整函数与其差分多项式的唯一性
Uniqueness of Entire Functions That Share Small Function with Their Difference Polynomials

作者: 黄小皇 , 刘 丹 :华南农业大学应用数学研究所,广东 广州;

关键词: 整函数分担小函数差分多项式Entire Function Shared Small Function Difference Polynomials

摘要:
本文研究关于涉及有穷级超越整函数f(z)在有一个Borel整例外函数的条件下, f(z)与其差分多项式g(z)IM分担一个小函数a(z)的唯一性问题。进一步在上述前提下,把条件“Borel整例外函数”改为“δ(0,f)>0”,且f(z)与其差分多项式g(zIM分担一个小函数a(z),我们同样得到了相关的结果。

Abstract: In this paper, we study the uniqueness of difference operators about transcendental entire function f(z) with a Borel entire exceptional function, which shares a small function a(z) with its difference polynomial. Furthermore, under the above assumption, we replace the condition “Borel entire exceptional function” by “δ(0,f)>0”,and get the same result when f(z) shares a(z) CM with its difference polynomial.

1. 引言

在本文中,假设读者熟知Nevanlinna值分布理论的相关基础知识以及常见符号 [1] [2] 。设 f ( z ) 是复平面上的亚纯函数,a∈C 为任意的复数,定义a关于f的亏量为 δ ( a , f ) = 1 lim ¯ r N ( r , a ) T ( r , f ) ,当 δ ( a , f ) > 0 时,a称为f的Nevanlinna亏值。定义 λ ( f ) 分别为 f ( z ) 的级与下级。设a为开平面内的亚纯函数,如果 T ( r , a ) = S ( r , f ) ,则称a为f小函数。设f与g均为非常数亚纯函数,a为f与g的公共小函数,如果 f a g a 的零点相同且每个零点重级也相同,则称f与g CM分担a。如果 f a g a 的零点相同,不考虑零点重级,则称f与g IM分担a。

设k为正整数。记 f a 的重级 k 的零点密指量,且计重数。 N ( k ( r , 1 f a ) f a 的重级 k 的零点密指量且计重数。记 N ¯ k ) ( r , 1 f a ) f a 的零点精简密指量,且不计重数。 N ¯ ( k ( r , 1 f a ) f a 的零点精简密指量,且不计重数。

设F与G均为非常数亚纯函数,且F与G IM分担1。设 z 0 为F的一个重级为p的1值点,同时为G的一个重级为q的1值点。记 N ¯ L ( r , 1 F 1 ) 为F的那些重级 p > q 的1值点;为F的那些重级 p = q = 1 的1值点;记 N ¯ E ( 2 ( r , 1 F 1 ) 为F的那些重级 p = q 2 的1值点。以上所定义的计数函数每一点只计一次。同样可以定义 N ¯ L ( r , 1 G 1 ) N ¯ E 1 ) ( r , 1 G 1 ) N ¯ E ( 2 ( r , 1 F 1 ) 。若F与G IM分担1,则

N ¯ ( r , 1 F 1 ) = N ¯ E 1 ) ( r , 1 F 1 ) + N ¯ L ( r , 1 F 1 ) + N ¯ L ( r , 1 G 1 ) + N ¯ E ( 2 ( r , 1 G 1 ) = N ¯ ( r , 1 G 1 )

设f为非常数有穷正级为 λ 的亚纯函数, α 为f的一个小函数。若 lim r ¯ log + N ( r , 1 f α ) log r < λ ,则称 α 为f的一个Borel例外函数。当时,定义 f α 的零点个数为有穷个。

另外,我们需要定义一些差分算子的符号。设f为非常数亚纯函数, m 1 ( z ) , m 2 ( z ) , , m k ( z ) 为f的小函数, c 1 , c 2 , , c k 为判别的有穷复数。令

g ( z ) = m 1 ( z ) f ( z + c 1 ) + m 2 ( z ) f ( z + c 2 ) + + m k ( z ) f ( z + c k )

为f的差分多项式。最近,许多人做了关于复差分唯一性的问题。2018年,Huang-Zhang [3] 证明了:

定理A 设 f ( z ) 为开平面上的有穷级的超越整函数, α C 为f的一个Borel例外值, c∈C 为非零有穷复数。设 a ( z ) 0 f ( z ) 的一个小函数,若 f ( z + c ) f ( z ) CM分担 a ( z ) ,则 f ( z ) f ( z + c )

