circle if and only if this triangle is regular and that the John ellipse of a regular triangle is its inscribed circle.

1. 引言

早在1948年,F. John证明了n维欧氏空间 n 中的每一个凸体都包含一个唯一的体积最大的椭球,现在我们把这个椭球称为该凸体的John椭球,当这个John椭球是欧氏单位球B的时候,F. John给出了一组充分必要条件,从而把这个单位球刻画了出来。这就是下面著名的John定理(参见 [1] - [6] )。

定理A:n-维欧氏空间 n ( n 2 ) 中的每一个凸体K都包含一个唯一的体积最大的椭球。这个椭球是球当且仅当 B K 并且对于某个正整数 m n ,存在一列正实数 { c i } 1 m ,同时在K的边界上存在一列单位向量 { u i } 1 m 满足:

i = 1 m c i u i u i = I n (1.1)

i = 1 m c i u i = 0 (1.2)

这里,算子 u i u i 定义为对于任意 x n u i u i ( x ) = u i , x u i ,而 I n 表示 n 上的单位算子。

条件(1.1)表明 { u i } 1 m 类似 n 中的一组正交基,它的一种等价表示是,对于任意的 x n ,都有下面的等式成立:

| x | 2 = i = 1 m c i u i , x 2 (1.3)

或者

x = i = 1 m c i x , u i u i (1.4)

其中, , 表示欧氏空间 n 中通常的内积。关于上述等价关系的详细论述可参考K. Ball的文章 [2] 。

我们把凸体K的边界上满足(1.1)和(1.2)的点称为接触点。 n 中最简单的凸体就是立方体 [ 1 , 1 ] n ,显然它的接触点就是 n 中的标准基向量 { e 1 , , e n } 以及 { e 1 , , e n }

本文的主要目的是利用John定理对2维欧氏平面 2 中三角形的一些性质做些描述,并得到如下两个结论。

定理1:正三角形的John椭圆就是它的内切圆。

定理2:任意一个三角形的John椭圆是圆当且仅当该三角形是正三角形。

2. 准备知识

在定理的证明中,我们需要用到重心坐标的概念。众所周知,重心坐标是距离几何中的一个常用概念,在三角形中它的定义如下(见 [5] [7] ):

设A是2维欧氏平面 2 中以 { A 1 , A 2 , A 3 } 为顶点的一个三角形,且M是 2 中任意一点,记以 { M , A 2 , A 3 } { A 1 , M , A 3 } { A 1 , A 2 , M } 为顶点的三角形的面积分别为 S 3 ,则我们称面积比

S 1 : S 2 : S 3 = μ 1 : μ 2 : μ 3

为点M关于三角形A的重心坐标,记为 M = μ 1 : μ 2 : μ 3

从上述定义可知,对于某个点M的重心坐标可记为 ( μ 1 : μ 2 : μ 3 ) ,也可记为 ( k μ 1 : k μ 2 : k μ 3 ) ,即其记法并非唯一,是可以相差一个非零的常数因子k的。

对于M点的重心坐标 ( μ 1 : μ 2 : μ 3 ) ,若令 λ i = μ i j = 1 3 μ j , i = 1 , 2 , 3 ,则 i = 1 3 λ i = 1 ,则我们称 ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) 为点M的规范重心坐标,这就是有限元法中的面积坐标。

假设 { A 1 , A 2 , A 3 } 是某一个正三角形的顶点,且标准单位圆B是它的内切圆,我们记B与顶点 A 1 , A 2 , A 3 所对的边 A 2 A 3 ¯ , A 3 A 1 ¯ A 1 A 2 ¯ 上的切点分别为 B 1 , B 2 B 3 ,边 A 2 A 3 ¯ , A 3 A 1 ¯ A 1 A 2 ¯ 上过点 B 1 , B 2 B 3 的单位外法向量分别为 u 1 , u 2 , u 3 。根据重心坐标定义,通过简单的计算可得 B 1 , B 2 B 3 的重心坐标分别为:

( 0 : 1 2 : 1 2 ) , ( 1 2 : 0 : 1 2 ) , ( 1 2 : 1 2 : 0 )

因此,对任意一个正三角形,它的接触点的重心坐标具有如下的形式:

( 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 ) (2.1)

其中矩阵的每一行向量代表一个接触点的重心坐标。

3. 定理1的证明

根据John定理,我们只要证明正三角形的内切圆的切点满足John定理即可。首先约定2维欧氏平面 2 中的正三角形及相关元素的记号同第2节。在此规定下,由重心坐标的定义不难求得坐标原点的重心坐标为 ( 1 : 1 : 1 ) 。令 c i = 2 3 , i = 1 , 2 , 3 ,则

i = 1 3 c i B i = 2 3 ( 0 : 1 2 : 1 2 ) + 2 3 ( 1 2 : 0 : 1 2 ) + 2 3 ( 1 2 : 1 2 : 0 ) = ( 1 : 1 : 1 )

