Hochstadt-Lieberman定理的重构问题
The Reconstructing Problem for Hochstadt-Lieberman Theorem

作者: 曾献清 , 魏朝颖 * , 郭 洁 :西安石油大学理学院,陕西 西安;

关键词: 特征值Mittag-Leffler展开定理Levin-Lyubarski插值重构问题Eigenvalue Mittag-Leffler Expansion Theorem Levin-Lyubarski Interpolation Reconstruction Problem

摘要:
Hochstadt-Lieberman唯一性定理表明,对于定义在[0, 1]区间上的Sturm-Liouville问题,若[0, 1/2]区间上的势函数已知,则一组Dirichlet-Dirichlet特征值即可唯一确定整个区间上的势函数。本文应用亚纯函数的Mittag-Leffler展开定理,给出了重构该问题势函数的一种新方法,同时给出了该问题的解存在的充要条件。

Abstract: In this paper we are concerned with the Hochstadt-Lieberman uniqueness theorem which states that, when the potential is known a priori on [0, 1/2], the full Dirichlet-Dirichlet spectrum of a Sturm-Liouville problem defined on the interval [0, 1] uniquely determines its potential. We shall give a new method for reconstructing the potential for this problem in terms of the Mittag-Leffler decomposition Theorem of meromorphic functions associated with the solution of Sturm-Liouville equantions. We also give a necessary and sufficient condition for the existence of the solution.

1. 引言

1978年,Hochstadt与Lieberman [1] 证明了如下著名的Hochstadt-Lieberman唯一性定理:

定理1.1 对于定义在[0, 1]区间上的Sturm-Liouville算子 L DD

L u = u + q u (1)

满足Dirichlet-Dirichlet (DD)边值条件:

u ( 0 ) = 0 = u ( 1 ) , (2)

其中 q L 2 [ 0 , 1 ] 为实值函数,若q在子区间 [ 0 , 1 / 2 ] 上已知,则一组Dirichlet-Dirichlet特征值 σ DD = { λ n ,D 2 } n = 1 唯一确定 [ 0 , 1 ] 区间上的势函数q。

Martinyuk及Pivoarchik [2] 曾对以上唯一性定理给出了重构势函数的方法。本文的目的是对Hochstadt-Lieberman唯一性定理提供一种新的重构势函数的方法。通过应用Mittag-Leffler展开定理,将“较大的”全纯函数分解为两个“较小的”全纯函数,此分解为我们更好地使用Levin-Lyubarski插值公式重构全纯函数 u ( 1 / 2 , λ ) u ( 1 / 2 , λ ) 提供了环境。此外,该重构方法亦给出了该问题的解存在且唯一的充要条件。

本文将用 L a 表示定义在 L 2 ( , ) 上的型为a的指数类全纯函数 [3] 。

2. 势函数的重构

u ( x , λ ) 为方程(1)满足初始条件 u ( 0 ) = 0 u ( 0 ) = 1 的解。由文 [4] 可得:

u ( x , λ ) = sin λ x λ + 0 x K ( x , t ) sin λ t λ d t = sin λ x λ K ( x , x ) cos λ x λ 2 + 0 x K t ( x , t ) cos λ x λ 2 d t , (3)

其中

K ( x , t ) = K ˜ ( x , t ) K ˜ ( x , t ) , K t ( x , t ) = K ( x , t ) t ,

K ˜ ( x , t ) 满足以下积分方程:

K ˜ ( x , t ) = 1 2 0 x + t 2 q ( s ) ds + 0 x + t 2 d α 0 x t 2 q ( α + β ) K ˜ ( α + β , α β ) d β ,

且对于两个变量分别存在一阶偏导数。此外,

K ( x , x ) = 1 2 0 x q ( t ) d t , K ( x , 0 ) = 0 . (4)

由(3)可得

u ( 1 2 , λ ) = 1 λ sin ( λ 2 ) K λ 2 cos ( λ 2 ) + ψ , 0 ( λ ) λ 2 ; u ( 1 2 , λ ) = cos + K λ sin ( λ 2 ) + ψ , 1 ( λ ) λ 2 (5)

其中 K = K ( 1 / 2 , 1 / 2 ) ,且对于 j = 0 , 1 ψ , j L 1 / 2

定义 u + ( x , λ ) 为方程(1)满足初始条件 u + ( 1 , λ ) = 0 u + ( 1 , λ ) = 1 的解。则 u + ( x , λ ) 具有类似于(3)的表达式:

u + ( x , λ ) = sin λ ( 1 x ) λ x 1 K ( x , t ) sin λ ( 1 t ) λ d t . (6)

u + ( 1 / 2 , λ ) u + ( 1 / 2 , λ ) 有如下渐近式:

u + ( 1 2 , λ ) = 1 λ sin ( λ 2 ) K + λ 2 cos ( λ 2 ) + ψ + , 0 ( λ ) λ 2 u + ( 1 2 , λ ) = cos ( λ 2 ) + K + λ sin ( λ 2 ) + ψ + , 1 ( λ ) λ 2 (7)