定理B 设 f ( z ) 开平面有穷级的超越整函数, c C 为有穷复数。设 a ( z ) 0 f ( z ) 的一个小函数,若 f ( z + c ) f ( z ) CM分担 a ( z ) δ ( 0 , f ) > 0 ,则 f ( z ) f ( z + c )

定理C 设 f ( z ) 为开平面有穷级的超越整函数, c C 为有穷复数。设 a ( z ) 0 f ( z ) 的一个小函数。若 f ( z ) Δ c f ( z ) CM分担 a ( z ) δ ( 0 , f ) > 0 ,则 f ( z ) Δ c f ( z )

本文推广并改进上述结果,证明了:

定理1 设 f ( z ) 为开平面有穷级的超越整函数, α ( z ) 为f的一个Borel例外整函数,

g ( z ) = m 1 ( z ) f ( z + c 1 ) + m 2 ( z ) f ( z + c 2 ) + + m k ( z ) f ( z + c k )

为f的差分多项式,其中为f的整小函数, k个判别的有穷复数。

又设 f ( z ) 的一个整小函数,若 f ( z ) g ( z ) IM分担 a ( z ) ,则 f ( z ) g ( z )

定理2 设 f ( z ) 为开平面有穷级的超越整函数,

g ( z ) = m 1 ( z ) f ( z + c 1 ) + m 2 ( z ) f ( z + c 2 ) + + m k ( z ) f ( z + c k )

为f的差分多项式,其中 为f的整小函数 , 为任意有穷复数。又 设 a ( z ) 0 f ( z ) g ( z ) 的一个公共小函数,若 f ( z ) g ( z ) CM分担 ,则 f ( z ) g ( z )

2. 几个引理

引理1 [4] [5] [6] 设f为非常数有穷级亚纯函数, c∈C 为非零有穷复数。则

m ( r , f ( z + c ) f ( z ) ) = S ( r , f ) ,

其中 S ( r , f ) = o ( T ( r , f ) ) ,除去r的一个集合E,且集合E的对数测度为有穷的。

引理2 [1] [2] 设f为非常数亚纯函数,则

N ( r , 1 f ( k ) ) N ( r , 1 f ) + k N ( r , f ) + S ( r , f ) .

引理3 [7] 设 H = ( F F 2 F F 1 ) ( G G 2 G G 1 ) ,其中F与G为两个非常数亚纯函数。若F与G IM分担1且 H 0 ,则

N E 1 ) ( r , 1 F 1 ) N ( r , H ) + S ( r , F ) + S ( r , G ) .

引理4 [2] 设f与g均为非常数亚纯函数, λ ( f ) , λ ( g ) 分别为f与g的级。则

λ ( f g ) max { λ ( f ) , λ ( g ) } .

引理5 [2] 设f与g均为非常数亚纯函数,分别为f的级与g的下级。若 λ ( f ) < μ ( g ) ,则

T ( r , f ) = o ( T ( r , g ) ) .

引理6 设f为非常数有穷级整函数。若 α 为f的一个Borel例外整函数,则 δ ( α , f ) = 1

证 我们分为以下两种情形讨论:

情形1 λ > 0 。设 。因为f的一个Borel例外整函数且f为有穷级整函数,则有 ρ < λ 。设 ,其中H为 f α 的零点构成的典范乘积,以及Q为一非零多项式。由为f的整小函数,从而有 。显然有 T ( r , f α ) = T ( r , f ) + S ( r , f ) ,这可推出 λ ( f α ) = λ ( f ) 。由引理4以及 e Q 为正规增长函数,我们可以得到

λ ( H ) < λ ( f α ) = λ ( f ) max { λ ( H ) , λ ( e Q ) } = λ ( e Q ) ,

以及

λ ( e Q ) max { λ ( H ) , λ ( f ) } = λ ( f ) ,

λ ( f ) = λ ( e Q ) = μ ( e Q ) 。又由引理5可得 。因此

T ( r , f ) = T ( r , f α ) + S ( r , f ) = T ( r , H e Q ) + S ( r , f ) T ( r , H ) + T ( r , e Q ) + S ( r , f ) T ( r , e Q ) + S ( r , f ) + S ( r , e Q ) ,

反过来也可得到 T ( r , e Q ) T ( r , f ) + S ( r , f ) + S ( r , e Q ) 。这可推出 T ( r , f ) = T ( r , e Q ) + S ( r , f ) 。故我们有

δ ( α , f ) = 1 lim r ¯ N ( r , 1 f α ) T ( r , f ) 1 lim r ¯ N ( r , 1 H ) T ( r , e Q ) = 1 .