于是,我们验证了John定理中的(1.2)式。

下面我们将验证向量 u 1 , u 2 , u 3 满足John定理中的(1,1)式。事实上我们只需证明与(1.1)式等价的式子如下,即对任意 x 2 ,都有下面的等式成立:

x = i = 1 3 c i x , u i u i (3.1)

其中, c i = 2 3 , i = 1 , 2 , 3

由于我们所考虑的凸体是 2 中三角形 A = Δ A 1 A 2 A 3 ,所以它的3个边 a 1 = A 2 A 3 ¯ a 2 = A 3 A 1 ¯ a 3 = A 1 A 2 ¯ 上的单位法向量 u 1 , u 2 , u 3 所形成的空间必为 2 ,也即

Span ( u 1 , u 2 , u 3 ) = 2

因此,对任意的向量 x 2 ,一定存在实数 α 1 , α 2 , α 3 ,使得

x = α 1 u 1 + α 2 u 2 + α 3 u 3

分别以 u 1 , u 2 , u 3 与上式的两端作内积,我们可得

{ u 1 , x = α 1 u 1 , u 1 + α 2 u 1 , u 2 + α 3 u 1 , u 3 , u 2 , x = α 1 u 2 , u 1 + α 2 u 2 , u 2 + α 3 u 2 , u 3 , u 3 , x = α 1 u 3 , u 1 + α 2 u 3 , u 2 + α 3 u 3 , u 3 .

若记 α = ( α 1 , α 2 , α 3 ) β = ( u 1 , x , u 2 , x , u 3 , x ) ,且向量 u 1 , u 2 , u 3 的Gram矩阵为

G = G ( u 1 , u 2 , u 3 ) = ( u 1 , u 1 u 1 , u 2 u 1 , u 3 u 2 , u 1 u 2 , u 2 u 2 , u 3 u 3 , u 1 u 3 , u 2 u 3 , u 3 )

因此,上面的方程可改写为

G α T = β T (3.2)

其中 α T β T 分别表示 α β 的转置。

考虑到G的任一元素 u i , u j ( 1 i j 3 ) 是三角形的两个边 a i a j 对应的单位外法向量 u i u j 的夹角的余弦,又由于法向量 u i u j 的夹角与三角形的边 a i a j 所形成的夹角 ( a i , a j ) 是互补的,所以

u i , u j = cos ( a i , a j )

我们仍然用 a 1 , a 2 , a 3 分别表示三角形的边 A 2 A 3 ¯ , A 3 A 1 ¯ , A 1 A 2 ¯ 的边长。对于 cos ( a i , a j ) ,我们有

cos ( a i , a j ) = a j i a j

其中 a j i 表示边 a j 沿 u i 方向向边 a i 作垂直投影所得到的投影的长度。

为了得到Gram矩阵G的值,我们只需计算 a j i a j 的值即可。由于我们所考虑的是正三角形,所以对于 i ≠ j 所有的 a j i a i j = 1 2 ,对于 i = j 所有的 a j i a j = 1 。这样就得到了矩阵G,即

( 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 )

由此,把(1.2)和(3.2)式联立可得

{ G α T = β T , i = 1 3 u i , x = 0.

α = ( 2 3 u 1 , x , 2 3 u 2 , x , 2 3 u 3 , x ) 代入上面的方程组可知 α 是该方程组的一组解。因此 2 中的任意一点可以表示成(3.1)式的形式,定理1证毕。

4. 定理2的证明

首先,我们介绍H. J. Brascamp和E. H. Lieb 建立的一个著名不等式作为引理(参见 [3] [4] ),它可以被看作卷积不等式的推广,被称为Brascamp-Lieb不等式。

引理4.1:设 { u i } 1 m n 中的一列单位向量, { c i } 1 m 是一列正实数,使得它们满足下面的等式:

i = 1 m c i u i u i = I n

如果 f i : ( 0 , ) , i = 1 , , m 是一列可积函数,那么

n i = 1 m f i ( u i , x ) c i d x i = 1 m ( f i ( t ) d t ) c i (4.1)

F. Barthe在文 [3] 中给出了引理4.1等式成立的一组必要条件,即下面的引理。

引理4.2:设 { u i } 1 m n 中的一列单位向量, { c i } 1 m 是一列正实数,使得它们满足下面的等式:

i = 1 m c i u i u i = I n

如果 { f i } 1 m L 1 ( ) 中不全为零的函数,并且 { f i } 1 m 不都是高斯分布的密度函数,那么(4.1)式取等式的必要条件是

m = n

并且 { u i } 1 m n 的一组正交基。

现在我们给出定理2的证明。

由定理1立即可得定理2的充分性。下面我们证明定理2的必要性,即如果三角形A的John椭圆是欧氏单位圆B,那么三角形A是正三角形。

首先我们注意到如果三角形A的John椭圆是单位圆B,那么这个圆一定是该三角形的内切圆。如若不然,那么不妨设B与三角形的某个边 a i 不相切,设边 a i 的外法向量是 u i ,那么一定存在一个正实数 ε ,使得单位圆B沿方向 u i 平行移动 ε 后,单位圆B不在与三角形A的任何边相切。这时一定存在另一个正实数 ε ,如果我们对单位圆B沿方向 u i 平行移动 ε 后,再令单位圆B做一个膨胀r,使得膨胀后得到的圆rB成为三角形P的内切圆。这与我们的条件——单位圆B是John椭圆相矛盾。