其中 K + = 1 / 2 1 q ( t ) d t ,且对于 j = 0 , 1 ψ + , j L 1 / 2

由于(1)~(2)的DD特征值 { λ n } n 0 为特征值方程

Δ ( λ ) = u ( 1 , λ ) (8)

的零点。由(3)可得,特征值函数的渐近式为:

Δ ( λ ) = 1 λ sin λ K + K + λ 2 cos λ + ψ ^ ( λ ) λ 2 , (9)

其中 ψ ^ L 1 。则当 n 时,DD特征值 { λ n } n Z 0 的渐近式为:

λ n = n π + K + K + n π + α n n (10)

其中 { α n } n Z 0 l 2

引理2.1 [5] [Theorem 3,6,2] 设 F ( z ) 为亚纯函数,且当时,其单重极点满足。记处的留数。若

, (11)

则存在全纯函数使得

, (12)

其中,(12)式右侧的级数在上任何不包含点的有界子集上是一致收敛的。

引理2.2 [6] [Theorem A]设f为sine类函数,其振幅宽度为2a,且其零点为。则对于,映射

(13)

的同构映射,且在的任何子域上一致收敛。

下面给出在上重构q的方法及解存在的充要条件。定义为方程(1)满足初始条件的解。类似可得

(14)

其中,对于。记的零点,则

, (15)

其中。显然为亚纯函数且具有单重极点。设为函数处的留数,则有

, (16)

其中。由(5),(8)及(10)可得

, (17)

其中,结合(15),可得。由引理2.1,可知存在全纯函数,满足

. (18)

定义

, (19)

则可得

. (20)

显然时,为全纯函数。

引理2.3 若记

(21)

,且在展开式(20)中为唯一的。

证明 注意到的零点,则由(20)可得

(22)

将(15)带入计算,可得

,

, (23)

,

,

其中均属于。进而将(23)带入(22)得到

. (24)

由于函数为sine类函数,且存在正整数及p使得当时,

则结合(24),应用Levin-Lyubarski插值定理,即引理2.2,选取为重构函数的插值节点,若记,则有:

, (25)

其中

此外,Levin-Lyubarki插值定理保证了所重构函数的唯一性。故定理得证。

引理2.4 设由(21)式定义。若

, (26)

. (27)

进而有

(28)

证明 由于

, (29)

计算易得(27)成立。由于

(30)

,式(30)结合(27),可知存在满足

. (31)

由(5)及(7)可知,当时,有

,

,从而可得(28)。定理得证。

注1 由引理2.3可知是唯一的. 由引理2.4可得的表达式,进而可得,故有如下结论:

定理2.5 设函数,数列已知,且满足如下渐近式:

(32)

其中A,。若

(33)

其中分别由(21)与(26)定义,且由(5)定义。

则存在唯一的实值函数,使得势函数q在上满足,在上,,且其对应的算子以为特征值的充要条件是属于Nevanlinna类函数。

证明 必要性:假定存在实值函数,使得为Sturm-Liouville算子的DD特征值。则由以上讨论可知,

,.

故由 [2] [7] 知,是Sturm-Liouville问题(1)~(2)的Weylm-函数 [7] ,故属于Nevanlinna类函数。

充分性:若实值函数已知,则函数为已知函数。则由(5)、(14)及引理2.3得,可知,又由于DD特征值已知,进而由(26)可得,从而由(28)计算可得

,

,

其中,故可知。定理得证。

基金项目

国家自然科学基金面上项目资助(11571212);陕西省大学生创新训练项目资助(1314)。

NOTES

*通讯作者。

文章引用: 曾献清 , 魏朝颖 , 郭 洁 (2019) Hochstadt-Lieberman定理的重构问题。 理论数学, 9, 458-464. doi: 10.12677/PM.2019.93061

参考文献

[1] Hochstadt, H. and Lieberman, B. (1978) An Inverse Sturm-Liouville Problem with Mixed Given Data. SIAM Journal on Applied Mathematics, 34, 676-680.
https://doi.org/10.1137/0134054

[2] Martinyuk, O. and Pivovarchik, V. (2010) On the Hochstadt-Lieberman Theorem. Inverse Problems, 26, Article ID: 035011, 6 p.
https://doi.org/10.1088/0266-5611/26/3/035011

[3] Levin, B.J. (1980) Distribution of Zeros of Entire Functions. American Mathematical Society, Providence, RI.

[4] Marchenko, V. (1986) Sturum-Liouville Operators and Applications. Birkhäuser, Ba-sel.

[5] Ablowitz, M.J. and Fokas, A.S. (2003) Complex Variables Introduction and Applications. 2nd Edition, Cambridge Univer-sity Press, Cambridge.

[6] Levin, B. and Yu, I. (1975) Lyubarskii, Interpolation by Entire Functions of Special Classes and Related Expansions in Series of Exponents. Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk USSR, 39, 657-702. (In Russian)
https://doi.org/10.1070/im1975v009n03abeh001493

[7] Gesztesy, F. and Simon, B. (2000) Inverse Spectral Analysis with Partial Information on the Potential II: The Case of Discrete Spectrum. Transactions of the American Mathematical Society, 352, 2765-2787.

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