情形2 λ = 0 。由我们引言中所定义的 λ = 0 f α 的零点个数为有穷个,直接可得 N ( r , 1 f α ) = o ( T ( r , f ) ) ,于是有 。证毕。

3. 定理1的证明

, (1)

其中 β = m 1 ( z ) α ( z + c 1 ) + m 2 ( z ) α ( z + c 2 ) + + m k α ( z + c k ) 。因为f与g IM分担a,a为整小函数。所以F与G IM分担1。由(1)有 T ( r , F ) = T ( r , f ) + S ( r , f ) 。因为 α 为f的整Borel例外函数,则由引理6可以得到 N ( r , 1 f α ) = S ( r , f ) 。由引理1可以得到

T ( r , g ) T ( r , f ) + S ( r , f ) = m ( r , 1 f α ) + S ( r , f ) m ( r , g β f α ) + m ( r , 1 g β ) + S ( r , f ) ,

T ( r , g ) = m ( r , g ) + S ( r , f ) 。故 N ( r , 1 g β ) = S ( r , f ) 。从而有 N ( r , 1 F ) = S ( r , f ) N ( r , 1 G ) = S ( r , f )

定义H为引理3中的函数。假设 H 0 ,由引理3有

N ( r , H ) N ¯ ( 2 ( r , 1 F ) + N ¯ ( 2 ( r , 1 G ) + N L ( r , 1 F 1 ) + N L ( r , 1 G 1 ) + N 0 ( r , 1 F ) + N 0 ( r , 1 G ) N L ( r , 1 F 1 ) + N L ( r , 1 G 1 ) + N 0 ( r , 1 F ) + N 0 ( r , 1 G ) , (2)

其中 N 0 ( r , 1 F ) F 的零点计数函数,而不是F与 F 1 的零点计数函数。同样 N 0 ( r , 1 G ) 也可类似定义。由Nevanlinna第二基本定理可得

. (3)

因为F与G IM分担1,所以我们有

. (4)

结合(2)与引理3可得

N ¯ ( r , 1 F 1 ) + N ¯ ( r , 1 G 1 ) = N ¯ E 1 ) ( r , 1 F 1 ) + 3 N L ( r , 1 F 1 ) + 3 N L ( r , 1 G 1 ) + 2 N E ( 2 ( r , 1 G 1 ) + N 0 ( r , 1 F ) + N 0 ( r , 1 G ) + S ( r , f ) . (5)

容易发现

N L ( r , 1 F 1 ) + 2 N L ( r , 1 G 1 ) + N E 1 ) ( r , 1 F 1 ) + 2 N E ( 2 ( r , 1 G 1 ) N ( r , 1 G 1 ) T ( r , G ) . (6)

由(5)与(6)得

N ¯ ( r , 1 F 1 ) + N ¯ ( r , 1 G 1 ) 2 N L ( r , 1 F 1 ) + N L ( r , 1 G 1 ) + T ( r , G ) + N 0 ( r , 1 F ) + N 0 ( r , 1 G ) + S ( r , f ) . (7)

把(7)代入(3)可以得到

T ( r , F ) 2 N L ( r , 1 F 1 ) + N L ( r , 1 G 1 ) + S ( r , f ) . (8)

由引理2又有

2 N L ( r , 1 F 1 ) + N L ( r , 1 G 1 ) 2 N ( r , 1 F ) + N ( r , 1 G ) 2 N ( r , 1 F ) + N ( r , 1 G ) = S ( r , f ) . (9)

由(8)与(9)可得 。矛盾。

因此 H 0 。由引理3以及两边积分可得到

1 F 1 = A G 1 + B , (10)

其中为常数。从(10)式又可以得到

F = ( B + 1 ) G + A B 1 B G + A B , G = ( B A ) F + A B 1 B F B 1 . (11)

我们分为以下三种情况讨论。

情形1 B 0 , 1 。由(11)可以得 N ¯ ( r , 1 F B + 1 B ) = N ¯ ( r , G ) 。由Nevanlinna第二基本定理有

T ( r , f ) = T ( r , F ) + S ( r , f ) N ¯ ( r , 1 F ) + N ¯ ( r , 1 F B + 1 B ) + S ( r , f ) = N ¯ ( r , G ) + S ( r , f ) = S ( r , f ) , (12)

T ( r , f ) = S ( r , f ) 。矛盾。

情形2 B = 0 。由(11)有

. (13)