因为三角形A的内切圆是其John椭圆,由John定理,存在一组正实数 { c i } 1 3 以及在A的边界上存在一组单位向量 { u i } 1 3 ,使得

i = 1 3 c i u i u i = I 2 (4.2)

i = 1 3 c i u i = 0 (4.3)

K = { x 2 : x , u i 1 , 1 i 3 } ,则K也是 2 中的三角形。由于 { u i } 1 3 是A和B的接触点,所以

A { x 2 : x , u i 1 , 1 i 3 } = K

注意到B也是三角形A的内切圆且K,A与B有相同的切点 { u i } 1 3 ,所以我们有

A = K

现在问题转化为只需要证明K是正三角形即可。在下面的讨论中,我们把 3 视为 2 × ,令

v i = 2 3 ( u i , 1 2 ) 3 , i = 1 , 2 , 3

d i = 3 2 c i , i = 1 , 2 , 3

容易验证 { u i } 1 3 是单位向量,并且结合(4.2)和(4.3),我们有

i = 1 3 d i v i v i = I 3

定义函数列 { f i } 1 k 如下:

f i ( t ) = { e t , t 0 , 0 , t < 0.

对于任意的 x 3 ,令

F ( x ) = i = 1 3 f i ( v i , x ) d i

由引理4.1,我们得到

3 F ( x ) i = 1 3 ( f i ( t ) d t ) d i = 1 (4.4)

现在,假设 x = ( y , r ) 2 × ,对于每一个i,我们有

v i , x = r 3 2 3 u i , y , i = 1 , 2 , 3

因为 i = 1 3 c i u i = 0 ,则存在j (仅依赖于y)使得 u j , y 0 。因此,如果 r < 0 , v j , x < 0 ,则 F ( x ) = 0 。另一方面,如果 r 0 ,则对于每一个i,当 u i y r 2 时, F ( x ) 0 。从而我们可得

F ( x ) = exp [ i = 1 3 d i ( r 3 2 3 u i , y ) ] = exp ( 3 r + 2 3 i = 1 3 c i u i , y ) = exp ( 3 r )

因此对于每一个 r 0 ,我们可得F在平面 { x : x 3 = r 0 } 上的积分为:

其中 S ( K ) 表示三角形K的面积。因此由(4.4)式可得

S ( K ) 3 3 (4.5)

注意到(4.5)式的右端正是以单位圆B为内切圆的正三角形的面积。

考虑到函数 { f i } 1 3 的构造,并对(4.4)式应用引理4.2,可得(4.4)式等式成立的条件是 { v i } 1 3 3 的一组正交基。任取这组正交基中的两个向量

v i = 2 3 ( u i , 1 2 )

v j = 2 3 ( u j , 1 2 )

我们有

0 = v i , v j = 2 3 u i , u j + 1 2

所以

是一个常数。由于 { u i } 1 3 是三角形 K 的三个边上的单位外法向量,因此, K 是正三角形。定理2证毕。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(No: 11561020)。

文章引用: 马统一 , 肖 添 (2019) 关于欧氏平面ℝ²中三角形的John定理。 应用数学进展, 8, 958-964. doi: 10.12677/AAM.2019.85109

参考文献

[1] Ball, K. (1992) Ellipsoids of Maximal Volume in Convex Bodies. Geometriae Dedicata, 41, 241-250.
https://doi.org/10.1007/BF00182424

[2] Ball, K. (1997) An Elementary Introduction to Modern Convex Geom-etry. In: Levy, S., Ed., Flavors of Geometry, Cambridge University Press, New York, 1-58.

[3] Barthe, F. (1998) On a Reverse Form of the Brascamp-Lieb Inequality. Inventiones Mathematicae, 134, 335-361.
https://doi.org/10.1007/s002220050267

[4] Brascamp, H.J. and Lieb, E.H. (1976) Best Contants in Young’s In-equality, Its Converse, and Its Generalization to More than Three Functions. Advances in Mathematics, 20, 151-173.
https://doi.org/10.1016/0001-8708(76)90184-5

[5] Coxeter, H.S.M. (1969) Barycentric Coordinates. §13.7 in Introduction to Geometry, 2nd Edition, Wiley, New York, 216-221.

[6] John, F. (1948) Extremum Problems with Inequatlities as Subsidiary Conditions. Courant Anniversary Volume, Interscience, New York, 187-204.

[7] Lin, S., Ge, X. and Leng, G.-S. (2006) The John Theorem for Simplex. Journal of Shanghai University (English Edition), 10, 487-490.
https://doi.org/10.1007/s11741-006-0043-4

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