A 1 ,从(13)可得 N ( r , 1 F A 1 A ) = N ( r , G ) 。类似于情形1的证明过程我们同样可得矛盾。因此 A=1 。由(10)可知 F G ,即 f g

情形3 B = 1 。由(11)有

. (14)

A 1 ,从(14)可得 F G 1 ,即

( f α ) ( g β ) ( a α ) ( a β ) . (15)

由(15)得到

2 T ( r , f ) = 2 T ( f α ) + S ( r , f ) = T ( r , 1 ( f α ) 2 ) + S ( r , f ) = m ( r , 1 ( f α ) 2 ) + N ( r , 1 ( f α ) 2 ) + S ( r , f ) m ( r , g β f α 1 ( f α ) ( g β ) ) + S ( r , f ) m ( r , g β f α ) + m ( r , 1 ( a α ) ( a β ) ) + S ( r , f ) T ( r , a α ) + T ( r , a β ) + S ( r , f ) = S ( r , f ) . (16)

T ( r , f ) = S ( r , f ) 。矛盾。因此定理1得证。

4. 定理2的证明

假设 f g 。因为f与g CM分担a,则

g a f a = e H , (17)

其中H为非零多项式。从(17)可得

g a = e H ( f a ) ( f a ) + f a = ( e H 1 ) ( f a ) + f a ,

g = ( e H 1 ) ( f a ) + f . (18)

根据上式可得到

g ( e H 1 ) f a = f a f a + 1 ( e H 1 ) a = 1 a 1 f + 1 ( e H 1 ) a ,

因此有

m ( r , 1 f ) = m ( r , 1 ( e H 1 ) a + 1 a g ( e H 1 ) f a ) 3 m ( r , 1 a ) + 2 m ( r , 1 e H 1 ) + m ( r , g f ) + O ( 1 ) 2 m ( r , 1 e H 1 ) + S ( r , f ) . (19)

另一方面,由Nevanlinna第二基本定理

T ( r , e H ) N ( r , 1 e H 1 ) + S ( r , e H ) T ( r , e H ) + S ( r , e H ) ,

于是有 T ( r , e H ) = N ( r , 1 e H 1 ) + S ( r , e H )

因此我们有 m ( r , 1 e H 1 ) S ( r , e H ) S ( r , f ) 。结合(19)立刻有 m ( r , 1 f ) = S ( r , f ) ,即 δ ( 0 , f ) = 0 ,这与 δ ( 0 , f ) > 0 矛盾。因此 e H C ,其中C为非零常数。若 C 1 ,则有 f g ,这与设矛盾。故 C 1 ,从(17)得 g a C ( f a ) 。把上式代入(18),且由(19)可得 m ( r , 1 f ) = S ( r , f ) 。即 δ ( 0 , f ) = 0 ,这与 δ ( 0 , f ) > 0 矛盾。因此 f g 。定理2得证。

基金项目

国家自然科学基金(NO.11701188)资助。

文章引用: 黄小皇 , 刘 丹 (2019) 整函数与其差分多项式的唯一性。 理论数学, 9, 362-369. doi: 10.12677/PM.2019.93048

参考文献

[1] Yang, L. (1993) Value Distribution Theory. Springer-Verlag, Berlin

[2] Yang, C.C. and Yi, H.X. (2003) Uniqueness Theory of Meromorphic Functions. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht.

[3] Huang, Z.B. and Zhang, R.R. (2018) Uniqueness of the Difference of Meromorphic Functions. Analysis Mathematica, 44, 461-473.

[4] Heittokangas, Korhonen, R., Laine, I. and Rieppo, J. (2011) Uniqueness of Meromorphic Functions Sharing Values with Their Shifts. Complex Variables and Elliptic Equations, 56, 81-92.
https://doi.org/10.1080/17476930903394770

[5] Halburd, R.G. and Korhonen, R.J. (2006) Nevanlinna Theory for the Difference Operator. Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ Mathematica, 31, 463-478.

[6] Chiang, Y.M. and Feng, S.J. (2008) On the Nevanlinna Characteristic of f (z + η) and Difference Equations in the Complex Plane. The Ramanujan Journal, 16, 105-129.
https://doi.org/10.1007/s11139-007-9101-1

[7] Yi, H.X. (1997) Uniqueness Theorems for Meromorphic Functions Whose n-th Derivatives Share the Same 1-Points. Complex Variables, Theory and Application, 34, 421-436.
https://doi.org/10.1080/17476939708815064

分享
Top